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UNIDAD 9
Actividades de final de unidad
Ejercicios básicos
1. ¿A qué distancia de la Tierra, expresada en km, se encuentra una estrella que está a 10 años luz?
Como la luz se propaga en el vacío (y en el aire) con movimiento uniforme a 300 000 km s–1:
km
365 días 86 400 s
∆x = v t = 300 000
· 10 años ·
·
= 9,5 · 1013 km
s
1 año
1 día
Es decir, 95 billones de kilómetros.
2. Traza la marcha de los rayos de luz de la figura 9.91.
60°
Fig. 9.91
Para trazar el rayo reflejado es preciso:
1.° Dibujar la normal en el punto de incidencia.
2.° De acuerdo con la segunda ley de la reflexión, el
ángulo de reflexión es igual que el de incidencia.
Teniendo en cuenta estos aspectos, y por simples consideraciones geométricas, en la figura hemos trazado
los rayos reflejados en los espejos.
Nota: en este ejemplo se observa que el rayo emergente es paralelo al incidente. Esto sucede en todos
los casos (para espejos en ángulo recto).
187
60°
30°
60°
60°
N
30°
N
3. Traza la marcha de los rayos de luz de la figura 9.92.
C
1
F
O
2
Fig. 9.92
Si se aplican las consideraciones del ejercicio anterior y teniendo en
cuenta que la normal de un punto de una circunferencia es el diámetro
que pasa por él, en la figura se han trazado los dos rayos reflejados solicitados.
2'
1'
N
C
1
2
F
O
IV ÓPTICA
4. Completa esta tabla, referida a un espejo esférico cóncavo:
Objeto
Imagen
Posición
Naturaleza
Tamaño
–∞ < s < R
R<s<f
f<s<0
Si se toma como objeto una flecha vertical (AB) que se encuentra sobre el eje principal:
A
A'
C
B
B' F
A
B'
O
C
A'
A
C
B
O
F
F
O
B
B'
A'
Imagen:
real, menor e invertida.
Imagen:
real, mayor e invertida.
Imagen:
virtual, mayor y derecha.
Por tanto,
Objeto
Imagen
Posición
Naturaleza
Tamaño
Real
Menor
R<s<f
Real
Mayor
f<s<0
Virtual
Mayor
–∞<s<R
188
5. Un objeto está a 30 cm de un espejo esférico cóncavo de 24 cm de radio. Establece analíticamente las características de la imagen.
Los datos del enunciado, siguiendo el convenio de signos habitual, son:
s = – 0,30 m;
f=
R
= – 0,12 m
2
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1
1
1
+
= ;
s
s’
f
1
1
1
=
– ;
s’
f
s
s’ =
sf
;
s–f
s’ =
(– 0,30 m) · (– 0,12 m)
= – 0,20 m
(– 0,30 m) – (– 0,12 m)
Como la distancia imagen s’ es negativa, la imagen es real y se forma delante del espejo, a 20 cm de su centro de figura.
El aumento es:
y’
s’
– 0,20 m
2
A=
=– =–
=–
y
s
– 0,30 m
3
Es decir, es menor (|A| < 1) e invertida (pues A < 0). Por tanto, la imagen es menor, real e invertida.
Nota: este es el resultado que cabía esperar, teniendo en cuenta que el objeto se encuentra entre –∞ y el centro de curvatura.
6. Realiza el ejercicio anterior, suponiendo que el objeto está a 10 cm del espejo.
Los datos del enunciado, siguiendo el convenio de signos habitual, son:
s = – 0,10 m;
f=
R
= – 0,12 m
2
9 ÓPTICA
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
+
= ;
s
s’
f
s’ =
sf
;
s–f
A=
s’ =
(– 0,10 m) · (– 0,12 m)
= 0,60 m
(– 0,10 m) – (– 0,12 m)
y’
s’
0,60 m
=–
=–
=6
y
s
– 0,10 m
Como la distancia imagen s’ es positiva, la imagen es virtual (se forma detrás del espejo), a 60 cm de su centro de figura. Así pues, la imagen es mayor, virtual y derecha, como cabía esperar, puesto que el objeto se
encuentra entre el foco y el centro de figura.
7. Desarrolla el ejercicio anterior, pero suponiendo que el espejo es convexo, con el mismo radio.
De acuerdo con el enunciado anterior:
R
s = – 0,10 m;
f=
= + 0,12 m
2
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
+
= ;
s
s’
f
s’ =
A=
sƒ
;
s–f
s’ =
(– 0,10 m) · (0,12 m)
= 0,055 m
(– 0,10 m) – (0,12 m)
y’
s’
0,055 m
=– =–
= 0,55
y
s
– 0,10 m
Como la distancia imagen s’ es positiva, la imagen es virtual (se forma detrás del espejo). Asimismo, que el
aumento sea 0,55 significa que es menor y derecha.
Nota: ten en cuenta que los espejos convexos forman siempre imágenes menores, virtuales y derechas.
8. La figura 9.93 muestra un rayo de luz que avanza por el aire y se encuentra con un bloque de vidrio. La luz en
parte se refleja y en parte se refracta. Calcula la velocidad de la luz en este vidrio y su índice de refracción.
189
Aire
60°
Vidrio
70°
Fig. 9.93
Por la segunda ley de la refracción, y teniendo en cuenta la figura, en la
que se ha trazado la normal en el punto de incidencia y los ángulos de
incidencia y refracción:
sin 30°
^
sin ^
i
i = nvidrio sin R;
nvidrio =
=
= 1,46
naire sin ^
^
sin 20°
sin R
30° 30°
60°
Aire
Vidrio
La velocidad de la luz, a partir de la definición de índice de refracción
absoluto, es:
c
300 000 km s–1
;
vvidrio =
= 2,05 · 105 km s–1
nvidrio =
1,46
vvidrio
70°
20°
9. Traza la trayectoria que, aproximadamente, seguirá cada uno de los dos rayos de luz en la figura 9.94.
Vidrio
Agua
Aire
Fig. 9.94
IV ÓPTICA
La segunda ley de la refracción recoge el hecho experimental de que, si la luz pasa a propagarse a un medio
en el que su velocidad es mayor, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia; es decir, los rayos
refractados «se alejan» de la normal trazada en el punto de incidencia. Se exceptúa de este comportamiento
el caso en que la luz incida perpendicularmente en la superficie de separación de los dos medios: en este
caso, la luz sigue propagándose en la misma dirección.
