Download GUà A Ondas mecánicas

INTRODUCCIÓN
Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos experimentando un movimiento
ondulatorio. Los rizos en un estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros sonidos que no
podemos oír, los movimientos de un resorte largo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son
fenómenos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un sistema es perturbado de su posición
de equilibrio y cuando esta perturbación puede viajar o propagarse de una región del sistema a otra.
El sonido, la luz, las olas del mar, la transmisión de radio y televisión, y los terremotos, son
fenómenos ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas de la física y la biología; de
hecho, el concepto de onda es uno de los hilos unificadores más importantes que corren por toda la
tela de las ciencias naturales.
Este capítulo y los dos siguientes tratan las ondas mecánicas, ondas que viajan dentro de
algún material llamado medio. Comenzaremos por deducir las ecuaciones básicas que describen a las
ondas, incluido el importante caso especial de las ondas periódicas en las que la configuración de la
onda se repite conforme la onda se propaga. El Cap. 20 trata de lo que sucede cuando dos o más
ondas ocupan el mismo espacio, dando pie a la interferencia, y el Cap. 21 se ocupa de un tipo de onda
mecánica de especial importancia llamada sonido.
No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es la de las ondas
electromagnéticas, que incluyen la luz, las ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los
rayos x y los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio; pueden viajar por el
espacio vacío. Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comportamiento tipo onda de las
partículas atómicas y subatómicas. Este comportamiento forma parte de los cimientos de la mecánica
cuántica, la teoría básica que se usa para analizar la estructura atómica y molecular. Volveremos a
las ondas electromagnéticas en capítulos posteriores. Mientras tanto, podemos aprender el lenguaje
esencial de las ondas en el contexto de las ondas mecánicas.
TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS
Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que el medio de la
onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de
varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.
La Fig.19-1 muestra 3 variedades de ondas mecánicas. En la Fig.19-1a el medio es un hilo o
cuerda tensado. Si imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudida hacia arriba, la sacudida
viaja a lo largo del hilo. Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que dimos al extremo,
pero en instantes posteriores sucesivos.
Dado que los desplazamientos del medio son
perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata
de una onda transversal.
En la Fig.1b el medio es un líquido o gas en un tubo con una pared rígida en el extremo
derecho y un pistón móvil en el izquierdo.
Si damos al pistón un solo
movimiento hacia delante y
hacia
atrás,
el
desplazamiento
y
las
fluctuaciones de presión
viajarán a lo largo del medio.
Esta vez los movimientos de
las partículas del medio son
en la misma línea en que
viaja la onda, y decimos que
se trata de una onda
longitudinal.
En la Fig. 19-1c el medio es agua en un canal, como una zanja de irrigación. Si movemos la
tabla plana de la izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alteración ondular viajará a lo
largo del canal. En este caso los desplazamientos del agua tienen tanto longitudinal como
transversal.
Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. Para la cuerda estirada, es el estado
en que el sistema está en reposo, tendido en la línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en
que el fluido está en reposo con presión uniforme, y para el agua en una zanja es una superficie lisa y
plana de agua. En cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración del estado de equilibrio que
viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a restablecer el sistema a su
posición de equilibrio cuando se le desplaza,
Estos ejemplos tienen tres cosas en común.
Primera: la perturbación siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada
rapidez de propagación o simplemente rapidez de la onda, determinada en cada caso por las
propiedades mecánicas del medio. Usaremos el símbolo υ para esta rapidez. (La rapidez de la onda
no es la rapidez con que se mueven las partículas cuando son movidas por la onda.
Segunda: El medio mismo no viaja por el espacio; sus partículas individuales realizan movimientos
alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configuración global de la perturbación
ondulatoria.
Tercera: para poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, debemos aportar energía realizando
trabajo mecánico sobre el sistema. La onda transporta esta energía de una región del medio a la otra.
Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra.
19-5 : (a). La grafica de y(x,t) v/s la coordenada x para un instante especifico, en este caso para t=0,
describe la forma de la onda en ese instante
(b) la grafica de y(x,t) V/s el tiempo para
una coordenada especifica , en este caso x=0
, describe el movimiento de una partícula en
esa coordenada en función del tiempo . la
escala vertical esta exagerada tanto en (a)
como en (b)
ONDAS PERIÓDICAS
La onda transversal en una cuerda estirada de la Fig. 191 es un
ejemplo de un pulso de onda. La mano sacude la cuerda una
vez,
ejerciendo una fuerza transversal sobre ella. El resultado es un
solo
pulso que viaja a lo largo de la cuerda. La tensión de la cuerda
restablece su forma recta una vez que el pulso ha pasado.
Ocurre una situación más interesante cuando
imprimimos al extremo libre de la cuerda un movimiento
repetitivo, o periódico. Entonces, cada partícula de la cuerda
tendrá
un movimiento periódico al propagarse de la onda, y tendremos
una
onda periódica.
En particular, suponga que movemos
verticalmente la cuerda con un movimiento armónico simple
(MAS)
de amplitud A, frecuencia ƒ, frecuencia angular ω= 2πƒ y
periodo
T=1/ƒ = 2π/ ω. En la Fig. 19-2 se muestra una posible
configuración experimental.
Como veremos, las ondas
periódicas con MAS son especialmente fáciles de analizar; las
llamamos ondas senoidales. Resulta también que cualquier
onda
periódica puede representarse como una combinación de ondas
senoidales. Por tanto, este tipo de movimiento ondulatorio
merece
atención especial.
En la Fig.19-2 la onda que avanza por el hilo es una sucesión
continua de alteraciones senoidales transversales. La Fig. 19-3
muestra
la forma de una parte del hilo cerca del extremo izquierdo a
intervalos de ⅛ de periodo, para un tiempo total de un periodo.
La
forma de onda avanza uniformemente hacia la derecha, como
indica
la flecha roja que señala a una cresta específica. Al moverse la
onda,
cualquier punto del hilo (el punto rojo, por ejemplo) oscila
verticalmente alrededor de su posición de equilibrio con un
MAS.
Cuando una onda senoidal pasa por un medio, todas las
partículas del medio experimentan un movimiento armónico
simple
con la misma frecuencia.
¡CUIDADO! No confunda el movimiento de la onda
transversal a lo largo del hilo con el de una partícula del hilo.
La
onda avanza con rapidez constante υ a lo largo del hilo,
mientras que el movimiento de la partícula es armónico simple
y
perpendicular a la longitud del hilo.
Para una onda periódica, la forma del hilo en cualquier
instante
es una configuración repetitiva.
La longitud de una
configuración de onda completo es la distancia entre una cresta y la siguiente, o de un valle al
siguiente, o de cualquier punto al punto correspondiente en la siguiente repetición de la forma.
Llamamos a esta distancia longitud de onda de la onda, denotada con λ. La configuración de onda
viaja con rapidez constante υ y avanza una longitud de onda en el lapso de un periodo T. Por tanto,
la rapidez de la onda υ está dada por υ = λ/T o, dado que ƒ = 1/T,
υ = λƒ
(onda periódica).
CONCEPTOS CLAVES
Una onda es una perturbación del equilibrio que viaja, o se propaga, de una región del espacio
a otra. La rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda. Las ondas pueden ser
transversales, longitudinales o una combinación de ambas.
______________________________________
En una onda periódica, la perturbación en cada punto es una función periódica de la distancia. Una
onda periódica tiene una frecuencia y longitud de onda definidas. En las ondas periódicas senoidales
cada partícula del medio oscila en movimiento armónico simple.
_______________________________________
La función de onda sitúa cada punto en el medio en que se propaga la onda en cualquier instante.
_______________________________________
La rapidez de las ondas en un medio, tal como un hilo estirado está determinada por las propiedades
elásticas e inerciales del medio.
_______________________________________
Una onda sonora en un gas es una onda longitudinal. La rapidez de la onda está determinada por la
temperatura y la masa molecular del gas.
_______________________________________
Las ondas transportan energía por el espacio. En el caso de las ondas senoidales, la razón de
transporte de energía es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.
_______________________________________
Ondas Mecánicas
La rapidez de propagación es igual al producto de la longitud de la onda y
frecuencia. La frecuencia es una propiedad de toda onda periódica porque
todos los puntos del hilo oscilan con la misma frecuencia f.
