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ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO
PARA LÓGICA CLÁSICA Y ALGUNAS NO
CLÁSICAS
Betsy Vargas
Fundación Universitaria Konrad
Lorenz
Diciembre 13 del 2003.
ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO
PARA LÓGICA CLÁSICA Y ALGUNAS NO
CLÁSICAS
Betsy Vargas
Trabajo de grado para optar el título de Matemático.
Director: Pervys Rengifo.
Ingeniero civil.
Profesor Facultad de Matemáticas.
Fundación Universitaria Konrad
Lorenz
Diciembre 13 del 2003.
Resumen
El siguiente documento ofrece un tratamiento claro, didáctico y completo del “método de
los árboles” para determinar propiedades lógicas (consistencia o equivalencia de
proposiciones, validez o invalidez de razonamientos deductivos), tanto en el ámbito de la
lógica proposicional o de enunciados, como en el de la lógica de predicados o
cuantificacional. Presenta también un abordaje sencillo pero representativo de propiedades
metateóricas tales como la adecuación semántica, la indecibilidad y la incompletitud. La
originalidad del texto radica en la utilización del “método de los árboles” también
denominado “árboles de forzamiento semánticos” ideado por el Matemático Manuel Sierra,
que, en su ámbito de aplicación, permite desarrollar demostraciones de manera más sencilla
que las realizadas a través de métodos alternativos.
Abstract
The following work gives a clear, didactic, and complete treatment of “method of trees” to
determine logical properties (proposition of consistence or equivalence, validity or
invalidity of deductive reasoning), as much in propositional logic or enunciations field as in
predicates or quantitatives logic. It also gives a simple overview though it’s representative
to metatheoretic such semantic fitting, indecisiveness and incompleteness. The originality
of text is based on the “method of trees” usage also called “Trees of semantic forcement”
by the mathematician Manuel Sierra, he lets to develop demonstrations in a simpler way
than the ones that are done by alternate methods.
I
Índice General
1. Árboles de forzamiento semántico clásico
1
1.1. Construcción de enunciados
1
1.2. Árboles de construcción de enunciados
1
2. Construcción de árboles de Forzamiento Semántico
para lógica clásica
3
2.1. Reglas de inferencia para el forzamiento semántico.
3
2.1.1. FR (Falsedad de la Raíz).
4
2.1.2. Reglas para el condicional Æ
4
2.1.3. Reglas para la conjunción∧.
7
2.1.4. Reglas para la disyunción∨
10
2.1.5. Reglas para el bicondicional↔.
13
2.1.6. Reglas para la negación clásica∼.
19
2.1.7. Reglas para la iteración de marcas.
21
2.2. Tipos de Árboles.
22
2.2.1. Doble marca.
22
2.2.2. Árboles bien marcados.
22
2.2.3. Árboles mal marcados.
22
2.3. Teorema de opciones en el forzamiento.
23
2.3.1. OADM (Opción Afirmativa con Doble Marca).
23
2.3.2. OFDM: (Opción Falsa con Doble Marca).
23
2.3.3. OAOFDM (Opción Afirmativa y Opción
Falsa con Doble Marca)
24
2.3.4. Validez del árbol de forzamiento semántico.
24
2.4. Algunos teoremas importantes.
25
2.4.1. Tercero Excluido.
25
II
2.4.2. Principio de no-contradicción.
27
2.4.3. Principio de trivialización.
29
3. Árboles de Forzamiento Semántico para la Lógica Básica
Paraconsistente y Paracompleta con negación clásica LBPco
32
3.1 Reglas de inferencia para la negación paraconsistente ¬
34
3.2. Algunos teoremas
40
3.2.1. Tercero Excluido.
40
3.2.2. Principio de no-contradicción.
41
3.2.3. Principio de trivialización.
42
4. Árboles de Forzamiento Semántico para lógica Multivaluada
43
4.1. Lógica de Lukasiewicz.
43
4.2. Reglas de inferencia.
45
4.2.1 Reglas para el condicional Æ
45
4.2.2. Reglas para la conjunción∧.
49
4.2.3. Reglas para la disyunción∨.
51
4.2.4. Reglas para el bicondicional↔.
53
4.2.5. Reglas para la negación clásica∼.
56
4.3. Algunas consecuencias.
57
4.3.1. Principio del Tercio Excluido.
58
2.4.2. Principio de no-contradicción.
59
4.4. Conclusiones
60
III
Índice De Figuras
1.1. Negación y Conjunción.
1
1.2. Disyunción e Implicación.
2
1.3. Coimplicación.
2
1.4. Árbol del Argumento
([ A ∧ B] → (C ∨ D)] ∧ (~ E ∧ ~ D)) → ( A →~ B).
2
2.1. Falsedad de la Raíz.
4
2.2. Afirmación Izquierda, Afirmación Del Condicional
4
2.3. Falsedad Derecha, Afirmación Del Condicional.
5
2.4. Falsedad Del Condicional.
5
2.5. Falsedad Izquierda de un Condicional.
6
2.6. Afirmación Derecha de un Condicional.
6
2.7. Afirmación Izquierda, Falsedad Derecha de un Condicional.
7
2.8. Afirmación de la Conjunción.
7
2.9. Afirmación Izquierda, Afirmación Derecha de la Conjunción.
8
2.10. Afirmación Izquierda Falsedad de la Conjunción.
8
2.11. Afirmación Derecha, Falsedad de la Conjunción.
9
2.12. Falsedad Izquierda de la Conjunción.
9
2.13. Falsedad Izquierda de la Conjunción.
10
2.14. Falsedad de la Disyunción.
10
2.15. Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de la Disyunción.
11
2.16. Afirmación Derecha de la Disyunción.
11
2.17. Afirmación Izquierda de la Disyunción.
12
2.18. Falsedad Izquierda, Afirmación de la Disyunción
12
2.19. Falsedad Derecha, Afirmación de la Disyunción.
13
2.20. Afirmación Derecha, Afirmación Izquierda del Bicondicional.
13
2.21. Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda del Bicondicional.