Para trazar los rayos refractados se ha tenido en cuenta que vvidrio < vagua < c. Para facilitar el trazado, se ha
dibujado la normal en cada punto de incidencia y, mediante una línea de puntos, también la dirección que
seguiría la luz si no se refractase.
Vidrio
Agua
Aire
10. Se tiene un prisma óptico (n = 1,62) cuyo ángulo de refringencia (o ángulo del prisma) es de 30°. Si un rayo de
luz incide perpendicularmente en una de sus caras, calcula el ángulo con el que emerge la luz.
Según la figura:
A
a ⇒ ^
a = 60°.
• Triángulo ABP: 180° = 90° + 30° + ^
• En P: ^
i+^
a = 90° ⇒ ^
i = 30°.
30o
^
a
^
i
B
La segunda ley de la refracción aplicada en P:
nprisma sin 30° = naire sin ^
e;
sin ^
e = 1,62 · sin 30° = 0,81
190
N
P
^
e
de donde se tiene e^ = 54°.
11. Un prisma de 60,0° tiene un índice de refracción de 1,52. Calcula el ángulo de incidencia del rayo que, penetrando por el prisma, sufra justamente la reflexión total en la cara opuesta.
Si en P se produce la reflexión total, la segunda ley de la refracción en dicho
punto conduce a:
L = naire sin 90° = 1
nprisma sin ^
L=
sin ^
1
nprisma
A
60o
N
^
i
⇒ ^
L = 41,1°
B
^ ^
R
L
P
N
^
e = 90°
L = 90°; es decir, = 48,9°.
En P: + ^
En el triángulo ABP: 180° = 60° + + , de donde se tiene = 71,1°.
^ = 90°; por tanto, R
^ = 18,9°. Si se aplica la segunda ley de la refracción al paso de la
En el punto B: + R
luz del aire al prisma (punto B):
^
i = nprisma sin 18,9° = 1,52 · sin 18,9°;
i = 29,4°
naire sin ^
2. Dibuja la trayectoria que seguirá el rayo de luz en él,
12. El índice de refracción del prisma de la figura 9.95 es 冑苴
sabiendo que el exterior es aire.
A
C
Fig. 9.95
30°
B
9 ÓPTICA
En D, el ángulo de incidencia es 0°, por lo que el rayo de luz pasa a propagarse en el prisma sin que cambie la dirección.
A
N
D
A
E
30°
E
D
60°
60°
30°
C
B
^
60° i
C
F
30°
B
^
R
En el punto E, el ángulo de incidencia es de 60°. Este valor puede dar lugar a que en dicho punto se manifieste la reflexión total. Para establecerlo es preciso conocer el valor del ángulo límite; por la segunda ley de
refracción:
1
1
L = naire sin 90° = 1;
sin ^
L=
=
⇒ ^
L = 45°
nprisma sin ^
冑苴
2
nprisma
L, en E se produce la reflexión total y el rayo se propaga hasta F. En este punto, el ángulo de
Como 60° > ^
incidencia es de 30° (como se deduce por simples consideraciones geométricas); este valor es menor que el
ángulo límite; por tanto, el rayo emerge del prisma. Si aplicamos nuevamente la segunda ley de la refracción, ahora en F:
1
^ = nprisma sin 30° = 冑苴
^ = 45°
2·
⇒ R
sin R
naire
2
Nota: en estos ejercicios no se tiene en cuenta que, en los puntos de emergencia de la luz, parte de esta
puede reflejarse y, por tanto, esta luz reflejada sigue propagándose por el prisma.
13. Indica cuál es el menor ángulo de incidencia (Fig. 9.96) que puede tener un rayo y todavía ser reflejado completamente por el interior de la fibra óptica (n = 1,30).
Fig. 9.96
191
Para que se produzca la reflexión total, el ángulo de incidencia interno (en B) en la fibra óptica debe ser igual
o mayor que el ángulo límite entre ella y el aire. El valor de este ángulo se puede calcular aplicando la segunda ley de la refracción:
1
1
L = naire sin 90° = 1; sin ^
L=
=
⇒ ^
L = 50,3°
nfibra sin ^
B
nfibra
1,30
^
^
A
^
R L
Según la figura, R = 90° – ^
L = 39,7° y, por la segunda ley de la refracción, en A:
naire
^
i
^ sin ^
^ = 1,30 sin 39,7° = 0,831; ^
sin ^
i = nfibra sin R;
i = nfibra sin R
i = 56,2°
14. Completa la tabla adjunta, que hace referencia a una lente convergente:
Objeto
Posición
Imagen
Naturaleza
Tamaño
O
F'
F
–∞ < s < 2 f
–∞ < s < 2 f
2f<s<f
O
f<s<0
F'
F
2f<s<f
Objeto
Imagen
Posición
Naturaleza
Tamaño
–∞ < s < 2 f
Real
Menor
2f<s<f
Real
Mayor
f<s<0
Virtual
Mayor
En las figuras se han obtenido
las imágenes en cada situación planteada. La tabla recoge sus características.
F
O
F'
f<s<0
IV ÓPTICA
15. ¿Qué diferencia hay entre un aumento positivo y un aumento negativo en una lente?
El aumento lateral (A) de una lente es la relación entre el tamaño de la imagen (y’ ) y el del objeto (y ):
y’
A=
y
Si el aumento es positivo significa que tanto y como y ’ tienen el
mismo signo, lo cual, a su vez, se corresponde con la misma orienta- y
ción de la imagen y del objeto, puesto que el signo de estas magnituF
F'
O
des se toma de acuerdo con el convenio de considerar de un signo
y'
(positivo) los valores Y que están por encima del eje principal, y del
opuesto (negativo) los que se refieren a puntos que están por debajo.