En muchas situaciones importantes la rapidez de la onda V depende únicamente de las
propiedades mecánicas del medio. En este caso aumentar f hace que 𝜆 disminuya de
modo que el producto V = 𝜆𝑓
no cambie, y la ondas de todas las frecuencias se
propagan con la misma rapidez. En este capitulo solo consideraremos ondas de este tipo.
(En capítulos posteriores estudiaremos la propagación de ondas de luz en sustancias para
las que la rapidez de la onda depende de la frecuencia; ésta es la razón por la que los
prismas descomponen la luz blanca en un espectro y por la que las gotas de lluvia crean un
arco iris).
Para entender la mecánica de una onda periódica longitudinal, consideramos un
tubo largo lleno de un fluido, con un pistón en el extremo izquierdo como en la Fig. 19-1b.
Si empujamos el pistón, comprimimos el fluido cerca de el, aumentando la presión en esta
región. Luego, esta región empuja la región vecina de fluido, etc., y un pulso de onda viaja
por el tubo.
Suponga ahora que movemos el pistón con un movimiento armónico simple a lo largo de
una línea paralela al eje del tubo (Fig.19-4). Este movimiento forma regiones en el fluido en
las que la presión y densidad son mayores o menores que los valores de equilibrio. A una
región de mayor presión la llamamos comprensión. En la figura, representamos las
comprensiones con regiones oscuras. Una región de presión reducida es una expansión;
en la figura, estas regiones se representan con áreas claras. La flecha roja indica la
posición de una comprensión en particular; las comprensiones y expansiones avanzan
hacia la derecha con una rapidez constante V
El movimiento de una sola partícula del medio, como la indicada con un punto rojo en la
figura 19-4 es un MAS paralelo a la dirección de propagación de la onda. La longitud de
onda es la distancia de una comprensión a la siguiente o de una expansión a la siguiente.
La ecuación fundamental V = 𝜆𝑓
se cumple para las ondas longitudinales igual que
para las transversales y, de hecho, para todos los tipos de ondas periódicas. En este
capitulo solo consideraremos situaciones en las que la rapidez de las ondas longitudinales
no dependen de la frecuencia.
EJEMPLOS:
Las ondas sonoras son ondas longitudinales en aire. La rapidez del sonido depende
de la temperatura; a 20ºC es de 344 m/s.
Calcule la longitud de onda sonora en el aire a 20ºC si f = 262 Hz (la frecuencia
aproximada del Do central de un piano).
Solución:
El “Do alto” que cantan las sopranos de floreos y cadencias en el canto (coloratura) está
dos octavas arriba del Do central.
Cada octava corresponde a un factor de 2 en la frecuencia, así que la frecuencia del Do
alto es cuatro veces la del Do central f =4 (262 Hz) = 1048 Hz. La rapidez de las ondas
sonoras no cambia por cambios en la frecuencia, así que la longitud de onda es la cuarta
parte, 𝜆= (1.31m)/4 = 0.328m.
Descripción matemática de una onda
Muchas características de las ondas periódicas pueden describirse usando los
conceptos de la rapidez de onda, periodo, frecuencia y longitud de onda, pero es común
que necesitemos una descripción más detallada de las posiciones y movimientos de
partículas individuales del medio en instantes específicos durante la propagación de una
onda, una función que describe la posición de cualquier partícula en el medio en cualquier
instante. Nos concentraremos en las ondas senoidales, en las que cada partícula tiene
MAS alrededor de su posición de equilibrio.
Como ejemplo específico, examinemos las ondas de un hilo estirado. Si ignoramos el
pandeo del hilo por la gravedad, la posición de equilibrio es de una línea recta, la cual
tomamos como eje x. El valor de y depende de qué partícula estamos considerando (es
decir, y depende de x) y también del instante t en que la consideramos. Así, para calcular
el desplazamiento (respecto al equilibrio) de cualquier partícula en cualquier instante. Con
esto podemos calcular la velocidad y aceleración de cualquier partícula, la forma del hilo y
todo lo que nos interese acerca del comportamiento del hilo en cualquier instante.
Función de onda de una onda senoidal
Veamos cómo determinar la forma de la función de onda para una onda senoidal.
Suponga que una onda senoidal viaja de izquierda a derecha (dirección de x creciente) por
el hilo, como en la Fig. 19-3. Cada partícula de hilo oscila con un MAS de la misma
amplitud y frecuencia, pero las oscilaciones de partículas en diferentes puntos del hilo no
están todas coordinadas. La partícula marcada con el punto rojo en la Fig. 19-3 está en su
máximo valor positivo de y en t = 0 y vuelve a y = 0 en t = 2T/8; esto mismo sucede con
una partícula en el centro de la banda sombreada en t = 4T/8, y t = 6T8, exactamente
medio periodo después. Para dos partículas cualesquiera de hilo, el movimiento de la
partícula de la derecha se retrasa respecto al de la partícula de la izquierda en una
cantidad proporcional a la distancia entre partículas.
Así los movimientos cíclicos de diversos puntos del hilo están desfasados uno respecto a
otro en diversas fracciones de un ciclo. Estas diferencias se llaman diferencias de fase, y
decimos que la fase del movimiento es diferente para puntos distintos. Por ejemplo, si un
punto tiene su desplazamiento positivo máximo al mismo tiempo que otro tiene su
desplazamiento negativo máximo, los dos están desfasados medio ciclo. (Ésta es el caso
del punto rojo de la Fig. 19-3 y un punto en el centro de la banda sombreada).
Suponga que el desplazamiento de una partícula en el extremo izquierdo del hilo (x=0),
donde se origina la onda, está dado por
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜔=
𝜑𝑟𝑎𝑑
𝑡
𝜑𝑟𝑎𝑑 = 𝜔𝑡
𝜔=
2𝜋
𝑇
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓𝑡
Y= y(x,t) , función de onda.
Para x=0 , y= 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑥
𝑥
Y(x,t)= 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔 (𝑡 − ) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓 (𝑡 − )
𝑡
𝑣
𝑥
𝑣
Y(x,t)= 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓 (𝑇 − 𝜆)
𝑘=
2𝜋
𝜆
2𝜋
Número de onda
𝜆= 𝑘
y
En 𝑣 = 𝜆𝑓
𝜔
𝑓 = 2𝜋
𝜔 = 𝑣𝑘 Onda periódica.
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
(Onda senoidal)
Para t=0 , 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(−𝑘𝑥) = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥
𝑥
, 𝑦 = −𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 𝜆
Para x=0 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛2𝜋
𝑡
𝑇
Para una onda que viaja en la dirección –x
𝑥
𝑡
𝑥
Y(x,t)= 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔 (𝑡 + 𝑣) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 (𝑇 + 𝜆)
Como: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥) , 𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 se denomina fase de onda.
Para y= A , 1 = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥)
Entonces los valores que puede tomar
𝜋 5𝜋
𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 son : 2 , 2
Para y=0 , los valores que puede tomar : 𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 son : 0 , 𝜋 , 2𝜋
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜔
𝑘
,
𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 = 𝑐𝑡𝑒.
𝑑𝜔
𝑑𝑥
𝜔
−𝑘
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑥
𝜔
=𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡
rapidez de fase.
Podemos reescribir la función de onda dad por la Ec. (19-3) de varias formas útiles.
𝑉
Podemos expresarla en términos del periodo T= 1l f y de longitud de onda 𝜆 =
𝑓
𝑡 𝑥
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 ( − )
𝑇 𝜆
(Onda senoidal que se mueve en la dirección +X)
Obtenemos otra forma útil de la función de onda si definimos una cantidad k llamada
número de onda:
𝑘=
2𝜋
𝜆
(Número de onda)
2𝜋
Sustituyendo 𝜆= 𝐾
y f = ω/2π en la relación V = 𝜆𝑓
obtendremos
𝜔 = 𝑉𝐾
Ahora podemos reescribir la Ecuación anterior como:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) , 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 se denomina fase de onda.
Y corresponde a una onda que se mueve en la dirección +X
Cuál de estas formas de la función de onda y (x, t) usemos en un problema
específico es cuestión de comodidad. Observe que ω está en rad/s, así que, por
coherencia, el número de onda k debe estar en rad/m en las Ecuaciones. (19-6) y (19-7).