14
IV
2.22. Afirmación Izquierda, Falsedad Derecha del Bicondicional.
14
2.23. Falsedad Izquierda, Afirmación Derecha del Bicondicional.
15
2.24. Afirmación Izquierda, Afirmación del Bicondicional.
15
2.25. Falsedad Izquierda, Falsedad Del Bicondicional.
16
2.26. FalsedadIzquierda, Afirmación del Bicondicional.
16
2.27. Afirmación Izquierda, Falsedad del Bicondicional.
17
2.28. Afirmación Derecha, Afirmación del Bicondicional.
17
2.29. Falsedad Derecha, Falsedad del Bicondicional.
18
2.30. Falsedad Derecha, Afirmación del Bicondicional.
18
2.31. Afirmación Derecha, Falsedad del Bicondicional.
19
2.32. Afirmación de la Negación.
19
2.33. Falsedad del Alcance de la Negación.
20
2.34. Falsedad de la Negación.
20
2.35. Afirmación del Alcance de la Negación.
21
2.36. Iteración de la Afirmación.
21
2.37. Iteración de la Falsedad.
22
2.38. Opción Afirmativa con Doble Marca.
23
2.39. Opción Falsa con Doble Marca.
23
2.40. Opción Afirmativa y Falsa con Doble Marca.
24
2.41. Principio del Tercero Excluido.
25
2.42. Principio del Tercero Excluido (FR).
26
2.43. Principio del Tercero Excluido. (FV)
26
2.44. Principio del Tercero Excluido. (F ~)
26
2.45. Principio De No-Contradicción
27
2.46. Principio De No-Contradicción (FR)
27
2.47. Principio De No-Contradicción (F~)
28
2.48. Principio De No-Contradicción (A ∧)
28
2.49. Principio De No-Contradicción (A~)
29
2.50. Principio De Trivialización.
29
2.51. Principio De Trivialización (FR)
30
V
2.52. Principio De Trivialización (F→)
30
2.53. Principio De Trivialización (A~)
31
2.54. Principio De Trivialización (F→)
31
3.1. A es incompatible con su negación
33
3.2. A es completa con su negación
33
3.3. Afirmación de la negación y
Afirmación de la Incompatibilidad.
34
3.4. Falsedad del Alcance de la Negación
y Afirmación De La Completez
34
3.5. Falsedad de la Negación y
Afirmación de la Completez
35
3.6. Afirmación del Alcance de la Negación y
Afirmación de la Incompatibilidad
35
3.7. Afirmación de la Negación y Afirmación del
Alcance de la Negación en la Incompatibilidad
36
3.8. Falsedad de la Incompatibilidad
36
3.9. Falsedad de la Negación de la Incompatibilidad
37
3.10. Falsedad del Alcance de la Negación
de la Incompatibilidad
37
3.11. Afirmación de la negación en la Completez
38
3.12. Afirmación del Alcance de la negación en la Completez
38
3.13. Falsedad de la Completez
39
3.14. Falsedad de la negación, Falsedad del Alcance
de la Negación en La Completez
39
3.15. Principio del Tercero Excluido
40
3.16. Principio De No Contradicción
41
3.17. Principio De Trivialización
42
4.1. Afirmación Izquierda Indeterminación Derecha
46
4.2. Indeterminación Izquierda,
Indeterminación de la Implicación.
46
VI
4.3. Falsedad Izquierda, Indeterminación de la Implicación
47
4.4. Indeterminación Izquierda, Indeterminación Derecha
47
4.5. Indeterminación Izquierda Falsedad Derecha
48
4.6. Afirmación Izquierda, Indeterminación de la Implicación
48
4.7. No Falsedad Izquierda, Indeterminación
Derecha de la Conjunción
49
4.8. Indeterminación Izquierda, No Falsedad
Derecha de la Conjunción
49
4.9. Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la Conjunción
50
4.10. Indeterminación Derecha, Indeterminación de la Conjunción
50
4.11. Indeterminación de la Conjunción
51
4.12. No Aceptación Izquierda, Indeterminación Derecha
de la Disyunción
51
4.13. Indeterminación Izquierda, No Aceptación Derecha
de la Disyunción
52
4.14. Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la Disyunción
52
4.15. Indeterminación Derecha, Indeterminación de la Disyunción
52
4.16. Indeterminación de la Disyunción
53
4.17. Indeterminación Izquierda, Indeterminación
Derechadel Bicondicional.
53
4.18. Afirmación del Bicondicional
54
4.19. Afirmación Izquierda, Indeterminación del Bicondicional
54
4.20. Afirmación Derecha, Indeterminación del Bicondicional
55
4.21. Falsedad Izquierda, Indeterminación del Bicondicional
55
4.22. Falsedad Derecha, Indeterminación del Bicondicional.
56
4.23. Indeterminación de la negación
56
4.24. Indeterminación del Alcance de la negación
57
4.25. Principio del Tercero Excluido
58
4.26. Principio De No Contradicción
59
VII
Introducción.
La aceptación de que cada fórmula bien formada debe tener uno de los dos valores de
verdad, verdadero (V o 1) o falso (F o 0), llamado principio de bivalencia, constituye los
fundamentos de la Lógica Clásica o Binaria, que ha sido la base de la asignatura “Lógica de
Primer Orden”. Sin embargo, sucesivos planteamientos han demostrado la necesidad de
otros tipos de lógicas, a veces presentadas como rivales y otras como complementarias de
la lógica clásica, para resolver distintos problemas en campos como la Inteligencia
Artificial o la Verificación de Programas, por poner algunos ejemplos de áreas cercanas a
nuestro ámbito de estudio.
Un primer paso para ir más allá de la Lógica Bivalente es la introducción de más valores
lógicos. Aunque las raíces más antiguas de la Lógica Multivaluada las podemos encontrar
en Aristóteles, esta fue definitivamente establecida en 1920 por Lukasiewicz.
Lukasiewicz añade a los valores lógicos clásicos un valor intermedio asentando los
principios de la Lógica Trivalente.
Una de las bases fundamentales de estos desarrollos eran los principios lógicos
tradicionales, ahora adoptados a la formalización moderna; especialmente el principio de no
contradicción sin el cual se asumía que no era posible hacer ningún razonamiento correcto,
ni decir algo con sentido la realidad.
Pero la aplicación de estos argumentos se puede ver en:
a) Filosofía: El tratamiento de teorías inconsistentes como ciertas formas de dialéctica,
y la teoría de objetos de Meinong, en donde no se podría aplicar la lógica clásica, en
vista de la presencia de contradicciones.
b) Matemática: La formulación de teorías paraconsistentes de conjuntos en los cuales
el esquema de separación se encuentra sometido a restricciones. Entre estas teorías
se encuentra el conjunto de Russell, compuesto por todos los conjuntos que no
pertenecen a si mismos.
c) Lógica: Una mejor comprensión de los principios de la lógica estándar, se puede
observar claramente el sentido y las limitaciones de los principios de contradicción,
identidad y del tercero excluido.
d) Física: Aplicaciones en mecánica cuántica, y unificación formal de teorías.
e) Tecnología: Aplicaciones en Inteligencia Artificial (Manipulación de datos
contradictorios), y en informática en general.
