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Ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos (masa-resorte)
En general cuando se habla de ecuaciones diferenciales lo relacionamos con dolores de
cabeza, y más aun cuando deseamos aplicarlas en situaciones prácticas. El objetivo del
presente es hacer un poco más claro el hecho de cómo obtener las ecuaciones diferenciales
que representan a un sistema mecánico. Partiendo del diagrama siguiente.
k
F
g
m
x (t)
Obtendremos la ecuación diferencial que describe a dicho sistema, en primer lugar se debe de
tener presente la segunda ley de Newton la cual nos dice que
𝐹 = 𝑚𝑎
Para este caso la masa m es la que cuenta el bloque sujeto al resorte, la aceleración, como
sabemos de nuestros cursos de cálculo es la segunda derivada del desplazamiento x(t) (lo que
se mueve la masa).
Imaginemos que sujetamos la masa con las manos y la jalamos con una cierta fuerza, esta
fuerza es F, aparte de que también existe la fuerza de gravedad g, al hacer esto sentiremos una
fuerza contraria por la acción del resorte con una constante k, (la cual se opone a la fuerza que
estamos aplicando).
Teniendo en mente lo anterior y dándole a la segunda ley de Newton la siguiente forma.
𝑚𝑎 = ∑ 𝐹
(masa por aceleración igual a la suma de fuerzas)
Entonces, como se menciono anteriormente la aceleración es la segunda derivada de x(t), y la
constante del resorte se relaciona con el desplazamiento x(t) por lo que.
𝑚𝑎 = ∑ 𝐹
𝑚
𝑑2 𝑥(𝑡)
= −𝑘𝑥(𝑡) + 𝐹 + 𝑔
𝑑𝑡 2
La ecuación anterior representa al sistema masa-resorte
Imagen tomada de: http://www.azimadli.com/vibman-spanish/_glennespanol-2.png
Ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos (masa-resorte-amortiguador)
Para este caso se sigue el mismo enfoque que el anterior, a diferencia ya se cuenta con un
amortiguador con constante c, y el sentido de la fuerza comprime tanto al resorte como al
amortiguador reaccionando con una fuerza contraria, x es el desplazamiento, como se sabe el
resorte está relacionado con el desplazamiento, y el amortiguador se relaciona con la
velocidad, la cual es la primera derivada del desplazamiento. Al aplicar la segunda ley de
Newton, se tiene.
𝑚𝑎 = ∑ 𝐹
𝑚
𝑑2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
= −𝑘𝑥(𝑡) − 𝑐
+𝐹
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La cual es la ecuación del sistema masa-resorte-amortiguador
Imagen tomada de: http://zone.ni.com/cms/images/devzone/tut/slwzapxf55511.jpg