(Algunos físicos definen el número de onda como 1/ 𝜆 en lugar de 2π/𝜆. Al leer otros textos,
verifique cómo se definió este término.)
En la Fig. 19-5a se representa gráficamente la función de onda y(x, t) en función de x para
un instante específico t. Esta gráfica da el desplazamiento y de una partícula respecto a su
posición de equilibrio en función de la coordenada x de la partícula. Si se trata de una onda
transversal en un hilo, la curva de la Fig. 19-5ª representa la forma del hilo en ese instante,
como una instantánea del hilo. En particular, en t = 0,
𝑥
𝑦(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(−𝐾𝑥) = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝐾𝑥 = −𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋
𝜆
En la Fig. 19-5b se muestra una gráfica de la función de onda vs. El tiempo t para una
coordenada x específica. Esta curva da el desplazamiento y de la partícula en esa
coordenada en función del tiempo; es decir, describe el movimiento de la partícula.
Específicamente, en la posición x = o.
𝑡
𝑦(𝑥 = 0, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋
𝑇
Esto es congruente con lo que dijimos originalmente sobre el movimiento en x = 0,
CUIDADO  Asegúrese de entender la diferencia entre Figs. 19-5a y 19-5b. En
particular, observe que la Fig. 19-5b no es una imagen de la forma del hilo; es una
gráfica de posición y de una partícula en x = 0 en función del tiempo.
Podemos modificar las Ecuaciones. (19-3) a (19-7) para representar una onda que viaja en
la dirección x negativa. En este caso el desplazamiento del punto x en el instante t es el
𝑥
mismo que el punto x=0 en un instante posterior (𝑡 + 𝑉), asi que sustituimos por t por
𝑥
(𝑡 + 𝑉), en la ecuación obtenida para una onda que viaja en la dirección +X:
𝑥
𝑡
𝑥
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓 (𝑡 + 𝑉) = Asen2𝜋 (𝑇 + 𝜆) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝐾𝑥) , que corresponde a la
ecuación de onda para una perturbación que se mueve en la dirección En la expresión y (x, t) = A sen (ωt ±kx ) para una onda que viaja en la dirección –x
o +x, la cantidad (ωt ±kx ) se denomina fase, y desempeña el papel de una cantidad
angular (siempre en radianes) en la Ecuación. (19-7) o (19-8); su valor para valores
cualesquiera de x y t determina qué parte del ciclo senoidal está ocurriendo en un punto e
instante dados. Para una cresta positiva (donde y = A y la función de seno vale 1), la fase
podría ser π/2, 5 π/2, etc.; para un punto de desplazamiento cero podría ser 0, π, 2π, etc.
La rapidez de onda es la rapidez con que tenemos que movernos con la onda para
mantenernos junto a un punto con la dase dada, tal como una cresta específica de una
onda en un hilo. Para una onda que viaja en la dirección +x, eso implica ωt-kx=constante.
Derivando respecto a t, obtenemos ω=k dx/dt, o
Si comparamos esto con la ecuación apropiada, vemos que dx/dt es igual a la rapidez V de
la onda.
Por esta relación, a veces se llama a velocidad de fase de la onda. (Rapidez de fase seria
un mejor término.)
Estrategia para resolver problemas
Ondas mecánicas
1.- Es útil distinguir entre problemas de cinemática y problemas de dinámica . en los
primeros solo nos interesa describir el movimiento; las cantidades pertinentes son: rapidez
de onda , longitud de onda , numero de onda, frecuencia o frecuencia angular , amplitud y
la posición , velocidad y aceleración de las partículas individuales. En problemas de
dinámica intervienen conceptos como fuerza y masa ; la relación entre la rapidez de onda y
las propiedades mecánicas de un sistema es un ejemplo de ello.
Ejemplo de aplicación:
Onda en un tendedero Su primo Tito está jugando con la cuerda para tender, desata un
extremo, tensa la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente con
f =2.00 Hz y A = 0.075m. La rapidez de onda es V =12.0 m/s. En t = 0, el extremo tiene
cero desplazamiento y se mueve en la dirección +y. Suponga que ninguna onda rebota
del extremo lejano para no complicar la configuración de la cuerda. a) Calcule la amplitud,
frecuencia angular, periodo, longitud de onda y número de onda de la onda.
b) Escriba
una función de onda que describa a la onda. c) Escriba ecuaciones para el desplazamiento
en función del tiempo del extremo que sujeta Tito y de un punto a 3.00 m de ese extremo.
Solución a) La amplitud de A de la onda es la del movimiento del extremo de la cuerda, A
= 0.075 m. La frecuencia angular es
ONDAS MECÁNICAS
ω = 2π 𝑓 = (2π rad/ciclo) (2.00 ciclos/s) = 4.00π rad/s
= 12.6 rad/s.
El periodo es T = 1/ 𝑓 = 0.500 s. Obtenemos la longitud de onda de la Ec. (19-1):
𝜆=
𝜐
𝑓
12.0 𝑚/𝑠
=
2.00 𝑠 𝑠−1
= 6.00 𝑚.
Obtenemos el número de onda de la Ec. (19-5) o (19 -6):
𝑘=
𝑘=
2𝜋
𝜆
𝜔
𝜐
=
=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
6.00 𝑚
= 1.05 rad/m,
4.00 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
12.0 𝑚/𝑠
o bien
= 1.05 rad/m.
b) Tomamos como x= 0 la coordenada del extremo de la cuerda que sujeta Tito, y como dirección +x
la dirección en que la onda se propaga por la cuerda. La función de onda está dada entonces por la
Ecuación.
(19-4):
𝑡
𝑥
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 ( 𝑇 − 𝜆 )
𝑡
= (0.075 m) sen 2π ( 0.500 𝑠 −
𝑥
6.00 𝑚
)
= (0.075 m) sen [(12.6 rad/s) t – (1.05 rad/m) x].
Podemos obtener esta misma ecuación de la Ecuación. (19-7) usando los valores de ω y 𝑘 que
obtuvimos antes. La cantidad (12.6 rad/s) t – (1.05 rad /m) x es la fase de un punto x de la cuerda en
el instante t.
c) Con la dirección +x que escogimos, los dos puntos en cuestión están en x= 0 y x-0 +3.00 m. Para
cada uno, podemos obtener una expresión para el desplazamiento en función de t sustituyendo estos
valores de x en la función de onda obtenida en el apartado (b):
𝑡
0
𝑦(𝑥 = 0, 𝑡) = (0.075 𝑚) 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 ( 0.500 𝑠 − 6.00 𝑚 )
= (0.075 𝑚) 𝑠𝑒𝑛(12.6 𝑟𝑎𝑑/𝑠) T,
𝑡
3.00 𝑚
𝑦(𝑥 = +3.00 𝑚, 𝑡) = (0.075 𝑚)𝑠𝑒𝑛 2𝜋 ( 0.500 𝑠 − 6.00 𝑚 )
= (0.075 𝑚)𝑠𝑒𝑛 [(12.6𝑟𝑎𝑑/𝑠) t – 𝜋 𝑟𝑎𝑑].
Las fases de estos dos puntos separados por media longitud de onda
(𝜆/2 = (6.00 𝑚)/2 = 3.00 𝑚)
Difieren en 𝜋 radiantes. Ambos oscilan con un MAS con la misma frecuencia y amplitud,
pero sus oscilaciones están desfasadas medio ciclo.
Usando la expresión anterior para 𝑦(𝑥 = 0, 𝑡) , ¿puede demostrar que el extremo de la cuerda en x=
0 se mueve en la dirección positiva en t= 0 como se dijo al principio?
VELOCIDAD Y ACELERACION DE PARTICULAS EN UNA ONDA SENOIDAL
De la función de onda podemos obtener una expresión para la velocidad transversal de
cualquier amplitud en una onda transversal, que llamamos υy en un punto x dado, derivamos la
función de onda 𝑦(𝑥, 𝑡) respecto a t, manteniendo x constante. Si la función de onda es
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥),
Entonces
𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
𝜐𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝜕𝑡 = 𝜔 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥).
(19-9)
En esta expresión, 𝜕 es una d modificada para recordarnos que y(x,t) es una función de dos variables
y que sólo estamos que una de ellas (t) varíe. La otra (x) es constante porque estamos examinando un
punto dado del hilo. Ésta es una derivada parcial. Si Ud. no ha llegado a ese punto en sus cursos de
cálculo, no se preocupe; es una idea sencilla.
