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Unidad
1
Álgebra de matrices
Objetivos
Al nalizar la unidad, el alumno:
• Conocerá qué es una matriz y cuáles son sus elementos.
• Distinguirá los principales tipos de matrices.
• Realizará operaciones básicas entre matrices.
• Aplicará el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones mxn.
• Aplicará el álgebra de matrices a la solución de problemas.
9
Matemáticas para negocios
Introducción
El estudio y solución de problemas de cualquier tipo, y en este caso los relacionados
con los negocios, puede llevarse a cabo de múltiples formas; sin embargo, de
manera generalizada suele decirse que para resolver alguno de estos problemas se
requiere de tres etapas principales, siendo éstas: 1) Formulación del problema, por
ejemplo, mediante un modelo matemático, 2) Solución del modelo matemático
(problema) y 3) Implementación de la solución o mejora. Dado este escenario es
entonces que para realizar de manera eciente el segundo paso mencionado nos disponemos a estudiar el álgebra de matrices, considerando desde las deniciones, hasta las operaciones básicas y también el método de Gauss-Jordan, todo lo cual
se utilizará para resolver algunos modelos.
1.1. Matrices
Las matrices son arreglos rectangulares de números, algunas provienen de un
sistema de ecuaciones lineales, en los que sólo se consideran los coecientes de las variables o los coeficientes y valores de las constantes tomando en cuenta su
posición exacta dentro del sistema.
Denición 1.1.
Un arreglo rectangular o matriz es de la forma:
Amxn
 a11 a12

a
a22
=  21
 

 am 1 am 2
 a1n 

 a2 n 
 

 amn 
(1)
donde los aij son escalares y se les denomina componentes o entradas de la matriz
los cuales se encuentran dispuestos en n columnas y m renglones o las. Se puede utilizar Amxn para indicar la matriz o sólo el símbolo en letras mayúsculas A. El par
de números m × n nos dice el tamaño de la matriz a la cual también se le llama orden.
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
10
De lo anterior podemos decir que la primera la de la matriz A es (a11, a12, ... a1n)
 a11 
 
a21
y la primera columna  

 
 am 1 
A partir de esto definiremos un vector renglón y un vector columna.
Denición 1.2.
Un vector renglón de n componentes ordenados es de la forma:
(a1, a2, …, an)
Denición 1.3.
Ejemplo 1
(2)
Un vector columna de n componentes ordenados es de la forma:
 b1 
 
 b2 
 
 
 bn 
 −1 5 


Se presenta una matriz 3×2:  2 −3 
 −5 −7 


Un vector renglón de cinco componentes: (5,4,3,2,1).
 15 
 
Y un vector columna de tres componentes:  −5 
 12 
 
(3)
11
Matemáticas para negocios
1.1.1. Tipos de matrices
a) Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de columnas y
las. Una matriz cuadrada de n las y n columnas se dice que tiene orden n.
An×n
 a11

a
=  21

 a
 n1
a12  a1n 

a22  a2 n 
  

an 2  ann 
(4)
La diagonal principal de la matriz cuadrada A = aij  son las entradas
a11 , a22 ,, ann , esto es, donde i = j .
Ejemplo 2
Ejemplo de una matriz cuadrada y los componentes de la diagonal principal.
7 1 5


 6 4 8  y los componentes de la diagonal principal son 7, 4 y 2.
1 3 2


Las matrices cuadradas de acuerdo con el valor y la distribución de sus elementos
se clasican como:
Denición 1.4.
Una matriz cuadrada An×n = aij  se denomina diagonal si todas las entradas
fuera de la diagonal principal son cero.
 c11 0

 0 c 22
0 0

0

0
c 33 
(5)
Un caso especial de matriz diagonal es la llamada matriz identidad, en la que los
elementos de la diagonal principal son 1.
1 0 0


0 1 0
0 0 1


(6)
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
12
Ejemplo 3
Éste es un ejemplo de matriz diagonal diferente a la matriz identidad, ya que los
elementos de la diagonal principal son todos diferentes a la unidad.
7 0 0


0 5 0
0 0 9


Denición 1.5.
Una matriz cuadrada An×n = aij  se denomina triangular superior si todas las
entradas abajo de la diagonal principal son cero.
 c11 c12

