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PRESENTACIÓN, PROGRAMA DEL CURSO Y ORIENTACIONES GENERALES
En el curso anterior, utilizando como hilo conductor el estudio de los cambios materiales, tuvimos ocasión
de tratar con cierto detalle algunos temas básicos de física: cinemática, dinámica, trabajo y energía, calor y
electricidad. El nivel matemático no pasó del cálculo vectorial (sin producto escalar ni vectorial) y de las
funciones trigonométricas. Tampoco se utilizaron derivadas ni integrales (inmediatas). Todas estas carencias deberán ser resueltas ahora para poder comprender mejor los temas de que consta este curso de física.
Los contenidos del curso se estructuran en torno a tres grandes núcleos: A El triunfo de la mecánica. B La
óptica y la síntesis electromagnética. C La crisis de la física clásica y surgimiento de la física moderna.
Comenzaremos por el cuerpo teórico de conocimientos que supuso la mecánica clásica como primera
ciencia moderna, para lo cual completaremos el estudio realizado en el curso anterior incorporando ahora
la interacción gravitatoria, vibraciones y ondas. Nos referiremos a la síntesis gravitatoria (que permitió
unificar dos mundos -terrestre y celeste- hasta entonces distintos) y a cómo, las leyes de la mecánica sirven también para explicar satisfactoriamente el movimiento ondulatorio (ondas mecánicas). Concretamente, los temas que forman parte de este núcleo son:
1. Interacción gravitatoria
2. Movimiento armónico simple
3. El movimiento ondulatorio.
Seguidamente abordaremos el estudio de la óptica y el electromagnetismo (inicialmente como campos
separados). Al final veremos como ambos campos acaban unificándose en la llamada Teoría Electromagnética que se convierte así, junto con la mecánica clásica, en el otro gran pilar de la física de finales del
siglo XIX. Los temas que forman parte de este segundo núcleo son:
4.
5.
6.
7.
8.
Óptica geométrica
Óptica física
El campo eléctrico
El campo magnético
Inducción electromagnética. Síntesis de Maxwell
El imponente edificio teórico que era la física clásica no podía explicar, sin embargo, una serie de hechos.
Los intentos de interpretación de los mismos abrieron paso al surgimiento y posterior desarrollo de otro
gran cuerpo de conocimientos: la física moderna. En el tercer bloque haremos una primera aproximación a
algunos de los fenómenos que pusieron en cuestión los fundamentos más básicos de la física clásica y una
introducción a algunos elementos de la física moderna. Los temas que lo forman son:
9. Relatividad
10. Física cuántica
11. Física nuclear y partículas elementales.
De acuerdo con las consideraciones anteriores y teniendo en cuenta los contenidos mínimos oficiales publicados en el DOGV del 5 de abril de 2002, a continuación detallaremos los capítulos que conforman el
curso y los contenidos concretos de cada unos de ellos.
1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1. Los orígenes de la Teoría de la gravitación universal
1.1. El Universo según los antiguos griegos
1.2. La Teoría Heliocéntrica de Copérnico
1.3. Las leyes de Kepler
1.4. Algunas aportaciones de Galileo a la nueva astronomía.
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2. Cantidad de movimiento angular o momento cinético. Principio de Conservación
2.1. Cantidad de movimiento de traslación o cantidad de movimiento lineal
2.2. Cantidad de movimiento angular
2.3. ¿Qué hace falta para que cambie la cantidad de movimiento angular? Principio de conservación de la
cantidad de movimiento angular.
3. Ley de Newton de la Gravitación Universal
3.1. El final de una barrera histórica
3.2. Expresión de la Ley de Newton de la Gravitación Universal
3.3. Diferencia entre masa gravitatoria y masa inercial
3.4. Determinación del valor de G de la Ley de Newton de la Gravitación. Experiencia de Cavendish
4. ¿Cómo tiene lugar la interacción gravitatoria? Concepto de campo gravitatorio
4.1. Intensidad de un campo gravitatorio en un punto del mismo. Expresión general
4.2. Obtención de la intensidad del campo gravitatorio en un punto cuando dicho campo está creado por una o
varias masas consideradas como puntuales
4.3. Representación de un campo gravitatorio mediante líneas de fuerza
5. El campo gravitatorio terrestre
5.1. Intensidad del campo gravitatorio terrestre a distancias del centro de la Tierra mayores o iguales al radio
medio terrestre: Peso de un cuerpo.
5.2. Diferencia entre intensidad del campo gravitatorio terrestre y aceleración de la gravedad
6. Utilidad de la ley de gravitación universal
6.1. Determinación de la masa de la Tierra
6.2. Interpretación de las mareas oceánicas
6.3. Descubrimiento de nuevos planetas
6.4. Deducción teórica de las leyes de Kepler
7. Estudio energético del campo gravitatorio
7.1. Energía potencial gravitatoria de un sistema formado por dos masas puntuales
7.2. Energía potencial gravitatoria para una distribución de varias masas puntuales
7.3. Potencial del campo gravitatorio en un punto dado del mismo. Expresión general
7.4. Obtención del potencial del campo gravitatorio en un punto cuando dicho campo está creado por una o
varias masas consideradas como puntuales
7.5. Energía potencial y potencial en el caso del campo gravitatorio terrestre
8. El movimiento de planetas y satélites
8.1. Consideraciones energéticas en el estudio del movimiento de planetas y satélites
8.2. Velocidad de escape
9. Gravitación universal
2. EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1. Concepto de movimiento armónico simple. Magnitudes necesarias características
2. Ecuaciones cinemáticas del movimiento armónico simple. Obtención de la posición, la rapidez y la
aceleración en cualquier instante para una partícula que realice este movimiento. Representaciones gráficas. Determinación del periodo
3. Estudio del MAS mediante trabajo y energía. Energía cinética y energía potencial. Variación de estas
magnitudes en el caso de una partícula dotada de MAS. Conservación de la energía
3. ONDAS
1. Establecimiento de un modelo para el movimiento ondulatorio
1.1.La producción y propagación de pulsos o señales
1.2. Descripción de una onda mecánica. Tipos de onda (según el modo de vibración y según la forma del
frente de onda). Magnitudes necesarias para la descripción del movimiento ondulatorio. Influencia del
medio en la velocidad de propagación. Velocidad de propagación de ondas sonoras en diferentes medios
1.3. Ecuación de una onda armónica plana (o unidimensional).
1.4. Doble periodicidad del movimiento ondulatorio
1.5. Concordancia de fase y oposición de fase
4
2. Propiedades de las ondas
2.1. Energía transmitida por una onda. Amortiguación
2.2. Intensidad de una onda en un punto del medio por el que se propaga
2.3. ¿Qué pasa cuando dos ondas se encuentran? Interferencias
2.4. ¿Qué pasa cuando una onda atraviesa una rendija? Difracción
2.5. ¿Qué sucede cuando una onda llega a un obstáculo? Reflexión y refracción
2.6. ¿Qué ocurre cuando una onda se propaga por un medio limitado? Ondas estacionarias
2.7. ¿Qué ocurre cuando existe un movimiento relativo entre el foco y un observador? Efecto Doppler
3. Diferencias entre el movimiento ondulatorio y el corpuscular
4. La acústica y algunos aspectos relacionados con el sonido
4. ÓPTICA GEOMÉTRICA
1. ¿Cómo se propaga la luz?
2. Velocidad de propagación de la luz
3. Índice de refracción
4. Reflexión de la luz
5. Refracción de la luz
6. Formación de imágenes en espejos planos
7. Formación de imágenes en espejos esféricos
8. Dioptrio plano
9. Dioptrio esférico
10. Formación de imágenes en lentes delgadas
10.1. Determinación gráfica de la imagen de un objeto en lentes delgadas
10.2. Ecuación de las lentes delgadas
10.3. Potencia de una lente
11. Reflexión total, espejismos y fibra óptica
12. Cámara oscura y cámara fotográfica
13. El ojo humano, funcionamiento y defectos de la visión
13.1. El ojo miope
13.2. El ojo hipermétrope
13.3. Presbicia
14. La lupa
15. El telescopio
5. ÓPTICA FÍSICA
1. Evolución de las ideas acerca de la naturaleza de la luz
2. Interferencias luminosas
3. Difracción de la luz
4. Dispersión de la luz y espectroscopía
5. Absorción de la luz
6. La visión del color
6.1. Mezcla aditiva de colores
6.2.Método sustractivo de mezcla de colores
6. CAMPO ELÉCTRICO
1. ¿De qué depende la fuerza eléctrica que se ejercen dos objetos cargados, en reposo y separados
entre sí?
1.1. Fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados y que puedan considerarse como objetos puntuales. Ley
de Coulomb
1.2. Expresión vectorial de la ley de Coulomb
1.3. Comparación entre la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria
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2. ¿Cómo se transmite la fuerza eléctrica? El campo eléctrico y su intensidad
2.1. Intensidad del campo eléctrico en un punto
2.2. Obtención de la intensidad del campo eléctrico en un punto cuando dicho campo está creado por una o
varias cargas puntuales
2.3. Obtención del campo eléctrico en un punto en el caso de que la carga generadora del campo no sea una
carga puntual
3. Representación del campo eléctrico en el espacio
3.1. Representación del campo eléctrico mediante líneas de fuerza
3.2. Relación entre intensidad del campo eléctrico y densidad de líneas de fuerza. Flujo electrostático
4. Teorema de Gauss. Aplicaciones
4.1.Teorema de Gauss
4.2. ¿Cómo se distribuye la carga en un objeto conductor cargado y en equilibrio?
4.3. Determinación del campo eléctrico creado por distribuciones de carga sencillas
4.3.1. Campo eléctrico en la superficie de un conductor
4.3.2. Campo eléctrico creado por una esfera conductora y cargada eléctricamente
4.3.3. Campo eléctrico correspondiente a una distribución de carga plana e indefinida
4.4.4. Campo eléctrico que produce un conductor rectilíneo e indefinido
5. Estudio energético del campo eléctrico
5.1. Energía potencial eléctrica de un sistema formado por varias cargas puntuales
5.2. Potencial del campo eléctrico en un punto. Relación con la Energía potencial
5.3. Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
6. Movimiento de cargas en el seno de un campo eléctrico uniforme. Aplicaciones
7. Analogías y diferencias entre el campo eléctrico y el gravitatorio
7. CAMPO MAGNÉTICO
1. Revisión de los fenómenos magnéticos
2. Aproximación cualitativa al concepto de campo magnético
3. La experiencia de Oersted y las líneas de investigación que sugirió
4. Operativización del concepto de campo magnético. Cálculo del campo magnético creado por algunas
distribuciones de corriente eléctrica
4.1 Campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida. Ley de Biot y Savart
4.2. Concepto de flujo magnético
4.3 Campo magnético creado por una espira y por un solenoide.
4.4. Relación entre la intensidad de corriente eléctrica que pasa por un hilo y el campo magnético creado por
ella. Ley de Ampere
5. Explicación del magnetismo natural
6. Acciones entre cargas móviles y campos magnéticos
6.1 Fuerza magnética sobre una carga móvil (fuerza de Lorentz). El espectrógrafo de masas y el ciclotrón.
6.2 Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica rectilínea e indefinida. Ley de Laplace
6.3. Fuerza magnética sobre una espira. Instrumentos para medir la corriente.
6.4 Interacciones entre corrientes. Definición de amperio
7. Analogías y diferencias entre campo eléctrico y magnético
8. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. SÍNTESIS DE MAXWELL
1. ¿Cómo generar una corriente eléctrica en un conductor a partir de un campo magnético? concepto
de inducción electromagnética
2. Determinación del sentido de la corriente inducida. ley de Lenz y ley de Faraday
3. Estudio cuantitativo de la inducción y de sus aplicaciones
3.1. Corriente inducida modificando la superficie limitada por el conductor
3.2. Corriente inducida por un campo magnético variable
3.3 Corriente inducida mediante el movimiento relativo de inductor e inducido. Alternadores y dinamos.
4. El transporte de la corriente alterna. Transformadores
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5. El fenómeno de la autoinducción
6. Teoría electromagnética de Maxwell
6.1 Síntesis de los fenómenos eléctricos y magnéticos. El campo electromagnético.
6.2 Predicción de la radiación electromagnética.
6.3 Comprobación experimental de la emisión y recepción de la radiación electromagnética. Espectro de ondas electromagnéticas
7. Impacto medioambiental de la energía eléctrica
9. RELATIVIDAD
1. La mecánica de newton y la relatividad. principio de relatividad de Galileo
1.1 Equivalencia entre el reposo y el movimiento rectilíneo y uniforme
1.2 Transformaciones de Galileo
1.3. Conceptos de espacio y de tiempo de la física clásica
2. Predicciones de la Teoría Electromagnética y experimento de Michelson y Morley
2.1 Las predicciones de la teoría electromagnética y la relatividad
2.2 El experimento de Michelson y Morley
3. El surgimiento de la teoría de la relatividad especial
3.1 Crítica a los conceptos de espacio y tiempo absolutos
3.2 Postulados de la relatividad especial
4. Consecuencias del carácter absoluto de la velocidad de la luz
4.1. Es imposible que un cuerpo se mueva a una velocidad igual o superior a la de la luz (la velocidad de
la luz es un límite superior de velocidades)
4.2. El intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del estado de movimiento de quien lo mida (el
tiempo también es relativo)
4.3. La longitud o distancia entre dos puntos depende del sistema de referencia.
4.4 El espacio y el tiempo tienen una relación de dependencia mutua (la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son dos vertientes de un mismo hecho).
5. Relación entre cambio de masa y cambio de energía
6. La teoría especial de la relatividad y el "sentido común"
7. Introducción a la relatividad general
7.1 El principio de equivalencia
7.2 Propagación de la luz en el seno de un campo gravitatorio
10. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA
1. Efecto fotoeléctrico
1.1. Interpretación clásica del efecto fotoeléctrico
1.2. Corriente de saturación y potencial de frenado
1.3. Determinación de la energía cinética máxima con que salen los electrones
1.4. Predicciones sobre el efecto fotoeléctrico, basadas en el carácter ondulatorio de la luz
1.5. Resultados experimentales obtenidos al estudiar el efecto fotoeléctrico
1.6. Interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico. Concepto de fotón y cuantización de la energía
2. Confirmación de la capacidad explicativa del concepto de fotón. Espectros discontinuos y efecto
Compton
2.1. Explicación de los espectros discontinuos
2.2. El efecto Compton
3. La dualidad onda-corpúsculo
3.1. Hipótesis de De Broglie
3.2. Contrastación de la hipótesis de De Broglie
3.3. Interpretación de la doble naturaleza, ondulatoria y corpuscular, de la materia
4. El principio de incertidumbre de Heisenberg
5. La ecuación de ondas
6. Aplicaciones de la mecánica cuántica: El láser
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11. FÍSICA NUCLEAR
1. El descubrimiento de la radiactividad
2. Naturaleza de las emisiones radiactivas
3. ¿De donde provienen las emisiones radiactivas?
4. El descubrimiento de protones y neutrones
5. Interpretación de las transformaciones nucleares
6. ¿Qué le ocurre a una muestra radiactiva con el paso del tiempo?
6.1. Velocidad de desintegración y periodo de semidesintegración
6.2. Actividad de una muestra radiactiva
6.3. Determinación de la edad de un resto orgánico por el método de 14C
7. ¿Cómo podemos producir transmutaciones nucleares artificiales?
8. ¿Cómo es posible que los protones puedan estar dentro del núcleo siendo que tienen la misma
carga eléctrica y se repelen?
9. Defecto de masa, energía de enlace y estabilidad nuclear
9.1. ¿Cuánta energía “aprovechable” se puede obtener en una reacción nuclear?
9.2. Energía de enlace y estabilidad de los núcleos
10. Aprovechamiento de la energía nuclear. Fisión y fusión
10.1. Las reacciones nucleares de fisión
10.2. Las reacciones nucleares de fusión
11. Algunas aplicaciones de la radiactividad
12. Introducción al estudio cualitativo de las partículas subatómicas
12.1. El descubrimiento del neutrino
12.2. Las antipartículas
12.3. ¿Cómo se ejercen las fuerzas entre partículas?
12.4. ¿De dónde salen tantas partículas? Los quarks y la materia prima del universo
12.5. Una pregunta y un modelo de universo ¿Tienen masa los neutrinos?
Los autores somos conscientes de la enorme dificultad que supone impartir todos los contenidos anteriores
en el horario lectivo de un curso académico. Por este motivo hemos procurado limitarnos a desarrollar los
contenidos oficiales y en las escasas ocasiones que por alguna razón hemos estimado conveniente ampliarlos, se ha advertido expresamente, quedando a criterio del profesor el desarrollarlos o no.
En el libro hemos intentado favorecer una metodología activa, planteando cuestiones y problemas de interés (en cursiva) con el fin de que los estudiantes puedan reflexionar sobre ello antes de seguir leyendo. De
esta forma pensamos que se favorece el aprendizaje al versar éste sobre aspectos que se han planteado
previamente como problemas o interrogantes más o menos abiertas. Por tanto, una condición necesaria
para sacar un mayor provecho del texto es leer con atención, reflexionar sobre los problemas que se plantean, tratar de contestar o avanzar respuestas y luego seguir leyendo para cotejar lo que se ha hecho con la
información que se da siempre en el texto. Ciertamente esta forma de trabajo exige un esfuerzo (especialmente a quienes no tienen costumbre de leer y tratar de entender lo que está escrito) pero estamos convencidos de que si se realiza, es gratificante y se obtienen mejores resultados.
Las cuestiones y problemas complementarios que se proponen al final de cada capítulo se han ordenado
siguiendo el propio desarrollo del tema. Por tanto los estudiantes pueden ir haciéndolos progresivamente
conforme se vayan trabajando los conocimientos necesarios o bien al final del capítulo como una especie
de revisión general del mismo.
Los autores hemos hecho el texto a partir de nuestra experiencia en el aula, tratando de incorporar algunos
de los aspectos más relevantes de la didáctica de las ciencias (introducción de conceptos e ideas alternativas, resolución de problemas como investigación, relaciones entre ciencia tecnología y sociedad, etc) de
una manera funcional. Somos conscientes de que será necesario seguir trabajando cada curso en el libro
para continuar mejorándolo. Para ello contamos con la inestimable ayuda de muchos colegas y de nuestros
propios alumnos que con sus comentarios y sugerencias colaboran también en este proyecto.
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A. EL TRIUNFO DE LA MECÁNICA CLÁSICA
Durante la edad media Tomás de Aquino unió parte de la filosofía griega con la teología cristiana en
una única filosofía que tenía sus raíces en algunos de los trabajos de Aristóteles. Posiblemente una
de las razones para esa unión es que la visión del mundo que tenía Aristóteles se interpretaba como
un apoyo a las sagradas escrituras. En cuanto a los aspectos físicos, lo esencial de esa visión se puede resumir en la existencia de una neta línea divisoria entre la Tierra junto con los objetos situados
en ella y el mundo de los astros (Luna, Sol, estrellas y planetas conocidos).
Toda la materia terrestre se suponía formada por dos elementos pesados (tierra y agua) y otros
dos ligeros (aire y fuego). Cada uno de ellos tenía un lugar natural, el más bajo (centro del planeta) correspondía a la tierra, luego estaba el agua en la superficie, después el aire y finalmente, en
lo más alto, el fuego. El estado natural de cualquier elemento era el reposo en su lugar natural, la
materia estaba (como la sociedad) jerarquizada, y cada objeto, según la proporción que tuviera de
los distintos elementos, tendía con mayor o menor rapidez a moverse espontáneamente hacia su
lugar natural. Sin embargo, los astros estaban formados por una materia especial (la quinta esencia), transparente, incorruptible y sin peso, su estado natural era un movimiento circular eterno
alrededor de la Tierra que se encontraba inmóvil ocupando el centro del Universo. Esta separación entre Cielo y Tierra es un ejemplo de barrera histórica contra una visión unitaria de la materia que forma el Universo, análogamente a la barrera entre persona y animal (derribada por el
evolucionismo) o entre materia inorgánica y orgánica. La superación de las mismas presentó serias dificultades debido en gran parte a sus implicaciones religiosas, sociales e ideológicas.
De acuerdo con la física de Aristóteles si la Luna gira alrededor de la Tierra es porque ese es precisamente su estado natural, mientras que si una piedra situada a cierta altura cae hacia el suelo
cuando se suelta es porque al contener una elevada proporción del elemento tierra tiene tendencia
a moverse hacia la Tierra y quedarse allí en reposo o si el humo se eleva es porque gana elemento
fuego y el lugar natural de este último es arriba del todo. En la época de Newton (finales del siglo
XVII) la Teoría Heliocéntrica de Copérnico (la Tierra y el resto de los planetas son los que giran
en torno al Sol) se enseñaba ya en algunas universidades, Galileo con su telescopio había descubierto montañas y valles en la Luna y también que el planeta Júpiter tenía lunas orbitando a su
alrededor. Todo ello ya había hecho tambalearse el antiguo sistema, pero fue sin duda la Teoría
de Newton de la Gravitación Universal la que supuso una síntesis entre dos mundos hasta entonces distintos. La idea básica de esta teoría es que todos los cuerpos del universo se ejercen
entre sí fuerzas de atracción. La naturaleza de dichas fuerzas es la misma para los objetos terrestres que para los celestes. La fuerza que hace que un proyectil lanzado desde una torre caiga al
suelo, es la misma que la que mantiene a la Luna girando alrededor de la Tierra.