La Ecuación. (19-9) muestra que la velocidad transversal de una partícula varía con el
tiempo, lo esperado en un movimiento armónico simple. La rapidez máxima de una partícula es 𝜔𝐴 ;
ésta puede ser mayor, menor o igual que la rapidez de la onda 𝜐, dependiendo de la amplitud y
frecuencia de la onda.
La aceleración de cualquier partícula es la segunda derivada parcial de 𝑦(𝑥, 𝑡) respecto a t:
𝑎𝑦(𝑥, 𝑡 ) =
𝜕2 𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡 2
= (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) = −𝜔2 𝑦(𝑥, 𝑡).
(1)
La aceleración de una partícula es igual a -𝜔2 por su desplazamiento, que es el resultado que
obtuvimos en la Sec. 13-3 para el movimiento armónico simple.
También podemos calcular derivadas parciales de y(x,t) respecto a x, manteniendo t constante.
Esto equivale a estudiar la forma del hilo en un momento dado, como una instantánea. La primera
derivada 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑥 es la pendiente del hilo en cualquier punto.
La segunda derivada parcial segunda respecto a x es la curvatura del hilo:
𝜕2 𝑦(𝑥,𝑡)
= −𝑘 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) = −𝑘 2 𝑦(𝑥, 𝑡)
Por las Ecuaciones. (1) y (2) y la relación 𝜔 = 𝜐𝑘 , vemos que
𝜕𝑥 2
2
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)/𝜕𝑡
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕 𝑥2
=
1 𝜕2 𝑦(𝑥,𝑡)
𝜐2
𝜕𝑡 2
=
𝜔2
𝑘2
(2)
= 𝜐2,
(ecuación de onda)
La función de onda 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)también satisface esta relación.
La Ecuación. (2), llamada ecuación de onda, es una de las más importantes en la física.
Siempre que ocurre, sabemos que una perturbación puede propagarse como una onda a lo largo del
eje x con una rapidez 𝜐. La perturbación no tiene que ser una onda senoidal; veremos en la siguiente
sección que cualquier onda en un hilo obedece la Ecuación. (2), sea periódica o no. Posteriormente
veremos que los campos eléctricos y magnéticos
satisfacen la ecuación de la onda; la rapidez de la
onda resulta ser la de la luz, lo que nos llevará a la
conclusión de que la luz es una onda
electromagnética.
La Fig. 19-6a , muestra la velocidad 𝜐𝑦 y la
aceleración 𝑎𝑦, dadas por las Ecs. (19-9) y (1910), para varios puntos de un hilo cuando una
onda senoidal pasa por él. Observe que en los
puntos donde el hilo tiene curvatura hacia arriba
(𝜕 2 𝑦/𝜕𝑡 2 > 0), la aceleración del punto es
positiva
(𝑎𝑦 = 𝜕 2 𝑦/𝜕𝑡 2 > 0); esto sale en la ecuación de
onda, Ec. (19-12). Por la misma razón, la
aceleración es negativa (𝑎𝑦 = 𝜕 2 /𝜕𝑡 2 < 0) en los
puntos donde el hilo tiene curvatura hacia abajo
( 𝜕 2 𝑦/𝜕𝑥 2 < 0), y la aceleración es 0 (𝑎𝑦 =
𝜕 2 𝑦/𝜕𝑡 2 = 0)
En los puntos de inflexión donde la curvatura es 0
(𝜕 2 𝑦/𝜕𝑥 2 = 0). Subrayamos otra vez que
𝜐𝑦 𝑦 𝑎𝑦 son la velocidad y aceleración
transversales de puntos en el hilo; estos puntos se mueven en la dirección y, no en la dirección de
propagación de la onda. Los movimientos transversales de varios puntos del hilo pueden verse en la
Fig. 19-6b.
El concepto de función de onda es igualmente útil para las ondas longitudinales, y todo lo que hemos
dicho sobre funciones de onda se puede adaptar a este caso. La cantidad 𝑦 aún mide el
desplazamiento de una partícula del medio respecto a su posición de equilibrio; la diferencia es que
ahora es paralelo al eje x en lugar de perpendicular a él. Veremos las ondas longitudinales con detalle
en la Sec. 19-6.
VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL
Una de las propiedades clave de cualquier onda es su rapidez. Las ondas de luz en el aire tiene
una rapidez de propagación mucho mayor que las de sonido (3.00 108 m/s vs. 344 m/s); es por esto
que vemos el relámpago de un rayo antes de oír el trueno. En esta sección veremos qué determina la
rapidez de propagación de un tipo de onda específico: ondas transversales en un hilo. La rapidez de
estas ondas es importante por derecho propio porque es una parte esencial del análisis de los
instrumentos musicales de cuerda, como veremos en el Cap. 20. Además, la rapidez de muchos tipos
de ondas mecánicas tiene la misma expresión matemática básica que la rapidez de ondas en un hilo.
Las cantidades físicas que determinan la rapidez de las ondas transversales en un hilo son la tensión
del hilo y su masa por unidad de longitud (también llamada densidad de masa lineal). Podríamos
suponer que aumentar la tensión aumenta las fuerzas de restitución que tienden a enderezar el hilo
cuando se le perturba, aumentando así la rapidez de la onda. También podríamos suponer que
aumentar la masa haría el movimiento más lento, reduciendo la rapidez. Resulta que ambas ideas son
correctas. Desarrollaremos la relación exacta entre rapidez de onda, tensión y masa por unidad de
longitud usando dos métodos distintos. El primero es conceptualmente sencillo y considera una
forma de onda específica; el segundo es más general pero también más formal. Escoja el que más le
guste.
RAPIDEZ DE ONDAS EN UN HILO: PRIMER MÉTODO
Consideramos un hilo perfectamente
flexible (fig. 19-7). En la posición de
equilibrio la tensión es F, y la densidad de
masa lineal (masa por unidad de longitud)
es µ. (Cuando partes del hilo están
desplazadas respecto al equilibrio, la masa
por unidad de longitud disminuye un poco
y la tensión aumenta un poco.) Ignoraremos
el peso del hilo, de modo
Velocidad de una onda transversal
Consideremos un hilo perfectamente flexible (ver figura anterior) . En la posición de
equilibrio la tensión F , y la densidad de la masa lineal (masa por unidad de longitud) es 𝜇 (Cuando
partes de hilo están desplazadas respecto del equilibrio , la masa por unidad de longitud disminuye
un poco y la tensión aumenta un poco). Ignoramos el peso del hilo, de modo que cuando el hilo este
en reposo en la posición de equilibrio forme una línea perfectamente recta como en la figura
adjunta
Comenzando en el instante t=0 aplicamos una fuerza transversal constante 𝐹𝑦 y al extremo
izquierdo del hilo. Podríamos esperar que el extremo se moviera con una aceleración constante; eso
sucedería si a la fuerza se aplicara a una masa puntual. Aquí, el efecto de la fuerza 𝐹𝑦 es poner
sucesivamente más y más masa en cada movimiento. Como se muestra en la figura, la onda viaja con
una rapidez constante V , así que el punto de división P entre las porciones en movimiento y estáticas
se mueve con la misma rapidez constante V.
La figura muestra que todas las partículas de la parte del hilo en movimiento se mueven hacia arriba
con velocidad constante 𝑉𝑦 , no aceleración constante. Para entender esto observamos que el impulso
de la fuera𝐹𝑦 hasta el instante t es 𝐹𝑦 t. Según el según el teorema del impulso-cantidad de
movimiento, el impulso es igual al cambio en la componente trasversal total de la cantidad de
movimiento (m𝑉𝑦 – 0 de la parte del hilo en movimiento).Dado que el sistema empezó sin cantidad
de movimiento trasversal, esto es igual a la cantidad de movimiento total en el instante t:
𝐹𝑦 t. = 𝑚𝑉𝑦
Así, la cantidad d movimiento total debe aumentar proporcionalmente con el tiempo.Sin
embargo, dado que el punto de división P se mueve con una rapidez constante, la longitud del hilo
que esta en movimiento y, por tanto, la masa total m en movimiento también son proporcionales al
tiempo t durante el cual la fuerza ha estado actuando. Por tanto, el cambio de cantidad de movimiento
debe estar asociado únicamente a la cantidad creciente de masa en movimiento, no a una velocidad
creciente de un elemento de masa individual. Es decir, mvy cambia porque cambia m, no vy.
