Download algebra booleana

Document related concepts

Forma normal algebraica wikipedia, lookup

Formas canónicas (álgebra de Boole) wikipedia, lookup

Función booleana wikipedia, lookup

Regla del cociente wikipedia, lookup

Forma normal disyuntiva wikipedia, lookup

Transcript
Álgebra Booleana y
Simplificación Lógica
M. en C. Erika Vilches
Parte 1
Operaciones Booleanas
y Expresiones
• Variable, complemento y literal son los
términos utilizados en álgebra booleana.
• Variable → símbolo utilizado para
representar una cantidad lógica
• Complemento → el inverso de una variable
y se indica con una barra sobre la variable
• Literal → una variable o el complemento de
una variable
Suma Booleana: Equivalente a la operación OR
Multiplicación Booleana: Equivalente a la operacion AND
Leyes del Algebra Booleana
Leyes conmutativas
Para la suma de dos variables se escribe:
A+B=B+A
El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.
Para la multiplicación de dos variables se escribe:
AB = BA
El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia
Leyes asociativas
Para la suma de tres variables se escribe:
A + (B + C) = (A + B) + C
Cuando se ORean más de dos variables, el resultado es el
mismo sin importar la agrupación
Para la multiplicación de tres variables se escribe:
A(BC) = (AB)C
Cuando se ANDean dos o más variables, no importa el
orden en que se agrupen las variables
Ley Distributiva
Se escribe para tres variables como:
A(B + C) = AB + AC
ORear dos o más variables y ANDear posteriormente
el resultado con una sola variable es equivalente a
ANDear la variable sola con cada una de las dos o más
variables y despues ORear los productos
El proceso inverso (factorización) también es
expresado por esta ley. Una variable común se
factoriza de los términos.
Reglas del Algebra
Booleana
Reglas útiles para manipular y simplificar
expresiones Booleanas.
Regla 1. A + 0 = A. Una variable OReada con 0 es
siempre igual a la variable.
Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es
siempre igual a 1.
Regla 3. A ⋅ 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 es
siempre igual a 0.
Regla 4. A ⋅ 1 = A. Una variable ANDeada con 1 es
siempre igual a la variable.
Regla 5. A + A = A. Una variable OReada con sigo misma
es siempre igual a la variable.
Regla 6.
. Una variable OReada con su
complemento es siempre igual a 1.
Regla 7. A ⋅ A = A. Una variable ANDeada con ella misma
es siempre igual a la variable.
Regla 8.
. Una variable ANDeada con su
complemento es siempre igual a 0.
Regla 9.
. El doble complemento de una variable es
siempre igual a la variable.
Regla 10. A + AB = A. Esta regla se puede probar
aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.
A + AB = A(1 + B)
= A⋅1
=A
Factorización (ley distributiva)
Regla 2: (1 + B) = 1
Regla 4: A⋅1 = A
Regla 11.
sigue:
. Esta regla se puede probar como
Regla 12. (A + B)(A + C) = A + BC. Esta regla se puede
probar como sigue:
Teoremas de DeMorgan
Primer Teorema de DeMorgan
• El complemento de un producto de variables
es igual a la suma de los complementos de
las variables
• En otras palabras: El complemento de dos o
más variables ANDeadas es equivalente al
OR de los complementos de las variables
individuales
Segundo Teorema de DeMorgan
• El complemento de la suma de variables es
igual al producto de los complementos de
las variables.
• En otras palabras: El complemento de dos o
más variables OReadas es equivalente al
AND de los complementos de las variables
individuales
Para el primer teorema de DeMorgan →
Para el segundo teorema de DeMorgan →
Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados a
expresiones con más de dos variables.
Ejemplos:
Tres variables →
Cuatro variables →
Cada variable en los teoremas de DeMorgan puede
representar una combinación de otras variables.
Ejemplo:
Si aplicamos
obtenemos →
a la expresión →
Si a los 2 términos del resultado anterior
y
les aplicamos individualmente el teorema
nos queda →
Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan a
nos queda →
ya
El resultado se podría simplificar más con las reglas y leyes
Booleanas, pero ya no más con con los teoremas de DeMorgan
Aplicación de los teoremas de DeMorgan y algebra
Booleana a la expresión →
1. Identificar los términos a los que se les puede aplicar
los teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como si
fuesen 1 sola variable. Tomemos
y
.
2. Dado que
,
3. Utilizar la regla 9
para cancelar las barras dobles
sobre el término de la izquierda (esto no es parte de
los teoremas de DeMorgan) →
4. Aplicar el teorema de DeMorgan
término →
5. Utilizar la regla 9
sobre
→
al segundo
para cancelar las barras dobles
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan
a la siguiente expresión →
Tomemos
y
. La expresión
se encuentra en la forma
y se puede
reescribir como →
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan
término
→
al
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan
a la siguiente expresión →
Tomemos
y
. La expresión
se encuentra en la forma
y se puede
reescribir como →
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan
los términos
y
→
a
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan
a la siguiente expresión →
Tomemos
,
y
. La expresión
se encuentra en la forma
y se puede
reescribir como →
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan
los términos , y →
a
Related documents