Las leyes de Newton sobre el movimiento de los cuerpos se aplicaron a situaciones muy diversas,
no solo en el mundo macroscópico (lanzamiento de proyectiles, movimiento de los astros, fluidos, etc.) sino también en el mundo microscópico estudiando el movimiento y las interacciones
de átomos y moléculas (presión de los gases, producción y propagación del sonido, etc.). De esta
forma se fue desarrollando un gran cuerpo de conocimientos científicos (lo que hoy denominamos como mecánica clásica), capaz de integrar dentro del mismo incluso a los fenómenos caloríficos, dando lugar a la termodinámica.
El curso anterior comenzamos ya a estudiar algunos temas de mecánica. En este completaremos
dicho estudio profundizando en la Teoría de la Gravitación Universal y comprobando cómo el
movimiento ondulatorio también se integró dentro de la mecánica clásica.
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Las leyes de la mecánica clásica se mostraron también útiles para el estudio de muchos fenómenos eléctricos llegándose (a finales del siglo XIX) en la Teoría Electromagnética a enlazarse la
óptica, la electricidad y el magnetismo.
El desarrollo de la mecánica, con la introducción de conceptos como fuerza, masa inercial y gravitacional, cantidad de movimiento, etc. y las relaciones entre los mismos; la idea de la materia
como compuesta de partículas en continuo movimiento en un espacio infinito lleno de una sustancia muy especial llamada “éter”; la percepción del espacio como un sistema de referencia en
reposo absoluto en una escala temporal también absoluta (independientes de los cuerpos y de sus
interacciones), dio lugar a una imagen mecanicista del Universo, que cabría calificar como determinista: En efecto, la posición y estado de movimiento de cualquier cuerpo en un instante dado, vienen predeterminadas por las que presentaba en otro instante anterior y por la fuerza resultante sufrida por dicho cuerpo (debida a sus interacciones con otros) durante el intervalo de tiempo transcurrido entre ambos instantes. Como señalaba Laplace:
“Un intelecto que en un instante dado conociese todas las fuerzas que actúan en la naturaleza y la posición
de todas las cosas de que se compone el mundo (y fuera capaz de analizar todos esos datos), abarcaría en
la misma fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los de los átomos más pequeños. Para él, no sería nada incierto y el futuro, lo mismo que el pasado, sería presente a sus ojos”
Así pues, para el mecanicismo que se desarrolló a raíz del triunfo de la mecánica clásica (cuyas
bases fueron las leyes de Newton sobre el movimiento de los cuerpos), no había novedad en el
universo; cualquier estado presente puede derivarse del estado pasado. Los éxitos obtenidos en la
resolución de problemas dinámicos de todo tipo, hicieron que esta concepción mecanicista del
mundo se extendiese incluso a situaciones más complejas (como los propios seres vivos) en las
que se suponía también válida.
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1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
La interacción gravitatoria tiene una gran influencia en el movimiento de los cuerpos, tanto de los
que se encuentran en la Tierra o sus proximidades como los que se hallan en el espacio (planetas,
estrellas, cometas, etc). El lanzamiento de proyectiles, fenómenos atmosféricos como la lluvia, el
movimiento de las aguas de los ríos hacia el mar, la colocación de satélites en órbita, el desplazamiento de los astros en el espacio, etc, son ejemplos en los que la interacción gravitatoria tiene
un papel fundamental.
La propiedad gravitatoria se puede considerar en cierto modo como un principio unificador universal, que gobierna el movimiento de toda la materia. Sin embargo llegar a esta conclusión no ha
sido un proceso fácil.
1. LOS ORÍGENES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El establecimiento de la Teoría de la Gravitación Universal supuso la culminación de un proceso
de unificación en el que las leyes de la mecánica se generalizaron a todo el Universo y se derribó
la barrera que separaba el mundo terrestre del celeste.
1.1. El Universo según los antiguos griegos
El filósofo griego Aristóteles, 300 años antes de nuestra era, pensaba que las estrellas se encontraban todas encastradas en una gran esfera celeste que giraba alrededor de una Tierra inmóvil
situada en su centro, dando una vuelta entera cada día en dirección de Este a Oeste. Fuera de esa
gran esfera celeste estaba el "Primer Móvil" que la hacía girar con ritmo regular y dentro, había
una serie de esferas concéntricas que contenían a los planetas, el Sol y la Luna, de forma que el
movimiento de la esfera estrellada se transmitía a las interiores.
Esta concepción geocéntrica de Aristóteles estaba enmarcada dentro de un modelo del Cosmos en
el que éste se dividía en dos mundos de distinta naturaleza y propiedades. La esfera que contenía
a la Luna separaba al mundo celeste (más allá de la Luna) del terrestre (de la Luna a la Tierra).
El mundo celeste era incorruptible, eterno y perfecto, formado por una materia especial (llamada
quinta esencia) que era ligera, transparente e inmutable. Su estado natural era el movimiento de
rotación constante alrededor de la Tierra. Cada planeta y cada estrella giraban pues alrededor de
la Tierra con movimiento circular y uniforme. Dicho movimiento se consideraba perfecto, sin
principio ni fin.
En cambio, el mundo terrestre o sublunar era imperfecto y
perecedero. En él la materia estaba formada por cuatro elementos básicos (tierra, agua, aire y fuego) cada uno de los
cuales tenía asignado un lugar natural; el más bajo (centro del
planeta) correspondía a la tierra, luego estaba el agua en la
superficie, después el aire y finalmente, en lo más alto, el
fuego. El estado natural de cualquier elemento era el reposo
en su lugar correspondiente, la materia pues, estaba (como la
sociedad) jerarquizada y cada objeto, según la proporción que
tuviera de los distintos elementos, tendía con mayor o menor
rapidez a moverse espontáneamente hacia su lugar propio.
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¿Qué observaciones de los astros parecen apoyar la concepción geocéntrica?
En primer lugar, nosotros no percibimos que la Tierra se mueva en el espacio, por el contrario,
nos parece fija y estable. Además, cada día vemos que el Sol sale de un punto situado por el este
y se pone por el oeste. Análogamente ocurre con la Luna. Finalmente, las estrellas parecen encontrarse todas sobre un mismo fondo o bóveda celeste que gira alrededor de un eje Norte-Sur en el
que se encuentra la estrella Polar.
No obstante, había algunos hechos que no encajaban bien dentro de
este esquema. Uno de ellos era la complicada trayectoria seguida por
algunos astros especiales cuyas posiciones respecto a las estrellas
fijas cambiaba con el tiempo y a los que se llamó planetas (palabra
que en griego quería decir errantes). A veces incluso, estos cambiaban de dirección y sufrían retrocesos. Además, su brillo no era siempre el mismo. En la figura adjunta se puede ver una parte de la trayectoria que el planeta Marte parece describir (sobre el fondo de las
estrellas) cuando se observa desde la Tierra.
¿Con qué postulados de la Cosmología de Aristóteles entraban en contradicción los hechos
anteriores?
De acuerdo con el modelo Aristotélico del Cosmos, los cuerpos celestes sólo pueden tener movimientos perfectos (circulares) y la materia celeste es inmutable (y un cambio de brillo supone
algún tipo de transformación o una variación en la distancia a la Tierra).
¿Cómo podría justificarse, sin cambiar esencialmente el modelo (y por tanto el movimiento
circular) que desde una Tierra inmóvil se viese la trayectoria de un planeta como no circular y
que en algún punto presente, incluso, un movimiento retrógrado? ¿Y el diferente brillo?
Una posibilidad es suponer que el planeta tiene un movimiento circular alrededor de un punto
cercano al mismo a la vez que se va moviendo en torno a la Tierra. Sería como si en la llanta de
una rueda de una bicicleta que circula con rapidez constante y de noche, fijásemos una luz y desde lejos observáramos el movimiento de dicha luz. Un cuidadoso análisis de las figuras siguientes
nos permite comprender la trayectoria que a nuestros ojos describiría el punto luminoso.
1
2
3
4
5
6
7
1
9
9
2
8
3
7
4
6
5
12
8
La primera de las figuras corresponde a una serie de fotografías de la rueda, realizadas cada vez
que ésta ha dado un octavo de vuelta (se han numerado sólo las 9 primeras). En la segunda se ha
unido mediante una línea continua las posiciones del punto luminoso correspondientes a cada
instantánea. Esa línea nos indica la trayectoria que parecería describir dicho punto. Como puede
verse hay zonas en las que éste parece retroceder.
El planeta sería equivalente al
punto luminoso del ejemplo. Los
pequeños círculos se llamaron
"epiciclos" y la circunferencia
grande o trayectoria seguida por
el centro de los epiciclos en
torno a la Tierra recibió el nombre de "deferente".
En cuanto a las variaciones de brillo, podría pensarse en un movimiento excéntrico, es decir, en
que realmente la Tierra inmóvil no estuviera colocada exactamente en el centro de rotación del
planeta en cuestión, con lo que unas veces el planeta estaría más cerca (y brillaría más) y otras
más lejos (y brillaría menos).
Mediante modificaciones como las que acabamos de comentar y otras similares, Ptolomeo de
Alejandría, en el siglo II antes de nuestra era, elaboró un detallado sistema geocéntrico que posteriormente fue traducido y difundido por Europa por los árabes en una recopilación llamada Almagesto. Las características esenciales de este sistema eran:
El Cielo es de forma esférica y tiene movimiento de rotación en torno a la Tierra
La Tierra también es esférica
La Tierra está situada en el centro del Cielo
La Tierra es como un punto si la comparamos con el tamaño de la esfera celeste
La Tierra no participa en ningún movimiento, es decir, se encuentra en reposo absoluto.
El modelo geocéntrico de Ptolomeo fue útil a navegantes y astrónomos durante más de 14 siglos.
Su éxito se debió fundamentalmente a que daba una descripción bastante precisa de lo que se
podía observar con los instrumentos de entonces. Además cuando fue introducido en Europa, fue
adoptado por la Iglesia Católica ya que era coherente con sus dogmas.
1.2. La Teoría Heliocéntrica de Copérnico
Nicolás Copérnico fue contemporáneo de Cristóbal Colón. Nació en Polonia (1473-1543) y vivió
en un periodo histórico lleno de cambios culturales que, sin duda, influyeron en su atrevimiento
de enfrentarse a la teoría geocéntrica vigente, asociada, como ya hemos señalado, a profundas
creencias religiosas y sociales en el mundo occidental de aquella época (hasta el punto de que
cualquier crítica a dicha teoría se interpretaba como un ataque a las sagradas escrituras).
Para Copérnico el movimiento de los astros debía ser circular y uniforme pero con centro en el
Sol y no en la Tierra. Pensaba que de esta forma podía construirse un sistema de círculos más
razonable, en el que todos los planetas, incluyendo a la Tierra, se movían con movimiento circular y uniforme alrededor del Sol. Las estrellas estaban inmóviles y lejísimos. La Tierra, además
de girar alrededor del Sol, lo hacía sobre sí misma dando una vuelta sobre su eje N-S cada 24
horas.
13
Copérnico era consciente de las grandes dificultades que implicaba la aceptación de sus ideas. En
su libro "Revoluciones" escribió:
"Las ideas aquí establecidas son muy difíciles, casi imposibles, de aceptar; están en total contradicción con
las creencias populares, pero, con la ayuda de Dios, pondré todo más claro que el día, al menos para aquellos que no ignoran las matemáticas ... "
Sugerid posibles argumentos que pudieron emplearse en contra de la Teoría Heliocéntrica y
tratad de invalidarlos.
Entre las objeciones que se pusieron a la Teoría Heliocéntrica podemos citar las siguientes:
Lo que se observa es que el Sol sale por el Este y se pone por le Oeste, sin que se note ningún
movimiento de la Tierra.
Si la Tierra girase a gran velocidad alrededor de su propio eje (hoy sabemos que los cuerpos
situados en el ecuador giran alrededor del eje terrestre a más de 1500 km/h) provocaría que los
pájaros y las nubes se quedarían atrás y además el planeta se pondría incandescente debido al
rozamiento con la atmósfera.
Si la Tierra girase a gran velocidad alrededor del Sol (hoy sabemos que se traslada en torno a
éste a más de 100 000 km/h) al dejar caer una piedra desde lo alto de una torre debería caer mucho más atrás ya que, mientras la piedra se encontrara cayendo, la torre (sujeta a la Tierra) avanzaría rápidamente.
Si la Tierra se moviera alrededor del Sol, habría
puntos en su largo recorrido desde los que se vería
a una determinada estrella en una posición relativa
diferente respecto al fondo de estrellas más alejadas, tal y como se muestra en el esquema adjunto
(no a escala). Sin embargo este fenómeno (llamado
"paralaje") realmente no se observaba y cualquier
estrella parecía estar siempre en la misma posición
relativa respecto al fondo de estrellas.
Estrellas
Sol
Se decía también que debía hacer falta una fuerza colosal para mover la Tierra (grande y pesada) alrededor del Sol.
En la actualidad sabemos responder a las objeciones anteriores. Así, el movimiento aparente del
Sol y de las estrellas (de Este a Oeste) se debe a que es en realidad la propia Tierra la que gira de
Oeste a Este. Por otra parte, la atmósfera permanece ligada a la Tierra y gira solidariamente con
ella por lo que no tiene sentido pensar en fuerzas de fricción. Los objetos que se dejan caer desde
una cierta altura no caen retrasados porque llevan en todo momento el mismo movimiento de
traslación de la Tierra, es lo mismo que ocurre cuando el pasajero de un tren de gran velocidad da
un salto hacia arriba en medio del pasillo, si el tren no acelera, cae siempre en el mismo sitio porque cuando va por el aire no pierde la velocidad horizontal que llevaba (la misma que el tren).
Finalmente, la falta de paralaje al observar las estrellas fijas, se podría interpretar suponiendo que
éstas se hallan a enormes distancias de la Tierra (muchísimo mayores que el diámetro de la órbita
terrestre) lo que hacía imposible apreciar ningún fenómeno de paralaje con los instrumentos de la
época.
14
Tierra
El propio Copérnico utilizó algunos razonamientos similares a los anteriores para defender su
Teoría. Sin embargo, lo cierto es que, había también otro tipo de objeciones, que podían resumirse en que aceptar la Teoría Heliocéntrica suponía rechazar toda una visión del mundo, desplazar a
la humanidad de su posición central, privilegiada, en el centro del Universo. Además, el hecho de
que la estrellas se encontraran a una distancia prácticamente infinita de la Tierra producía una
gran inquietud en una sociedad dominada por fuertes creencias religiosas en la que resultaba poco
confortable tener el infierno tan cerca (en el interior de la Tierra) y el Cielo tan lejos.
La iglesia estaba pues frontalmente en contra de la Teoría Heliocéntrica, la consideraba opuesta a
las sagradas escrituras (por ejemplo, se argumentaba que Josué en la conquista de la ciudad de
Jericó, tal y como se describe en la Biblia, mandó detenerse al Sol y no a la Tierra). Lutero acusó
a Copérnico de hereje y la propia Iglesia Católica incluyó su libro en el Índice de libros prohibidos. Todo ello justifica que, aunque muchos astrónomos comenzaron a utilizar el nuevo sistema
por su mayor simplicidad de cálculo, pasara más de un siglo desde que se publicó en la primera
mitad del siglo XVI hasta que tuvo una aceptación general por la comunidad científica.
1.3. Las leyes de Kepler
Kepler (1571-1630) fue un astrónomo alemán partidario de la Teoría Heliocéntrica de Copérnico.
Parte de su trabajo se basó en el análisis de gran cantidad de datos astronómicos sobre los movimientos de los planetas, mejores de los que utilizó el propio Copérnico. Dichos datos habían sido
recopilados por su maestro Tycho Brae, el cual era un magnifico experimentador y realizó medidas astronómicas sobre la posición de los planetas mucho más precisas que Copérnico. A la
muerte de Tycho, Kepler se hizo con sus datos astronómicos y los publicó en un libro llamado
"Las tablas Rudolfinas de Tycho".
Kepler, en el curso de sus investigaciones se encontró con que no podía ajustar los datos que tenía
sobre la órbita de Marte al sistema Heliocéntrico. Después de varios intentos de cambios en la
Teoría de Copérnico para hacerla aplicable a las nuevas observaciones, acabó por rechazar la idea
de órbita circular de un planeta alrededor del Sol y sustituirla por la de órbita elíptica con el Sol
ocupando uno de los focos de la elipse. De hecho esta idea constituye la denominada primera ley
de Kepler según la cual:
1. Todos los planetas describen órbitas elípticas planas con el Sol ocupando uno de sus focos.
La ley anterior permitía eliminar todos los epiciclos y excéntricos dando una representación mucho más sencilla del sistema solar. Kepler estableció también dos leyes más:
2. Si imaginamos una recta trazada desde el Sol a uno de sus planetas podemos afirmar
que el área barrida por dicha recta en un tiempo dado, es la misma, independientemente
de la zona de la órbita en la que el planeta se encuentre. O lo que es equivalente: la velocidad areolar de un planeta en torno al Sol, es constante.
Una consecuencia de la ley anterior es que un planeta, por ejemplo la Tierra, se moverá más rápido en el perihelio (punto de la órbita más cercano al Sol) que en el afelio (punto de la órbita más
alejado del Sol) porque en el primero, al haber un radio menor, tendrá que cubrir más distancia
para barrer (en un tiempo dado) la misma área que en el segundo.
15
Perihelio
Afelio
3. Si "T" es el tiempo que emplea un planeta cualquiera en dar una vuelta completa en
torno al Sol (periodo de revolución) y "r" el radio medio de la órbita, se cumple que el cuadrado del periodo de revolución es directamente proporcional al cubo del radio medio.
Es decir: T2 = C· r3 siendo C una constante de proporcionalidad igual para cualquier planeta.
De acuerdo con la ley anterior, los planetas más alejados tendrán un periodo de revolución mayor
que los planetas más cercanos al Sol.
1.4. Algunas aportaciones de Galileo a la nueva astronomía.
Galileo (1564-1642) fue amigo de Kepler y como él, firme partidario de la Teoría Heliocéntrica.
Fue Galileo el primero en utilizar el telescopio para realizar observaciones sistemáticas de los
astros y aunque el no inventó dicho instrumento, sí que le incorporó notables mejoras técnicas.
Con él hizo varios descubrimientos importantes:
Observó que el planeta Júpiter poseía cuatro lunas que giraban a su alrededor. Con ello se
mostraba que la Tierra no era el centro de rotación de todos los objetos del Universo (como mantenía la Teoría Geocéntrica).
Comprobó que en la Luna su superficie no era uniforme y esférica sino desigual, rugosa, con
montañas y valles como en la Tierra.
Galileo también comprobó que todos los cuerpos (en condiciones de rozamiento con el aire
despreciable) cuando se dejan caer desde una misma altura emplean el mismo tiempo en llegar al
suelo (independientemente de la masa que tengan). Este resultado estaba en contra de las ideas de
Aristóteles, ya que según éste, cuanto más elemento tierra tenga un cuerpo, tanto más rápidamente debe moverse hacia el centro del planeta (su lugar natural).
Los trabajos de Kepler y Galileo, supusieron un apoyo a la Teoría Heliocéntrica de Copérnico,
preparando así el camino a una explicación del movimiento planetario en la que se iban a usar las
mismas leyes que en la mecánica de los cuerpos terrestres (Teoría de la Gravitación Universal).
Dado que las trayectorias de los planetas son elipses de poca excentricidad, podemos considerarlas, en una primera aproximación, como prácticamente circulares, conviene que antes de estudiar
la Teoría de la Gravitación Universal, veamos brevemente algunas magnitudes importantes para
el estudio dinámico de los movimientos curvilíneos en general.
16
2. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN
Comenzaremos por revisar el significado físico de la magnitud que se introdujo en el curso anterior llamada cantidad de movimiento o más precisamente: cantidad de movimiento lineal de un
cuerpo o sistema que se traslada respecto de un punto dado O.
2.1. Cantidad de movimiento de traslación o cantidad de movimiento lineal
El curso anterior se introdujo una magnitud para medir la cantidad de movimiento y se definió
operativamente como:
p mv
En la fórmula anterior, p es la cantidad de movimiento de traslación (o cantidad de movimiento
lineal), m la masa del cuerpo que se traslada y v la velocidad con que lo hace.
¿Qué interés tiene introducir esta magnitud?
Consideremos, a modo de ejemplo, lo que le ocurre a un bloque que se encuentra inicialmente en
reposo sobre un plano horizontal, cuando le disparamos con una proyectil en dirección tangente
al plano. Si el proyectil queda incrustado en el bloque veremos que el conjunto comienza a desplazarse a lo largo del plano con una cierta velocidad. ¿De qué dependerá esa velocidad con que
sale el sistema formado por el bloque y proyectil?
Podemos comprobar que cuanto mayor sea la velocidad del proyectil en el momento del impacto
contra el bloque, mayor será también la velocidad con que sale el conjunto. Sin embargo, si mantenemos constante la velocidad con que el proyectil llega al bloque pero vamos utilizando proyectiles de masa cada vez mayor, también podemos conseguir lo mismo. Luego nos convendrá introducir una magnitud como la cantidad de movimiento, de la cual dependerá el efecto producido.
v
p
m
La cantidad de movimiento del proyectil antes del choque con el bloque será pues
p m v (mientras que la del bloque, en reposo sobre la superficie, será 0). La cantidad de movimiento lineal se mide en kg·m/s y es una magnitud vectorial que siempre tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.