VIII
Capítulo 1
Árboles de forzamiento
Semántico Clásico
1.1. Construcción de enunciados
Enunciados atómicos; A, B, C.
Enunciados compuestos: generados a partir de los atómicos utilizando los conectivos
binarios ٧, ٨, →, ↔ y el conectivo unario ~.
1.2. Árboles de construcción de enunciados
El árbol de construcción del enunciado A se representa como A* y se construye
utilizando α y β enunciados arbitrarios;
FIGURA 1.1. - Negación y conjunción.
1
FIGURA 1.2. - Disyunción e Implicación.
FIGURA 1.3. – Coimplicación.
El árbol de construcción de argumentos α 1 ,α 2 , α 3 ,...,α n ⊦ β esta definido como, el
árbol del condicional asociado al argumento ((α 1 ∧ α 2 ∧ α 3 ∧ ... ∧ α n ) → β ) . El nodo
principal del árbol se llama raíz, y corresponde al conectivo principal del argumento, las
hojas del árbol corresponden a los enunciados atómicos.
Para el argumento: ( A ∧ B ) → (C ∧ B) y ~ E ∧ ~ D | −( A →~ B).
El condicional asociado es: ([ A ∧ B ] → (C ∨ D)] ∧ (~ E ∧ ~ D)) → ( A →~ B).
Su árbol es:
FIGURA 1.4. - Árbol del argumento
([ A ∧ B] → (C ∨ D)] ∧ (~ E ∧ ~ D)) → ( A →~ B).
2
Capítulo 2
Construcción de árboles de
Forzamiento Semántico para
Lógica Clásica
Los árboles de Forzamiento Semánticos son construidos a partir de los arboles de
construcción de enunciados.
Para su realización se deben tener en cuenta las siguientes reglas de inferencia para el
Forzamiento Semántico, donde un nodo marcado con un círculo indica la aceptación del
enunciado asociado al nodo, y un nodo marcado con un cuadro indica que el enunciado
asociado al nodo es rechazado.
2.1.
Reglas de inferencia para el forzamiento semántico
Las tautologías, tienen gran utilidad en el cálculo proposicional, así como también las
contradicciones que son proposiciones que son falsas para cualquier combinación de
valores de verdad de las componentes. El objetivo de la realización de estos árboles, es
lograr una demostración por contradicción, es decir para poder demostrar que un argumento
es un teorema o no, se asume que es falso por tal razón la primera regla es:
3
2.1.1.
FR (Falsedad de la Raíz)
El nodo raíz siempre debe estar marcado con cuadro. Con esta regla se esta suponiendo
que el enunciado asociado al árbol no es válido.
FIGURA 2.1 - Falsedad de la raíz.
2.1.2.
Reglas para el condicional →
El condicional, también llamado implicación, es falso sólo en el caso en que el
antecedente sea verdadero y el consecuente falso, y es verdadera en todos los demás casos.
De hay se derivan las siguientes reglas:
2.1.2.1. AIA → (Afirmación Izquierda, Afirmación del Condicional)
Cuando se tiene un condicional aceptado y el antecedente es aceptado, se deduce que el
consecuente es aceptado.
FIGURA 2.2 - Afirmación Izquierda, Afirmación del condicional.
4
2.1.2.2. FDA → (Falsedad Derecha, Afirmación de Condicional)
Cuando se tiene un condicional aceptado y el consecuente es rechazado, se deduce que
el antecedente es rechazado.
FIGURA 2.3 - Falsedad Derecha, Afirmación del condicional.
2.1.2.3. F→ (Falsedad del Condicional)
Al tener un condicional rechazado, se deduce que el consecuente es aceptado y el
antecedente es rechazado.
FIGURA 2.4 - Falsedad del condicional.
5
2.1.2.4. FI→ (Falsedad Izquierda en un Condicional)
Un condicional es aceptado cuando su antecedente es rechazado.
FIGURA 2.5 – Falsedad Izquierda en un Condicional.
2.1.2.5. AD→ (Afirmación Derecha en un Condicional)
Un condicional es aceptado cuando su consecuente es aceptado.
FIGURA 2.6 - Afirmación Derecha en un Condicional.
6
2.1.2.6. FDAI → (Falsedad Derecha, Afirmación Izquierda en un
Condicional)
Un condicional es rechazado cuando el antecedente es aceptado y el consecuente es
rechazado.
FIGURA 2.7 - Afirmación Izquierda. Falsedad Derecha en un Condicional.
2.1.3.
Reglas para la conjunción Λ
Una conjunción es verdadera sólo en el caso en que las proposiciones atómicas
componentes sean verdaderas y es falsa en todos los demás casos- De allí se derivan las
siguientes reglas.
2.1.3.1.
A Λ (Afirmación de la Conjunción)
Ambos componentes de una conjunción son aceptados cuando la conjunción es
aceptada.
FIGURA 2.8 – Afirmación de la conjunción
7
2.1.3.2. AIAD Λ (Afirmación Izquierda, Afirmación Derecha en la
Conjunción)
Si ambos componentes de una conjunción son aceptados, se deduce que la conjunción es
aceptada.
FIGURA 2.9 - Afirmación Izquierda, Afirmación Derecha de la conjunción
2.1.3.3. AIF Λ (Afirmación Izquierda, Falsedad de la Conjunción)
De una conjunción rechazada con uno de sus componentes aceptado, se deduce que el
otro componente es rechazado.
FIGURA 2.10 - Afirmación Izquierda Falsedad de la conjunción.
8
2.1.3.4. ADF Λ (Afirmación Derecha, Falsedad de la Conjunción)
De una conjunción rechazada con uno de sus componentes aceptado, se deduce que el
otro componente es rechazado.
FIGURA 2.11 - Afirmación Derecha, Falsedad de la Conjunción.
2.1.3.5. FI Λ (Falsedad Izquierda en la Conjunción)
Una conjunción es rechazada cuando uno de sus componentes lo es.
FIGURA 2.12 - Falsedad Izquierda de la Conjunción.
9
2.1.3.6. FD Λ (Falsedad Derecha en la Conjunción)
Una conjunción es rechazada cuando uno de sus componentes lo es.
FIGURA 2.13 - Falsedad Derecha de la Conjunción.
2.1.4.
Reglas para la disyunción V
La disyunción es verdadera, cuando al menos una de las proposiciones atómicas
componentes, es verdadera, y es falsa sólo en el caso en que ambas sean falsas.
2.1.4.1. F V (Falsedad de la Disyunción)
Se deduce que ambos componentes de una disyunción son rechazados cuando la
disyunción es rechazada.