En este ejemplo, el aumento es negativo.
Esto se comprende más fácilmente si se considera (como es habitual)
que el objeto se encuentra sobre el eje principal.
Así pues, si A > 0, la imagen es derecha respecto del objeto; si A < 0, la imagen es invertida.
16. Se tiene una lente convergente de 1,00 dioptría y un objeto de 40 cm de altura que se encuentra a 1,80 m de
la lente. Construye (resolución gráfica) la imagen obtenida y establece, haciendo uso de la escala utilizada: la
distancia imagen, su altura, aumento, su naturaleza y si es derecha o invertida respecto al objeto. Una vez hallados estos valores, resuelve el ejercicio analíticamente.
Que la potencia de la lente sea 1,00 dioptría significa que su distancia focal imagen (f’ ) es de 1,00 m, puesto
1
puesto que la potencia es el inverso de la distancia focal: P =
.
f’
Para la resolución gráfica se ha optado por la escala 1:40. En la figura constan los valores medidos.
Escala 1:40
2,5 cm
192
1,0 cm
F
F'
⯝1,25 cm
⯝5,6 cm
4,5 cm
Si se aplica la escala elegida (1:40), se obtienen s’ ⯝ 2,24 m; y’ ⯝ –50 cm.
La resolución numérica se efectúa con la ecuación fundamental de las lentes delgadas y la fórmula del
aumento. De acuerdo con el convenio de signos, los datos son: s = –1,80 m; f’ = +1,00 m; y = 0,40 m.
1
1
1
–
= ;
s’
s
f’
A=
y’
s’
= ;
y
s
s’ =
f’ s
1,00 m · (–1,80 m)
=
= 2,25 m
f’ + s
1,00 m + (–1,80 m)
y’ = y
s’
2,25 m
= 0,40 m
= – 0,50 m
s
–1,80 m
Puesto que s’ > 0, la imagen es real. De la ecuación del aumento se deduce que dicha imagen es mayor e
invertida (y’ < 0).
17. La lente convergente de un proyector de diapositivas, que tiene una distancia focal de +15,0 cm, proyecta la imagen
nítida de una diapositiva (de 3,5 cm de ancho) sobre una pantalla que se encuentra a 4,00 m de la lente. ¿A qué
distancia de la lente está colocada la diapositiva? ¿Cuál es el aumento de la imagen formada por el proyector en la
pantalla?
La información del enunciado corresponde a las siguientes magnitudes, expresadas con el signo adoptado
en el convenio de signos:
• Distancia imagen: s’ = +4,00 m.
• Distancia focal: f’ = +0,150 m.
• Tamaño del objeto: y = 0,0350 m.
9 ÓPTICA
La distancia de la diapositiva (objeto) a la lente es la distancia objeto; con la ecuación fundamental de las
lentes delgadas se tiene:
1
1
1
f’ s’
0,150 m · (4,00 m)
–
=
;
s=
=
= – 0,156 m
s’
s
f’
f’ – s
0,150 m – (4,00 m)
Por tanto, la diapositiva se encuentra a 15,6 cm de la lente (es decir, solo 6 mm delante del foco objeto).
El aumento es:
A=
y’
s’
4,00 m
=
=
= –25,6;
y
s
–0,156 m
y’ = A y = –25,6 · 3,5 cm = –90 cm
18. Una lente divergente tiene una distancia focal de 10 cm. Un objeto de 10 cm se encuentra a 30 cm
de la lente. Construye gráficamente (a escala) la imagen y, a partir del dibujo, establece: la distancia de la imagen a la lente, la altura que tiene, su naturaleza y si es derecha o invertida respecto del objeto. Después confronta los resultados con la resolución analítica.
Para la resolución gráfica se ha optado por la escala 1:5. En la figura constan los valores medidos.
2 cm
2 cm
F
⯝1,5 cm
6 cm
Con la escala elegida, se obtiene: s’ ⯝ –7,5 cm; y’ ⯝ 2,5 cm.
La resolución numérica se efectúa mediante la ecuación fundamental de las lentes delgadas y la fórmula del
aumento. De acuerdo con el convenio de signos, los datos son: s = – 0,30 m; f’ = – 0,10 m; y = 0,10 m.
1
1
1
–
= ;
s’
s
f’
A=
s’ =
y’
s’
=
;
y
s
f’ s
(– 0,10 m) · (– 0,30 m)
=
= – 0,075 m = –7,5 cm
f’ + s
(– 0,10 m) + (– 0,30 m)
y’ = y
s’
– 0,075 m
= 0,10 m
= 0,025 m = 2,5 cm
s
– 0,30 m
Puesto que s’ < 0, la imagen es virtual. De la ecuación del aumento se deduce que dicha imagen es menor
y derecha (y’ > 0).
19. El ojo normal se puede asimilar a un sistema óptico formado por una lente convergente (el cristalino) de
+15 mm de distancia focal. La imagen de un objeto lejano (en el infinito) se forma sobre la retina, que se considera como una pantalla perpendicular al eje óptico. Calcula: a) la distancia entre la retina y el cristalino; b)
la altura de la imagen de un árbol de 16 m de altura, que está a 100 m del ojo; c) la distancia focal del cristalino cuando se acomoda para ver un objeto que está a 0,25 m del ojo.
a) La imagen de un objeto lejano que forma una lente convergente es real, invertida y menor y se forma en
el plano focal imagen. Por tanto, la distancia entre el cristalino (lente convergente) y la retina, cuando se
observa un objeto lejano, es la distancia focal del cristalino: 15 mm.
b) Un objeto que se encuentra a 100 m es, en relación con la formación de imágenes, prácticamente, un
objeto que está en el infinito; por tanto, su imagen se forma en el foco del cristalino sin acomodar, es decir:
s’ = f’ = +15 mm. Por tanto, en la fórmula del aumento:
y’
s’
s’
15 · 10–3 m
A=
=
⇒ y’ = y
= 16 m
= –2,4 · 10–3 m = –2,4 mm
y
s
s
–100 m
c) La imagen se forma en la retina, s’ = +15 mm; la distancia objeto es s = –25 cm. Por tanto, aplicando la
ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
1
1
=
–
=
–
⇒ f ’ = 14 mm
f’
s’
s
15 · 10–3 m
–25 · 10–2 m
193
IV ÓPTICA
20. Construye gráficamente (a escala 1:1) la imagen que se obtendrá en el sistema óptico de la figura 9.97.
Especifica las características de la imagen final.