¿Qué se necesita para que la cantidad de movimiento lineal de un cuerpo cambie?
Para que la cantidad de movimiento de un cuerpo cambie, es preciso que sobre él se ejerza una
fuerza resultante. Cuanto más rápidamente esté cambiando la cantidad de movimiento, mayor
será la fuerza resultante que está actuando. Desde este punto de vista, podemos considerar a la
fuerza resultante sobre un cuerpo o sistema como una magnitud que mide lo deprisa que, en un
instante dado, está cambiando la cantidad de movimiento de éste. Como sabemos esto se puede
expresar como:
dp
F
dt
17
Si la cantidad de movimiento p no cambia en nada (ni en módulo ni dirección o sentido), la fuer
za resultante F es nula y viceversa: si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo o sistema
dado es nula, su cantidad de movimiento ha de permanecer constante (se conserva).
Comprobad cómo la expresión anterior se convierte en la ya conocida F m a si sustitui
mos la cantidad de movimiento de traslación p por m v y derivamos (suponiendo que la masa
permanece constante).
No obstante, existen otras situaciones en las que la cantidad de movimiento lineal p resulta insuficiente, lo que conduce a definir otra magnitud llamada "cantidad de movimiento angular" (o
también "momento cinético" o "momento angular"). El siguiente ejemplo nos permitirá comprender el significado de esta magnitud.
2.2. Cantidad de movimiento angular
Consideremos de nuevo el impacto de un proyectil
pero esta vez sobre una barra situada verticalmente y
atravesada por un eje fijo alrededor del cual puede
girar libremente, tal y como se propone en la figura. Es
evidente que tras el impacto el sistema formado por la
barra y el proyectil girará y que la velocidad con que
comienza a hacerlo dependerá de la cantidad de movimiento que lleva el proyectil en el momento en que
choca contra la barra, pero ¿sólo de ella?
p
Analizad las distintas opciones de la figura e indicad qué proyectil producirá mayor velocidad
de giro tras el impacto (la cantidad de movimiento lineal es la misma en los tres casos).
d 1 d2 d3
1
2
3
Si realizáramos la experiencia propuesta veríamos que
la velocidad de giro con que sale el conjunto formado
por la barra y el proyectil es mayor en el caso del proyectil (3) que en el (2) y en éste mayor que en el (1),
es decir, el efecto producido por el proyectil es más
intenso cuanto mayor es el producto d · p siendo "p"
el módulo de la cantidad de movimiento y "d" la distancia más corta entre el punto de giro de la barra
y la línea de acción del proyectil.
Luego nos convendrá introducir una nueva magnitud, de la cual dependerá el efecto producido.
En el ejemplo anterior todos los proyectiles se han disparado de forma que inciden perpendicularmente a la barra. Podemos plantearnos cuál sería el resultado si esto no fuera así.
En las figuras siguientes se han representado tres disparos. En los tres casos el módulo de la cantidad de movimiento lineal del proyectil es el mismo ("p") así como el punto de la barra en el que
se produce el impacto. Lo que varía es únicamente la dirección en que se produce el disparo (dada por el ángulo ).
18
d1
O
r
p1
O
(180-1)
O
p2
d2
r
r
d3
(180-3) p3
(180-2)
1
3
2
r
r
r
Si se hicieran los disparos que se proponen en las figuras anteriores se podría comprobar que la
velocidad de giro tras el impacto va aumentando conforme el ángulo se va aproximando a 90º.
Dicho ángulo es el existente entre los vectores r y p cuando hacemos coincidir el origen de
ambos. Es fácil darse cuenta de que si el ángulo valiese 180º (o 0º) no se produciría ningún giro
y que, en cambio, el efecto de giro conseguido sería máximo para = 90º. Ello equivale a admitir
que dicho efecto depende, aquí también, del producto d · p . (En las figuras se ve que cómo dicho producto va aumentando al ir aumentando la distancia d desde la primera a la tercera).
Si tomamos como origen de un sistema de referencia cartesiano el punto O situado en el eje de
giro de la barra y tenemos en cuenta que por ser ángulos suplementarios sen (180- ) = sen ,
podemos escribir que: d · p = r sen · p. Sin embargo esto no es otra cosa que el módulo del
producto vectorial r x p .
Si llamamos L al vector producto vectorial de r x p habremos definido una nueva magnitud de
la cual dependerá la intensidad del efecto de giro que estamos analizando. Dicha magnitud se
denomina cantidad de movimiento angular respecto de un punto (y también momento cinético o
momento angular). Se mide en kg·m2/s.
Así pues: L r x p r x mv
L r m v sen
y
La representación del vector L se realiza teniendo en cuenta su carácter de producto vectorial tal
y como se muestra en los ejemplos siguientes en los que se ha representado la cantidad de movimiento angular de una partícula respecto de un punto O en distintas situaciones (siguiendo las
normas del producto vectorial).
L
O
r
r
p
O
r
p
O
x
r
p
r
L= 0
L
19
De acuerdo con la expresión de la cantidad de movimiento angular, vemos que su módulo se relaciona con la cantidad de movimiento lineal y con la distancia r al punto O. Conviene darse
cuenta de que cuando r y p sean perpendiculares (a igualdad de los restantes factores) la cantidad de movimiento angular tomará su valor máximo. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la partícula describe un movimiento circular en torno a O.
En el tercer caso, al formar un ángulo de 0º el vector r con el vector p , la cantidad de movimiento angular de la partícula respecto del punto O es nula. Ello puede interpretarse también como que en la situación descrita, al estar el punto O sobre la recta en la que se realiza el desplazamiento, la partícula no tiene ninguna posibilidad de giro respecto de O.
Hemos visto en la dinámica de traslación que el agente causante del cambio en la cantidad de
movimiento con que se traslada un cuerpo o sistema es la fuerza resultante que actúa sobre el
mismo. Vamos ahora a estudiar qué magnitud tendrá un papel similar en la dinámica de la rotación.
2.3. ¿Qué hace falta para que cambie la cantidad de movimiento angular? Principio de conservación de la cantidad de movimiento angular
Sabemos que el agente causante de que un cuerpo que se traslada respecto de un punto cambie de
velocidad, es la fuerza resultante que actúe sobre él. Es decir, toda aceleración a se debe a la
acción de una fuerza resultante F . Cuando se trata de un cuerpo que tiene un movimiento de giro
respecto de un eje (por ejemplo una puerta), para que cambie su movimiento de rotación, es decir,
para que exista una aceleración angular, se precisa la acción de un momento resultante M que,
según se vio en el anexo sobre cálculo vectorial, viene dado por M r x F . Por tanto: el momento resultante respecto de un punto juega en la rotación un papel equivalente a la fuerza resultante en la traslación.
Si para que cambie la cantidad de movimiento de traslación p de un cuerpo dado se precisa
la acción de una fuerza resultante F sobre el mismo ¿Qué hará falta para que cambie la cantidad de movimiento angular? Proponed una forma de comprobarlo.
De acuerdo con el paralelismo existente entre las distintas magnitudes utilizadas para estudiar la
traslación y la rotación, cabe esperar que para cambiar la cantidad de movimiento angular de un
cuerpo o sistema respecto de un punto dado O, se precise la acción de un momento resultante.
Siguiendo con el paralelismo citado, al igual que F
dL d (r x p) dr dp
En efecto:
x pr x
v
dt
dt
dt
dt
dL
dp
se debería cumplir que M
dt
dt
x pr xF
Como los vectores v y p tienen siempre la misma dirección y sentido, su producto vectorial será
0, de modo que:
dL
r x F M . Es decir:
dt
20
dL
M
dt
La expresión anterior se conoce como ecuación fundamental de la dinámica de la rotación y establece que para conseguir que la cantidad de movimiento angular de un cuerpo o sistema cambie
es necesario que sobre él actúe un momento resultante distinto de 0.
L
p = mv
O
r
En la figura de la izquierda el momento de
la fuerza representada respecto del punto O,
hace que la cantidad de movimiento angular
de la partícula respecto de ese mismo punto
vaya disminuyendo.
r
F
M
En la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación se halla también implícito el principio
de conservación de la cantidad de movimiento angular ya que, como puede verse, si el momento
M resultante fuera 0, ello supondría que la cantidad de movimiento angular total del sistema
considerado sería constante, es decir, no cambiaría ni en módulo ni en dirección ni sentido.
Vamos a continuación a establecer en qué condiciones el momento resultante puede ser 0 y, consecuentemente, conservarse la cantidad de movimiento angular total de un cuerpo o sistema.
Dado que el momento viene dado por M r x F , su módulo se podrá obtener mediante la
expresión M r F sen . Si ni r ni F son 0 ¿qué debería ocurrir para que M lo fuera?
Como es lógico, el ángulo entre los vectores r y F debería valer 0º o 180º. De ese modo sen
sería 0 y, consecuentemente, el momento también lo sería. Este es el caso, por ejemplo, de un
cuerpo con movimiento circular y uniforme alrededor de un punto O. Como ya sabemos, en estas
condiciones debe existir sobre el cuerpo una fuerza resultante dirigida siempre hacia el centro
(fuerza centrípeta) responsable del cambio en dirección que experimenta continuamente el vector
velocidad. El módulo de la fuerza resultante vendrá dado aquí por Fn = m·an y como an = v2/r
podemos escribir que: Fn = m·v2/r.
L
O
F
p
r
Como se puede ver en el esquema anterior, los dos vectores r y F formarán siempre un ángulo
de 180º con lo que el momento resultante respecto de O será nulo y, consecuentemente, la cantidad de movimiento angular del cuerpo permanecerá constante (no variará ni en módulo ni en dirección ni sentido). En ese caso, la trayectoria que describe el cuerpo deberá estar siempre sobre
un único plano ya que al ser L un vector siempre perpendicular al plano formado por los vectores
r y p si dicho plano cambiase también lo haría la dirección de L .
21
3. LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Newton nació en Inglaterra (1642-1727) poco después de la muerte de Galileo. A pesar de los
grandes avances experimentados por la ciencia en la época de Galileo y Kepler (sobre todo en
mecánica y astronomía) todavía no se disponía de una interpretación unitaria para los movimientos de los objetos terrestres y celestes. Con el nacimiento de Newton se inició un periodo de crecimiento espectacular en las ciencias físicas. Se formaron sociedades científicas y los artesanos
empezaron a interesarse por aplicar nuevos descubrimientos a la mejora de sus métodos de fabricación y sus productos. Comenzó a aumentar el número de científicos trabajando en un mismo
campo y con la posibilidad de comunicarse entre sí.
3.1. El final de una barrera histórica
Recordemos que según la física de Aristóteles si la Luna gira alrededor de la Tierra con un movimiento circular y uniforme es porque ese es su estado natural, mientras que si una roca situada a
cierta altura cae hacia el suelo al quedar en libertad es porque, debido a la gran proporción del
elemento tierra que contiene, posee una tendencia natural a moverse hacia la Tierra y quedarse
allí en reposo o si el humo se eleva es porque gana elemento fuego y el lugar natural de este último es arriba del todo.
En la época de Newton (finales del siglo XVII) la Teoría Heliocéntrica de Copérnico se enseñaba
ya en algunas universidades, Galileo con su telescopio había descubierto montañas y valles en la
Luna y también que el planeta Júpiter tenía lunas dando vueltas a su alrededor. Todo ello ya había
hecho tambalearse a la Teoría Geocéntrica y a la concepción del Universo a la que estaba asociada. El establecimiento de la Ley de Newton de la Gravitación Universal fue lo que culminó el
proceso y vino a poner fin a la barrera que hasta entonces existía entre la Tierra y el Cielo (considerados como dos mundos totalmente diferentes formados por materia distinta y cada uno gobernado por sus propias leyes).
Newton, Halley, Hooke y otros estudiaron el problema de los movimientos de los cuerpos celestes
partiendo de las mismas leyes que se aplicaban a los objetos terrestres. Particularmente con la nueva
concepción de fuerza elaborada por Newton, el problema quedaba formulado en términos muy distintos que anteriormente. Según ésta si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna debe estar en reposo
o en movimiento rectilíneo y uniforme o, lo que es equivalente: cualquier cuerpo que no tenga un
movimiento rectilíneo y uniforme ha de estar sometido a la acción de una fuerza resultante, de modo
que si un planeta describe, aproximadamente, un movimiento circular uniforme alrededor del Sol, es
lógico, según Newton, plantearse qué fuerza debe estar actuando sobre dicho planeta para que describa esa trayectoria, para obligarle a cambiar continuamente la dirección de su velocidad. Análogamente ha de ocurrir con el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.
Indicad la dirección y sentido de la fuerza que debe actuar sobre La Luna para que describa
órbitas circulares con velocidad constante alrededor de La Tierra. Idem para un cuerpo que se deja
en libertad a una cierta altura sobre el suelo.
Para que la Luna describa un movimiento circular y uniforme alrededor de la Tierra ha de existir una
fuerza resultante sobre ella que obligue a la velocidad que lleva a cambiar continuamente de dirección sin que varíe su módulo (evitando así que se "escape"). Para ello, dicha fuerza resultante debe
ser perpendicular en todo momento a la velocidad y dirigida hacia el centro de la circunferencia descrita (fuerza centrípeta). Análogamente ocurre con un objeto que se deja en libertad a una cierta
altura. Siempre que el rozamiento con el aire se pueda considerar despreciable, dicho objeto cae cada
vez más aprisa. Su velocidad cambia continuamente de forma lineal de modo que su módulo va au22
mentando uniformemente permaneciendo constante su dirección y sentido, por lo que debe haber
una fuerza hacia abajo responsable de tal cambio en la velocidad, que llamamos fuerza peso. En la
figura siguiente hemos representado, de forma esquemática las situaciones descritas.
F
P
Si aplicamos la ecuación fundamental de la Dinámica a las dos situaciones anteriores, tenemos:
a t 0 Fres t 0
Para la Luna. Movimiento circular y uniforme:
v2
v2
cte Fres n m
cte
a n
r
r
De acuerdo con las ecuaciones anteriores debe existir una fuerza sobre la Luna constantemente dirigida hacia el centro de su trayectoria (el centro de la Tierra) y de módulo constante.
a t cte Fres t cte
Para el cuerpo. Movimiento uniformemente acelerado y rectilíneo:
a n 0 Fres n 0
De acuerdo con las ecuaciones anteriores debe existir una fuerza sobre el cuerpo constante y dirigida
hacia el centro de la Tierra.
¿Cuál es la naturaleza de las fuerzas anteriores? ¿A qué se debe cada una?
Una de las grandes aportaciones de Newton es que propuso la misma explicación respecto a la naturaleza de las dos fuerzas anteriores, afirmando que:
Todos los cuerpos del universo se atraen unos a otros con una fuerza gravitatoria como la que existe
entre una piedra que cae y la Tierra. Por tanto, la fuerza centrípeta que actúa sobre la Luna no es otra
cosa que la atracción gravitatoria por parte de la Tierra. Análogamente, la fuerza que mantiene a un
planeta en su órbita no es otra que la atracción gravitatoria por parte del Sol.
A la propiedad que tienen los cuerpos materiales de atraerse entre sí se le denomina gravitación o
gravedad. No todos los cuerpos presentan esta propiedad con la misma intensidad. Para medirla se
establece una nueva magnitud denominada “masa gravitatoria”.
23
3.2. Expresión de la Ley de Newton de la Gravitación Universal
Enunciad hipótesis sobre de qué factores dependerá la fuerza de atracción gravitatoria entre dos
cuerpos cualesquiera de masas gravitatorias m1 y m2, y separados una cierta distancia r entre ellos.
Podemos pensar que cuanto mayores sean las masas y menor la distancia que las separa, más grande
deberá ser la fuerza de atracción gravitatoria existente entre ambas.
m1
F12
F21
r
Según el principio de acción y reacción: F12 F21 F
m2
p
m m
Newton obtuvo que el módulo de dicha fuerza viene dado por la expresión: F G 1 2 2
r
En la ecuación anterior G recibe el nombre de constante de gravitación universal (su valor es siempre el mismo independientemente del medio en el que se hallen los dos cuerpos de masas m1 y m2) y
r es la distancia que separa a los dos cuerpos.
La ley de Newton de la Gravitación expresa la fuerza de atracción gravitatoria existente entre dos
masas puntuales. Si se desea determinar la fuerza gravitatoria con que se atraen cuerpos extensos se
deben considerar como compuestos de infinitas masas puntuales (infinitesimales) y proceder a sumar
las infinitas fuerzas correspondientes (integrar). Newton desarrolló este tipo de cálculo. No obstante,
para esferas uniformes, el resultado es que se comportan como si toda la masa estuviera concentrada
en el centro de las mismas, con lo que r será la distancia existente entre sus centros.
Si en la expresión anterior una de las masas correspondiera a la Tierra y la otra a cualquier cuerpo
situado en su superficie, escribiríamos:
mT m
F0 G
RT2
siendo mT la masa de la Tierra, m la del cuerpo y RT el radio de la Tierra (distancia existente entre el
centro de la Tierra y el objeto). El valor de la fuerza obtenido corresponderá a lo que designamos
como peso del cuerpo sobre la superficie terrestre.
m
En caso de que el cuerpo se encuentre a una cierta altura h en
F
lugar de estar en el suelo, la expresión anterior cambiaría por:
mT m
F G
( RT h) 2
r = RT + h
F0
m
y correspondería al peso del cuerpo a esa altura sobre el suelo.
mt
Como podemos ver, el peso de un cuerpo (no su masa) cambia según la altura a la que se encuentre de forma que va disminuyendo conforme se aleja de la Tierra tendiendo a 0
cuando la distancia tiende a infinito.
24
RT
3.3. Diferencia entre masa gravitatoria y masa inercial
Si aplicásemos una fuerza a un bloque situado sobre una superficie horizontal y sin rozamiento,
comprobaríamos que esta ha de tener un cierto valor para producirle una aceleración determinada.
En ello no interviene la gravedad para nada, es decir, se requeriría una fuerza idéntica, para provocarle la misma aceleración, si el bloque estuviese situado en un lugar de gravedad nula. A la
propiedad del bloque que hace necesaria la acción de una fuerza resultante para cambiar su estado
de movimiento, se le denomina “masa inercial” y cuanto mayor es su valor, mayor es también la
fuerza resultante que se necesita para producir una determinada aceleración. Dicha masa inercial
es la que figura en la ecuación fundamental de la dinámica:
F mi a
y, como sabemos, se mide en kilogramos. Su valor, para un objeto dado, se puede obtener fácilmente sin más que aplicar sobre dicho objeto una fuerza resultante determinada y medir la aceleración producida. A continuación basta dividir el módulo de la fuerza, en N, por el de la aceleración en m/s2, para obtener el valor de la masa inercial, en kg.
Por otra parte, sabemos que todos los cuerpos se atraen gravitatoriamente. En este caso, la inercia
no hace ningún papel. La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos separados entre sí una
cierta distancia r, depende de otra propiedad que denominamos gravitación y para cuantificarla
en cada cuerpo se introduce la "masa gravitatoria". Para un mismo valor de r, cuanto mayores
sean las masas gravitatorias mayor será la fuerza de atracción. Esto queda reflejado en la Ley de
Newton de la Gravitación Universal:
m g1 m g2
FG
r2
¿Son la misma cosa la masa inercial que la gravitatoria?
Para responder a la pregunta anterior supongamos que se dejan en libertad varios cuerpos de masas inerciales mi1, mi2 ...en la proximidad a la superficie de la Tierra. En ese caso podemos comprobar experimentalmente que todos ellos caen al suelo con el mismo valor de la aceleración at =
9’81 m/s2 siguiendo una trayectoria rectilínea hacia el centro de la Tierra. Aplicando la ecuación
fundamental de la dinámica podemos obtener el valor (módulo) de la fuerza que estará actuando
sobre cada cuerpo: F1 = mi1 · at; F2 = mi2 · at ...
mi1
F2
F1
mi2
Por otra parte, esas fuerzas no son otras que la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre
cada uno de los cuerpos:
F1 G
m gT m g1
2
T
R
; F2 G
m gT m g2
R T2
...
25
Igualando las fuerzas y despejando obtenemos la relación existente entre mi y mg :
m i1 G m gT
m i2 G m gT
mi
;
...
C (siendo C una constante).
2
2
m g1
m g2
a RT
a RT
mg
Como vemos, se cumple que ambas masas son directamente proporcionales: mi = C · mg
Si, arbitrariamente, a la masa inercial de 1 kg le asignamos una masa gravitatoria unidad y a esa
unidad le llamamos “kilogramo gravitatorio”, tendremos que, de la ecuación anterior, la constante
kg inercial
de proporcionalidad valdrá: C 1
.
kg gravitatorio
La decisión anterior es, precisamente, la que se ha adoptado y, en consecuencia, la masa inercial
y la masa gravitacional de cualquier cuerpo siempre van a coincidir numéricamente aunque, como hemos visto, se trata de dos magnitudes distintas.