FIGURA 2.14 - Falsedad de la Disyunción.
10
2.1.4.2. FDFI V (Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de una
Disyunción)
Una disyunción es rechazada cuando sus componentes son rechazados.
FIGURA 2.15 - Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de la Disyunción.
2.1.4.3.
AD V (Afirmación Derecha de una Disyunción)
Una disyunción es aceptada cuando uno de sus componentes lo es.
FIGURA 2.16 - Afirmación Derecha de la Disyunción.
11
2.1.4.4. AI V (Afirmación Izquierda de una Disyunción)
Una disyunción es aceptada cuando uno de sus componentes lo es.
FIGURA 2.17 - Afirmación Izquierda de la Disyunción.
2.1.4.4.
FIA V (Falsedad Izquierda. Afirmación de la Disyunción)
Cuando una disyunción es aceptada y uno de sus componentes es rechazarlo, se deduce
que el otro componente es aceptado.
FIGURA 2.18 - Falsedad Izquierda, Afirmación de la Disyunción.
12
2.1.4.5.
FDA V (Falsedad Derecha, Afirmación de la Disyunción)
Cuando una disyunción es aceptada y uno de sus componentes es rechazado, se deduce
que el otro componente es aceptado.
FIGURA 2.19 - Falsedad Derecha, Afirmación de la Disyunción.
2.1.5.
Reglas para el bicondicional ↔
El bicondicional, también llamado coimplicación, es verdadero cuando ambas
proposiciones atómicas son verdaderas o falsas, y es falsa en todos los demás casos.
2.1.5.1
ADAI ↔ (Afirmación Derecha, Afirmación Izquierda en un
Bicondicional)
Un Bicondicional es aceptado cuando sus dos componentes son aceptados
FIGURA 2.20 - Afirmación Derecha, Afirmación Izquierda del bicondicional.
13
2.1.5.2. FDFI ↔ (Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda en un
Bicondicional)
Un bicondicional es aceptado cuando sus dos componentes son rechazados.
FIGURA 2.21 - Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda del bicondicional.
2.1.5.3. AIFD ↔ (Afirmación Izquierda, Falsedad Derecha en un
Bicondicional)
Un bicondicional es rechazado cuando uno de sus componentes es rechazado y el otro es
aceptado.
FIGURA 2.22. Afirmación Izquierda, Falsedad Derecha del bicondicional.
14
2.1.5.4.
FIAD ↔ (Falsedad Izquierda, Afirmación Derecha en un
Bicondicional)
Un bicondicional es rechazado cuando uno de sus componentes es rechazado y el otro es
aceptado.
FIGURA 2.23. Falsedad Izquierda, Afirmación Derecha del bicondicional.
2.1.5.5. AIA ↔ (Afirmación Izquierda, Afirmación del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el Incondicional y el otro
componente son aceptados.
FIGURA 2.24 - Afirmación Izquierda, Afirmación del bicondicional.
15
2.1.5.6. FIF ↔ (Falsedad Izquierda, Falsedad del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro
componente son rechazados.
FIGURA2.25 - Falsedad Izquierda, Falsedad del bicondicional.
2.1.5.7. FIA ↔ (Falsedad Izquierda, Afirmación del Bicondicional)
Un componente de un Incondicional es rechazado cuando el bicondicional es aceptado y
el otro componente es rechazado.
FIGURA 2.26 - Falsedad Izquierda, Afirmación del Bicondicional.
16
2.1.5.8. AIF ↔ (Afirmación Izquierda, Falsedad del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es rechazado y
el otro componente es aceptado.
FIGURA 2.27. Afirmación Izquierda, Falsedad del bicondicional.
2.1.5.9. ADA ↔ (Afirmación Derecha, Afirmación del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro
componente son aceptados.
FIGURA 2.28.
Afirmación Derecha, Afirmación del bicondicional.
17
2.1.5.10. FDF ↔ (Falsedad Derecha, Falsedad del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro
componente son rechazados.
FIGURA 2.29
- Falsedad Derecha, Falsedad del bicondicional.
2.1.5.11. FDA ↔ (Falsedad Derecha, Afirmación del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es aceptado y
el otro componente es rechazado.
FIGURA 2.30 - Falsedad Derecha, Afirmación del bicondicional.
18
2.1.5.12. ADF ↔ (Afirmación Derecha, Falsedad del Bicondicional)
Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es rechazado y
el otro componente es aceptado.
FIGURA 2.31
2.1.6
- Afirmación Derecha Falsedad del bicondicional.
Reglas para la negación clásica ~
2.1.6.1. A ~ (Afirmación de la Negación)
El alcance de una negación es rechazado cuando la negación es aceptada.
FIGURA 2.32 - Afirmación de la negación.
19
2.1.6.2. FA ~ (Falsedad del Alcance de la Negación)
Una negación es aceptada cuando su alcance es rechazado.
FIGURA 2.33
- Falsedad del alcance de la negación.
2.1.6.3. F ~ (Falsedad de la Negación)
El alcance de una negación es aceptado cuando la negación es rechazada.
FIGURA 2.34 - Falsedad de la negación.
20
2.6.4.
AA ~ (Afirmación del Alcance de la Negación)
Una negación es rechazada cuando su alcance es aceptado.
FIGURA 2.35 - Afirmación del alcance de la negación.
2.1.7.
Reglas para la iteración de marcas
2.1.7.1. IA (Iteración de la Afirmación)
Cuando un enunciado es aceptado, lo será siempre.
FIGURA 2.36
- Iteración de la Afirmación.
21
2.1.7.2. IF (Iteración de la Falsedad)
Cuando un enunciado es rechazado, lo será siempre.
FIGURA 2.37 - Iteración de la Falsedad.
2.2.
Tipos de Árboles
2.2.1.
Doble marca
DM (Doble Marca): Si dos nodos asociados a un mismo enunciado tienen marcas
distintas entonces el árbol está mal marcado.
2.2.2.
Árboles bien marcados
Un árbol de forzamiento semántico se dice que está bien marcado (ABM) si todos sus
nodos están marcados y no existe doble marca.
2.2.3.
Árboles mal marcados
Un árbol de forzamiento semántico se dice que está mal marcado (AMM) si no está bien
marcado, es decir, si existe un nodo con doble marca
22
2.3.
Teorema de opciones en el forzamiento
2.3.1.
OADM (Opción Afirmativa con Doble Marca)
Si se toma la opción de marcar un nodo con círculo y se obtiene un árbol mal marcado
entonces dicho nodo está marcado con cuadro. Si se supone que un enunciado es verdadero y
se obtiene una contradicción entonces dicho enunciado es falso.