En el instante t, el extremo izquierdo del hilo ha subido una distancia 𝑉𝑦 t.y el punto de frontera P ha
avanzado una distancia Vt. La fuerza total en el extremo izquierdo del hilo tiene componentes F
y 𝐹𝑦 .¿Por que F? No hay movimiento en la dirección a lo largo del hilo, Así que no hay ninguna
fuerza horizontal no compensada. Por tanto F, la magnitud de la componente horizontal, no cambia
cuando el hilo se desplaza. En la posición desplaza la tensión es (F² mas 𝐹𝑦 .² y) ½ (mayor que F), y el
hilo se estira un poco.
Para deducir una expresión para la rapidez de la onda υ, aplicamos otra vez el teorema del
impulso-cantidad de movimiento a la parte del hilo en movimiento en el estante t, es decir, la parte a
la izquierda de P en la Fig.19-7b. El impulso transversal (fuerza transversal multiplicada por el
tiempo) es igual al cambio de cantidad de movimiento transversal de la parte en movimiento (masa
multiplicada por el componente transversal de la velocidad). El impulso de la fuerza transversa l𝐹𝑦 .
en el instante t es𝐹𝑦 t. . En la figura, el triangulo rectángulo cuyo vértice esta en P, con catetos 𝑉𝑦 t y
Vt, es semejante al triangulo cuyo vértice esta en la posición de la mano, con catetos 𝐹𝑦 y F. Por
tanto.
𝐹𝑦 𝑉𝑦 𝑡
=
𝐹
𝑉𝑡
De donde: 𝐹𝑦 = 𝐹
𝑉𝑦
𝑉
de donde , el impulso transversal esta dado por: 𝐹𝑦 𝑡 = 𝐹
𝑉𝑦
𝑉
𝑡
La masa de la parte en movimiento del hilo es el producto de la masa por unidad de
longitud µ y la longitud Vt, o sea µVt. La cantidad de movimiento transversal es el producto
de esta masa y la velocidad transversal 𝑉𝑦
Cantidad de movimiento transversal= (µVt) 𝑉𝑦
Observamos una vez mas que la cantidad de movimiento aumenta con el tiempo no porque la masa se
mueva con mayor rapidez, como solía suceder en el Cap.8, sino porque mas masa se esta poniendo en
movimiento. No obstante, el impulso de la fuerza Fy sigue siendo igual al cambio total de cantidad de
movimiento del sistema. Aplicando esta relación, obtenemos.
𝐹
𝑉𝑦
𝑡 = 𝜇𝑉𝑡𝑉𝑦
𝑉
𝐹
Despejando V, tenemos: 𝑉 = √𝜇
La ecuación anterior confirma nuestra predicción de que la rapidez de una onda V
debe aumentar al aumentar la tensión F, pero disminuir cuando la masa por unidad de
longitud µ disminuye.
Observe que 𝑉𝑦 no aparece en la; por tanto, la rapidez de la onda no depende de. 𝑉𝑦
Nuestro cálculo considero solo un tipo muy especial de pulso, pero podemos considerar
cualquier forma de perturbación ondulatoria como una serie de pulsos con diferentes
valores de 𝑉𝑦 . Así, aunque dedujimos la ecuación para un caso especial, es valida para
cualquier movimiento ondulatorio transversal en un hilo, incluidas la onda senoidal y las
otras ondas periódicas. Observe que la rapidez de la onda no depende de la amplitud ni la
frecuencia de la onda, concordancia con nuestros supuestos.
Rapidez de una onda en un hilo: segundo método.
He aquí una deducción alternativa de la ecuación anterior. Si Ud. No maneja con
confianza las derivadas parciales, puede pasarla por alto. Aplicamos la
→ →
segunda ley de Newton ∑F = ma, a un pequeño segmento de hilo cuya longitud en la
posición de equilibrio es Δx (fig. 19-8). La masa del segmento es m = µΔx; las fuerzas en
los extremos se representan en términos de sus componentes X e Y. Las componentes X
tienen magnitud igual F y su suma es 0 porque el movimiento es transversal y no hay
componente de aceleración en la dirección X. Para obtener 𝐹1𝑦 y 𝐹2𝑦 , observamos que el
𝐹
𝐹
cociente 1𝑦⁄𝐹 es igual en magnitud a la pendiente del hilo en el punto X, y 2𝑦⁄𝐹 que es
igual a la pendiente en el punto x + Δx. Teniendo cuidado con los signos vemos que
𝐹1𝑦
𝐹
𝜕𝑦
= − (𝜕𝑥 )
𝑥
,
𝐹2𝑦
𝐹
𝜕𝑦
= − (𝜕𝑥 )
𝑥+∆𝑥
La notación nos recuerda que las derivadas se calculan en los puntos x y x+∆ x,
respectivamente. Por lo que vemos que la componente neta y de la fuerza.
𝜕𝑦
𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 +𝐹2𝑦 = F[(𝜕𝑥 )
𝜕𝑦
𝑥+∆𝑥
− (𝜕𝑥 ) ]
𝑥
Ahora igualamos 𝐹𝑦 a la masa m = µΔx multiplicada por la componente y de la aceleración
𝜕 2 𝑦⁄
𝜕𝑡 2 y obtenemos:
𝜕𝑦
𝜕2 𝑦
𝜕𝑦
F[(𝜕𝑥 )
𝑥+∆𝑥
− (𝜕𝑥 ) ] = 𝜇∆𝑥 𝜕𝑡 2
𝑥
O bien, dividiendo entre FΔx
𝜕𝑦
𝜕𝑦
F [( )
−( ) ]
𝜕𝑥 𝑥+∆𝑥
𝜕𝑥 𝑥
𝜕 2𝑦
= 𝜇 2
∆𝑥
𝜕𝑡
Ahora tomamos el limite cuando Δ x →0. En este limite, el lado izquierdo de la
Ecuación, se convierte en la derivada de Δy/Δx respecto a x (con t constante), es decir, la
segunda derivada (parcial) de y respecto a x:
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡 2
=
𝜇 𝜕2 𝑦
𝐹 𝜕𝑡 2
Por fin llegamos al desenlace de nuestra
historia. La ecuación tiene exactamente la misma forma que la ecuación de onda,
Ecuación, que dedujimos al final de la Sección. Esa ecuación y esta describen el mismo
movimiento, así que deben ser idénticas. Si comparamos las dos ecuaciones, vemos que
para que así suceda debemos tener…
𝐹
𝑉=√
𝜇
Que es la misma expresión que la ecuación deducida anteriormente.
En esta deducción no hicimos supuestos especiales acerca de la forma
de la onda. Puesto que nuestra deducción nos llevo a redescubrir la Ecuación. (19-12), la
ecuación de onda, concluimos que la ecuación de onda es valida para las ondas en un hilo,
sea cual sea su forma.
Ejemplo:
En el ejemplo 19-2 la densidad de masa lineal de la cuerda para tender
es de 0.250 Kg./m.¿ Cuanta tensión debe aplicar Tito para producir la rapidez de la onda
observada de 12.0 m/s?
Solución:
Usamos la Ecuación.(19-13); despejando F.
F= µV² = (0.25 Kg./m)(12.0 m/s)²=36.0 Kg ∙ m/s ²
=36.0 N =8.09 lb.
Tito escapa de aplicar esta fuerza.
Ejemplo
Un extremo de una cuerda de nylon esta a un soporte estacionado en la
boca de un pozo de mina vertical de 80.0 mt de profundidad (Fig. 19-9). La cuerda esta
tensada por una caja de minerales de 20.0 Kg. atada al extremo inferior. La masa de la
cuerda es de 2.0 Kg. El geólogo que esta en el fondo envía señales a su colega de arriba
tirando lateralmente de la cuerda a.) Calcule la rapidez de una onda transversal en la
cuerda b.) Si a un punto de la cuerda se le imparte un movimiento armónico simple
transversal con la frecuencia de 2.00 Hz, ¿Qué longitud de onda tiene la onda?
Solución:
a): Ignoremos la variación de tensión a lo largo de la cuerda causada por su peso. La
tensión F en la base de la cuerda es igual al peso de la carga de 20.0 Kg.