La masa inercial es una propiedad de los cuerpos debida a la imposibilidad que tienen, por ellos
mismos, de cambiar su velocidad (cuanto mayor es su valor tanta más fuerza se necesita para
comunicar una determinada aceleración), mientras que la masa gravitatoria es la propiedad a la
que se debe la atracción gravitatoria entre los cuerpos. La proporcionalidad existente entre estas
dos propiedades distintas, se conoce con el nombre de “Principio de equivalencia”. El que dos
propiedades de naturaleza tan distinta, sean directamente proporcionales, se consideró durante
mucho tiempo como una casualidad. Sin embargo, en la actualidad este hecho se interpreta claramente en la Teoría de la Relatividad Generalizada.
3.4. Determinación del valor de G de la Ley de Newton de la Gravitación. Experiencia de Cavendish
Para determinar el valor de la constante G de la ley de Newton, es necesario obtener experimentalmente la fuerza con que se atraen dos masas conocidas. La primera medición de G fue realizada por
Cavendish a finales del siglo XIX.
En la figura adjunta se muestra un esquema del
diseño utilizado por Cavendish. Esencialmente
consiste en una balanza de torsión formada por una
barra rígida en cuyos extremos hay dos pequeñas
esferas de la misma masa m cada una. La barra se
halla suspendida por su punto medio de un hilo
metálico fino al que va sujeto un espejo. Sobre
dicho espejo incide un rayo de luz que se refleja y
va a parar a una escala graduada.
Cuando se coloca a uno y otro lado de la varilla dos grandes esferas de plomo de la misma masa M
cada una1, la atracción gravitatoria entre cada pareja m/M produce una torsión del hilo metálico y,
consecuentemente, se observa una desviación en el rayo reflejado por el espejo, la cual se puede
medir mediante la escala.
1
Aunque M es el símbolo del momento de una fuerza, aquí también lo utilizaremos para representar una masa gravitatoria dada cuando queramos dar a entender que se trata de una masa muy grande.
26
Cavendish había calculado antes qué fuerza correspondía a una determinada torsión de la fibra. Es
decir, era capaz , conocida la torsión experimentada por la fibra, de obtener el valor de la fuerza que
la había originado. De esta forma, midiendo la desviación del rayo luminoso (que indica lo que se ha
torcido la fibra) pudo conocer el valor de la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos de masas conocidas
y, aplicando la Ley de Newton de la Gravitación, calcular el valor de la constante G. En la actualidad
el valor aceptado es de 6'67·10-11 Nm2/ kg2 (una cantidad extraordinariamente pequeña).
A partir de la expresión de la Ley de Newton de la Gravitación, expresad cuál es el significado
físico de la constante G.
m m
Si nos fijamos en la ecuación F G 1 2 2 podemos ver que G coincide numéricamente con la
r
fuerza gravitatoria con que se atraerían dos masas de 1 kg cada una situadas a un metro de distancia.
Dado el valor tan inmensamente pequeño de dicha fuerza se comprende que las fuerzas de atracción
gravitatoria entre cuerpos ordinarios (dos muebles, dos personas, etc) sea prácticamente despreciable
y no se tenga en cuenta en la mayoría de los casos. La interacción gravitatoria es la más débil de las
fuerzas existentes en la naturaleza, siendo necesario que al menos una de las masas sea muy grande
para que se perciba (como ocurre, por ejemplo, cuando una de esas masas es la Tierra y la otra nosotros mismos). Conviene notar también que el valor de G es universal, no depende del medio en el
que se encuentren los cuerpos ni de la composición de los mismos ni de si son terrestres o celestes.
4. ¿CÓMO TIENE LUGAR LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA? CAMPO GRAVITATORIO
¿Cómo se explica la interacción gravitatoria entre dos cuerpos que se encuentran separados, sin
tocarse?, es decir: ¿Cómo se “comunican” ambos cuerpos?
A lo largo de la historia se han elaborado distintas explicaciones a este problema. Unas veces se
imaginaba la existencia de una sustancia especial (llamada éter) que debía llenar todo el espacio de
forma similar a como la atmósfera rodea a la Tierra y que, de algún modo, transmitía las fuerzas
entre los cuerpos que se hallaban separados entre sí pero inmersos en ese medio etéreo. También se
manejó la idea de “acción a distancia” lo que equivalía a admitir la existencia de dos tipos de fuerzas: las que parecían ejercerse por "contacto directo" entre dos cuerpos y las que claramente se ejercen a distancia, sin necesidad de ningún medio material intermedio entre los cuerpos.
El propio Newton escribió que no hacía ninguna hipótesis al respecto, aunque para él la idea de que
un cuerpo pudiera actuar a distancia sobre otro a través del vacío le resultaba absurda.
En la actualidad el problema de cuál es el mecanismo de la interacción gravitatoria forma parte de la
Teoría de Campos (que engloba también a otras interacciones, como las fuerzas entre cuerpos cargados eléctricamente). De acuerdo con dicha teoría, el espacio que rodea a un cuerpo como, por ejemplo, un planeta, o un objeto cargado eléctricamente, no se concibe como un simple receptáculo vacío
sino como algo concreto, que tiene una existencia física real y que es responsable de la interacción .
Se habla así de campo gravitatorio o de campo eléctrico. En una primera aproximación a la idea de
campo gravitatorio se puede describir éste diciendo que la presencia de una masa genera una “perturbación” a su alrededor, tanto más intensa cuanto más próximos nos encontramos de dicha masa,
de forma que cualquier pequeña masa que se coloque en esa zona se verá afectada por la perturbación, es decir, se verá sometida a una fuerza.
27
4.1. Intensidad de un campo gravitatorio en un punto del mismo. Expresión general
Para facilitar el estudio del campo gravitatorio se introduce una magnitud llamada intensidad del
campo gravitatorio g en un punto, cuyo valor nos indica la fuerza que actuaría sobre una masa de 1
kg si la colocásemos en dicho punto.
Para obtener el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto “P” no es necesario que la
masa que se coloque en ese punto sea precisamente de 1 kg. Podemos utilizar cualquier masa de
prueba de valor m, medir la fuerza F que se ejerce sobre ella y luego obtener la intensidad dividiendo dicha fuerza entre el valor de m (con lo que el valor obtenido representará la fuerza que actuaría
sobre 1 kg de masa si lo colocáramos en ese punto). Así pues:
F
(se medirá en N/kg)
g
m
Campo gravitatorio
P m
F
Campo gravitatorio
g
P
x
Fijémonos que la masa “m” no tiene que ver con quién crea el campo gravitatorio. Dicho campo
existe y su intensidad en un punto dado es independiente de que en dicho punto se coloque o no ma
sa alguna. La expresión anterior es general y nos permite, si conocemos g en un punto, obtener la
fuerza gravitatoria que actuaría sobre cualquier masa que colocásemos en dicho punto sin más que
hacer: F m g
¿Qué quiere decir que la intensidad de un campo gravitatorio en un punto dado es de 25 N/kg?
La respuesta a la cuestión anterior es que si en dicho punto se colocase un objeto (considerado puntual) de una masa de 1 kg actuaría sobre él una fuerza gravitatoria de 25 N.
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es una magnitud vectorial. Tal y como ha sido
definida su dirección y sentido coincidirán siempre con los de la fuerza gravitatoria F que actuaría
sobre cualquier pequeña masa de prueba "m" que colocásemos en ese punto.
4.2. Obtención de la intensidad del campo gravitatorio en un punto cuando dicho campo está
creado por una o varias masas consideradas como puntuales
Supongamos el caso de un campo gravitatorio creado por una masa M considerada como puntual. Si
quisiéramos determinar la intensidad del campo a una distancia r de dicha masa M, bastaría con colocar en ese mismo punto una pequeña masa de prueba "m" y aplicar la expresión general:
F
g
m
28
M m
En este caso, sin embargo, el módulo de la fuerza F viene dado por: F G 2
r
Podemos tener en cuenta el carácter vectorial de dicha fuerza si la expresamos en función de un
vector unitario que siempre tendrá su origen en la masa creadora de campo o "centro de fuerzas"
y su sentido hacia el punto en el que se aplica la fuerza.
ur
M m
De acuerdo con lo anterior, podemos expresar el vector F como: F G 2 ur
r
M m
M
F
ur de donde: g G 2 ur
y sustituyendo: g
= G
2
mr
r
m
¿Cómo se procedería a calcular la intensidad del campo gravitatorio resultante en un punto,
cuando dicho campo se debe a la acción de varias masas puntuales M1, M2, ... creadoras de campo?
En este caso será preciso obtener los vectores intensidad de campo en ese punto, correspondientes a
cada una de las masas por separado y luego sumarlos todos ellos (teniendo en cuenta su carácter
vectorial). Es decir: g g1 g 2 g3 ... g n o lo que es equivalente: g 1n g i
En la figura adjunta se dan tres hipotéticas
masas consideradas puntuales m1 = 8·103 kg,
m2 = 9·103 kg y m3 = 103 kg, Se pide:
a) La intensidad del campo gravitatorio resultante en el punto (4, 3) m.
b) Fuerza que actuaría sobre una masa de 10
kg si la colocásemos en dicho punto.
Y(m)
m1
m3
X (m)
m2
Como el campo gravitatorio se debe, en este caso, a tres masas, la intensidad en un punto cualquiera del mismo, se obtendrá como la suma de la intensidad correspondiente a cada una de las
masas por separado, esto es: g g 1 g 2 g 3
Para determinar g podemos expresar cada
uno de los vectores en función de un vector
unitario u r que vaya desde la masa que crea
el campo hacia el punto en el que se desea
conocer la intensidad, tal y como se propone
en la figura adjunta:
Y(m)
m1
ur1
g1
P
g2
g3
ur3
ur2
O m3
m2
X (m)
29
Expresad los vectores intensidad de campo en P, en función de los correspondientes vectores
unitarios:
8 103
Gm
g1 2 1 u r1 = 6'67 1011 2 (1 , 0) = (-3’34·10-8 , 0) N/kg
r1
4
3
Gm 2
11 9 10
g 2 2 u r2 = 6'67 10
(0 , 1) = (0 , -6’67·10-8 ) N/kg
2
r2
3
Gm
g 3 2 3 u r3 ¿Cómo podemos determinar r3 y u r3 en este caso?
r3
Un procedimiento general que nos permite evaluar r3 y u r3 (incluso cuando trabajemos con tres
componentes) es el siguiente:
Consideramos el vector OP = (4 , 3) m. Su módulo será OP = 4 2 32 = 5 m y coincidirá con
la distancia r3. Si dividimos ahora dicho vector por su propio módulo, obtendremos el vector uni
tario u r3 :
u r3 = OP/OP = (4/5 , 3/5), de modo que sustituyendo en la expresión de g 3 nos queda:
Gm
10 3
g 3 2 3 u r3 = 6'67 10 11 2
r3
5
4 3
, = (-2’13·10-9 , -1’6 · 10-9) N/kg
5 5
Podemos ahora calcular g g 1 g 2 g 3
obtenidos, con lo que resulta:
simplemente sumando analíticamente los vectores
g = (-3’34·10-8, 0)+ (0, -6’67·10-8 )+ (-2’13·10-9 , -1’6 · 10-9 ) = (-3’55·10-8, -6’83·10-8 ) N/kg
¿Cómo podemos hallar la fuerza a que estará sometido un cuerpo cuando se coloque en el punto
P considerado?
La intensidad del campo gravitatorio en un punto, es una característica propia del campo y su
valor coincide con el de la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa si la colocásemos en dicho
punto (de este modo, podemos comparar las intensidades correspondientes a distintos puntos del
campo). Esto hace, que si conocemos la intensidad en un punto P, resulte sencillo determinar la
fuerza gravitatoria que actuará sobre cualquier masa que coloquemos en ese punto mediante la
expresión: F m g , que aplicada a nuestro caso:
F m g = 10 · (-3’55·10-8, -6’83·10-8 ) = (-35’5·10-8, -68’3 ·10-8 ) N
4.3. Representación de un campo gravitatorio mediante líneas de fuerza
Para poder visualizar un campo se recurre a usar "líneas de fuerza". Una línea de fuerza de un campo
gravitatorio es una línea tal que al situar una pequeña masa de prueba en cualquiera de los puntos de
la misma, dicha masa sufre una fuerza gravitatoria que resulta ser tangente a la línea es ese punto.
30
Las líneas de fuerza no son vectores pero llevan una punta de flecha para indicar el sentido de la
fuerza que actuaría sobre la masa de prueba.
Teniendo en cuenta la información anterior, representad mediante líneas de fuerza el campo
gravitatorio creado por una masa puntual M.
Si nos imaginamos una masa M creadora de
un campo gravitatorio y pensamos en qué le
ocurriría a una pequeña masa de prueba si la
fuésemos colocando en distintos puntos cercanos a M, veremos que las líneas de fuerza
han de ser líneas rectas que llegan radialmente a la masa M.
M
Conviene darse cuenta de que existe una
relación entre la intensidad del campo en
un punto y las líneas de fuerza. En efecto:
la intensidad del campo gravitatorio en un
punto es siempre tangente a la línea de
fuerza que pasa por el mismo y de sentido
la línea de campo. Por otra parte se observa que allí donde las líneas de fuerza
están más separadas la intensidad del
campo es menor (y viceversa).
M
M
M
g1 G 2 ; g 2 G 2 ; g 3 G 2 ... de modo que g1 g 2 g3 ...
r1
r2
r3
5. CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
Como hemos dicho anteriormente, el propio Newton ya demostró que cuando la masa creadora de
un campo gravitatorio era homogénea (mismas propiedades en todos sus puntos) y esférica, para
calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a una distancia r (que fuera igual o
mayor que el radio de dicha esfera), se podía proceder como si toda la masa de la esfera estuviera
colocada en el centro de la misma, es decir, tratar a la masa extensa y esférica como si fuera una
masa del mismo valor pero puntual y situada en el centro de dicha esfera.
Aunque la Tierra no es en realidad perfectamente esférica ni homogénea, en una primera aproximación al estudio del campo gravitatorio terrestre podemos suponer que sí lo es, con lo cual los cálculos
se simplifican.
31
5.1. Intensidad del campo gravitatorio terrestre a distancias del centro de la Tierra mayores o
iguales al radio medio terrestre: Peso de un cuerpo.
De acuerdo con lo anterior, podemos expresar la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un
punto “Q” situado a una distancia "r" mayor o igual que el radio medio de la Tierra RT mediante:
g
m
g G 2T ur
r
Q
x
r
ur
m
Se trata de un vector dirigido siempre hacia el centro de la Tierra. Su módulo será: g G 2T
r
mT
simplemente: g G 2
r
o
Como vemos, cuanto más alejado se halle el punto en cuestión de la superficie terrestre, menor será
el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en dicho punto. Sin embargo, vale la pena
reflexionar sobre el hecho de que la intensidad no tiene que ver con que estemos fuera o dentro de la
atmósfera terrestre. El que dicho punto pueda estar en lo que se llama "vacío" no significa en modo
alguno que el campo gravitatorio en él sea nulo. Analizando la expresión anterior podemos darnos
cuenta de que la intensidad del campo gravitatorio tiende a 0 cuando r tiende a .
mT
O
(RT)
x
g0
g 1 (r1)
x
g1
(r2)
x
g2
()
0
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie del planeta se suele simbolizar por g0 y para conocerlo bastará con que en la expresión general hagamos r = RT con lo que:
g0 G
32
mT
RT2
¿Cómo hallar el valor de g0 sin utilizar el valor de la masa de la Tierra para su obtención?
Bastaría con situar un cuerpo de masa m conocida en las proximidades del suelo y medir la fuerza F
con que es atraído por la Tierra (es decir, pesarlo). A continuación el cociente F/m nos daría el valor
de g0. Medidas experimentales cuidadosas realizadas al nivel del mar muestran que g0 = 9’81 N/kg.
¿Qué relación existirá entre la intensidad del campo gravitatorio terrestre "g" a una altura h
sobre la superficie de la Tierra y la intensidad de dicho campo en la propia superficie terrestre?
Dado que r = (RT + h) podemos expresar la intensidad a una altura h como: g
A partir de g 0 G
G mT
( RT h) 2
mT
podemos escribir que: G mT g 0 RT2 y sustituyendo:
2
RT
2
RT
g0
=
g g 0
RT h
h
1
RT
2
Analizando la expresión obtenida podemos darnos cuenta de que g será prácticamente igual a g0
cuando h se pueda despreciar frente al radio de la Tierra y que, dado que dicho radio es muy grande
(unos 6370 km), es perfectamente válido considerar que en lo alto de un edificio o en la cima de una
montaña g vale prácticamente lo mismo que al nivel del mar.
Conocer la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto permite determinar fácilmente la
fuerza gravitatoria que actuaría sobre cualquier masa m que se colocase en ese punto, mediante la
expresión ya conocida: F m g o en módulo: F = mg.
Como ya hemos indicado, la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo también se conoce como
peso de dicho cuerpo. Habitualmente se la representa por P, de modo que en general P m g y en
módulo P = m· g. Como vemos, el valor del peso no es una característica propia del cuerpo (como su
masa) sino que dependerá del valor de la intensidad del campo gravitatorio y, por tanto, de dónde
esté situado dicho cuerpo. A veces también se habla de peso en la Luna, o en otro planeta (como
Marte).
Determinad el peso de un astronauta de 80 kg de masa que se encuentra en una estación orbital
situada a 450 km de altura sobre la superficie de la Tierra. (Datos: g0 = 9'8 N/kg; RT = 6350 km).
Rdo. 683'6 N
Si el peso de una persona fuera de la atmósfera terrestre no es 0, ¿por qué se dice que los astronautas que se encuentran en una estación espacial se hallan en estado de ingravidez?
La sensación física que tenemos acerca de nuestro propio peso se debe a la existencia de otras fuerzas que habitualmente lo equilibran. Así, por ejemplo, cuando nos colocamos encima de una balanza
de baño en nuestra casa, la fuerza peso con que la Tierra nos atrae es equilibrada por la fuerza ejercida sobre nosotros por el muelle de la balanza. Nosotros notamos esa fuerza, lo mismo que la que nos
hace el suelo cuando permanecemos de pie en él y esto nos da la sensación de que pesamos. A veces, la superficie sobre la que estamos nos hace una fuerza mayor que nuestro peso (y nosotros a
ella), por eso notamos como si pesáramos más (aunque la Tierra nos sigue atrayendo con la misma
33
fuerza y realmente seguimos pesando igual). Esto ocurre, por ejemplo, en el momento en que un
ascensor arranca y acelera hacia arriba. En otros casos ocurre lo contrario y la fuerza que nos hace la
superficie (y nosotros a ella) es menor que nuestro peso y, consecuentemente, nos da la sensación de
que pesamos menos. ¿Qué ocurrirá en aquellos casos en los que la superficie no ejerce ninguna fuerza sobre nosotros o, simplemente, no hay ninguna superficie y estamos en caída libre? En esos casos
nos parecería que no pesamos nada. Sentimos un estado de "ingravidez" pero eso, naturalmente, no
debe interpretarse como que no hay gravedad o que la Tierra ha dejado de atraernos y realmente no
pesamos. Esta sensación la experimentan por unos segundos los saltadores de trampolín, los paracaidistas y también (de forma continua) los astronautas que se hallan en órbita en satélites alrededor
de la Tierra. Así pues cuando se dice que un astronauta está en estado de “ingravidez” debe entenderse que se halla en caída libre, sometido a la acción de la fuerza gravitatoria terrestre sin ninguna
otra fuerza que la equilibre, pero no que se encuentre en un lugar donde no exista gravedad.
¿A qué altura (en km) sobre el suelo habría de subir una persona para que su peso se reduzca a
la mitad de lo que vale cuando se halla en el suelo? (Datos: RT = 6350 km).
Rdo. h = 2630’3 km
Obtened lo que pesaría un astronauta de 120 kg de
masa total en la superficie marciana. La masa de Marte
es 0'108 veces la de la Tierra y su radio 0'53 veces el
radio de la Tierra.
Rdo. P = 452'6 N
¿En qué punto de la recta que pasa por dos astros la intensidad del campo gravitatorio es 0?
Supongamos un sistema formado por dos astros como, por ejemplo, la Tierra y la Luna, separados entre sí por una cierta distancia. Si una nave se dirige hacia la Luna siguiendo la recta que
pasa por ambos astros, resultará del mayor interés conocer en qué punto del trayecto, la fuerza
gravitatoria resultante que el sistema ejerce sobre la nave, deja de oponerse a su movimiento y
comienza a favorecerlo (análogamente cuando se dirige de la Luna hacia la Tierra). Es evidente
que ello se producirá a partir del punto en el que la intensidad del campo gravitatorio sea 0 y que
dicho punto deberá estar situado entre ambos astros para que los vectores intensidad tengan sentidos contrarios y que su suma pueda valer 0.
F1
F2
El problema planteado tiene que ver pues con algo más general cómo es el aprovechamiento de
los campos gravitatorios en el movimiento de naves espaciales.
34
Nos vamos a centrar en el caso de dos astros de masas m1 y m2 separados por una gran distancia
“d” tal que ambos se puedan considerar como masas puntuales y vamos a calcular a qué distancia
r1 de m1 el campo gravitatorio de dicho sistema es nulo.
g1
m1
g2
r2
m2
r1
d
Cabe pensar que r1, dependerá de la distancia d, así como de los valores de m1 y de m2, de tal
forma que: cuanto mayor sea m1 y menor sea m2 tanto mayor será r1; cuanto mayor sea d mayor
será r1. También podemos pensar en algún caso límite o evidente como, por ejemplo: que si m2
tiende a 0, r1 tenderá a d; o que si las dos masas son iguales, r1 = d/2, etc.