Lente 1
2 cm
Lente 2
F1
5 cm
F'1
F2
F'2
3 cm 2 cm
4 cm
Fig. 9.97
Lente 1
Lente 2
La imagen es virtual, mayor (4,8 cm) e invertida.
1 cm
F'1
F1
F2
F'2
2,4 cm
1,2 cm
21. Explica en qué consisten la presbicia y las cataratas. ¿Qué tipo de lentes (divergentes o convergentes) se usan
para su corrección?
194
La presbicia o vista cansada es la reducción de la capacidad de acomodación debida a la fatiga de los
músculos ciliares o a la pérdida de flexibilidad del cristalino. Para el ojo présbita, el punto remoto no
varía, pero el punto próximo se aleja: las personas con vista cansada ven bien excepto cuando miran de
cerca. Esta falta de convergencia se corrige con lentes convergentes (bifocales, cristales progresivos, etc.).
Las cataratas son debidas a la pérdida de transparencia del cristalino. No tiene corrección con gafas: la solución es quirúrgica.
Ejercicios de consolidación
1. Copia fielmente la figura 9.98 y traza los rayos de luz
que permitan deducir el eclipse que experimenta parte
de la Tierra. Especifica: a) ¿de qué tipo de eclipse se
trata, de Sol o de Luna? b) Indica las zonas de la Tierra
en las cuales: hay eclipse total; eclipse parcial; es de
día (sin eclipse); es de noche.
Sol
Luna
Tierra
Fig. 9.98
a) El Sol queda eclipsado para algunos puntos de la Tierra: es un eclipse de Sol.
b) Teniendo en cuenta la propagación rectilínea de la luz:
Eclipse parcial
Noche
Eclipse total
Sol
Luna
Día
Tierra
9 ÓPTICA
2. Con dos espejos se ha conseguido el rayo de luz b a partir del a (Fig. 9.99). Dibújalos, especificando los ángulos de incidencia correspondientes.
a
Fig. 9.99
b
a
45°
La situación es semejante a la del periscopio.
En los puntos de incidencia, la suma de los ángulos de incidencia y de reflexión
es 90°. Como estos dos ángulos son iguales (segunda ley de la reflexión), el
ángulo de incidencia es de 45° en cada espejo.
45°
b
3. Un rayo de luz incide sobre un espejo plano con un ángulo de 37° (Fig. 9.100). Si el espejo gira 10° hacia la
derecha respecto del eje, establece el ángulo que forman entre sí el rayo incidente y el reflejado.
N
37°
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fig. 9.100
i = 47°; como el ángulo de inciAl producirse el giro, la nueva normal también ha girado 10°; por tanto, ^
dencia y el de reflexión son iguales (segunda ley de la reflexión), el ángulo solicitado es de 47° + 47° = 94°.
10° N
N
195
37°
37° 37°
47°
4. A 1,00 m de un espejo esférico cóncavo de 1,50 m de radio de curvatura se coloca un objeto de 10 cm de altura. Establece las características de la imagen.
Los datos del enunciado, siguiendo el convenio de signos y notación, son: s = –1,00 m; R = –1,50 m;
y = 0,10 m.
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
2
+
=
=
;
s
s’
f
R
A=
s’ =
y’
s’
=–
;
y
s
sf
;
s–f
y’ = –y
s’ =
(–1,00 m) · (– 0,750 m)
= –3,00 m
(–1,00 m) – (– 0,750 m)
s’
–3,00 m
= – 0,10 m ·
= – 0,30 m
s
–1,00 m
La imagen es real (s’ < 0), mayor (triple) e invertida (y’ < 0).
5. Un objeto se encuentra a 25 cm de un espejo esférico cóncavo de 80 cm de radio de curvatura. Establece las
características de la imagen.
Los datos del enunciado, siguiendo el convenio de signos y notación, son: s = – 0,25 m; R = – 0,80 m.
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
2
+
=
= ;
s
s’
f
R
s’ =
A=
sf
;
s–f
s’ =
(–0,25 m) · (– 0,40 m)
= 0,67 m
(–0,25 m) – (– 0,40 m)
y’
s’
0,67 m
=–
=–
= 2,7
y
s
– 0,25 m
La imagen es virtual (s’ > 0), mayor y derecha (y’ > 0).
IV ÓPTICA
6. Un objeto de 6,0 cm de altura se encuentra a 30 cm de un espejo esférico convexo de 40 cm de radio. Establece
las características de la imagen.
Los datos del enunciado, siguiendo el convenio de signos y notación, son: s = – 0,30 m; R = +0,40 m;
y = 0,060 m.
Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
2
+
=
= ;
s
s’
f
R
A=
y’
s’
=– ;
y
s
s’ =
y’ = –y
sf
;
s–f
(– 0,30 m) · (0,20 m)
= 0,12 m
(– 0,30 m) – (0,20 m)
s’ =
s’
0,12 m
= – 0,060 m ·
= 0,024 m = 2,4 cm
s
– 0,30 m
La imagen es virtual (s’ > 0), menor y derecha (y’ > 0), como sucede siempre en los espejos convexos.
7. ¿A qué distancia de un espejo esférico cóncavo de 32 cm de radio hay que colocar un objeto para que el tamaño de la imagen obtenida sea dos veces el del objeto?
Que el tamaño sea «doble» en los espejos cóncavos significa que el aumento puede ser A = 2 o A = –2, puesto que la imagen que se obtiene en ellos es mayor que el objeto en dos situaciones:
• Si el objeto está entre F y O : A = 2 (virtual, mayor y derecha).