F= (20.0 kg) (9.80 m/s ²)= 196 N
La masa por unidad de longitud es
𝑚
2 𝑘𝑔
𝜇 = 𝐿 = 80 𝑚 = 0,0250
La rapidez de la onda esta dada por
la Ecuación:
𝐹
V=√𝜇
𝐹
196𝑁
V=√𝜇 = √0,0250𝐾𝑔/𝑚 = 88,5𝑚/𝑠
Entonces:
‫ט‬
88.5 m/s
‫ = ————— = —— = ג‬44.3 m
ƒ
2.00 s ­¹
Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez de la onda aumentara y la longitud de la
onda disminuirá conforme la onda suba por la cuerda, ya que la tensión irá en aumento.
¿Puede Ud. Comprobar que la rapidez de la onda al llegar arriba es 92.9 m/s?
Velocidad de una onda longitudinal
Las velocidades de propagación de las ondas longitudinales y transversales
dependen de las propiedades mecánicas del medio. Podemos deducir relaciones para las
ondas longitudinales análogas a la Ec. (19-13) para ondas transversales en un hilo al igual
que en la explicación de la función de onda de la Sec. 19-4, x es la coordenada medida a lo
largo del medio de la onda, pero en una onda longitudinal el desplazamiento y tiene la
misma dirección que la onda, en lugar de ser perpendicular como en una onda transversal.
He aquí una deducción de la rapidez de una onda longitudinal en un fluido en un tubo. Este
tema es importante, ya que cuando la frecuencia de una onda longitudinal esta dentro del
intervalo que capta el oído humano la llamamos sonido. Todos los instrumentos musicales
de viento son básicamente tubos en los que una onda longitudinal (sonido) se propaga en
un fluido (aire). La voz funciona con el mismo principio; las ondas sonoras se propagan en
el tracto vocal, que es básicamente un tubo lleno de aire conectado a los pulmones en un
extremo (la laringe) y el aire exterior en el otro (la boca). Los pasos de nuestra deducción
son paralelos a los de la Ec.(19-13) e invitamos al lector a comparar las dos. La fig 19-10
muestra un fluido (líquido o gas) con densidad p
En un tubo con área transversal A. En el estado de equilibrio, el fluido esta
sometido a una presión uniforme p. En la Fig.19-10a el fluido esta en reposo. En el instante
t=0 el pistón del extremo izquierdo comienza a moverse hacia la derecha con una rapidez
constante vy . Esto inicia un movimiento ondulatorio que viaja a la derecha a lo largo del
tubo, donde secciones sucesivas de fluido comienzan a moverse y a comprimirse en
instantes sucesivamente posteriores.
La Fig. 19-10b muestra el fluido en el instante t. Todas las porciones a la izquierda de P se
mueven a la derecha con rapidez 𝑉𝑦 , y todas las porciones a la derecha están aun en
reposo. La frontera entre las porciones en movimiento y estacionarias viaja a la derecha
con una rapidez igual a la rapidez de propagación o rapidez de la onda V. En t el pistón se
ha movido a una distancia 𝑉𝑦 t y la frontera ha avanzado una distancia Vt. Al igual que con
las alteraciones transversales en un hilo, podemos calcular la rapidez de propagación a
partir del teorema del impulso-cantidad de movimiento.
La cantidad de fluido puesta en movimiento en el tiempo t es la cantidad que originalmente
ocupaba una sección del cilindro con longitud Vt, área transversal A y volumen VtA. La
masa de este es pVtA, y su cantidad de movimiento longitudinal (a lo largo del tubo) es.
Cantidad de movimiento longitudinal= (pVtA)𝑉𝑦 .
Ahora al calculamos el aumento de presión, triangulo p, en el fluido en
movimiento. El volumen original de este fluido, Avt, disminuyo en una cantidad A𝑉𝑦 t. Por la
definición del modulo de volumen B, Esc. (11-13) de la Sec.11-6,
-Δp
−𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
B=𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
=
-A𝑉𝑦 t/AVt
∆𝑝 = 𝐵
𝑉𝑦
𝑉
La presión en el fluido en movimiento es p+∆𝑝 , y la
fuerza ejercida sobre el por el pistón es (p+∆𝑝)A.
la fuerza neta sobre el fluido en movimiento es
∆𝑝A en consecuencia , el impulso longitudinal es :
𝑉𝑦
∆𝑝At= 𝐵 𝑉 𝐴𝑡
19-10 Propagación de una onda longitudinal en un fluido
confinado en un tubo. (a) Fluido en equilibrio (b) Parte
del fluido en movimiento. La fuerza neta sobre este
fluido esta hacia la izquierda e igual:
𝑉𝑦
∆𝑝At= 𝐵 𝑉 𝐴𝑡
Dado que el fluido en reposo en t = 0, el cambio
de cantidad de movimiento hasta el instante t es igual a
la cantidad de movimiento en t. Aplicando el teorema
del impulso-cantidad de movimiento, vemos que
𝐵
𝑉𝑦
𝑉
𝐴𝑡 = ρVtA𝑉𝑦
υ
Si despejamos υ, obtenemos
𝐵
𝑉 = √𝜌
(Rapidez de una onda longitudinal en un fluido)
VELOCIDAD DE UNA ONDA LONGITUDINAL.
La presión en el fluido en un movimiento p + Δp, y la fuerza ejercida sobre él por el pistón es
(p + Δp)A. La fuerza neta sobre el fluido en movimiento (ver Fig. 19-10b) es ΔpA, y el impulso
longitudinal es
Así, la rapidez de propagación de un pulso longitudinal en un fluido sólo depende del módulo de
volumen Β y de la densidad ρ del medio.
Aunque dedujimos la Ecuación. (19-21) para ondas en un tubo, también se aplica a ondas
longitudinales en un líquido o sólido. Así, la rapidez de las ondas de sonido que viajan en el aire,
agua o roca se determina con esta ecuación. Vea detalles en la Sec. 19-7.
Si una onda longitudinal se propaga en una varilla o barra sólida, la situación es un tanto
diferente. La varilla se expande un poco el lateral cuando se comprime longitudinalmente, mientras
que un fluido en un tubo con sección transversal constante no puede hacerlo. Usando el mismo
razonamiento que nos llevó a la Ecuación. (19-21), podemos demostrar que la rapidez de un pulso
longitudinal en la varilla está dada por
𝛾
𝑉 = √𝜌
(Rapidez de una onda longitudinal en una varilla solida)
Donde 𝜸 es el módulo de Young o de elasticidad del material.
CUIDADO ► La Ecuación anterior, se aplica sólo a una varilla o barra cuyas laterales están libres
para abombarse y encogerse un poco al viajar la onda; no se aplica a ondas longitudinales en un
líquido o sólido, ya que aquí el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido por material
circundante. La rapidez de las ondas longitudinales en un volumen de materia está dado por la
𝐵
Ecuación 𝑉 = √𝜌
Observe la similitud de forma de las Ecuaciones. En todas estas ecuaciones para la rapidez de
una onda, sea transversal o longitudinal, el numerador es una propiedad elástica que describe la
fuerza de restitución y el denominador es una propiedad inercial del medio.
Al igual que la deducción para una onda transversal en un
hilo,
son válidas para cualquier onda periódica, no sólo para el caso
especial que vimos aquí.
Visualizar la relación entre el movimiento de las partículas y
de la
onda no es tan fácil en el caso de las ondas longitudinales como en
el de
las transversales en un hilo.
La Fig. 19-11 le ayudará a entender estos movimientos. Para usar la
figura, pegue dos tarjetas borde con borde con un espacio de 1mm
entre
ellas, formando una ranura delgada. Coloque las tarjetas sobre la
figura con la ranura en forma horizontal en la parte superior del
diagrama, y muévalas hacia abajo con una rapidez constante. Las
porciones de las curvas senoidales que se ven por las ranuras
corresponden a una fila de partículas en un medio que viaja una
onda
senoidal longitudinal. Cada partícula tiene un MAS alrededor de su
posición de equilibrio, con retardos o desplazamientos de fase que aumentan continuamente a lo
largo de la ranura. Las regiones de expresión y expansión máxima se mueven de izquierda a derecha
con una rapidez constante. Mover la tarjeta hacia arriba simula una onda que viaja de derecha a
izquierda.