Sabemos que en el caso del campo gravitatorio creado por una masa m puntual (o que pueda considerarse como tal), la intensidad del campo en un punto del mismo es una magnitud vectorial
cuyo módulo viene dado por g = Gm/r2 .
En nuestro caso, la intensidad del campo gravitatorio será g g1 g 2 . Para que la suma de dos
vectores que tienen la misma dirección y sentidos contrarios valga 0, es necesario que sus módulos sean iguales. Por tanto una forma de resolver el problema podría ser igualar g1 con g2 y a partir de la ecuación obtenida hallar r1.
m
m
Gm1 Gm2
m1
m2
2 21 22 y como r2 = d - r1 , nos queda que:
2
2
r1
r2
r1
(d r1 ) 2
r1
r2
d
De la expresión anterior es fácil obtener que: r1
1 m 2 / m1
g1 = g2
A partir de ese punto (suponiendo el caso de la figura anterior), la fuerza con que m 2 atraería a
cualquier objeto de masa m sería mayor que la fuerza con que ese mismo objeto sería atraído por
m1 (recordemos que F = mg).
El resultado se puede cuantificar sin más que sustituir por valores reales. Por ejemplo, m 1 podría
ser la Tierra y m2 la Luna. En el caso de la Tierra y la Luna, sabiendo que la masa de la primera
es unas 81 veces la de la segunda y que la distancia media entre ambos astros es de 384000 km,
nos quedaría que: r1 = 345600 km del centro de la Tierra.
Si nos fijamos en el resultado final obtenido podemos ver en primer lugar que es dimensionalmente homogéneo (L en ambos miembros). También que se cumplen nuestras hipótesis de partida ya que, por ejemplo: si m1 aumenta, r1 también aumenta; si m2 tiende a 0, r1 tiende a d; si m1 =
m2, r1 = d/2, etc.
5.2. Diferencia entre intensidad del campo gravitatorio terrestre y aceleración de la gravedad
En ocasiones a la magnitud física g (intensidad del campo gravitatorio), cuando nos referimos al
campo generado por la Tierra, se le llama “aceleración de la gravedad”, cuando, conceptualmente
se trata de dos magnitudes distintas (si bien coinciden numéricamente en determinadas circuns35
tancias). La g es una magnitud que se introduce para caracterizar el campo gravitatorio existente
en un punto cualquiera. Dicha magnitud, por tanto, tomará un cierto valor, independientemente
de que en ese punto haya o no masa alguna. Por el contrario sólo podremos hablar de aceleración
cuando en el punto considerado se coloque una masa y se la deje en libertad (sometida exclusivamente a la acción de la fuerza peso).
Para profundizar en la diferenciación de ambos conceptos, analicemos lo que sucede con un
cuerpo de masa inercial mi que se abandona a cierta altura sobre la superficie de la Tierra. Si la
altura es pequeña, comparada con el radio terrestre, el cuerpo se moverá hacia la superficie de la
Tierra con una aceleración constante, que, medida experimentalmente, resulta ser 9’81 m/s2.
Apoyándonos en la ecuación fundamental de la dinámica, podemos decir que sobre el cuerpo
actúa una fuerza de valor: F = mi · a (siendo a = 9’81 m/s2).
Esta fuerza es, como sabemos, la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre el cuerpo, que
se puede expresar como:
G mgT mg
F=
= mg · g
R 2T
(siendo g la intensidad del campo gravitatorio terrestre en el punto en donde se deja el cuerpo y
mg la masa gravitacional de este). Sustituyendo en la ecuación fundamental de la dinámica:
mg · g = m i · a g =
mi
kg
m
N
a iner 9'81 2 9'81
mg
kggrav
s
kggrav
y, dado que la masa inercial mi y la gravitacional mg son conceptualmente diferentes, aunque, por
conveniencia, se hayan hecho coincidir numéricamente (como hemos visto anteriormente), lo
mismo ocurrirá con la aceleración "a" y la intensidad del campo gravitatorio "g". Ambas tendrán
el mismo valor numérico. No obstante, la unidad que conviene que acompañe a la intensidad del
campo gravitatorio será N/kg y no m/s2 ya que, evidentemente: 1 m/s2 = 1N/kg (masa inercial)
pero 1 m/s2 1 N/kg (masa gravitacional). Si la unidad de masa gravitacional hubiese recibido,
en lugar de kilogramo, otro nombre distinto, esta confusión no se daría.
6. UTILIDAD DE LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La ley de Newton de la Gravitación Universal además de las implicaciones en la concepción del
Universo que ya hemos comentado, tuvo otras consecuencias importantes y explicó diversos fenómenos naturales. A continuación veremos algunos ejemplos.
6.1. Determinación de la masa de la Tierra
Obtened el valor de la masa de nuestro planeta tomando como valor medio de su radio 6370 km
y sabiendo que G = 6'67 · 10-11 (en unidades internacionales) y la intensidad del campo gravitatorio
terrestre en la superficie del planeta es g0 = 9'81 N/kg.
Sabemos que: g 0 G
mT
g 0 RT2
m
.
Despejando
la
masa
de
la
Tierra
obtenemos:
T
RT2
G
Con lo que sustituyendo los datos del enunciado: mT
36
9'81 (6370 103 ) 2
6 · 1024 kg
11
6'67 10
6.2. Interpretación de las mareas oceánicas
Las mareas oceánicas consisten en el movimiento alternativo de ascenso y descenso del nivel del
agua del mar que tiene lugar dos veces al día y que se puede apreciar con mayor o menor intensidad
en las distintas zonas costeras del planeta. Cuando el nivel del agua en una zona determinada alcanza
su valor máximo, se le denomina pleamar o marea alta y cuando llega al mínimo, bajamar o marea
baja.
El fenómeno de las mareas ha sido muy importante para los navegantes de todas las épocas y, en
general, para las gentes que viven del mar (pensemos, por ejemplo, en la llegada y salida de embarcaciones a zonas costeras y en la recogida de diversos productos del mar que se realiza en algunos
lugares durante la marea baja). En la actualidad existen incluso centrales eléctricas en las que se genera electricidad aprovechando el movimiento del agua que se produce en las mareas. Sin embargo,
durante muchos años la explicación de las mareas fue un misterio, hasta que finalmente Newton
aplicando la Ley de la Gravitación Universal, fue capaz de dar una interpretación a este fenómeno.
En la figura adjunta se ha dibujado un esquema de nuestro planeta y de su satélite la Luna. ¿A
qué puede ser debido que en las zonas señaladas como P y Q se estén produciendo mareas altas?
(El esquema no está a escala).
bajamar
pleamar
La Luna es un satélite relativamente grande (tiene una masa 81 veces menor que la de la Tierra) y
atrae gravitatoriamente a la Tierra. Las partículas de agua que se encuentran en la zona del planeta
más próxima a la Luna (P), serán (de acuerdo con la ley de Newton de la gravitación) atraídas por la
Luna con mayor intensidad que las que se encuentran en la zona más alejada (Q). Al encontrarse el
agua en fase líquida será fácil que cambie de forma, por lo que el resultado de esta diferente atracción es que se produce una deformación elipsoidal con los vértices alineados con los centros de la
Tierra y la Luna (pleamar). En realidad este efecto se debe, no solo a la diferente atracción citada,
sino también al hecho de que la Tierra y la Luna giran con un movimiento aproximadamente circular y uniforme en torno al centro de masas de ambos (situado en el interior de la Tierra), tal y
como se estudia en cursos superiores de física.
Consecuentemente en el círculo máximo con centro en la Tierra y perpendicular a esa línea tendrá
lugar el fenómeno opuesto y en las zonas costeras se podrá apreciar el descenso de nivel del agua
(bajamar).
Naturalmente, las mareas también se producen en la tierra y las rocas del planeta pero al ser materiales que se encuentran en estado sólido son mucho menos deformables y el efecto no es tan perceptible como las mareas oceánicas. De hecho mientras el movimiento de ascenso y descenso de los
materiales sólidos puede llegar a ser del orden de 1 m, el desplazamiento del agua de los océanos
puede llegar en algunas zonas (bahía de Fundy en Canadá) a los 20 m.
37
Una cuestión importante que podemos plantearnos es por qué (en la mayoría de las zonas costeras del planeta) se registran dos mareas altas y dos bajas cada día. ¿Cuál puede ser la causa?
Como la Tierra da una vuelta completa al día, cuando una zona de la misma (P) se encuentre lo más
próxima posible a la Luna, experimentará una pleamar y al cabo de 12 horas ese mismo lugar se
encontrará en el punto opuesto (media vuelta del planeta) que corresponde aproximadamente al máximo alejamiento de la Luna, por lo que experimentará de nuevo otra pleamar. El efecto resultante es
que en una zona determinada, se registren cada día dos mareas altas y dos mareas bajas.
¿Por qué cada día la pleamar de un lugar se retrasa en producirse unos 50 minutos respecto de
la hora que se produjo en el día anterior?
La Luna no está quieta sino que da vueltas alrededor de la Tierra de modo que describe una órbita
completa en torno a nuestro planeta cada 27'3 días. Ello hace que, aunque en un solo día el desplazamiento no sea muy grande, la Luna no se encuentre en el mismo punto que estaba 24 h antes.
Vista superior (polo
norte terrestre)
N
x
Vista superior (polo
norte terrestre)
P
x
P
N
En la figura vemos la posición de la Luna que en un instante dado se encuentra alineada con la Tierra y un trío de estrellas fijas que tomaremos como referencia. En ese instante en la zona P se está
produciendo una marea alta. Sin embargo cuando esa zona haya dado una vuelta completa alrededor
del eje N-S, la Luna ya no estará ahí sino que habrá avanzado un poco en su órbita, por lo que la
pleamar en el lugar marcado como P tardará un tiempo extra en producirse (el empleado en dar alcance a la Luna y encontrarse de nuevo a la distancia más próxima de la misma).
Supongamos que en la zona marcada como P en la figura anterior se produce una pleamar un
día a las 12:00 de la mañana. ¿A qué hora se producirá al día siguiente? Rdo. A las 12:55
En una misma zona de la costa las mareas no son todos los días iguales. Habitualmente se observa que las mareas toman valores extremos o máximos dos veces por mes. ¿Por qué ocurre esto?
Si las mareas sólo se debieran a la acción gravitatoria de la Luna, no podríamos explicar este hecho,
pero, hasta ahora, nos habíamos olvidado de que el Sol también atrae gravitatoriamente a la Tierra
por lo que también es responsable (aunque en menor medida) de un efecto similar al de la Luna.
Cuando el Sol, la Tierra y la Luna están más alineados, los efectos de la Luna y el Sol se refuerzan.
Este fenómeno ocurre dos veces al mes (cuando la Luna se encuentra en la fase llamada luna nueva
y luna llena respectivamente) y se denomina "mareas vivas".
38
Mareas vivas
Luna nueva
Luna llena
Sol
Análogamente se puede explicar el fenómeno conocido como mareas "muertas" el cual ocurre cuando el Sol, la Tierra y la Luna se encuentran formando un ángulo recto tal y como se puede ver en el
esquema adjunto2. En este caso los efectos gravitatorios del Sol y de la Luna se oponen y las mareas
toman valores mínimos.
Mareas muertas
Sol
Según hemos comentado anteriormente, la atracción gravitatoria ejercida por el Sol es menos
importante en el fenómeno de las mareas que la atracción ejercida por la Luna. ¿Cómo puede
ser eso posible si la fuerza con que el Sol atrae a la Tierra es unas 175 veces mayor que la fuerza
con que la Luna atrae a la Tierra?
Lo que influye en el fenómeno de las mareas no es la atracción gravitatoria directa sobre la zona
de la Tierra más próxima a la Luna o al Sol, sino la diferencia de atracciones de las aguas de los
dos lados del globo terrestre (la del más cercano menos la del más lejano) y es esa diferencia la
que es mayor en el caso de la Luna que en el del Sol.
2
Los esquemas que se incluyen sólo persiguen ayudar a comprender el fenómeno en cuestión y no están, ni mucho
menos, a escala.
39
F2
F1
Luna
El hecho de que F1 sea mayor que F2
(el agua del lado más cercano a la Luna es atraída por ella con más fuerza
que la del lado más lejano), contribuye
a la deformación de la masa de agua
líquida que hay en nuestro planeta y al
consiguiente fenómeno de las mareas.
Probad que la diferencia entre las intensidades del campo gravitatorio solar en dos zonas
opuestas de la Tierra y alineadas con el Sol es menor que la diferencia entre las intensidades del
campo gravitatorio lunar en dos zonas opuestas de la Tierra y alineadas con la Luna. Datos:
diámetro de la Tierra 12800 km; distancia media entre el centro de la Tierra y el del Sol 149,6
millones de kilómetros; distancia media entre el centro de la Tierra y de la Luna 384000 km; la
masa del Sol es unas 332776 veces la de la Tierra y la masa de la Luna unas 81 veces menor que
la de la Tierra.
Rdo. La diferencia de intensidades en el caso de la Luna es, para estos datos, unas 2'3 veces mayor que la diferencia de intensidades para el caso del Sol.
Vemos pues cómo la ley de Newton de la Gravitación Universal, sirve para explicar satisfactoriamente algunas características importantes del fenómeno de las mareas oceánicas. No obstante, una
explicación detallada del mismo, insistimos, es compleja y requiere tener en cuenta otros factores
que también influyen como: la acción gravitatoria de otros planetas sobre la Tierra, la diferente profundidad de los océanos y distintas formas de las plataformas costeras, la rotación de la Tierra y de
la Luna alrededor del centro de masas de ambas, la diferente distancia a que la Tierra se encuentra
del Sol en distintos periodos del año (cuando en el hemisferio norte es invierno está mas cercana que
cuando es verano), etc.
6.3. Descubrimiento de nuevos planetas
En la segunda mitad del siglo XVIII el astrónomo inglés William Herschel descubrió un nuevo
planeta unas 100 veces mayor que la Tierra y a una distancia del Sol aproximadamente doble que
la de Saturno. Se trataba del planeta Urano. Años después se comprobó que los datos experimentales obtenidos respecto a la órbita de Urano no se acomodaban con los datos teóricos predichos
de acuerdo con la teoría de la gravitación de Newton. Ese comportamiento irregular de Urano
hizo pensar a algunos que dicha teoría no era válida o que no se cumplía para grandes distancias.
Sin embargo no existía ninguna otra teoría mejor y una teoría científica no cambia por el simple
hecho de que falle al intentar explicar algunos datos experimentales.
Otros científicos pensaron que quizás otro planeta más distante, todavía no conocido, podría estar
afectando gravitatoriamente a Urano y ser el responsable de que los datos experimentales no se
ajustarán a los teóricos basados en la teoría de la gravitación (ya que estos últimos habían sido
obtenidos teniendo en cuenta la acción gravitatoria del Sol y de los planetas conocidos hasta entonces). Ello llevó a investigar cuál debería ser la hipotética órbita de ese desconocido planeta
responsable de "perturbar" la trayectoria de Urano, para lo cual se utilizaron la teoría de la gravitación (sin modificar) y las posiciones observadas experimentalmente de Urano. De esta forma se
pudo encontrar en 1846 al planeta Neptuno.
40
Lo sucedido con Urano se repitió también con Neptuno y mediante un proceso similar se consiguió ya en 1930, detectar la presencia de Plutón, el último planeta conocido de nuestro sistema
solar. El descubrimiento de los planetas más lejanos de nuestro sistema solar fue pues una brillante confirmación de la validez de Ley de Newton de la Gravitación Universal.
6.4. Deducción teórica de las leyes de Kepler
Hemos visto anteriormente que, según la primera ley de Kepler, los planetas describen órbitas
planas y elípticas (de pequeña excentricidad) alrededor del Sol (situado en uno de los focos de la
elipse). En cuanto a la segunda ley, en ella se afirma que el área barrida por el radio que une el
planeta con el Sol en un tiempo dado, es siempre la misma independientemente de dónde se encuentre el planeta, lo que equivale a decir que la velocidad areolar de un planeta (superficie barrida por el radio vector en cada unidad de tiempo) ha de ser constante.
En la figura adjunta se ha representado la trayectoria de un planeta alrededor del Sol. Como puede verse, a lo largo de toda la trayectoria sobre el planeta actúa la fuerza de atracción gravitatoria
ejercida por el Sol, que lo mantiene en órbita. Dicha fuerza es central y forma en todo momento
un ángulo de 180º con radio vector r del planeta en cuestión. Con origen en el Sol se ha repre
sentado también el vector cantidad de movimiento angular L del planeta respecto del Sol. Dado
que las distancias son inmensamente grandes (la Tierra, por ejemplo, se halla a casi 150 millones
de km del Sol), podemos considerar que tanto el Sol como los planetas son masas puntuales.
L
p = m· v
r
F
r
Aplicad la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación al planeta representado en la
figura anterior y razonad por qué la órbita descrita ha de realizarse en un único plano.
dL
La ecuación fundamental de la dinámica de la rotación viene dada por: M
dt
Pero en el caso de un planeta el momento de la fuerza de atracción gravitatoria respecto del Sol
es nulo ya que dicha fuerza es central y en todo instante tiene sentido contrario al vector r de la
figura. En efecto:
M r x F M r F sen 180º = 0
Así pues como el momento M = 0, concluimos que el vector cantidad de movimiento angular del
planeta respecto del Sol ha de ser constante. Fijémonos que este hecho supone automáticamente
que la órbita ha de ser en un solo plano, ya que si no lo fuese el vector L cambiaría de dirección
(y por tanto no sería constante) tal y como se expone en la figura siguiente:
41
A continuación vamos a ver cómo de la conservación de la cantidad de movimiento angular del
planeta respecto del Sol se deriva también que la velocidad areolar del planeta ha de ser constante
(es decir, que su radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales).
En la figura adjunta se ha representado un trozo de la órbita descrita por un planeta en torno al
Sol. En ella se puede ver el radio vector del planeta en un instante dado "t" al que hemos designa
do como r(t ) , y la fuerza de atracción gravitatoria F ejercida por el Sol sobre el planeta. Al cabo
de un tiempo infinitesimal "dt" el planeta se encontrará en otro lugar dado por r( t dt ) . Ese lugar
estaría muy próximo al primero (ha transcurrido un intervalo de tiempo muy pequeño, infinitesimal) pero para mayor claridad en la figura, hemos exagerado mucho la separación entre ambos
puntos. El área barrida por el radio vector en el tiempo dt será también infinitesimal y la designaremos como "dA" de modo que la velocidad areolar vendrá dada por: dA/dt
p
dr
F
dh
rt dt
rt
(180º - )
En la figura hemos representado dos posiciones sucesivas del planeta muy próximas aunque no
infinitamente próximas, como correspondería. Cuanto más próxima se encuentre la segunda posi42
ción de la primera, tanto más coincidirá la dirección de dr con la de la tangente y, por tanto, con
la dirección del vector cantidad de movimiento p del planeta.
Tratad de expresar la velocidad areolar dA/dt en función de la cantidad de movimiento angular con el fin de comprobar que dicha velocidad es constante
De la figura anterior queda claro que el área dA corresponde a un triángulo de base r y de altura
dh = dr · sen (180-). Como los senos de dos ángulos suplementarios son iguales, podemos es
cribir también la expresión anterior como: dh = dr · sen con lo que:
dA
r dh
2
r dr sen
2
r v sen
dA r dr sen
y la velocidad areolar será:
dt
2 dt
2
En la expresión anterior hemos tenido en cuenta que dr /dt representa precisamente el módulo
de la velocidad con que se traslada el planeta. Si multiplicamos y dividimos por la masa m del
planeta, obtenemos finalmente que:
L
dA r m v sen
= constante
dt
2m
2m
Es decir, la velocidad areolar es igual a una constante (el módulo de la cantidad de movimiento
angular del planeta), dividida por otra constante (2 veces la masa del planeta). Por tanto, la velocidad areolar, tal y como queríamos demostrar, ha de ser constante.
En cuanto a la tercera ley de Kepler, ésta se puede enunciar diciendo que el cuadrado del periodo
de revolución de un planeta en torno al Sol, es directamente proporcional al cubo del valor medio
del radio de la órbita correspondiente.
Supongamos un planeta cualquiera que gira alrededor del Sol con un movimiento que, al ser la
elipse casi circular y la velocidad areolar constante, podemos considerar prácticamente como
circular y uniforme. En ese caso, el periodo de revolución T coincidirá con el tiempo empleado
por el planeta en describir una trayectoria circular completa alrededor del Sol cuya longitud será,
por tanto, 2r. De acuerdo con la ecuación del movimiento circular y uniforme, dicho tiempo se
podrá expresar como: T = 2r/v siendo v la rapidez con que gira el planeta.
Como buscamos una relación entre T y el radio de la órbita r , hemos de tratar de expresar la rapidez v en función de dichas magnitudes.