• Si el objeto está entre C y F : A = –2 (real, mayor e invertida).
Es decir,
A=
y’
s’
=– ;
y
s
s’ = –A s = –2 s y s’ = 2 s
Por consiguiente, al sustituir en la ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1
1
1
2
+
=
=
;
s
s’
f
R
1
1
2
+
=
;
s
–A s
R
1
1
2
1–
=
;
s
A
R
(
de donde se tiene:
196
)
s=
(
• Si el objeto está entre F y O : A = 2 (virtual, mayor y derecha): s =
R
= – 8,0 cm.
4
• Si el objeto está entre C y F : A = –2 (real, mayor e invertida): s =
3
R = –24 cm.
4
A–1
A
R
)2
8. Un objeto a 30 cm de un espejo esférico cóncavo tiene una imagen real que se forma a 15 cm del espejo.
Establece a qué distancia del espejo debe estar el objeto para que tanto él como su imagen estén en la misma
posición.
Si la imagen es real, s’ < 0; por tanto, s’ = – 0,15 m; s = – 0,30 m. Aplicando la ecuación fundamental de los
espejos esféricos:
1
1
1
1
1
+
=
=
+
;
f = – 0,10 m
s
s’
f
– 0,15 m – 0,30 m
Si la posición del objeto y de la imagen es la misma: s’ = s:
1
1
1
1
1
2
+
=
=
+
=
;
s
s’
f
s
s
s
s = 2 f = R = –20 cm
El objeto está en el centro de curvatura (C ), a 20 cm del espejo.
9. En un parque de atracciones se desea instalar un espejo esférico tal que, cuando una persona se coloque a 2 m
de él, se vea con una altura que sea 4 veces su estatura. Establece el tipo de espejo y su radio.
Si la persona «se ve» significa que la imagen es virtual. Los espejos esféricos solo dan imágenes virtuales y
mayores si son cóncavos y si el objeto se encuentra entre F y O.
A=4=–
s’
;
s
s’ = – 4 s = – 4 · (–2 m) = 8 m
Sustituyendo en la ecuación fundamental de los espejos esféricos:
2
1
1
1
1
3 –1
=
+
=
+
=–
m ;
R
s
s’
–2 m
8m
8
Por tanto, el espejo debe ser cóncavo y de
16
m de radio.
3
R=–
16
m
3
9 ÓPTICA
10. Se circula con un coche que lleva un espejo retrovisor convexo de R = 2,00 m. Al pasar junto a un guardia
de circulación, el conductor pone en marcha su cronómetro y cuando la imagen del guardia en el retrovisor
es de 10 mm lo para y ve que han transcurrido 21,0 s. Si la velocidad del coche se ha mantenido constante e
igual a 32,4 km h–1, determina:
a) La distancia del guardia al coche en ese momento.
b) La estatura del guardia.
a) Como el movimiento es rectilíneo uniforme, con una velocidad de 32,4 km h–1 (= 9,00 m s–1):
∆x = v t = 9,0 m s–1 · 21,0 s = 189 m
b) En ese instante: s = –189 m, y’ = +10 · 10–3 m y f =
de los espejos esféricos y la del aumento:
1
1
1
+
= ;
s
s’
f
A=
s’ =
y’
s’
=– ;
y
s
R
= +1,00 m. Aplicando la ecuación fundamental
2
sf
;
s–f
s’ =
(–189 m) · (1,00 m)
= 0,995 m
(–189 m) – (1,00 m)
y = –y’
s
–189 m
= – 0,010 m ·
= 1,9 m
s’
0,995 m
11. ¿Por qué parece quebrada una varilla recta semisumergida en agua?
La explicación es por la refracción de la luz cuando esta pasa a propagarse del agua al aire. En la figura, dos
rayos de luz que provienen del extremo sumergido de la varilla experimentan la refracción; la luz emergente del agua se aleja de la normal. El ojo forma la imagen por la prolongación de los rayos divergentes que
inciden en él: la varilla se ve quebrada en la superficie del agua.
N
N
197
12. Se tiene un prisma óptico de vidrio (n = 1,5), con un ángulo de refrigencia de 60°. Determina cuál debe ser el
ángulo de incidencia para que se produzca reflexión total.
Si se aplica la segunda ley de la refracción en el punto S, y se tiene en cuenta que se produce la reflexión
^ es el ángulo límite prisma-aire:
total, el ángulo de incidencia ^
v
1
1
sin = prisma =
=
c
nprisma
1,5
sin 90°
^
de donde se deduce que = 41,8°.
^ = 90°, es decir, ^ = 48,2°. También de la observación de la figura (triángulo EAS) se
^+ Según la figura: deduce que el ángulo de refracción ^
del rayo que incide en el prisma es de 18,2°. Aplicando nuevamente
la segunda ley de la refracción al punto de incidencia aire-prisma:
sin ^
i
c
=
= nprisma = 1,5
sin 18,2°
vprisma
de donde se tiene que el ángulo de incidencia en el cual se produce situación de la figura es de 27,9°.
^ correspondiente es menor al ángulo límite y, por
Para ángulos de incidencia mayores a 27,9° el ángulo tanto, ya no se produce la reflexión total. En definitiva, el ángulo de incidencia debe ser mayor que 27,9°.
A
60°
N
N
^
^
i
E
^
^
S
90°
IV ÓPTICA
13. Un prisma óptico tiene un ángulo de refringencia de 28° y se observa que, al hacer incidir sobre él un rayo de
luz con un ángulo de incidencia de 30°, el ángulo de desviación es de 18°. Calcula el índice de refracción del
prisma.
A
En el prisma óptico se cumple que:
^ + R’
^
=^
i + e^ – y = R
N
Deducción:
^
i
La suma de los ángulos del triángulo IAI’ es 180°:
^
^
^ ^
=R
+ R’
180° = + (90° – R ) + (90° – R’ );
I
^
R
P
^
R’
N’
I’
^
e
El ángulo de desviación que experimenta el rayo luminoso es el formado por las prolongaciones del rayo
iy^
e, en el
incidente y del emergente: = 180°–. Para relacionarlo con los valores que se suelen medir (, ^
triángulo IPI’): + + = 180°. Por tanto,
^
^
= 180° – = + = (^
i – R ) + (e^ – R’ )
^ ^
^
En definitiva, como = R + R’ , = i + e^ – .