ONDAS MECÁNICAS
La tabla 19-1 lista la rapidez del sonido en
varios medios materiales. Las ondas sonoras
viajan más lentamente en el plomo que en el
aluminio o acero porque el plomo tiene un
módulo de volumen menor y mayor de densidad.
EJEMPLO:
Longitud de onda sonar Un barco usa un sistema sonar para detectar objetos submarinos (Fig. 1912). El sistema emite ondas sonoras submarinas y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) en
volver al detector. Determine la rapidez de la onda con f = 262 Hz.
SOLUCIÓN Usamos la Ec. (19-21) para calcular la rapidez de la onda. De la tabla 11-2, la
compresibilidad del agua (el recíproco del módulo de volumen) es k = 45.8 x 10¹¹ Paˉ¹, así que Β =
(1/45.8) x 10¹¹ Pa. La densidad del agua es ρ = 1.00 x³ Kg/m³ Obtenemos:
𝐵
(1/45,8)𝑥1011 𝑃𝑎
𝑉=√ =√
= 1480 𝑚/𝑠
𝜌
1,00𝑥103 𝑘𝑔/𝑚3
Este valor concuerda con el valor experimental de la tabla 19-1; es 4 veces mayor que la
rapidez del sonido en el aire a temperaturas ordinarias. La longitud de onda es
𝜆=
𝑉
𝑓
=
1480 𝑚/𝑠
1
𝑠
262 ( )
= 5,65 m
Una onda con esta frecuencia en el aire tiene
anteriormente .
Los delfines emiten ondas sonoras de alta
frecuencia (del orden de 1000 000 Hz) y usan los
ecos para guiarse y cazar. La longitud de onda
correspondiente en el agua es de 1.48 cm. Con
este sistema de “sonar” se puede detectar objetos
del tamaño de λ (pero no mucho menores). La
λ = 1.31 m, como habíamos calculado
visualización ultrasónica es una técnica médica que usa el mismo principio físico; ondas sonoras de
muy alta frecuencia y longitud de onda muy corta, llamadas ultrasonido, barren el cuerpo humano, y
se usan los “ecos” de los órganos para crear una imagen. Con ultrasonidos de f = 5 MHz = 5 x
10elevado a 6 Hz, la longitud de onda en el agua (principal constituyente del cuerpo) es de 0.3 mm,
así que pueden distinguirse rasgos de este tamaño en la imagen, El ultrasonido se usa para estudiar
el funcionamiento de las válvulas cardiacas, detectar tumores y hacer exámenes prenatales; es más
sensible que los rayos x para distinguir los diversos tipos de tejidos y no ofrece el peligro de
radiación de esos rayos.
EJEMPLO:
Calcule la rapidez del sonido en una varilla de plomo.
SOLUCIÓN:
De la tabla 11-1, 𝛾=1.6 x 10¹º Pa, y de la tabla 14-1, 𝜌=11.3 x 10³ kg/m³. Vemos que
𝛾
1,6𝑥1010 𝑃𝑎
√
𝑉=√ =
= 1,2𝑥103 𝑚/𝑠
𝜌
11,3𝑥103 𝑘𝑔/𝑚3
Esto es más del triple de la rapidez del sonido en el aire. Observe que nuestro resultado es
la rapidez con que una onda sonora viaja por una varilla de plomo. En la tabla 19-1 puede verse que
el sonido viaja aún más rápidamente en un medio ilimitado de plomo; la razón es que para el plomo
el módulo de volumen es mayor que el módulo de Young.
ONDAS SONORAS EN GASES
En la sección anterior dedujimos la Ec. (19-21), υ = √ B/p, para la rapidez de las ondas
longitudinales en un fluido con módulo de volumen B y densidad p, y podemos usarla para calcular
la rapidez del sonido en un gas ideal.
El módulo de volumen se define en general como en la Ec.(11-13); para cambios de presión
y volumen infinitesimales, B = -V dp/dV, así que necesitamos saber cómo varía P con V para un gas
ideal. Si la temperatura es constante, entonces por la ley de los gases ideales, pV es constante, y
podemos usar esto para calcular dp/dV. Sin embargo, cuando un gas se comprime adiabáticamente
de modo que no hay flujo de calor, su temperatura aumenta, y cuando se expande adiabáticamente, la
temperatura disminuye. En un proceso adiabático para un gas ideal, la Ec.(17-24) dice que pVۙ es
constante (recuerde que γ = Cρ / Cv es el cociente adimensional de las capacidades caloríficas), y
obtenemos un resultado diferente para B. Cuando una onda viaja por un gas, ¿las compresiones y
expansiones son adiabáticas o hay suficiente conducción de calor entre capas adyacentes del gas para
mantener una temperatura casi constante en todos los puntos?
Dado que las conductividades térmicas de los gases son muy pequeñas, resulta que para las
frecuencias de sonido ordinarias, digamos de 20 a 20 000 Hz, la propagación del sonido es casi
adiabática. Por ello, en la Ec. (19-21) usamos el módulo de volumen adiabático B аd' deducido
suponiendo que
pVۙ = constante.
(19-23)
Derivamos la Ec. (19-23) respecto a V:
𝑑𝑝
𝑑𝑉
(𝑉 𝛾 ) + 𝛾𝑝𝑉 𝛾−1 = 0
Dividiendo entre V ۙ ˉ¹ y reorganizando, obtenemos
𝑑𝑝
𝐵𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑜 = −𝑉 𝑑𝑉 = 𝛾𝑝
(19 – 24)
En un proceso isotérmico, pV = constante; invitamos al lector a demostrar que el módulo del
volumen isotérmico es:
𝐵𝑖𝑠𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜 = 𝑝
(19- 25)
El módulo adiabático es mayor que el isotérmico en un factor de γ.
Combinando las Ecuaciones. ( 19-21) y (19-24) vemos que,
𝛾𝑝
𝑣 = √𝐵
(rapidez del sonido en gas ideal)
(19-26)
Podemos obtener otra forma útil usando la Ec. (16-5) para la densidad ρ de un gas
pM
ρ = ——,
RT
Donde R es la constante de los gases, M es la masa molecular y T es la temperatura absoluta.
Combinando esto con la Ec. (19-26) obtenemos
𝛾𝑅𝑇
𝑣=√
𝑀
(rapidez del sonido en un gas ideal)
(19-27)
Para un gas dado, γ, R y M son constantes, y la rapidez de la onda es proporcional a √T.
Excepto por el factor numérico de 3 en una y γ en la otra, esta expresión es idéntica a la Ec.(16-19),
que da la rapidez eficaz de las moléculas de un gas ideal. Esto demuestra que la rapidez del sonido y
la de las moléculas están muy relacionadas, pero explorar esta relación en detalle rebasa el alcance de
este texto.
De otro modo:
𝜌=
𝑚
, entonces: m= 𝜌𝑉
𝑉
𝜌 𝑑𝑥
0
𝜌 = 𝑑𝑥+𝑑𝜓
𝜌=
𝜌0 𝐴𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑑𝑥 + 𝑑𝜓)
𝜌0 𝑑𝑥 = 𝜌(𝑑𝑥 + 𝑑𝜓)
, simplificando por dx, se obtiene:
𝜌0
1+
𝑑𝜓
𝑑𝑥
𝑑𝜓 −1
Se establece que: (1 + 𝑑𝑥 )
𝑑𝜓
Entonces: 𝜌 = 𝜌0 (1 − 𝑑𝑥 )
𝑑𝜓
≈ 1 − 𝑑𝑥 siempre que
𝑑𝜓
𝑑𝑥
≪1
𝑑𝜓
𝑑𝑥
𝑑𝜓
𝜌 − 𝜌0 = −𝜌0
𝑑𝑥
𝜌 = 𝜌0 − 𝜌0
Como P=f(𝜌)
Como la diferencia de presión: P- Po es muy pequeña, Po : presión de equilibrio.
𝑑𝑃
𝑃 = 𝑃0 + (𝜌 − 𝜌0 ) ( )
𝑑𝜌 0
A bajas frecuencias la transferencia es adiabática, esto es: 𝑃𝑉 𝛾 = 𝑐𝑡𝑒.
A altas frecuencias la velocidad se aproxima a la ecuación de transformación isotérmica, esto es
PV=cte.