FIGURA 2.38
2.3.2.
- Opción afirmativa con doble marca.
OFDM: (Opción Falsa con Doble Marca)
Si se toma la opción de marcar un nodo con cuadro y se obtiene un árbol mal marcado
entonces dicho nodo está marcado con círculo. Si se supone que un enunciado es falso y se
obtiene una contradicción entonces dicho enunciado es verdadero.
FIGURA 2.39. Opción falsa con doble marca.
23
2.3.3.
OAOFDM (Opción Afirmativa y Opción Falsa con Doble marca)
Si se toma la opción de marcar un nodo con cuadro y se obtiene un árbol mal marcado, y
además, si se toma la opción de marcar un nodo con círculo y se obtiene un árbol mal
marcado entonces el árbol esta mal marcado. Si suponemos que un enunciado es falso y se
obtiene una contradicción y además, si se supone que el enunciado es verdadero y se obtiene
una contradicción entonces la contradicción no depende de dicho enunciado.
Si marcando A con círculo no se obtiene árbol mal marcado entonces A está marcado con
círculo.
Si marcando A con cuadro no se obtiene árbol mal marcado entonces A está marcado con
cuadro.
2.3.4.
Validez del árbol de forzamiento semántico.
Un enunciado es válido si y solamente si el árbol de forzamiento semántico asociado al
enunciado está mal marcado.
FIGURA 2.40 - Opción afirmativa y falsa con doble marca.
Es decir, un enunciado es inválido (existe una asignación de valores cíe verdad que lo
refuta) si y solamente si el árbol de forzamiento semántico asociado al enunciado está bien
marcado.
Si un árbol de forzamiento semántico asociado a un enunciado está bien marcado, la
interpretación de las marcas de sus hojas nos proporciona una asignación de valores de
verdad que refuta el enunciado, Podemos concluir que los árboles de forzamiento semántico
nos proporciona un método de decisión para el cálculo proposicional clásico.
24
2.3.4.
Algunos teoremas Importantes
2.3.4.1. Tercero Excluido
Dada una proposición A, entonces A y ~ A no pueden ser simultáneamente verdaderas.
De esta manera, una proposición (en esta lógica bivalente) o bien es verdadera o bien es
falsa y no caben mas alternativas. Por lo tanto, en caso de presentarse una proposición que es
verdadera y falsa a la vez se la elimina por ser contradictoria.
A∨ ~A
Su árbol es:
FIGURA 2.41 – Árbol del argumento A ∨ ~A
25
FIGURA 2.42 – Principio del tercero excluido (FR)
FIGURA 2.43 – Principio del tercero excluido (F ∨ )
FIGURA 2.44 – Principio de tercero excluido (F~)
26
Tenemos un argumento con doble marca (A es falso y verdadero a, la vez), por lo tanto el
árbol es un árbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio del tercero
excluido es un teorema.
2.4.2.
Principio de no contradicción
Un enunciado no puede ser a la vez verdadero y falso. De esta manera, una proposición (en
esta lógica bivalente) no será al mismo tiempo verdadero y falsa.
~ ( A∧ ~ A)
Su árbol es:
FIGURA 2.45 – Principio de no contradicción
FIGURA 2.46 – Principio de no contradicción (FR).
27
FIGURA 2.47 – Principio de no contradicción (F~).
FIGURA 2.48 – Principio de no contradicción (A∧)
28
FIGURA 2.49 – Principio de no contradicción (A~)
Tenemos un argumento con doble marca (a es falso y verdadero a, la vez) por lo tanto el
árbol, es un árbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio de no
contradicción es un teorema.
2.4.3.
Principio de trivialización
El principio de trivialización indica que la lógica clásica no soporta contradicciones, es
decir: de un enunciado y su negación se puede deducir cualquier otro enunciado.
~ A → ( A → B)
Su árbol es:
FIGURA 2.50. -–Principio de trivialización
29
FIGURA 2.51 – Principio de Trivialización (FR)
FIGURA 2.52 – Principio de trivialización (F→)
30
FIGURA 2.53 – Principio de trivialización (A~)
FIGURA 2.54 – Principio de trivialización (F→)
Tenemos un argumento con doble marca (A es falso y verdadero a la vez), por lo tanto el
árbol, es un árbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio de trivialización
es un teorema.
31
Capítulo 3.
Árboles de forzamiento Semántico
para la Lógica Básica
Paraconsistente y Paracompleta
con negación clásica – LBPco
Los árboles de forzamiento semántico para el sistema de Lógica Básica Paraconsistente y
Paracompleta con Negación Clásica LBPco, se obtienen a partir de los árboles de
forzamiento semántico clásico agregando un nuevo operador de negación llamado negación
débil (¬ )junto con reglas de inferencia similares a las del operador Negación Clásica (~)
pero debilitadas.
La negación clásica (~) está caracterizada por ser completa, es decir, si el enunciado A es
falso entonces el enunciado ~A es verdadero, o de forma equivalente, si el enunciado ~A es
falso entonces el enunciado A es verdadero, lo cual significa que no puede ocurrir que los
enunciados A y ~A sean simultáneamente falsos. Además también es consistente, es decir,
Si el enunciado A es verdadero entonces el enunciado ~A es falso, o de forma equivalente, si
el enunciado ~A es verdadero entonces el enunciado A es falso, lo cual significa que no
puede ocurrir que los enunciados A y ~A sean simultáneamente verdaderos. Cuando una
lógica tiene un operador negación (¬) que no es completo, es decir que para algún enunciado
A, tanto A como ¬ A son falsos, se dice que dicha lógica es paracompleta. Cuando una
lógica tiene un operador negación (¬) que no es consistente, es decir, para algún enunciado
A, tanto A como ¬A son verdaderos), se dice que dicha lógica es paraconsistente.
Las reglas de inferencia para esta negación se obtienen debilitando las reglas de inferencia
32
para el operador negación clásica y agregando reglas que indiquen en que casos particulares
valen las reglas eliminadas. El sistema resultante soporta contradicciones débiles sin
trivializar las teorías que las incluyen.
La fórmula ¬ A puede leerse: A es cuestionable, A es cuestionado.
La fórmula AI se lee: A es incompatible con su negación.
La fórmula AC se lee: A es completa con su negación.
El árbol de una incompatibilidad tiene la siguiente forma:
FIGURA 3.1. - A es incompatible con su negación
El árbol de una completez tiene la siguiente forma:
FIGURA 3.2. - A es completa con su negación.