En el sistema formado por ambos
astros, sobre el planeta (en movimiento circular y uniforme) actuará
una fuerza resultante normal y dirigida constantemente hacia el Sol
(situado en el centro de la circunferencia de radio r).
mp
F
mS
v
r
43
La ecuación fundamental de la Dinámica expresada en componentes intrínsecas y aplicada al
planeta (de masa mp) vendrá dada por:
Fres t = mp·at, 0 = at M.U.; Fres n = mp · an
La fuerza normal que obliga al planeta a describir un movimiento circular y uniforme alrededor del Sol es la atracción gravitatoria. Teniendo esto en cuenta y que la aceleración normal
viene dada por la expresión an = v2/r, obtened la rapidez con que gira el planeta en función del
radio de la órbita y finalmente la relación existente entre T y el radio r.
La ecuación anterior se transforma en:
G
ms m p
r2
mp
v2
r
con lo que la rapidez del planeta en su órbita se podrá expresar como: v
G ms
r
Si ahora sustituimos esta expresión en T = 2r/v nos queda:
T
2 r
G ms
r
o lo que es equivalente:
T2
4 2 3
r
Gms
T2 = cte · r3
La expresión anterior nos dice que el cuadrado del periodo de revolución de un planeta es directamente proporcional al cubo del radio de la órbita y, como ya sabemos, constituye la tercera ley
de Kepler. Su deducción utilizando la ley de Newton de la Gravitación Universal, es una prueba
más de la validez de ésta última y de que para estudiar el movimiento de los astros se pueden
utilizar las mismas leyes que se aplican a los objetos terrestres.
El satélite más interno del planeta Saturno se llama "Mimas" y tiene una órbita prácticamente
circular y de 187 000 km de radio alrededor de Saturno de forma que da una vuelta entera cada 23
h. Con estos datos, obtened la masa de Saturno. Rdo. 5'64 · 1026 kg
El tercer planeta que gira alrededor del Sol es la Tierra. Podemos simplificar su movimiento
suponiendo que describe una órbita prácticamente circular y que da una vuelta completa en un
año. Sabiendo que el radio medio de la órbita terrestre es de unos 150 millones de km. Determinad la masa del Sol. Rdo. 2 · 1030 kg
Algunas características de los planetas de nuestro sistema solar
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
Distancia media al Sol
(millones de km)
57'9
108'2
149'6
227'9
778'3
1427
2871
4497'1
5913'5
Periodo de revolución
88 días
224'7 días
365'3
días
687 días
84'0
años
164'8
años
247'7
años
Velocidad orbital (km/s)
47'9
35
29'8
24'1
13'1
9'6
6'8
5'4
4'7
Masa (Tierra = 1)
0'006
0'8
1
0'1
317'9
95'2
14'6
17'2
0'1
0
0
1
2
14
10
5
2
1
Satélites conocidos
44
11'9 años 29'5 años
7. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL CAMPO GRAVITATORIO
Recordemos que existen muchos casos de sistemas cuyas partes están en reposo y que, sin embargo, dichos sistemas son capaces de producir cambios y, más concretamente, de realizar trabajo. Este es el caso de una ballesta cargada a punto de ser disparada o de un pantano lleno de agua.
Decimos entonces que el sistema posee una energía potencial (Ep) en el sentido que tiene energía
"latente" o "en potencia" que se libera cuando se deja el sistema libre (se dispara la ballesta o se
abren las compuertas del pantano). Se habla así de energía potencial elástica, gravitatoria, eléctrica, etc. La energía potencial de un sistema se caracteriza por ser función únicamente de la posición relativa de las partes del mismo, de forma que (una vez establecida la situación a la que corresponde Ep = 0) a cada disposición corresponde de forma unívoca un valor de la energía potencial. Por otra parte, cada energía potencial está relacionada con la existencia de un tipo de
fuerza. Así la energía potencial elástica presente en una ballesta tensa sería impensable si la cuerda de la misma no fuese elástica y estuviera haciendo fuerza sobre la flecha. Análogamente si no
existiera la fuerza gravitatoria abriríamos las compuertas de un embalse lleno de agua y no ocurriría nada, etc. A las fuerzas asociadas a las energías potenciales se les llama en general fuerzas
conservativas (porque la energía potencial es una forma de "conservar" o "almacenar" energía).
Recordemos también que cuando un sistema evoluciona (cambia) el trabajo realizado por una
fuerza conservativa es siempre igual y de signo contrario a la variación de la energía potencial
asociada a dicha fuerza y que ello se puede expresar mediante la ecuación: WC = -Ep.
Dado que la energía potencial es función de la posición, el trabajo realizado por una fuerza conservativa cuando su punto de aplicación se desplaza desde un punto A a otro B, será siempre el
mismo, independientemente del camino seguido (puesto que el hecho de seguir un camino u otro
no alterará para nada la diferencia EpB - EpA) o, lo que es equivalente: el trabajo que realiza una
fuerza conservativa cuando su punto de aplicación describe una trayectoria cerrada y acaba en el
mismo punto, es nulo (puesto que EpA-EpA = 0). Los razonamientos anteriores permiten afirmar
que el campo gravitatorio es un campo conservativo.
En este tema nos vamos a centrar en el estudio de la energía potencial gravitatoria. Comenzaremos obteniendo su expresión para el caso de un cuerpo que se encuentra en un punto dado de un
campo gravitatorio creado por otro (ambos considerados como masas puntuales).
7.1. Energía potencial gravitatoria de un sistema formado por dos masas puntuales
Imaginemos un sistema formado por un cuerpo que pueda considerarse como una masa puntual
m1 creadora de un campo gravitatorio y que vamos a suponer fija en un punto O dado del espacio.
En el seno de dicho campo gravitatorio se coloca otra masa puntual m2 a una distancia "r" de O y
queremos calcular la energía potencial gravitatoria del sistema formado por ambas masas o lo que
es equivalente: la energía potencial del cuerpo de masa m2 en un punto dado del campo gravitatorio creado por el cuerpo de masa m1. 3
m1
r
m2
+
r
O
3
Esta forma de hablar se debe fundamentalmente al hecho de que a menudo la masa creadora del campo es mucho
mayor que la otra (por ejemplo un planeta y una piedra) y cuando la energía potencial disminuye y aumenta la cinética, es en el cuerpo más ligero (la piedra) donde se percibe dicha energía cinética (aunque realmente, la energía cinética también corresponde a todo el sistema ya que un cuerpo siempre se mueve en relación a otros).
45
¿Por qué un sistema como el anterior tiene energía potencial gravitatoria? ¿De qué factores
cabe esperar que dependa dicha energía? ¿Qué le ocurrirá a la energía potencial gravitatoria
cuando aumente la distancia entre las masas? ¿Y cuando disminuya?
En el sistema a que nos estamos refiriendo, la masa m2 está sometida a la acción del campo gravitatorio creado por m1 y sobre ella actúa una fuerza de atracción gravitatoria. Decimos que el sistema tiene energía potencial gravitatoria porque si dejamos libre (y en reposo) a la masa m2 a una
cierta distancia r de m1, debido a la acción de la fuerza gravitatoria se moverá cada vez más rápido hacia la masa m1 que hemos fijado en el punto O y por tanto, podrá producir cambios, es decir,
podrá realizar trabajo. El proceso se puede interpretar admitiendo que el sistema inicialmente en
reposo tiene energía potencial gravitatoria y que al dejarlo en libertad, esa energía potencial disminuye a la vez que aumenta la energía cinética (que es la que nos sirve para producir cambios,
para realizar trabajo). Cuanto mayor sea la separación inicial de las masas, mayor será también la
energía potencial gravitatoria del sistema (porque podremos obtener más energía cinética con la
que realizar los cambios que queramos).
En la figura adjunta se ha representado un cambio en el que la masa m2 pasa desde un punto
A a otro punto B en el seno del campo gravitatorio creado por la masa m1 (fija en el punto O4).
Pensad cómo se podría obtener el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre
la masa m2. (Tened en cuenta que dicha fuerza no es constante sino que varía con la distancia r).
m1
B
rB
F
m2
r
n
A
+
rA
O
Sabemos que en el caso de una fuerza de módulo constante y cuyo punto de aplicación se desplace sobre una trayectoria conocida de antemano desde una posición A hasta otra B, el trabajo realizado por dicha fuerza puede expresarse como: W Ft e siendo Ft la componente escalar tangencial del vector fuerza y el e = eB - eA, el desplazamiento sobre la trayectoria (ambos con sus
signos correspondientes según el criterio de signos escogido).
Sin embargo en esta situación la fuerza no es constante. Su módulo va cambiando con la distancia
m m
r de acuerdo con la ecuación: F G 1 2 2 ¿Cómo se calcula el trabajo en este caso?
r
Conviene descomponer la trayectoria entre A y B en infinitos trozos sumamente pequeños (infinitesimales) tales que a lo largo de cada uno de esos trozos se pueda suponer que el valor de la
fuerza no cambia, calcular el trabajo "elemental" o infinitesimal en cada uno de ellos y sumarlos
todos. Esta operación se denomina integrar y dada su utilidad conviene detenerse el tiempo necesario en aprender a resolver las integrales que vayamos a utilizar durante el curso.
Una vez conocido cómo resolver las integrales inmediatas que se nos van a presentar en este curso de física, resulta sencillo aplicar esta herramienta de cálculo para obtener el trabajo que se demanda en la actividad anterior.
4
El punto O se encuentra en realidad en el centro de m1, sobre la línea punteada (trayectoria) pero lo hemos desplazado algo más abajo para que se entienda mejor la figura. En ese punto, como es lógico, r = 0.
46
El trabajo se podrá obtener como: W
B
A
dW
B
A
Ft dr
B
G
A
m1 m2
dr
r2
En la ecuación anterior hemos utilizado el símbolo "r" para designar la distancia al origen de la
trayectoria O (coincide con la posición "e" sobre la trayectoria y, en valor absoluto, con el módu
lo del vector r ). Conviene tener en cuenta que dentro de una integral definida como la anterior Ft
ha de expresarse con el signo que le corresponda (según el criterio arbitrariamente escogido) pero
al término "dr" nunca se le pone signo negativo aunque, como en este caso, lo tenga (dr corresponde a un desplazamiento infinitesimal sobre la trayectoria en el sentido escogido como negativo, es decir, r va decreciendo) porque su signo se halla implícito ya en los límites de la integral
(se mueve desde una posición dada por rA hasta otra dada por rB).
m m
m m
La resolución de la integral anterior nos lleva a: W G 1 2 G 1 2
rA
rB
Ahora bien, dado que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, podemos escribir también:
W EpAB = -(EpB - EpA) = (EpA - EpB) con lo que igualando las dos expresiones obtenidas:
Gm1m 2
m m
m m
C
(EpA - EpB) = G 1 2 G 1 2 de donde concluimos que Ep =
r
rA
rB
La expresión obtenida nos informa que la Ep de un sistema (en una situación determinada) puede
tomar infinitos valores distintos (tantos como valores distintos valores se puedan asignar a la
constante C). Sin embargo, no ocurre lo mismo con la variación de energía potencial que se produce cuando un sistema evoluciona cambiando de una situación A a otra B ya que al efectuar la
diferencia EpB - EpA, se elimina la constante C. Lo que tiene sentido pues, son los cambios de
energía potencial.
El valor de la constante C dependerá de la situación para la que nos convenga tomar Ep = 0. Lo
habitual, por ser lo más cómodo, es definir dicha situación de modo que C resulte 0. Ello supone
que para r = hagamos Ep = 0, ya que así se cumple:
0=
Gm 2 m1
C C = 0 . Si hacemos esto podemos escribir que:
Ep =
Gm1m 2
r
Una vez que definimos Ep = 0 para r = ¿qué interpretación física puede tener el afirmar
que la Ep de un cuerpo de masa m2 situado en un punto Q de un campo gravitatorio creado por
otro cuerpo de masa m1 es Ep = -Gm1 m2 /r?
En primer lugar significa que si las masas pasaran de una situación en la que la separación entre
ellas fuese "r" a otra situación en la que la separación entre ellas fuese infinita, la energía potencial del sistema aumentaría justamente en una cantidad dada por Gm1m2/r. O viceversa: si las
masas pasarán de tener una separación infinita a estar a una distancia r entre sí, la energía potencial del sistema disminuiría en la cantidad Gm1m2/r.
47
Por otra parte, si analizamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cuerpo de
masa m2 se traslada desde Q hasta el (supuesto que el de masa m1 se encuentra fijo), podemos
escribir: WQ Ep Q Ep Ep Q y, de aquí concluimos el significado físico que podemos dar a
la Ep de m2 situada en un punto dado de un campo gravitatorio: Es una magnitud cuyo valor nos
indica el trabajo que realizaría la fuerza gravitatoria cuando esa masa se lleve desde el punto considerado hasta el infinito (lo que en la práctica equivale a una distancia tal que la fuerza gravitatoria sobre la masa sea despreciable). Como es lógico ese trabajo siempre resultará negativo ya que
la fuerza gravitatoria se opone a la transformación (tiene sentido contrario al desplazamiento). En
consecuencia, ese traslado se producirá si:
a) En ausencia de otras fuerzas el cuerpo se está ya alejando de m1 y dispone de la energía cinética necesaria para llegar al infinito (es decir Ec Ep). En este caso el cuerpo se moverá hacia la
derecha de la figura cada vez más lentamente.
m1
movimiento
Q
F
+
m2
rQ
O
b) Estando el cuerpo inicialmente en reposo en Q, actúa sobre él una fuerza exterior que en todo
instante sea superior a la gravitatoria. En este caso el cuerpo se alejará aumentando su rapidez (si
la fuerza fuera igual a la gravitatoria, bastaría darle una rapidez inicial para que se alejase entonces con velocidad constante).
m1
Q
m2
F
Fext
+
rQ
O
Sea cual sea el caso, siempre que el trabajo de la fuerza del campo sea negativo, se dice que la
transformación no es espontánea. Alejar m2 de la masa creadora del campo, tiene el efecto de
"cargar" el sistema, es decir, hacer que aumente la energía potencial (que se vaya almacenando
energía en el sistema). Esa energía potencial que ganamos permite (al dejar en libertad m 2) obtener energía cinética con la que producir cambios.
¿Por qué al aumentar la distancia r decimos que aumenta el valor de la energía potencial
gravitatoria y viceversa?
Conviene darse cuenta de que la energía potencial gravitatoria del
sistema formado por dos masas consideradas puntuales es una
cantidad negativa (tal y como hemos tomado el origen de Ep). Si
analizamos la expresión correspondiente, como la distancia r entre las masas se encuentra en el denominador, ello implica que
cuando dicha distancia aumente, el valor de la energía potencial
también lo hará (se hará menos negativa).
Ep
r
Esta variación continuará indefinidamente mientras siga aumentando r, lo cual se suele expresar
diciendo que la Ep tiende a 0 (su valor máximo) cuando r tiende a infinito.
48
Por supuesto la energía potencial gravitatoria , como toda energía, se ha de expresar (en unidades
internacionales) en julios (J). Para ello las masas han de venir dadas en kg y la distancia r en m.
Hasta aquí nos hemos limitado a calcular la energía potencial de un sistema formado por dos masas que podemos considerar como puntuales, pero ¿qué ocurre cuando tenemos más de dos?,
¿cómo calcular la energía potencial gravitatoria en ese caso?
7.2. Energía potencial gravitatoria para una distribución de varias masas puntuales
Para comenzar, supongamos un sistema formado por un conjunto de cuerpos cuyas masas se puedan considerar como puntuales. ¿Cuál sería la Ep gravitatoria de una de esas masas? Éste debería
coincidir con el del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria del campo cuando dicha masa se
trasladase desde la posición que ocupa hasta el infinito. Para concretar, vamos a considerar un
sistema formado por tres masas m1, m2 y m3, como el que se da en la figura adjunta.
Cuando el cuerpo de masa m1 de traslada desde su posición inicial Q hasta el infinito, el trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre él se podrá evaluar como la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas gravitatorias actuantes:
WQ WF2 Q WF3 Q y, por tanto, la Ep de la masa m1 en la distribución será:
Ep1 = Ep12 + Ep13 =
Gm 2 m1 Gm 3 m1
r12
r13
Es decir: La Ep de m1 será la suma de las energías potenciales que a dicha masa le corresponderán por el hecho de encontrarse en el seno del campo gravitatorio de cada una de las restantes
masas que conforman el sistema. De igual forma podríamos evaluar la energía potencial gravitatoria de la masa m2 y la de la masa m3 como Ep2 = Ep21 + Ep23 y Ep3 = Ep31 + Ep32 respectivamente.
¿Cómo podríamos definir ahora la Ep gravitatoria de una distribución de masas?
Por paralelismo con la definición establecida para una masa en un sistema, podríamos decir que:
La energía potencial gravitatoria de un sistema es una magnitud cuyo valor coincide con el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria cuando se trasladen todas estas masas (sucesivamente)
desde la posición que ocupan en la distribución hasta el infinito.
Para evaluarla bastará, pues, con imaginar que vamos llevando sucesivamente cada una de las n
masas puntuales de que consta la distribución, desde su posición inicial hasta el infinito y calcular, en cada caso, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria del campo creado por las masas
que queden. La suma de todos esos trabajos coincidirá con la Ep gravitatoria del sistema.
49
Para simplificar los cálculos, supondremos de nuevo
un sistema formado por sólo tres cuerpos considerados como puntuales, de masas m1, m2 y m3, y comenzaremos por calcular el trabajo realizado por la fuerza
gravitatoria cuando el de masa m1 se traslada hasta el
infinito:
WA Ep 12 Ep 13 =
WB Ep 23 =
Gm 2 m1 Gm 3 m1
. Si ahora se traslada m2 hasta el infinito:
r12
r13
Gm 3 m 2
(ya que sólo queda m3 en la distribución). Finalmente, para m3:
r23
WC 0 (ya que al estar cada una de las otras masas a una distancia la fuerza será nula).
Luego la energía potencial del sistema será: Epsis =
Gm 2 m1 Gm 3 m1 Gm 3 m 2
r12
r13
r23
Comparad la expresión que acabamos de obtener con la que resultaría de sumar las Ep correspondientes a cada una de las tres masas puntuales consideradas.
Si sumamos las Ep de cada una de las tres masas (Ep1 + Ep2 + Ep3) obtenemos:
Gm 2 m1 Gm 3 m1 Gm1 m 2 Gm 3 m 2 Gm1 m 3 Gm 2 m 3
+
r12
r13
r21
r23
r31
r21
Como podemos ver: La suma de las energías potenciales de cada una de las masas de un sistema
no coincide con la energía potencial correspondiente a dicho sistema, aunque, ambas magnitudes
están relacionadas, ya que:
Epsis =
1
(Ep 1 Ep 2 Ep 3 ) y, en general:
2
Epsis =
1 i n
Ep i
2 i 1
Otra forma, equivalente, de expresar el resultado anterior es decir que la energía potencial gravitatoria (o de otro tipo) de un sistema formado por más de dos masas (m1, m2, m3) interaccionando
entre ellas, se puede obtener calculando la suma de las energías potenciales de cada pareja de
masas, es decir:
Epsis = (Ep12 + Ep13 + Ep23 ) y, en general: Epsis =
ij
Ep i j
(i j)
Conviene, pues, diferenciar entre los conceptos de energía potencial gravitatoria (y de cualquier
otro tipo) de un cuerpo considerado como una masa puntual situada en un punto dado de un campo (obviamente, si no hay campo y cuerpo en su seno no se puede hablar de Ep) y energía potencial correspondiente a una distribución de varias masas puntuales (energía potencial de todo el
sistema). Ambas cosas sólo coinciden cuando el sistema consta únicamente de dos masas puntuales.
50
7.3. Potencial del campo gravitatorio en un punto dado del mismo. Expresión general
Anteriormente hemos visto una magnitud denominada intensidad del campo gravitatorio en un
punto dado del mismo. Su valor coincide con el de la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa
F
(1 kg) si la colocásemos en dicho punto y se define como: g . Una de sus ventajas es que si
m
conocemos la intensidad en un punto, podemos saber inmediatamente qué fuerza actuaría sobre
cualquier masa puntual que se colocase allí, sin más que aplicar F m g . Pues bien, podemos
preguntarnos ahora si no podríamos hacer algo similar desde el punto de vista energético.
Definir una magnitud, que llamaremos potencial del campo gravitatorio (V) en un punto, cuyo
valor coincida con el que tendría la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa (1 kg) si
la colocásemos en dicho punto.
Para obtener la magnitud que se demanda bastará con colocar cualquier masa puntual de prueba
en el punto considerado y aplicar:
Ep
V
m
Conviene darse cuenta de que el potencial no es una magnitud vectorial y que se mide en J/kg.
Por otra parte en cada punto de un campo gravitatorio existe un potencial independientemente de
que en ese punto se coloque o no masa alguna, es decir, el potencial gravitatorio en un punto tal y
como se ha definido es una característica propia del campo. Conocer su valor en un punto implica
que podemos saber fácilmente la energía potencial gravitatoria que tendría cualquier masa puntual m que colocásemos allí sin más que aplicar: Ep = m·V
¿Qué significa que el potencial del campo gravitatorio en un punto es de -5J/kg?
Que si en ese punto se colocase una masa puntual de 1 kg la energía potencial correspondiente a
dicha masa (en el seno del campo gravitatorio considerado) sería de -5 J.
Obtened la expresión del trabajo realizado por la fuerza de un campo gravitatorio cuando
una masa m se traslada desde un punto A hasta otro B del mismo, en función de la diferencia de
potencial existente entre dichos puntos.