En este caso, ^
e=–^
i + = 18° – 30° + 28° = 16°.
De la segunda ley de la refracción en los puntos I e I’:
^
I: naire sin 30° = nprisma sin R
I’: nprisma
^
sin R’ = naire sin 16°
冎
⇒
sin 30°
^
sin R
sin 16°
=
^
sin R’
nprisma =
nprisma
冎
^ sin 30°
^
⇒ sin R
=
sin R’
sin 16°
^
Por su parte, el valor de la función seno del ángulo R’ es:
^
^
^
^
sin R’ = sin (28° – R ) = sin 28° cos R – cos 28° sin R
198
Por tanto,
^ sin 30°
^
^
(sin 28° cos R – cos 28° sin R )
sin R =
sin 16°
^
Dividiendo ambos términos por cos R :
^ sin 30°
^
tan R =
(sin 28° – cos 28° tan R )
sin 16°
^
de donde se tiene que R = 18° y, en definitiva, nprisma = 1,6.
14. Una piedra preciosa bien tallada debe su belleza a la multitud de destellos e irisaciones que presenta gracias a
las muchas caras que posee. Razona si es preferible que el índice de refracción de estas piedras preciosas sea
grande o pequeño.
Las reflexiones internas en la piedra preciosa son debidas a la reflexión total. Para favorecer este fenómeno
L ) el ángulo de refracción es 90°,
conviene que el ángulo límite sea pequeño; como para el ángulo límite (^
la segunda ley de la refracción queda como:
sin ^
L
v
1
1
L=
= p =
;
sin ^
c
sin 90°
np
np
L debe ser pequeño, como en el primer cuadrante, cuanto menor es el ángulo, menor es el valor de la funSi ^
ción seno del mismo, el término 1/np debe ser pequeño; es decir, interesa que el índice de refracción sea
grande.
15. El prisma de reflexión total de la figura 9.101 tiene un índice de refracción n = 1,5 y se encuentra sumergido
en agua (n = 4/3). Dibuja la marcha del rayo de luz, especificando el valor del ángulo de refracción con el que
emerge del prisma.
Fig. 9.101
9 ÓPTICA
El rayo de luz, al incidir perpendicularmente, sigue horizontal dentro del prisma, hasta alcanzar la superficie de separación prisma-agua, en la que incide con un ángulo de 45°.
El ángulo límite para el dioptrio prisma-agua es:
4/3
8
^
L = nagua sin 90°;
sin ^
L=
= ;
L = 63°
np sin ^
3/2
9
i<^
L, no se produce la reflexión total y el rayo emerge con el ánguComo ^
lo ^
e:
冑苴
3
2
·
2
2
^
e;
sin ^
e=
= 0,80;
e = 53°
np sin 45° = nagua sin ^
4
3
N
^
e
45°
16. Explica el fenómeno observado en la figura 9.102 en la que una lente biconvexa de aire (formada en el interior
de una masa de vidrio) se comporta como una lente divergente.
Fig. 9.102
En el aire, la luz se propaga con mayor velocidad que en el vidrio. Si se fija la atención en un prisma «de
aire», este no desvía los rayos hacia su base, sino todo lo contrario.
N
N
199
Prisma «de aire» en una masa de vidrio.
La lente «convergente» de aire, como si se tratase de dos prismas unidos por su base.
17. Establece las características de la imagen formada por una lente convergente de +10 cm de distancia focal
cuando el objeto se encuentra delante de la lente a una distancia de: a) 15 cm; b) 7,5 cm.
a) De acuerdo con el convenio de signos y notación: s = –15 cm; f’ = +10 cm.
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
f’ s
10 cm · (–15 cm)
–
= ;
s’ =
;
s’ =
= 30 cm
s’
s
f’
f’ + s
10 cm + (–15 cm)
Como la distancia imagen s’ es positiva, la imagen es real (se forma detrás de la lente, a 30 cm de la misma).
El aumento es:
y’
s’
30 cm
=
=
= –2
y
s
–15 cm
A=
es decir, la imagen es real, mayor (doble) e invertida (pues A < 0).
b) Ahora los datos son: s = –7,5 cm; f’ = +10 cm.
Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y la del aumento:
1
1
1
–
=
;
s’
s
f’
s’ =
f’ s
;
f’ + s
A=
s’ =
10 cm · (–7,5 cm)
= –30 cm
10 cm + (–7,5 cm)
y’
s’
–30 cm
=
=
=4
y
s
–7,5 cm
La imagen es virtual (s’ < 0), mayor y derecha (A = 4).
IV ÓPTICA
18. Ecuación de Newton para las lentes delgadas. Si x es la posición del objeto relativa al foco objeto y x’ es la
posición de la imagen relativa al foco imagen (Fig. 9.103), dicha ecuación es: x x’ = –f’2. Dedúcela a partir de
la ecuación fundamental, teniendo en cuenta que f = –f’ y que el convenio de signos aplicado a x y x’ es el
mismo que el utilizado en el texto, es decir, se toman positivos los valores a la derecha de F y de F’.
y
O
F
x
y'
f
s
F'
f'
x'
s'
Fig. 9.103
Por la definición de x y x’:
s’ = f’ + x’;
s = f + x = –f’ + x
Por tanto, sustituyendo en la ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
1
1
x – f’ – x’ – f’
x – x’ – 2 f’
=
–
=
–
=
=
f’
s’
s
x’ + f’
x – f’
(x’ + f’ ) (x – f’ )
(x’ + f’ ) (x – f’ )
(x’ + f’ ) (x – f’ ) = (x – x’ – 2 f’ ) f’;
x’ x + x f’ – x’ f’ – (f’ )2 = x f’ – x’ f’ – 2 (f’ )2
Es decir,
x x’ = –(f’ )2 = –f 2
200
19. ¿A qué distancia debe fotografiarse la fachada de un edificio de 200 m de altura con una cámara provista de
un objetivo de f’ = 50,0 mm para que la imagen sea de 34,0 mm en la película? ¿Cuál sería la distancia requerida si se dispusiese de un gran angular de f = 22,0 mm?