𝛾
Relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:𝑃0 𝑉0 = 𝑃𝑉 𝛾
𝑃
𝑃
De donde se obtiene: 𝑃0𝛾 = 𝑃𝛾
𝑑𝑃
(𝑑𝜌) =
0
𝛾𝑃0
𝜌0
0
, donde 𝛾 corresponde al índice adiabático.
La diferencia de presión con respecto a la de equilibrio será:
𝑑𝜓
𝑃 = 𝑃0 − 𝑃0
𝛾
𝑑𝑥
𝑃 − 𝑃0 ≈ −𝑃0
Desplazamiento de un elemento de volumen:
𝑑𝜓
𝛾
𝑑𝑥
𝐹
𝑃 = 𝐴 , entonces F=PA
F+F´= ma
PA-PÁ= 𝜌0 𝐴𝑑𝑥 𝑎
𝑑2𝜓
𝑑𝑡 2
2
𝑑 𝜓
𝑑(𝐹𝑁 ) = (− 𝜌0 𝐴𝑑𝑥)
𝑑𝑡 2
(𝑃 − 𝑃´)𝐴 = (− 𝜌0 𝐴𝑑𝑥)
De donde:
𝑑2 𝜓
𝑑𝑡 2
=𝜌
𝐹𝑁
0 𝐴𝑑𝑥
𝑑 2 𝜓 𝛾𝑃0 𝑑 2 𝜓
=
𝑑𝑡 2
𝜌0 𝑑𝑥 2
𝑣=√
Como además:
𝑃0𝑉0
𝑇0
=cte. , :
𝑃0𝑉0
𝑇0
𝛾𝑃0
𝜌0
= 𝑛𝑅
PV=
nRT,
donde
n=
𝑚
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑎𝑠. 𝑀 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦 𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠.
𝑀
𝑚
𝑚
Entonces: 𝑃0 𝑉0 = 𝑀 𝑅𝑇0 , de donde se obtiene: 𝑃0 = 𝑀𝑉 𝑅𝑇0
0
Reemplazando
en
𝑣=√
𝛾
𝑣=√
𝑚
𝑅𝑇
𝑀𝑉0 0
𝜌0
𝛾𝜌0 𝑅𝑇0
o bien : 𝑣 = √
𝑀𝜌0
𝛾𝑃0
𝜌0
de donde :
𝛾𝑅𝑇0
𝑣=√
𝑀
:
Problemas de ondas estacionarias
1.- Onda Estacionaria en Cuerda.
La cuerda Mi alta de una guitarra mide 64 cm de longitud y tiene una frecuencia
fundamental de 330 Hz. Al presionar hacia abajo en el primer traste (el más próximo
al clavijero) la cuerda se acorta de modo que se toca en una nota Fa que tiene una
frecuencia de 350 Hz. ¿ A qué distancia está el traste del extremo del mango de la
cuerda?.
2-Problema Ejemplo Interferencia.
Suponga dos parlantes separados 1 metro excitados por un mismo oscilador y
que emiten un sonido de frecuencia 1150 Hz. Una persona está a 4.0 m de uno de los
parlantes, ¿ A qué distancia debe estar del segundo parlante para notar interferencia
destructiva? Suponga que la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 343
m/s.
3.- Una cuerda de 75 cm de longitud y de 20 g/m de densidad lineal está sujeta por uno de sus
extremos y por el otro está unida a una fuente vibrante de 80 Hz. Sabiendo que a esa frecuencia le
corresponde el tercer armónico, calcular la velocidad de propagación de las ondas transversales en la
cuerda y la tensión de la misma.
4.-¿Qué es una onda estacionaria?. Dibuja los tres primeros modos de vibración de una cuerda de
longitud L, ¿Cuánto valen sus longitudes de onda?. Si v es la velocidad de propagación de las ondas
trasversales en la cuerda. ¿Cuánto valen sus frecuencias?.
5.- ¿Cuál es la diferencia entre una onda longitudinal y una onda trasversal?.
6.-Una barra de aluminio cuyo módulo de Young es 7.0·1010 N/m2, densidad 2.7 g/cm3 y sección 5
cm2, trasmite un movimiento ondulatorio producido por una fuente de 100 Hz de frecuencia y 20 W
de potencia. Calcular: la velocidad de propagación, la longitud de onda, el periodo, la frecuencia
angular, el número de onda y la amplitud del movimiento ondulatorio armónico. Escribir la ecuación
de la onda armónica. Fórmulas
7.-Dos ondas presentes en una cuerda al mismo tiempo vienen dadas por las expresiones
Ψ1=0.014·sen(4.8x-29t-0.21) m
Ψ2=0.014·sen(4.8x-29t-0.35) m
Hallar:
7.1.- La amplitud, el número de onda, la longitud de onda, la velocidad de propagación y la
frecuencia.
 Obtener la amplitud y la fase de la onda armónica resultante Ψ= Ψ1+ Ψ2
8.-Un hombre A está situado entre dos altavoces que vibran con la misma frecuencia y en fase. Si la
mínima frecuencia a la cual se observa interferencia destructiva es 122 Hz. Determinar la velocidad
de propagación de las ondas. A qué otras frecuencias se
observa interferencia destructiva
9. Dada la ecuación de una onda y = 10 sen 2π(t/2 - x/0'1). Calcule la velocidad de propagación,
el período y la longitud de onda.
(2 S , 5 cm/s , 10 cm )
10. Una onda transversal se propaga en una cuerda según la ecuación y = 0'4 cos (100t - 0'5x)
(S.I.).
Calcular:
9.1.- La velocidad de propagación de la onda
9.2.- El estado de vibración de una partícula a 20 cm del foco en el instante 0'5 s.
(200 m/s , desplazamiento 0,374 cm con una velocidad de 14,30 m/s y una aceleración de
-3740 𝒎⁄ 𝟐 )
𝒔
11.- La ecuación de una onda es y = 0'5 cos 4π(10t - x) (S.I.). Calcular
11.- La velocidad de propagación de la misma
11.2.-La diferencia de fase entre dos puntos separados 0'5 m.
(10 m/s , 6,28 rad )
12. Una onda armónica sinusoidal, transversal y polarizada se propaga en una cuerda en el
sentido positivo de las X con una amplitud de 10 cm, frecuencia de 20 Hz y velocidad de 8 m/s.
Encuentra:
12.1.- La ecuación de la onda
12.2.-La velocidad de vibración de las partículas en función del tiempo
12.3.-La posición de las mismas.
(y = 0.1 cos(40πt – 5πx) (si se hubiese propagado en el sentido negativo del eje X, el signo
dentro de la fase hubiese sido positivo), 5π rad/m , y’ = -4π sen(40πt – 5πx) (m/s) )
13.- Una onda de frecuencia 500 Hz tiene una velocidad (de fase) de 300 m/s. Calcular:
13.1.- La separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 60º.
13.2.-Escribir la ecuación de la onda.
(π/3k. )
14.- Una onda viene representada por : y = 2 cos 2π(t/4 - x/60). Determinar:
14.1.- El carácter de la onda.
14.2.-La velocidad de propagación14.3.-La diferencia de fase en un instante dado de dos puntos separados 120 cm en dirección de
propagación de la onda.
(Es una onda viajera (no estacionaria), que se propaga hacia el sentido positivo del eje X pues
el signo que hay entre la variable t y la variable x en la fase es negativo. Además, es una onda
unidimensional, se propaga en una sola dirección, pues la posición queda determinada sólo por la
componente X.
15 m/s , 0.126rad)
15.- Un foco sonoro emite una onda sonora Φ = Φ0 sen (3'015t - 9x) unidades S.I. Calcular:
15.1.- La longitud de onda.
15.2.-La frecuencia.
15.3.-La velocidad de propagación.
(0.7 m; 0.48 Hz; 0.335 m/s)
16.- Una onda armónica sinusoidal, transversal y polarizada se propaga por una cuerda en
sentido de las x positivas. Su amplitud es de 10 cm, la frecuencia de 25 Hz, la v de 10 m/s.
Encontrar:
16.- La ecuación de la onda.
16.2.-El instante en que la vibración de un punto a 50 cm del foco es máxima.
(y = y0 cos (ω t - kx + Φ0) , 0.04 s)