Mediante la expresión WAB EpAB ( EpB EpA ) es posible obtener otra que nos da el trabajo realizado por la fuerza del campo en función de los potenciales correspondientes a los puntos
A y B, sin más que aplicar Ep = m ·V, con lo que nos queda:
WAB m (VB VA )
Utilizad la expresión obtenida para justificar que una masa m cualquiera abandonada en reposo en el seno de un campo gravitatorio, se moverá espontáneamente hacia potenciales decrecientes.
Como ya hemos visto una transformación espontánea supone que el trabajo realizado por el campo es positivo. De acuerdo con la expresión obtenida, para que el trabajo sea positivo, debe ocurrir que VB sea menor que VA, por tanto m se movería espontáneamente hacia potenciales decrecientes.
51
7.4. Obtención del potencial del campo gravitatorio en un punto cuando dicho campo está
creado por una o varias masas consideradas como puntuales
Supongamos el caso de un campo gravitatorio creado por una masa M considerada como puntual. Si
quisiéramos determinar el potencial del campo a una distancia r de dicha masa M, bastaría con colocar en ese mismo punto una pequeña masa de prueba "m" y aplicar la expresión general:
V
Ep
m
En este caso, sin embargo, la energía potencial viene dada por: Ep G
V
Mm
con lo que:
r
GM
r
A partir de la expresión anterior podemos darnos cuenta de que en todos los puntos del campo situados a la misma distancia r de la masa creadora del mismo, el potencial gravitatorio tendrá el mismo
valor. Ello hace que las zonas equipotenciales que rodean a la masa M sean superficies esféricas.
En la figura adjunta se ha representado el
campo gravitatorio creado por un cuerpo
de masa M que puede considerarse puntual. Podemos ver las líneas de fuerza del
campo que convergen radialmente hacia
M y algunas superficies equipotenciales
que la rodean. El potencial evoluciona de
forma que: V1 V2 V3 ... V = 0. Las
líneas de fuerza son perpendiculares a las
superficies esféricas equipotenciales y lo
mismo ocurre con los vectores intensidad
de campo gravitatorio en un punto.
g3
g2
V1
V2 V3
¿Cómo se procedería a calcular el potencial del campo gravitatorio en un punto, cuando dicho
campo se debe a la acción de varias masas puntuales M1, M2, ... creadoras de campo?
En este caso será preciso obtener los valores de los potenciales de campo en ese punto, correspondientes a cada una de las masas por separado y luego sumarlos todos ellos. Es decir:
V = V1 + V2 + V3 ... +Vn o lo que es equivalente: V =
52
n
Vi
Supongamos dos masas m1 = 106 kg
y m2 = 4·106 kg. Ambas se hallan sobre
el eje X a 3 m y 4 m del origen respectivamente. Determinad:
Y(m)
m1
m2
X (m)
a) Potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
b) Energía potencial gravitatoria de una masa m3 = 105 kg situada en el origen.
c) Energía potencial gravitatoria del sistema formado por m1, m2 y m3.
El potencial que buscamos será la suma de los potenciales en ese punto correspondientes a cada
una de las masas por separado, y, como se trata de una magnitud escalar:
Vo =Vo1 +V02 =
Gm1 Gm2
6'67 10 11 10 6 6'67 10 11 4 10 6
=
= - 8’89·10-5 J/kg
r1
r2
3
4
El potencial del campo gravitatorio en un punto es una magnitud cuyo valor numérico coincide
con el que tendría la energía potencial de una masa unidad colocada en dicho punto. Por tanto, si
conocemos el potencial del campo gravitatorio en un punto, resulta sencillo evaluar la energía
potencial que correspondería a una masa cualquiera colocada en dicho punto, sin más que aplicar
la expresión: Ep = m·V
En nuestro caso la ecuación anterior queda como Ep0 = m3·V0 = 105 · (-8’89·10-5 ) = -8’89 J
¿Cómo podemos hallar la energía potencial gravitatoria del sistema formado por las tres masas?
Podemos utilizar la expresión: Epsis = (Ep12 + Ep13 + Ep23 ) que aplicada a nuestro caso concreto
conduce a:
m m
mm
m m
4 1012 1011 4 1011
Epsis = G 1 2 1 3 2 3 = - 6’67·10-11
r31
r32
3
4
7
r21
y operando obtenemos finalmente que Epsis = - 47 J
Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto de potencial V1 = -5 J/kg a otro cuyo potencial es V2 = -7 J/kg. Calculad el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria e indicad si se trata
de una transformación espontánea o forzada. Ídem si el cuerpo se aleja desde el punto de potencial V1 hasta el infinito. Rdo. W12 = 2000 J (espontánea); W1 = -5000 J (forzada).
7.5. Energía potencial y potencial en el caso del campo gravitatorio terrestre
Un caso especialmente interesante es el sistema formado por la Tierra (masa mT y radio RT) y
cualquier otro cuerpo de masa m situado en sus proximidades a una distancia r del centro de la
Tierra tal que r RT . En ese caso, se puede demostrar que la Tierra se puede considerar como una
masa puntual (igual a la masa del planeta) situada en su centro.
De acuerdo con lo anterior, la energía potencial del sistema (o del cuerpo de masa m situado en el
campo gravitatorio terrestre) vendrá dada por:
53
Ep G
mT m
r
En cuanto al potencial del campo gravitatorio terrestre en un punto, será: V G
mT
r
Vemos que la expresión correspondiente a la energía potencial gravitatoria de una masa m situada
en el seno del campo gravitatorio terrestre no parece ser la misma que la ya conocida Ep = mgh
en la que h es la altura sobre el suelo a la cual se encuentra la masa m. ¿Se trata de un error?
Naturalmente no es un error. La expresión Ep = mgh se deduce suponiendo que la fuerza peso
que se ejerce sobre m es constante e igual a su peso en la superficie terrestre, es decir cuando nos
encontramos en puntos en los que h RT y se puede considerar que g g0 = 9'81 N/kg.
Comparad la expresión general de la energía potencial gravitatoria Ep = -(GmT m/r) + C
(sistema formado por una masa m y la Tierra cuando m se halla a una distancia del centro de la
Tierra mayor o igual al radio terrestre), con la conocida expresión Ep = mgh y comprobad que
la segunda se puede deducir de la primera.
Para responder a lo que se pide habrá que introducir en la expresión general las condiciones para
las cuales podemos aplicar la expresión particular Ep = mgh. Sabemos que dicha expresión sólo
es válida en aquellos casos en que h RT y siempre que se tome Ep = 0 para h = 0 (origen de
la Ep en la superficie terrestre). Veamos pues qué valor ha de tomar la constante C en la expresión general para que se cumpla que cuando h = 0 (es decir cuando r = RT) la Ep valga 0.
0
GmT m
GmT m
GmT m GmT m
C C
luego: Ep =
y operando:
RT
RT
r
RT
1 1
1
1
h
GmT m
Ep GmT m
GmT m
RT r
RT RT h
RT ( RT h)
Si ahora introducimos la condición de que al ser h mucho más pequeña que el radio terrestre R T,
se pueda considerar que el valor de h es despreciable frente al de RT, nos queda que:
h
Gm
Ep GmT m 2 y si tenemos en cuenta que g 0 2T obtenemos finalmente: Ep = mg0h
RT
RT
Se deja caer un cuerpo desde una gran altura. ¿Cuál será su rapidez en el instante en que
choque contra el suelo?
Vamos a manejar el sistema formado por un cuerpo de masa m (considerado puntual) y la Tierra
(a la que consideraremos inmóvil). Supondremos que el cuerpo se halla a una altura inicial h lo
bastante grande como para que no se pueda considerar constante a la aceleración de la gravedad.
En cuanto lo soltemos, el cuerpo caerá sometido a la acción de la fuerza gravitatoria ejercida por
la Tierra. Como dicha fuerza siempre va dirigida hacia el centro del planeta, el cuerpo tendrá un
movimiento rectilíneo hacia el centro de la Tierra, aumentando su velocidad respecto de la Tierra
(aunque no de manera uniforme ya que F no es constante sino que va aumentando conforme el
54
cuerpo se acerca a la Tierra). Se trata pues de un movimiento variado y, como consecuencia, la
determinación cinemático-dinámica de la rapidez al llegar al suelo, no es una tarea sencilla).
m
rA
A
vA=0
h
B
m
F
m
mT
RT
mT
RT
mT
¿vB?
RT
No obstante, cabe esperar que la rapidez v con la que choca, para una masa y un radio de la Tierra que tienen unos valores dados, dependerá de la altura inicial h desde la que lo soltamos de
modo que v aumentará cuanto mayor sea el valor de h. Es evidente que si la h valiese 0 la v sería
0. Además, en el caso de que la altura fuese lo bastante pequeña como para que pudiésemos considerar constante la aceleración de la gravedad, el objeto llevaría un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la rapidez valdría: v = 2 g 0 h en donde g0 tendría el valor de la aceleración de la gravedad al nivel del mar (9’81 m/s2).
Se trata de un problema que tiene un indudable interés en el tema de lanzamiento de satélites,
proyectiles, e incluso el posible impacto de meteoritos.
En el sistema considerado no hay fuerzas exteriores y, por tanto, el trabajo exterior es 0. Además,
por tratarse de una masa puntual no se produce calor.
Dado que el trabajo exterior es 0, y no hay calentamiento, podemos concluir que, aunque cambie
la energía cinética y la energía potencial del sistema, la suma de ambas (energía mecánica) permanecerá constante. Por tanto, una forma sencilla de obtener la rapidez pedida sería aplicar la
expresión Wext = E (donde E = Ec + Ep), tomando como estado inicial (A) del sistema cuando
se suelta el cuerpo y como estado final (B) la situación del sistema en el momento en que el cuerpo impacta contra el suelo.
Llamando mT y RT a la masa y radio de la Tierra respectivamente: Wext = E como Wext = 0
2GmT h
1
GmT m GmT m
= 0 v B
E = 0 Ec + Ep = 0 mvB2 0
.
RT
rA
rA RT
2
Teniendo en cuenta que GmT = g 0 RT2 y que rA = RT + h:
vB
2 g 0 RT h
.
RT h
Dividiendo arriba y abajo por h obtenemos que: v B
2 g 0 RT
( RT / h) 1
55
Tras esta resolución literal del problema, podemos sustituir los datos numéricos que nos den y
obtener el valor de la rapidez que se demanda. Así, por ejemplo, para una altura igual al radio de
la Tierra (6370 km) y suponiendo conocido g0, se obtendría vB = 7905’0 m/s
Si nos fijamos en la última expresión obtenida, podemos ver en primer lugar que es dimensionalmente homogénea (L/T en ambos miembros); si no lo fuese es seguro que el resultado sería incorrecto. Por otra parte, tal y como habíamos supuesto, cuanto mayor sea el valor de h, mayor es el valor
de la rapidez con que el cuerpo choca contra el suelo.
En cuanto a los casos límite considerados, es evidente que si h = 0 la vB = 0. Además si h es muy
pequeño frente a R, podemos despreciar el 1 del denominador frente a R/h con lo que nos quedaría:
vB
2 g 0 RT
2g 0 h
( RT / h)
que es, precisamente, el resultado obtenido cuando se puede hacer la simplificación de suponer
que el movimiento de caída es un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.
El resultado obtenido también nos permite percatarnos de algo que al comienzo no sabíamos. En
principio, cabe pensar que cuanto más lejos de la Tierra se “deje caer” al cuerpo, mayor será la
rapidez con que impactará contra el suelo. Ahora bien: ¿Se trata de un proceso que no tiene ningún límite? En otras palabras: ¿la rapidez del impacto crece indefinidamente con la distancia h?
El resultado literal obtenido nos permite contestar a esta importante cuestión ya que resulta evidente que cuando h , la vB 2 g0 R T , de modo que, si suponemos RT = 6370 km, obtenemos que la máxima rapidez de impacto resulta ser de unos 11’2 km/s (40320 km/h).
Naturalmente los resultados y conclusiones a que hemos llegado sólo son válidos para las condiciones que hemos considerado imperantes en el problema. En la realidad no se puede ignorar la
fricción con la atmósfera, con lo que el problema podría proseguir introduciendo este factor y
viendo cómo afectaría a los resultados.
8. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
¿Qué interés puede tener el estudio del movimiento de planetas y satélites?
El estudio del movimiento de planetas y satélites tiene un gran interés en distintos campos que
van desde la colocación de un satélite en órbita alrededor de la Tierra al envío de sondas espaciales a otros planetas o fuera de nuestro sistema solar. En la actualidad hay un gran número de satélites en órbita alrededor de la Tierra. Sin ellos, por ejemplo, no serían posibles muchas comunicaciones, la previsión meteorológica, la orientación de embarcaciones, etc.
Los principios de la dinámica y la Ley de la Gravitación Universal nos permiten comprender el
movimiento de unos astros respecto de otros. Este es el caso, por ejemplo, de las órbitas de los
planetas en torno al Sol y las de los satélites (naturales y artificiales) respecto a los planetas. No
obstante en el movimiento de un astro alrededor de otro influyen una gran cantidad de factores
que harían su estudio excesivamente complejo, por lo que para facilitar una primera aproximación adoptaremos las siguientes simplificaciones:
56
Sólo consideraremos la fuerza gravitatoria existente entre el cuerpo en órbita y el cuerpo central ignorando las fuerzas gravitatorias que ejercen el resto de astros próximos a ellos.
Consideraremos el cuerpo central mucho más masivo (designaremos su masa por M) que el
que gira (cuya masa designaremos como m).
Supondremos que se trata de objetos puntuales con toda la masa concentrada en el centro del
astro en cuestión.
Cuando estudiemos el movimiento de un satélite cualquiera o de un planeta en torno al Sol,
supondremos que la órbita es circular en lugar de elíptica.
Supondremos que las masas son constantes y no tendremos en cuenta (en los lanzamientos
desde la superficie terrestre) el efecto de la fricción con la atmósfera.
Las simplificaciones anteriores nos permiten estudiar, por ejemplo, el movimiento de un satélite
en torno a un planeta como el de una masa puntual que gira alrededor de otra también puntual
situada en reposo en el centro del planeta.5
8.1. Consideraciones energéticas en el estudio del movimiento de planetas y satélites
Obtened la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) de un cuerpo de masa
m que se encuentra en el seno del campo gravitatorio creado por otro de masa M mucho mayor,
girando con movimiento circular y uniforme alrededor de él, tal y como se indica en la figura
adjunta. El objeto más masivo podría ser la Tierra y el menos masivo un satélite artificial.
Si llamamos E a la energía mecánica, tendremos que
E = Ep + Ec
Sustituyendo las expresiones correspondientes:
E = -GMm/r + mv2/2
Dado que se trata de un movimiento circular y uniforme deberá existir una fuerza resultante dirigida
hacia el centro de la órbita. Es decir, el vector fuerza
resultante sobre el cuerpo de masa m sólo tiene
componente normal:
Fn = m·an
Esa fuerza normal no es otra que la fuerza gravitatoria con que m es atraído por M. teniendo esto
en cuenta y que la aceleración normal viene dada por v2/r, la ecuación anterior queda como:
GMm/r2 = mv2/r con lo que obtenemos v2 = GM/r
En la expresión anterior vemos que para cada valor de r habrá una única rapidez posible si queremos que el satélite orbite alrededor de la Tierra con movimiento circular y uniforme y que
cuanto mayor sea el radio de la órbita menor debe ser esa rapidez.
Sustituyendo v2 en la expresión de la energía mecánica obtenemos:
5
El análisis y simplificación inicial de los problemas complejos es una característica esencial del trabajo científico.
Los esfuerzos para ampliar, considerar el efecto de nuevas variables, buscar nuevas relaciones, etc, son posteriores.
57
E = -GMm/r + mv2/2 = -GMm/r + GMm/2r E = -GMm/2r
El resultado obtenido corresponde a la energía mecánica que posee un cuerpo que se encuentra en
órbita con movimiento circular y uniforme alrededor de un astro de una masa mucho mayor y
sólo es aplicable en esas condiciones.
De la ecuación anterior se deduce que cuanto mayor sea el radio de la órbita, mayor ha de ser
(menos negativa) la energía mecánica del satélite en movimiento circular y uniforme en torno al
centro de un planeta.
¿Cómo podremos calcular la energía necesaria para que un satélite que gira en torno a un planeta con MCU cambie de una órbita “A” a otra más externa “B”.
Bastará con obtener E = EB – EA = (-GMm/2rB) – (-GMm/2rA) = (GMm/2rA ) - (GMm/2rB)
Esta energía proviene del propio satélite, se trata, por tanto de una disminución de la energía interna (de origen químico, o eléctrico) que se traduce en un aumento de energía mecánica.
En el caso de que el estado A corresponda a la situación en la que el satélite se halla en la rampa
de lanzamiento sobre la superficie del planeta hay que tener en cuenta que la energía sería únicamente energía potencial gravitatoria (el satélite parte del reposo) y que rA sería igual al radio del
planeta.
El hecho de que la energía mecánica de un satélite en órbita con movimiento circular y uniforme
sea negativa constituye un resultado válido también para cualquier órbita cerrada (aunque no sea
circular). Es decir, una energía mecánica negativa indica la existencia de un objeto ligado a otro.
Conviene que reflexionemos con un poco más de detalle respecto a esta cuestión. Para ello analizaremos el siguiente ejemplo:
Desde la superficie terrestre lanzamos un satélite hacia arriba y cuando se encuentra a una
distancia r del centro de la Tierra, le comunicamos una cierta velocidad horizontal. Teniendo en
cuenta que la energía potencial gravitatoria, tal y como ha sido definida, es siempre una cantidad negativa y la cinética es positiva, analizad qué posibilidades podrán darse en cuanto a la
energía mecánica tras el lanzamiento horizontal y qué le ocurriría al satélite.
Una vez realizado el lanzamiento horizontal y considerando el sistema formado por la Tierra y el
satélite (sistema aislado), caben tres posibilidades:
a) Que la energía mecánica sea negativa. E = -GMm/r + mv2/2 0
En este caso la energía potencial en valor absoluto es mayor que la energía cinética de modo que
al sumar las dos obtenemos un valor negativo para E. Al tratarse de un sistema aislado dicho valor se mantiene constante aunque el sistema evolucione. Eso significa que cuando el satélite se
aleje de la Tierra (aumente su energía potencial) y vaya cada vez más lento (su energía cinética
disminuirá); todo ha de ocurrir de forma que la suma de ambas energías se mantenga constante (y
negativa). Por tanto, existirá una distancia máxima, más allá de la cual no podrá alejarse el satélite. Se puede demostrar (mediante razonamientos cuya complejidad excede este nivel) que en esta
situación el satélite seguiría una trayectoria elíptica con el centro de la Tierra en uno de los focos
de la elipse. Éste es el caso de los planetas en torno al Sol y de los satélites que se encuentran en
órbita alrededor de la Tierra o de las lunas de un planeta. Son objetos que permanecen ligados a
58
otro más masivo y que, aunque se empleara toda su energía cinética en alejarse definitivamente
de él, esto no se conseguiría.
b) Que la energía mecánica sea nula. E = -GMm/r + mv2/2 = 0
En este caso el valor absoluto de la energía potencial ha de coincidir en todo momento con el
valor de la energía cinética (que siempre es positivo) de forma que al sumar las dos energías el
resultado sea E = 0. Esto puede interpretarse de la forma siguiente: El satélite se puede alejar indefinidamente de la Tierra de modo que cuando su velocidad tiende a 0, también tiende a 0 la
energía potencial. En cualquier punto la velocidad que lleve el satélite será tal que sumando las
energías potencial y cinética el resultado sea 0. A una distancia infinita de la Tierra la velocidad
del satélite sería 0 (no tendría energía potencial ni cinética). En este caso, se puede demostrar que
la trayectoria descrita por el satélite sería una trayectoria abierta en forma de parábola.
c) Que la energía mecánica sea positiva. E = -GMm/r + mv2/2 0
En este caso la energía cinética siempre supera al valor absoluto de la energía potencial. Ello hace
que al satélite le sobre energía cinética para escapar de la atracción gravitatoria terrestre ya que
para una distancia infinita (energía potencial nula) todavía tendría energía cinética (que coincidiría con el valor de la energía mecánica en cualquier otro punto). Se puede demostrar que en este
caso, el satélite describiría una trayectoria abierta en forma de hipérbola. Para un satélite interplanetario, por ejemplo, se requerirá una energía mecánica positiva. Así ocurrió, por ejemplo, con el
vehículo espacial Pioneer 10 al cual se le comunicó una energía cinética inicial suficiente como
para que tras su lanzamiento el 3 de marzo de 1972 pudiera escapar de nuestro sistema solar. Dicho vehículo atravesó la órbita de Plutón el 14 de junio de 1983 y en la actualidad se halla ya
muy lejos de nuestro sistema solar viajando hacia las estrellas.
En la figura siguiente se muestran las posibles trayectorias de un satélite lanzado horizontalmente
desde una altura h sobre la superficie terrestre con una rapidez inicial v0. La trayectoria será una
elipse, una parábola o una hipérbola dependiendo de que la energía mecánica E sea negativa, nula
o positiva. En los tres casos el centro de la Tierra se encuentra en un foco de la trayectoria.