De acuerdo con el convenio de signos y notación: f’ = 50,0 mm; y = 200 m; y’ = –34,0 mm. Ten en cuenta
que se ha tomado y’ < 0, puesto que en la cámara fotográfica la imagen obtenida en la película es menor,
invertida y real.
Si se aplica la ecuación del aumento:
A=
y’
–34,0 · 10–3 m
s’
=
= –1,70 · 10–4 = ;
y
200 m
s
s’ = –1,70 · 10–4 s
Al sustituir en la ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
–
= ;
s’
s
f’
1
1
1
–
=
–4 s
–1,70 · 10
s
50,0 · 10–3 m
de donde se tiene s = –294 m.
Si el objetivo fuese el gran angular:
1
1
1
–
= ;
s’
s
f’
1
1
1
–
=
–4
–1,70 · 10 s
s
22,0 · 10–3 m
de donde s = –129 m.
20. Para determinar la potencia de una lente convergente se monta el banco óptico y se fija la posición de la pantalla y la del objeto: esta distancia es de 60,0 cm. Se mueve la lente hasta que se forma una imagen nítida en
la pantalla. Posteriormente, se vuelve a mover la lente hasta que, en otro punto diferente, se forma una nueva
imagen nítida sobre la pantalla. Sabiendo que la distancia entre estos dos puntos es de 26,8 cm, determina la
potencia de la lente.
En la primera situación (1): s1 = – (0,600 – s1’) = s1’ – 0,600 = s1’ – D.
Si se sustituye en la ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
1
1
–D
=
–
=
–
=
f’
s1’
s1
s1’
s1’ – D
(s1’ – D) s1’
9 ÓPTICA
En la segunda: s2 = s2’ – D,
B
1
1
1
1
1
–D
=
–
=
–
=
f’
s2’
s2
s2’
s2’ – D
(s2’ – D) s2’
A'
A
De acuerdo con la figura, s2’ = s1’ + d. Al igualar las dos ecuaciones anteriores:
–D
–D
=
;
(s2’ – D) s2’
(s1’ – D) s1’
1
(s2’ – D ) s2’ = (s1’ – D) s1’
D = 0,600 m
(s1’ + d – D) (s1’ + d ) = (s1’ – D ) s1’
d = 0,268 m
2
(s1’) + 2s1’ d – D s1’ + d 2 – d D = (s1’)2 – D s1’
2s1’ d + d 2 – d D = 0
s1’ =
dD–
2d
d2
=
B'
B
D–d
(0,600 – 0,268) m
=
= 0,166 m
2
2
A'
A
2
Se sustituye esta distancia imagen en la primera ecuación,
1
–D
– 0,600 m
=
=
= 8,33 dioptrías
f’
(s1’ – D) s1’
0,166 m · (0,166 – 0,600) m
B'
21. El intervalo de visión distinta de una persona miope abarca de los 10 cm a los 30 cm de distancia del ojo.
Calcula la potencia de las lentes correctoras que debe usar para que pueda ver los objetos alejados en su punto
remoto. Con estas lentes, ¿cuál es ahora su mínima distancia de visión distinta?
La miopía se corrige con lentes divergentes. Si el ojo está prácticamente en contacto con la lente, los valores que corresponden a la visión lejana con estas lentes son: s’ = – 0,30 m; s = – ∞. Aplicando la ecuación
fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
1
1
=
–
=
–
= –3,3 dioptrías
f’
s’
s
– 0,30 m
–∞
La distancia de visión distinta con estas gafas es aquella (s) para la cual la distancia imagen es s’ = – 0,10 m:
1
1
1
1
1
–
=
=
–
;
s’
f’
s
– 0,10 m
– 0,30 m
s = – 0,15 m = –15 cm
22. Una persona cuya distancia mínima de visión distinta es 30 cm usa una lupa de 20 dioptrías, mantenida cerca
del ojo. Calcula cuál debe ser la posición del objeto y el aumento conseguido.
La lupa queda enfocada correctamente cuando la imagen que forma (que es virtual, derecha y mayor) está
en el punto próximo, es decir, a 30 cm del ojo (y de la lente, ya que se indica que está muy próxima al ojo).
Por todo ello, los valores conocidos son: 1/f’ = +20; s’ = – 0,30 m (la imagen es virtual).
Sustituyendo en la ecuación fundamental de las lentes delgadas:
1
1
1
1
–
=
=
–20 dioptrías;
s’
f’
s
– 0,30 m
s = – 0,043 m = – 4,3 cm
Es decir, el objeto debe ponerse muy cerca de la lupa: a 4,3 cm.
El aumento de una lupa cuando forma la imagen en el punto próximo viene dado por:
A0 = 1 –
dp
– 0,30 m
=1–
= 7,0
f’
(1/20) m
23. La distancia focal de una lente de índice de refracción n, formada por dos dioptrios esféricos de radios R1 y R2,
cuando está en el aire, viene dada por:
1
1
1
–
= (n – 1)
f’
R1
R2
(
)
Una persona miope necesita usar lentes de 4,0 dioptrías. Calcula el radio que deberían tener los dioptrios (de
igual radio) de una lente bicóncava de un vidrio de n = 1,5 que corrigiesen la miopía de esta persona.
La miopía se corrige con lentes divergentes; por tanto, la potencia de las lentes es – 4,0 dioptrías. Por otra
parte, si R es el valor absoluto de los radios, para la lente bicóncava: R1 = –R y R2 = R (recuerda el convenio
de signos para los espejos esféricos). Por tanto,
1
1
1
1
1
= (n – 1)
–
;
– 4,0 = (1,5 – 1)
–
;
R = 0,25 m = 25 cm
f’
R1 R2
–R
R
(
)
(
)
201
IV ÓPTICA
24. El aumento de una lupa es 10. Calcula su distancia focal. ¿A qué distancia debe colocarse el objeto para
obtener este aumento?
