Conjunto generador de un grupo

En teoría de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos.Más generalmente, si S ⊆ G, es el mínimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos.Si G = , se dice que S genera a G, y los elementos de S se llaman generadores de G. Si S = ∅, entonces es el grupo trivial {e} (lo cual concuerda con la primera definición del subgrupo generado), puesto que el resultado de un producto vacío se define como el elemento neutro.Si S = {x}, es el subgrupo conformado por las potencias de x, el cual es un grupo cíclico (más precisamente, un subgrupo cíclico de G), usualmente denotado por ; se dice que este grupo es generado por x. Decir que x genera el grupo G es equivalente a decir que = G, caso en el cual G mismo sería un grupo cíclico; si G tiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que x tenga orden |G|.