33
3.1
Reglas de inferencia para la negación paraconsistente ¬
3.1.1
A¬AI(Afirmación de la
Incompatibilidad)
Negación
y
Afirmación
de
la
Los enunciados cuestionados que son incompatibles con su negación, son rechazados es
decir, el alcance de una negación es falso cuando la negación es verdadera y es incompatible
con su alcance.
FIGURA 3. 3 -. Afirmación de la negación y Afirmación de la incompatibilidad
3.1.2.
FΑ¬ AC (Falsedad del Alcance de la Negación y Afirmación de la
Completez)
Los enunciados determinables que son rechazados, son cuestionados, es decir, una
negación es aceptada cuando su alcance es rechazado y completo.
FIGURA 3.4. Falsedad del alcance de la negación y Afirmación de la completez.
34
3.1.3.
F¬ AC (Falsedad de la Negación y Afirmación de la Completez)
Los enunciados determinables que son cuestionados, son aceptados. El alcance de una
negación es aceptado cuando la negación es rechazada y el alcance completo.
FIGURA 3.5.- Falsedad de la Negación y Afirmación de la Completez
3.1.4.
AA¬ AI (Afirmación del Alcance de la Negación y Afirmación de
la Incompatibilidad)
No son cuestionados los enunciados que se aceptan y además sean incompatibles con su
negación es decir, una negación es rechazada cuando su alcance es aceptado y es
incompatible con su negación.
FIGURA 3.6.- Afirmación del Alcance de la Negación y Afirmación de la Incompatibilidad
35
3.1.5.
A¬ AA¬ I (Afirmación de la Negación y Afirmación del Alcance
de la Negación en la Incompatibilidad)
Los enunciados que son aceptados y cuestionados son compatibles con su negación, es
decir, la incompatibilidad de un enunciado y su negación es rechazada cuando el enunciado y
su negación son aceptados.
FIGURA 3.7. Afirmación de la Negación y Afirmación del Alcance de la Negación en la Incompatibilidad
3.1.6.
FI (Falsedad de la Incompatibilidad)
Los enunciados compatibles con su negación se aceptan y se cuestiona, es decir un
enunciado y su negación son aceptados cuando la incompatibilidad es rechazada.
FIGURA 3.8. - Falsedad de la Incompatibilidad
36
3.1.7.
F¬I (Falsedad de la Negación en la Incompatibilidad)
Si un enunciado no es cuestionado entonces es incompatible con su negación es decir,
una incompatibilidad es aceptada cuando es rechazada la negación en su alcance.
FIGURA 3.9. - Falsedad de la Negación de la Incompatibilidad
3.1.8.
FA¬
I
(Falsedad del Alcance
incompatibilidad)
de
la
Negación
en
la
Si un enunciado es rechazado entonces es incompatible con su negación es decir, Una
incompatibilidad es aceptada cuando es rechazado el alcance de la negación en su alcance.
FIGURA 3.10. - Falsedad del alcance de la Negación en la Incompatibilidad
37
3.19.
A ¬ C (Afirmación de la Negación en la Completez)
Un enunciado es determinable cuando es cuestionado, es decir, una completez es aceptada
cuando es aceptada la negación en su alcance.
FIGURA 3.11. Afirmación de la Negación en la Completez
3.1.10
AA¬ C(Afirmación del Alcance de la Negación en la Completez)
Un enunciado es determinable cuando es aceptado, es decir, una completez es aceptada
cuando es aceptado el alcance de la negación en su alcance.
FIGURA 3.12. Afirmación del Alcance de la Negación en la Completez.
38
3.1.11.
FC (Falsedad de la Completez)
Cuando un enunciado es determinable, ni se acepta ni se rechaza, es decir, un enunciado y
su negación son rechazados cuando la completez es rechazada.
FIGURA 3.13. Falsedad de la Completez.
3.1.12.
F¬ FΑ¬ C (Falsedad de la Negación Falsedad del Alcance de la
Negación en la Completez)
Cuando un enunciado es rechazado y no es cuestionado, es indeterminable. Cuando un
enunciado y su negación son rechazados, la completez es rechazada.
FIGURA 3.14. Falsedad de la Negación Falsedad del Alcance de la Negación en la Completez
39
3.2.
Algunos teoremas
3.2.1.
Tercero Excluido
Este principio es valido solo cuando un enunciado es completo.
ACÆ (A ∨ ¬ A)
Su árbol es:
FIGURA 3.15. Tercero Excluido ACÆ (A ∨ ¬ A)
Justificaciones
1. FR.
2, 3. FÆ.
4, 5. F V.
9. DM en 8 y 7.
6. IF en 5.
7. IF en 4.
8. F¬ AC.en 2 y 6
AMM.
40
3.2.2.
Principio de No Contradicción:
Este principio solo tiene validez restringida, es decir, cuando el enunciado es incompatible
con su negación.
(A∧ ¬ A)C∧ AI Æ ¬ (A ∧ ¬ A)
Su árbol es:
FIGURA 3.16. Principio de No Contradicción
Justificaciones
1. FR.
2, 3. FÆen 1.
4, 5. A∧ en 2
6. IF en 3
7. F¬ AC en 4 y 6.
8, 9. A∧ en 7.
10. IA en 8
11. IA en 9.
17. DM en 12 y 16.
AMM.
41
12.
A¬ AI en 5 y 11.
13.
IA en 7.
14, 15.
A∧ en 13.
16.
IA en 14.
3.2.3.
Principio de trivialización:
Este principio indica que el sistema soporta las contradicciones, es decir, pueden tenerse
como teoremas los enunciados A y ¬ A y a pesar de ello el sistema no se trivializa.
FIGURA 3.17. Principio de trivialización
Justificaciones
1. FR.
2, 3. FÆen 1.
4, 5. FÆen 3.
10. A¬ AI en 2 y 9.
11. DM en 10 y 8.
6, 7. FÆen 5
8. IA en 6.
9. IA en 4
42
Capítulo 4.
Árboles De Forzamiento
Semántico Para Lógica
Multivaluada
4.1
Lógica de Lukasiewicz
La lógica trivalente nació de la necesidad de incorporar dentro de la lógica cierto tipo de
proposiciones imposibles de tratar por los medios de la lógica bivalente. Para ello se necesito
ampliar el cálculo anterior y hacer en él ciertas correcciones. La ampliación consistió en
añadir un nuevo valor a los dos anteriores con los que trabajaba la lógica bivalente. Un valor
intermedio entre el “1” y el “0”, el “½”, interpretado como posiblemente “1” o posiblemente
“0”.