El aumento de una lupa, cuando forma la imagen en el punto próximo, viene dado por:
A0 = 1 –
dp
f’
Por consiguiente, para una persona cuyo punto próximo es 25 cm, la distancia focal (f’ ) de la lupa de 10
aumentos es:
– 0,25 m
10 = 1 –
;
f’ = 0,028 m = 2,8 cm
f’
que corresponde a +36 dioptrías.
La distancia del objeto a la lente se puede calcular por la ecuación de las lentes delgadas:
1
1
1
1
=
–
=
–36 dioptrías;
s
s’
f’
– 0,25 m
s = – 0,025 m = –2,5 cm
25. En un microscopio, las distancias focales de objetivo y ocular son 1,60 cm y 6,00 cm, respectivamente, estando separados 19,2 cm. Establece el aumento lateral si se coloca un objeto a 1,80 cm del objetivo.
En primer lugar, se estudia la imagen obtenida por el objetivo:
1
1
1
1
1
=
+
=
+
;
s’
f’
s
0,0160 m
– 0,0180 m
A=
s’ = 0,144 m
y’
s’
0,144 m
=
=
= – 8,00
y
s
– 0,0180 m
Esta imagen (real, invertida y mayor) es el objeto para el ocular. La distancia entre esta imagen y el ocular
es, en valor absoluto: 19,2 – 14,4 = 4,8 cm. Por tanto, para el ocular: f’ = +0,0600 m; s = – 0,048 m. Las
características de la imagen obtenida por él son:
1
1
1
1
1
=
+
=
+
;
s’
f’
s
0,0600 m
– 0,048 m
202
A=
s’ = – 0,24 m
y’
s’
– 0,24 m
=
=
= 5,0
y
s
– 0,048 m
El aumento lateral respecto del objeto es el cociente entre el tamaño final y el del objeto. En el objetivo, el
tamaño de la imagen es ocho veces el del objeto (y’ objetivo = 8y). En el ocular, el tamaño se hace cinco
veces mayor: por tanto, el tamaño de la imagen obtenida con el ocular es 40 veces el del objeto estudiado:
el aumento del microscopio es 40 x.
26. En un microscopio, las distancias focales de objetivo y ocular son 1,00 cm y 5,00 cm, respectivamente, estando separados 20,0 cm. Establece a qué distancia del objetivo debe colocarse el objeto si mira una persona cuya
mínima visión distinta es de 25,0 cm.
La imagen del ocular se debe formar a 25 cm del ojo (de hecho, del ocular). Por tanto, como s’ = – 0,250 m:
1
1
1
1
1
=
–
=
–
;
s
s’
f’
–0,250 m
0,0500 m
s=–
1
m
24
Este objeto es la imagen obtenida por el objetivo. La distancia entre esta imagen del objetivo y el objeto es
0,200 m –
1
19
m=
m. Por consiguiente, si sustituimos en la ecuación de las lentes delgadas:
24
120
1
1
1
1
1
=
–
=
–
;
s
s’
f’
0,0100
m
19
m
120
s = – 0,0107 m = –1,07 cm
27. ¿Cuál es la causa de la aberración cromática de las lentes?
Es la dispersión de la luz. En el material de la lente, las diferentes longitudes de onda que forman la luz blanca no tienen el mismo índice de refracción: sufren desviaciones ligeramente diferentes, por lo que en la imagen se separan y dan lugar a que esta aparezca coloreada y sin la nitidez que cabría esperar si no tuviese
lugar este fenómeno.
9 ÓPTICA
Test de autoevaluación
Indica si la frase es verdadera o falsa:
1. La imagen formada por un espejo plano es del mismo tamaño que el objeto.
V.
2. La imagen formada por un espejo plano es real.
F.
3. Para ver una imagen virtual hay que proyectarla sobre una pantalla; no puede verse directamente.
F.
4. En un espejo esférico, un rayo de luz que procede del foco (o que pasa por él) se refleja sobre sí mismo.
F.
5. En una lente, un rayo de luz que procede del foco objeto (o que pasa por él) se refracta en ella, pasando por el
foco imagen.
F.
6. Una lente divergente tiene distancia focal negativa.
V.
7. Una lupa es una lente convergente de distancia focal pequeña.
V.
8. Una lente convergente forma la imagen de un objeto muy lejano en el foco imagen.
V.
9. El aumento de un microscopio solo depende de la potencia de su objetivo y de la de su ocular.
F. Además de la potencia del objetivo y del ocular, el aumento del microscopio depende de la separación
entre ambos (intervalo óptico, D):
d D
A0 = p
f’ f’0C
(dp: distancia mínima de visión distinta; f’ y f’0C : distancias focales del objetivo y del ocular, respectivamente).
Elige la respuesta correcta:
10. Los espejos esféricos de tocador que se utilizan para observar el rostro aumentado (maquillaje, afeitado...) son
cóncavos. ¿Dónde se debe poner la cara?: a) entre F y O; b) en F; c) en C; d) entre C y F.
a.
11. ¿Cuál de las siguientes lentes es divergente?
a
b
c
d
e
Fig. 9.104
d. Las lentes divergentes son más gruesas en los bordes que en el centro.
12. Colocando una lupa perpendicularmente a los rayos solares se forma un punto luminoso muy brillante a 20 cm
de ella. La potencia de esta lente, en dioptrías, es: a) +0,05; b) –0,05; c) +5,0; d) –5,0.
c.
13. La imagen que se obtiene en una cámara fotográfica es: a) virtual, derecha y mayor; b) real, invertida y menor;
c) real, invertida y mayor; d) real, derecha y mayor.
b.
14. El punto próximo de una persona es 24 cm. ¿A qué distancia mínima de un espejo plano que está frente a ella
debe colocarse para que se vea con nitidez? a) 24 cm; b) 48 cm; c) 12 cm; d) no hay distancia mínima.
c.
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