Para una mejor comprensión de la citada figura conviene que nos planteemos previamente la siguiente cuestión:
¿Qué sucede si modificamos la rapidez “v” de un satélite que se encuentra en órbita con movimiento circular y uniforme de radio “r” en torno a un planeta?
Cuando el satélite de masa “m” gira con MCU en torno a un planeta la fuerza resultante que actúa
sobre él en el sistema planeta-satélite es Fn = mv2/r. Dicha fuerza es la atracción gravitatoria que
el planeta ejerce sobre el satélite y se dirige hacia el centro de giro (centro del planeta). Su valor
viene dado por la ley de Newton de la gravitación universal, es decir: F = GMm/r2. El sistema
formado por el planeta y satélite tiene energía potencial y energía cinética y su suma es una cantidad negativa que vale, según hemos visto: E = -GMm/2r.
1. Si la rapidez v del satélite aumenta, la fuerza gravitatoria (que tiene un valor dado por
GMm/r2) es insuficiente para mantenerlo en órbita en esa trayectoria con lo que el satélite se aleja
aumentando la distancia r al centro del planeta. En este caso pueden ocurrir dos cosas:
1.1. Si v aumenta pero la suma E = Ec + Ep sigue siendo negativa (sistema ligado) el satélite
permanecerá ligado al planeta pero más alejado que antes y describiendo una trayectoria elíptica.
59
1.2. Si v aumenta de modo que la suma E = Ec + Ep resulta ser mayor o igual que 0, el satélite
describe una trayectoria abierta y escapa.
2. Si v disminuye, la fuerza gravitatoria (que tiene un valor dado por GMm/r2) es excesiva, por lo
que la distancia al centro de la Tierra disminuye. En este caso describe una trayectoria elíptica
pero cuanto menor sea la Ec (es decir cuanto mayor haya sido la disminución de v) tanto más
alargada será la elipse, de modo que, podría incluso intersectar con la Tierra (diríamos entonces
que el satélite había “caído”).
V0
Elipse E 0
E
GMm
2r
Hipérbola E 0
Parábola E = 0
r
Circunferencia E 0
E
GMm
2r
Elipse E 0
GMm
E0
2r
En la actualidad existen cientos de satélites orbitando alrededor de la Tierra. Sin ellos, cosas como las comunicaciones, el control de la posición de barcos y aviones, la predicción meteorológica, etc., no serían iguales. También es cierto que existe una gran cantidad de chatarra espacial que
amenaza a esos satélites (algunos ya han sufrido daños por la colisión con esos objetos). Todo
ello plantea la utilización del espacio como algo que es patrimonio de toda la humanidad.
8.2. Velocidad de escape
Una magnitud interesante es lo que se llama velocidad de escape o velocidad mínima con que
habría que lanzar verticalmente hacia arriba desde el suelo un cuerpo, para que pudiera escapar de
la atracción gravitatoria terrestre. Dicha velocidad puede obtenerse fácilmente aplicando el principio de conservación de la energía al sistema formado por el cuerpo y la Tierra, tomando como
estado inicial (A) cuando el cuerpo se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con esa
60
velocidad mínima y como estado final (B) cuando el cuerpo llega al infinito (a un punto en el que
la atracción gravitatoria es prácticamente nula) con velocidad 0 (es decir, le viene "justo" llegar).
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores (y las simplificaciones que venimos manejando), proceder a determinar el valor de la velocidad de escape para el caso de un objeto que se
lanza desde la superficie terrestre.
En el estado A, instante en que se lanza, existe energía potencial gravitatoria y energía cinética (el
objeto se halla en la superficie de la Tierra y con una velocidad inicial). En el estado B ambas son
0 (queremos hallar la velocidad “mínima” con que hay que lanzarlo, lo que equivale a decir que
llega al infinito con velocidad final 0 o que “le viene justo” llegar al infinito). Aplicando el principio de conservación de la energía:
EA = EB G
mT m 1 2
mve = 0 de donde ve
RT
2
2 G mT
RT
Teniendo en cuenta que GmT g 0 RT2 podemos escribir también que ve 2 g 0 RT
Sustituyendo las magnitudes por sus valores correspondientes (g0 = 9'81 N/kg y RT = 6370 km)
obtenemos finalmente que ve = 11 179'4 m/s = 40 245'9 km/h
Determinad con qué velocidad se debería lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba desde
la superficie terrestre para que alcanzase una altura máxima de 400 km. Simplificad el problema
ignorando el efecto de fricción que se produce con la atmósfera. Rdo. 2715'8 m/s
Un satélite artificial, de 103 kg de masa, se eleva hasta cierta altura desde la superficie de la Tierra. Una vez allí, es impulsado mediante cohetes propulsores para que pueda describir
una órbita circular, alrededor de la Tierra, con un movimiento
circular uniforme, de periodo T = 1’5 horas. Determinad:
a) Radio de la órbita que describe.
b) Rapidez con que se mueve en dicha órbita.
c) Energía total suministrada para situarlo en la órbita.
Datos: RT = 6370 km; g0 = 9'8 N/kg
Rdo. a) 6'65 · 106 m; b) 7737'6 m/s; c) 3'2·1010 J
9. GRAVITACIÓN UNIVERSAL
A lo largo de este tema hemos estudiado algunas aplicaciones de la Ley de Newton de la Gravitación Universal para explicar determinados fenómenos a escala terrestre (por ejemplo las mareas)
y de nuestro sistema solar (por ejemplo, las leyes de Kepler). Sin embargo, no conviene terminar
sin una reflexión acerca de la validez de dicha ley a escala cósmica.
Nuestra galaxia o Vía Láctea está formada por unos cien mil millones de estrellas (una de las
cuales es el Sol). Tiene un diámetro aproximado de 120 000 años luz (un año luz es la distancia
que recorre la luz en 1 año y la luz en el vacío se propaga a 300 000 km/s). Todo ese conjunto de
estrellas gira lentamente sobre su centro (nuestro Sol tarda unos 300 millones de años en dar una
vuelta completa) y se mantiene unido gracias a la fuerza de la gravedad.
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Es muy posible que muchas de las estrellas que forman una galaxia tengan planetas orbitando a
su alrededor, de forma análoga a como sucede con nuestro Sol. De hecho en el año 2003 ya se
había descubierto más de 100 planetas fuera de nuestro sistema solar.
Sin embargo, nuestra galaxia no es sino una más entre al menos varios miles de millones de galaxias. Las galaxias forman "enjambres" o conjuntos de varias decenas de galaxias unidas por fuerzas gravitatorias. La gravedad es pues una fuerza presente en todo el Universo y todos los experimentos realizados hasta la fecha parecen mostrar que la constante G de la Ley de Newton es,
efectivamente, una constante universal.
RECAPITULACIÓN
En este capítulo hemos comenzado por estudiar cuáles fueron los orígenes de la Teoría de la Gravitación Universal. Para ello hemos comenzado por analizar cómo se concebía el movimiento de
los astros en la antigua Grecia y concretamente el modelo geocéntrico de Universo. A continuación hemos visto cómo ese modelo empieza a tambalearse con los trabajos realizados por científicos como Copérnico, Galileo, Kepler, etc, y se va sustituyendo por el modelo heliocéntrico de
Copérnico. Finalmente, la ley de Newton de la gravitación Universal supuso la culminación de un
largo proceso de unión entre dos mundos que durante mucho tiempo habían sido considerados
como esencialmente distintos (el terrestre o sublunar y el celeste). La mecánica de Newton permitía, en efecto, explicar el movimiento de objetos terrestres y celestes.
Hemos introducido también los conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria, analizando sus
diferencias y nos hemos detenido en el análisis de algunas consecuencias importantes de la ley de
Newton de la Gravitación Universal . Concretamente en su utilidad para determinar la masa de
algunos planetas, para interpretar las mareas oceánicas, en el descubrimiento de nuevos planetas
y en la deducción teórica de la tercera ley de Kepler.
Así mismo nos hemos detenido en explicar la interacción gravitatoria entre los cuerpos mediante
el campo gravitatorio. Aunque se ha utilizado una descripción puramente fenomenológica de lo
que es un campo gravitatorio, hemos visto cómo se representa mediante líneas de fuerza y cómo
se puede hallar su intensidad en un punto dado del mismo.
El estudio del campo gravitatorio se ha completado utilizando consideraciones de trabajo y energía, para lo cual hemos desarrollado los conceptos de energía potencial gravitatoria y de potencial
del campo gravitatorio en un punto dado del mismo.
Para terminar, hemos procedido a aplicar los conocimientos anteriores al estudio del movimiento
de planetas y satélites, introduciendo conceptos como velocidad orbital, velocidad de escape, etc.
En el tema hemos tenido ocasión de cuestionar alguna idea "intuitiva" como, por ejemplo, que en
el vacío no puede haber "gravedad" y qué se quiere decir realmente cuando se afirma que un astronauta en una estación espacial que da vueltas alrededor de la Tierra, se encuentra en estado de
"ingravidez". También se ha tratado de aclarar algunas confusiones como las que se suelen dar
entre la aceleración de la gravedad y la intensidad del campo gravitatorio.
El movimiento de un objeto en el seno de un campo gravitatorio supone el traslado neto de materia de un punto a otro. Sin embargo existen otros movimientos de una naturaleza más compleja,
tal y como vamos a ver en los temas siguientes (vibraciones y ondas).
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1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. CUESTIONES, EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Imaginad el movimiento de una piedra que está cayendo libremente hacia el suelo y el movimiento de
un astro como la Luna alrededor de la Tierra. Explicad ambos movimientos según: a) Las ideas de Aristóteles. b) La mecánica de Newton
2. Algunos españoles saben que nuestro planeta se mueve más deprisa alrededor del Sol en invierno que
en verano. ¿En cuál de los dos casos está más cerca del Sol?
3. El periodo de revolución de Plutón en torno al Sol es de 247'7 años mientras que el en el caso de la Tierra es de 1 año y su distancia media al Sol de unos 149'6·106 km. Con estos datos, calculad a qué distancia
media se halla Plutón del Sol. Rdo. 5'9 · 109 km.
4. Un móvil de 2 Kg de masa se desplaza según la trayectoria: r = (0, 2t, 3) m (si t en s). Determinad su
cantidad de movimiento angular respeto del origen de coordenadas y comentad el resultado.
Rdo. L = (-12 , 0 , 0) kgm2/s; como M = 0, ocurre que L = constante.
5. Un cuerpo de 0'2 kg se desplaza con velocidad v = (2t, t, 1) m (si t en s). Sabiendo que en el instante
inicial se encontraba en el origen de coordenadas, determinad el momento de la fuerza actuante respecto
dicho origen. Rdo. M = (-0'2t , 0'4t , 0) N·m
6. Calculad el valor (módulo) de la cantidad de movimiento angular de la Luna respecto de la Tierra y
explicad por qué no cambia. Datos: mL = 7'4·1022 kg; distancia al centro de la Tierra r = 384000 km;
velocidad de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra vL = 1 km/s.
Rdo. L = 2'84·1034 kg·m2/s; como M = 0, ocurre que L = constante.
7. La Tierra en su trayectoria en torno al Sol pasa por dos puntos especiales. Uno, llamado perihelio es el
que se encuentra más cercano al Sol (147 millones de kilómetros). Otro, llamado afelio, es el que se encuentra más alejado del Sol (152 millones de kilómetros). Realizad un esquema representativo y a continuación, sabiendo que la velocidad de la Tierra en el afelio es de 29'31 km/s, calculad qué velocidad llevará en el perihelio. Rdo. 30'3 km/s.
8. ¿Qué consecuencia tiene en la caída de los cuerpos el hecho de que la masa inercial y la gravitatoria
sean directamente proporcionales? Rdo. Que, en ausencia de rozamiento, todos caigan con la misma aceleración.
9. Dos cuerpos de masa elevada se colocan sucesivamente y a la misma distancia entre ellos en diferentes
medios: a) aire, b) vacío, c) agua. Una persona afirma que la fuerza gravitatoria con que se atraerán será
máxima en el caso del agua, menos en el caso del aire y nula en el caso del vacío. Explicad en qué se
equivoca.
10. En ocasiones se dice que un astronauta que se halla en órbita se encuentra en
estado de ingravidez. Otras veces se ha
podido leer en la prensa que en una estación espacial situada a 400 km de altura
sobre la superficie terrestre las condiciones son de "microgravedad" o incluso que
no hay gravedad. Haz una crítica de estas
afirmaciones y explica qué es lo que se
debe entender científicamente.
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11. Determinad el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna sabiendo que
su masa es 81 veces menor que la de la Tierra y su radio 3’66 veces menor. ¿Qué pesará en su superficie
un astronauta que en la superficie de la Tierra tiene un peso de 1000 N? (g0T = 9’81 N/kg). Rdo. g0L =
1'62 N/kg.
12. ¿Por qué al actuar sobre un cuerpo la fuerza de atracción gravitatoria debida a la Tierra, la aceleración
que le produce es independiente de la masa que tenga el cuerpo?
13. Una teoría científica no se rechaza automáticamente simplemente porque alguna observación o los
resultados de algún experimento no puedan interpretarse a la luz de la misma. Para que una teoría sea eliminada deben darse, al menos, tres condiciones: a) Que exista una reiterada evidencia en contra, b) que se
disponga de otra teoría alternativa capaz de suplirla con ventaja (es decir que explique todo aquello que
explicaba la anterior y también lo que no), c) que exista un clima de libertad y unas condiciones que permitan asumir y defender las nuevas ideas en la comunidad científica de la época y ante la sociedad en general. Revisad el tema y tratad de encontrar alguna situación descrita en el mismo que apoye las afirmaciones anteriores.
14. A veces se define la energía potencial gravitatoria de una masa m situada en un punto dado de un
campo gravitatorio como el trabajo exterior (cambiado de signo) que, como mínimo, sería necesario realizar para llevar a dicha masa desde ese punto hasta el infinito. Justificad que dicha definición no se contradice con la que se ha dado en el tema.
15. Una cierta estrella de neutrones tiene una masa de 2'0·1030 kg y un radio de 10 km. Si fuera posible
dejar caer un objeto desde tan solo 2 m de altura sobre el "suelo" ¿con qué rapidez (en km/h) llegaría dicho objeto a la superficie de esa estrella? Rdo. 8'36·106 km/h.
16. Un atleta consigue una marca de salto de altura de 2'20 m. Suponiendo que se encontrase en el gimnasio de una hipotética base en la Luna ¿qué marca podría conseguir allí? Datos: la intensidad del campo
gravitatorio en la superficie lunar es g0L = 1'62 N/kg. Rdo. 13'3 m.
17. En un punto P de un campo gravitatorio se sitúa una masa (considerada puntual) de 0'5 kg y se comprueba que la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella vale 5 N y que su energía potencial es de -6'15 · 107
J. Con estos datos, se pide: a) Intensidad (módulo) del campo gravitatorio en P. b) Potencial del campo
gravitatorio en P. c) Valor de las dos magnitudes anteriores en el mismo punto P si no se colocase en él
ninguna masa. Rdo. a) 10 N/kg. b) -1'23·108 J/kg. c) El mismo.
18. Una masa de 900 kg se desplaza en el seno de un campo gravitatorio desde un punto A (en el que el
potencial es de -5·106 J/kg) hasta otro punto B (en el que el potencial es de -8·106 J/kg. Se pide: a) Trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria del campo. b) Justificad si la transformación es espontánea o forzada.
c) ¿Qué trabajo realizaría el campo si la masa m se trasladase desde A hasta el infinito? Rdo. a) 2'7·10 9 J.
b) Al ser positivo el trabajo realizado por el campo, la transformación sería espontánea. c) -4'5 · 109 J.
19. En los vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado se colocan tres masas (una en cada vértice) de
m1 = 5·105 kg, m2 = 106 kg y m3 = 107 kg. Se pide: a) Vector intensidad del campo gravitatorio resultante y
valor del potencial en el baricentro del triángulo. b) Energía potencial del sistema formado por las tres
masas. c) Fuerza que actuaría sobre una masa de 100 kg si la colocásemos en el baricentro y energía potencial que tendría dicha masa. (Suponed que todas las masas se pueden considerar como puntuales).
Rdo. a) g (6'21 10 5 , 4 10 5 ) N/kg,
V = -2’66·10-4 J/kg; b) Epsis = -206’77 J
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c) F (6'21 10 3 , 4 10 3 ) N , Ep = -2’66·10-2 J.
20. Los restos de satélites que hay en estos momentos por el espacio que rodea a la Tierra (basura espacial) se cuentan ya por millares y existe un serio peligro de que alguno de ellos impacte contra alguna
estación espacial o cualquier satélite en funcionamiento. Suponed que un satélite se encuentra describiendo una órbita de radio 1'2·RT y que de pronto sus sensores detectan una colisión inevitable contra un resto
de 10 g de masa que se halla en la misma órbita pero moviéndose en sentido contrario. Determinad con
qué energía cinética (medida respecto al satélite) chocará ese resto y comparad el valor obtenido con la
energía de una bala de la misma masa en el momento que sale de la boca de un rifle a 1000 m/s. Rdo.
1’04·106 J (respecto del satélite) frente a 5·103 J (energía cinética de la bala). Datos: g0 y RT.
21. Si la Luna se encontrara a 105 km de la Tierra, ¿cuál sería su periodo de revolución alrededor de la
misma? Rdo. 3'66 días. Datos: g0 y RT.
22. El planeta Marte tiene un satélite llamado Fobos que describe una órbita de 9400 km de radio alrededor del centro de ese planeta. Sabiendo que el periodo de revolución de Fobos es de 7'65 h, calculad cuál
será la masa de Marte. Rdo. 6'48·1023 kg.
23. Sabiendo que la Luna tiene un periodo de revolución T = 27’3 días. Determinad la distancia TierraLuna. (Masa de la Tierra mT = 6 ·1024 kg). Rdo. r = 3’84·108 m = 384.000 km
24. Para que un satélite en órbita permanezca siempre sobre el mismo punto de la superficie de la Tierra
situado en el ecuador, el satélite ha de girar alrededor del centro de la Tierra con el mismo periodo que el
periodo de rotación de la Tierra, es decir, dando una vuelta completa cada 24 h. Se le denomina órbita
geoestacionaria. Determinad el radio de la órbita geoestacionaria de la Tierra . Rdo. 42026 km.
25. Determinad la rapidez con que llegaría a la Tierra un cuerpo de masa m que se abandonase a una altura
igual a la mitad del radio terrestre si no existiera rozamiento con el aire. (Intensidad del campo gravitatorio
en la superficie terrestre g0T = 9’81 N/kg; radio de la Tierra RT = 6350 km). Rdo. 6444'3 m/s.
26. Un satélite artificial de 1’2 toneladas de masa se eleva a una distancia de 6.500 km del centro de la
Tierra y a continuación se le suministra la velocidad necesaria para que permanezca en órbita. a) ¿Cuál es
la energía mecánica del satélite en la órbita? Rdo. a) E = - 3’65 ·1010 J.
27. Un satélite se halla en órbita con movimiento circular y uniforme. Justificad qué ocurriría si, de repente disminuyese su velocidad en un cierto valor.
28. Determinad la energía necesaria para situar en órbita terrestre de un radio igual a dos veces el de la
Tierra un cuerpo de 104 kg de masa. Rdo. E = 4’67·1011 J
29. Un satélite artificial de 100 kg está girando alrededor de la Tierra y a una altura de 400 km sobre su
superficie. Calculad: a) La rapidez del satélite. b) Supuesto que no existe rozamiento, la energía necesaria
para situarlo en órbita desde la superficie terrestre. (RT = 6370 km). Rdo. a) v = 7'76·103 m/s. b) E =
3'39·109 J.
30. Un satélite de 104 kg de masa se sitúa en órbita terrestre de periodo 3 horas. Determinad: a) Radio de
la órbita que ocupa, rapidez con la que se desplaza y aceleración a la que se encuentra sometido. b) Si
desde la órbita anterior pasa a otra de radio 15000 km, ¿cuál será el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria? ¿Qué energía habrá sido necesaria? Rdo. a) r = 10.533.388 m, v = 6128 m/s, a = 3’56 m/s2.
b) WFg = -1’13 · 1011 J, E = 5’6 · 1010 J
31. Un satélite B va detrás de otro satélite A. Ambos se hallan describiendo la misma órbita con movimiento circular y uniforme. Una persona afirma que si B desea alcanzar al A lo que tiene que hacer es
aumentar su velocidad. Justificad por qué ese método en concreto no podría funcionar.
32. Hallad cuál debe ser el radio de la órbita de un satélite para que la energía necesaria para subirlo hasta
allí (solo subirlo) sea la misma que la energía cinética que se necesita comunicarle (una vez arriba) para
conseguir que describa una órbita de ese radio. Rdo. r = 1’5 RT.
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33. Para que un satélite quede en órbita terrestre a una cierta altura h sobre el suelo, se calcula que una vez
situado a esa altura hay que comunicarle una velocidad horizontal "v". Debido a un fallo informático se le
comunica una velocidad de 1'5 v. ¿Quedará el satélite en órbita? ¿Qué le ocurrirá? Rdo. Escapará de la
atracción gravitatoria terrestre ya que E será mayor que 0.
34. Calculad la velocidad de escape en km/h de un cuerpo lanzado desde la superficie de la Luna. Datos:
RL = 1'74 · 106 m; g0L = 1'62 N/kg. Rdo. 8547’7 km/h.
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