Para construir las tablas de verdad para fórmulas moleculares, se debe seguir los mismos
criterios que en la lógica bivalente, es decir, se construyen a partir de los valores de las
fórmulas atómicas y de las definiciones de las conectivas lógicas.
Lukasiewicz toma como base la extensión de la interpretación clásica de las conectivas de
implicación (→ ) y negación (¬). Y define la disyunción (∨ ), la conjunción (∧ ) y la
equivalencia (↔ ) de la siguiente manera:
A ∨ B = (A → B) → B
A ∧ B = ¬(¬A ∨ ¬B)
A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
43
Las tablas de verdad en este sistema son construidas tomando en cuenta las siguientes
formulas:
La conjunción elige el valor mas bajo de las sub-fórmulas que conecta.
v(A∧ B) = min. {v(A), v(B)}
∧
1
1/2
0
1
1/2
0
1
1/2
0
1/2
1/2
0
0
0
0
La disyunción elige el mejor valor de las fórmulas que conecta.
v (A∨ B) = máx. {v(A), v(B)}
∨
1
1/2
0
1
1/2
0
1
1
1
1
1/2
1/2
1
1/2
0
La implicación toma el valor del consecuente cuando dicho consecuente tiene un valor
más bajo que el antecedente; en caso contrario se evalúa como verdadero, es decir como 1.
v(AÆB)=min{1,1-v(A)+v(B)}
→
1
1/2
0
1
1/2
0
1
1/2
0
1
1
1/2
1
1
1
44
Del anterior se deduce los valores de la doble implicación.
↔
1
1/2
0
1
1/2
0
1
1/2
0
1/2
1
1/2
0
1/2
1
El valor de la negación esta determinada por uno menos el valor del argumento.
v(¬ A)=1-v(A)
¬
4.2.
1
0
1/2
1/2
0
1
Reglas de inferencia:
A partir de las tablas establecidas para el conector se pueden realizar las mismas
operaciones que en lógica bivalente, aunque tales operaciones son mucho mas largas y
enojosas en el nuevo calculo, puesto que para tres argumentos las combinaciones posibles
son 27, para cuatro 81… etc., de acuerdo con 3n en que el exponente “n” designa el numero
de argumentos que tenga la formula. Los resultados que se obtengan, pueden ser triples:
Tautológicos, si como resultado se obtiene “1” en todos los casos, es decir todos son
verdaderos; Posibles, si no aparecen números inferiores a ½, es decir no aparecen valores
falsos; y Falsos, si resultan números “0” en cualquier caso.
En este sistema el nodo raíz no siempre necesita estar marcado con cuadro, como en el
caso de la lógica clásica, sino que puede tomar el valor de ½, marcado con un círculo
discontinuo.
4.2.1.
Reglas para la el condicional →
Como se puede observar en la tabla de verdad, la implicación es falsa, solo cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y de hay se derivan las siguientes reglas.
45
4.2.1.1. AIID → (Afirmación Izquierda, indeterminación Derecha)
Un condicional es indeterminado cuando el antecedente es aceptado, y el consecuente es
indeterminado.
FIGURA 4.1. Afirmación Izquierda, indeterminación Derecha
4.2.1.2. III→
(Indeterminación
Implicación)
Izquierda,
Indeterminación
de
la
Cuando se tiene el antecedente y el condicional indeterminado, el consecuente es
rechazado.
FIGURA 4.2. Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la Implicación
46
4.2.1.3. FII→ (Falsedad Izquierda, Indeterminación de la Implicación)
Cuando se tiene un consecuente rechazado, y una implicación indeterminada, es porque el
antecedente es indeterminado.
FIGURA 4.3. Falsedad Izquierda, Indeterminación de la Implicación
4.2.1.4. IIID→ (Indeterminación Izquierda, Indeterminación Derecha.)
Al tener un antecedente y un consecuente indeterminado, la implicación es verdadera.
FIGURA 4.4. Indeterminación Izquierda, Indeterminación Derecha.
47
4.2.1.5. IIFD→ (Indeterminación Izquierda, Falsedad Derecha)
Cuando el antecedente es indeterminado y el consecuente es falso, se deduce que la
implicación es indeterminada.
FIGURA 4.5. Indeterminación Izquierda, Falsedad Derecha
4.2.1.6. AII→ (Afirmación Izquierda, Indeterminación de la Implicación)
Cuando el antecedente es aceptado, y la implicación es indeterminada, se deduce que el
consecuente es indeterminado.
FIGURA 4.6. Afirmación Izquierda, Indeterminación de la Implicación
48
4.2.2.
Reglas para la conjunción ∧1
4.2.2.1.NFIID ∧(No Falsedad Izquierda, Indeterminación Derecha De la Conjunción)
IINFD ∧(Indeterminación Izquierda, No Falsedad Derecha de la Conjunción)
Cuando uno de los componentes de la conjunción es indeterminado y el otro no es
rechazado, es decir no es falso2, la conjunción es indeterminada.
FIGURA 4.7. No Falsedad Izquierda, Indeterminación Derecha De la Conjunción.
FIGURA 4.8. Indeterminación Izquierda, No Falsedad Derecha De la Conjunción
1
2
Se aplican las mismas reglas de la lógica clásica para la conjunción.
Para determinar que un valor no es rechazado, se dibujaran dos cuadrados uno dentro de otro.
49
4.2.2.2. III∧ (Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la conjunción).
IDI∧ (Indeterminación Derecha, Indeterminación de la conjunción).
Cuando la conjunción y uno de los componentes de la conjunción son indeterminados, el
otro componente no es falso.
FIGURA 4.9. Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la conjunción
FIGURA 4.10. Indeterminación Derecha, Indeterminación de la conjunción
50
4.2.2.3. I∧ (Indeterminación de la conjunción)
Al tener una conjunción indeterminada, es porque uno de los componentes es
indeterminado, y el otro no es rechazado.
FIGURA 4.11. Indeterminación de la conjunción
4.2.3.
Reglas para la disyunción ∨3
4.2.3.1 NAI ID∨ (No Aceptación Izquierda, Indeterminación Derecha de Disyunción)
IINAD∨(Indeterminación Izquierda, No aceptación Derecha de la Disyunción)
Cuando uno de los componentes de la Disyunción es indeterminado y el otro No es
aceptado, es decir no es verdadero4, La disyunción se hace indeterminada.
FIGURA 4.12. No Aceptación Izquierda, Indeterminación Derecha de Disyunción
3
4
Se aplican las mismas reglas de la lógica clásica para la disyunción.
Para determinar que un valor no es aceptado, se dibuja un círculo dentro de un cuadro.
51
FIGURA 4.13. Indeterminación Izquierda, No Aceptación Derecha de Disyunción
4.2.3.2.
III∨(Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la Disyunción).
IDI∨(Indeterminación Derecha, Indeterminación de la Disyunción).
Cuando la Disyunción y uno de los componentes de la conjunción son indeterminados, el
otro componente no es aceptado.
FIGURA 4.14. Indeterminación Izquierda, Indeterminación de la Disyunción.
FIGURA 4.15. Indeterminación Derecha, Indeterminación de la Disyunción.
52
4.2.3.3. I∨ (Indeterminación de la Disyunción)
Al tener una Disyunción indeterminada, es porque uno de los componentes es
indeterminado, y el otro no es aceptado.
FIGURA 4.16. Indeterminación de la Disyunción.
4.2.4.
Reglas para el bicondicional ↔ 5
4.2.4.1. IIID ↔ (Indeterminación Izquierda, Indeterminación Derecha
del Bicondicional)
Un bicondicional es aceptado, cuando sus dos componentes son indeterminados.
FIGURA 4.17. Indeterminación Izquierda, Indeterminación Derecha del Bicondicional.
5
Se aplican las mismas reglas de la lógica clásica para el bicondicional.
53
4.2.4.2. A↔ (Afirmación del bicondicional)
Si un bicondicional es aceptado; sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad.
FIGURA 4.18. Afirmación del bicondicional
4.2.4.3. AII↔(Afirmación Izquierda, Indeterminación del bicondicional)
ADI↔ (Afirmación Derecha, Indeterminación del bicondicional)
Al tener un bicondicional indeterminado y uno de sus componentes aceptados, el otro
componente es indeterminado.
FIGURA 4.19. Afirmación Izquierda, indeterminación del bicondicional
54
FIGURA 4.20. Afirmación Derecha, indeterminación del bicondicional
4.2.4.4. FII↔ (Falsedad Izquierda, Indeterminación del bicondicional)
FDI↔ (Falsedad Derecha, Indeterminación del bicondicional)
Al tener un bicondicional indeterminado, y uno de sus componentes rechazado, el otro
componente es indeterminado.
FIGURA 4.21.Falsedad Izquierda, Indeterminación del bicondicional
55
FIGURA 4.22.Falsedad Derecha, Indeterminación del bicondicional
4.2.5.
Reglas para la negación ¬ 6
4.2.5.1. I ¬ (Indeterminación de la de la Negación)
El alcance de la negación es indeterminado cuando la negación es indeterminada.
FIGURA 4.23. Indeterminación de la negación.
6
Se aplican las mismas reglas de la lógica clásica para la negación.
56
4.2.5.2. IA ¬ (Indeterminación del alcance de la Negación)
Una negación es indeterminada, cuando su alcance es indeterminado.
FIGURA 4.24. Indeterminación del alcance de la negación.
4.3.
Algunas consecuencias.
Lukasiewicz concluye que en cuanto a la lógica, no es cierto que el principio de no
contradicción sea el mas alto de todos los principios, en el sentido en el que sea presupuesto
por todos los otros principios, en el contexto de la lógica simbólica, se había demostrado que
una serie de principios podrían seguir siendo validos incluso si el de no contradicción no lo
fuera. A partir de esto, el autor concluyendo la parte histórico – crítica del artículo, afirma
que:
“¡Debemos abandonar la falsa, aunque ampliamente extendida,
perspectiva de que el principio de no contradicción es el más alto
principio de todas las demostraciones! Esto sólo se sostiene para las
pruebas indirectas; para las directas no es cierto.7
7
Tomado del libro Inconsistencias ¿Por qué no? Pagina 17.
57
4.3.1.
Principio del Tercio Excluido
A ∨¬ A
Su árbol es:
FIGURA 4.25. Principio del tercero excluido.
Justificaciones
1.
IR.
2, 3. I∨
4. I ¬ en 3.
5. DM en 2 y 4.
El valor de A marcado con cuadro y círculo dentro significa, que no puede ser verdadero, por
lo cual puede tomar los valores de indeterminado o falso; entonces el árbol, al marcar a A
como indeterminado, queda bien marcado, lo cual demuestra que el principio del tercio
excluido no es un teorema en la lógica de Lukasiewicz.
58
4.3.2.
Principio de No Contradicción
¬(A ∧¬ A)
Su árbol es:
FIGURA 4.26. Principio de no contradicción.
Justificaciones
1.
IR.
3, 5. I∧ en 2
6.
DM en 3 y 5.
2. I ¬ en 1.
5. I ¬ en 4.
El valor de A marcado con cuadro y otro cuadro dentro significa, que no puede ser falso, por
lo cual puede tomar los valores de indeterminado o verdadero; entonces el árbol, al marcar a
A como indeterminado, queda bien marcado, lo cual demuestra que el principio de no
contradicción no es un teorema en la lógica de Lukasiewicz.
59
CONCLUSIONES
Los árboles de forzamiento semántico son diagramas utilizados para la llamada investigación
formativa, es decir, son utilizados para presentar de manera bastante simple tópicos
relacionados con algunas lógicas no clásicas, como la lógica Paraconsistente, Paracompleta y
la lógica de Lukasiewiez, mostrando las diferencias y semejanzas con la clásica.
También son utilizados de manera muy eficiente en el estudio de la "negación", además de
ser utilizados como una solución en tiempo finito en la realización de teoremas, o poder
saber en tiempo real si un argumento es un teorema o no, los Árboles de Forzamiento
Semántico, proporcionan una herramienta de inferencia visual muy útil en el estudio de
teorías inconsistentes.
Por otra parte se puede observar que las conclusiones a las cuales llega Lukasiewiez, son
totalmente demostrables por este método.
Por ejemplo tenemos el principio de no contradicción el cual no puede ser probado
proclamándolo directamente evidente porque:
1) La evidencia no parece ser un criterio aceptable de verdad; de hecho ha sucedido que
proposiciones falsas se han mostrado como evidentes
.
2) El principio de no contradicción no parece ser evidente para todo el mundo; para
algunos pensadores como Hegel no era evidente.
Con relación a la posibilidad de dar una prueba del principio de no contradicción a partir de
una investigación concreta, Lukasiewiez hace mención de objetos contradictorios como “El
mas grande de los números primos”, o el “circulo cuadrado”, él asumía que el principio de
no contradicción sólo estaba dirigido a lo real y a lo posible. Por otra parte, como lo había
demostrado la aparición de las paradojas, tales como la de Russell, no se puede excluir la
eventualidad de que construcciones que parecen consistentes, contengan una contradicción
escondida que no se ha descubierto aun.
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Referencia
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