 0 c 22
0 0

Ejemplo 4
c13 

c 23 
c 33 
(7)
Éste es un ejemplo de matriz triangular superior.
7 3 8


0 5 1
0 0 9


Denición 1.6.
Una matriz cuadrada An×n = aij  se denomina triangular inferior si todas las
entradas arriba de la diagonal principal son cero.
 c11 0

 c 21 c 22
c
 31 c 32
Ejemplo 5
0

0
c 33 
Éste es un ejemplo de matriz triangular inferior:
7 0 0


4 5 0
5 1 9


(8)
13
Matemáticas para negocios
Denición 1.7.
Dos matrices A y B son iguales, es decir A = B, si tienen el mismo orden y todas
sus entradas correspondientes son iguales:
 a11 a12

A =  a21 a22
a
 31 a32
Ejemplo 6
a13 
 b11 b12


a23  ; B =  b21 b22
b
a33 
 31 b32
b13 

b23  ; si aij = bij entonces A = B .
b33 
(9)
Éste es un ejemplo de dos matrices iguales:
7 6 8
7 6 8




A =  4 5 2  ; B =  4 5 2  como aij = bij , entonces A = B .
5 1 9
5 1 9




Con estas deniciones es posible establecer las bases de las operaciones con matrices y la manera de realizar las mismas.
b) Transpuesta
Una matriz particular es la transpuesta AT de la matriz A, si resulta de intercambiar
las las por las columnas de la matriz A:
 a11 a12

a
a22
A =  21
 

 am 1 am 2
 a1n 
 a11


 a2 n 
a12
T
entonces su transpuesta es A = 

 
(15)


 amn 
 a1n
a21  am1 

a22  am 2 
  

a2 n  amn 
Debe notarse que si A es una matriz m × n, entonces AT es una matriz n × m. Además
existen propiedades que la matriz transpuesta cumple:
Propiedades. Transpuesta de una matriz:
i)
ii)
iii)
iv)
(A + B )
(A )
T T
T
= AT + BT
=A
(kA ) = kAT , k es un escalar.
T
(AB ) = AT BT
T
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
14
Ejemplo 7
Denición 1.8.
Ejemplo 8
Denición 1.9.
Ejemplo 9
A3×2
1 2 
1 3 5


=  3 4  entonces su transpuesta es AT 2×3 = 

2 4 6
5 6


Una matriz cuadrada An×n = aij  es simétrica si A = AT
Éste es un ejemplo de matriz simétrica:
1 2
1 2
T
T
Con A = 
 se calcula A = 
 y como A = A , A es simétrica.
2 1
2 1
Una matriz cuadrada An×n = aij  es antisimétrica si − A = AT
Éste es un ejemplo de matriz antisimétrica:
 0 −2 
 0 −2 
 0 2
T
T
Con A = 
 y −A = 
 ; como − A = A ,
 se calcula A = 
 −2 0 
2 0 
2 0 
A es antisimétrica.
1.2. Operaciones con matrices
Dado que las matrices son entidades matemáticas de gran utilidad, como los
números por ejemplo, a continuación se presentan las operaciones que se pueden
realizar entre matrices.
15
Matemáticas para negocios
1.2.1. Multiplicación por un escalar
La multiplicación o producto de un escalar k por una matriz A, representado por k ⋅ A
o por kA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada componente de A por k:
 ka11

ka
kA =  21
 

 kam1
ka12
ka22

kam 2
 ka1n 

 ka2 n 
  

 kamn 
(10)
cabe mencionar que en todas las operaciones deben respetarse las leyes de los signos.
También se dene –A = –1A.
Ejemplo 10
2⋅2
2 ⋅3
2⋅4 
4 
 2 ⋅1
1 2 3




2 ⋅ (−1) 2 ⋅ (−2 ) 2 ⋅ (−3 ) 2 ⋅ (−4 )
−1 −2 −3 −4 


Sea A =
entonces, 2 A =
 2⋅2
2 4 6
2⋅4
2⋅6
2 ⋅8 
8 


 1
5
1
2
5
2
1
2⋅ 3
2⋅ 7
2 ⋅ (− 12 )
−2
3
7
 2
 2⋅ 2
4
6 8
 2


−2 −4 −6 −8 

Es decir 2 A =
 4
8 12 16 


10
4
−1 
3
7
 1
1.2.2. Suma de matrices
La suma de matrices sólo está denida para matrices del mismo tamaño, esto es, con el mismo número de columnas y renglones. Para explicar la suma de matrices
necesitamos las matrices A y B del mismo tamaño:
 a11 a12

a
a22
A =  21
 

 am 1 am 2
 a1n 

 a2 n 
 

 amn 
y
 b11 b12

b
b22
B =  21
 

 bm1 bm 2
 b1n 

 b2 n 
 

 bmn 
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
16
La suma de matrices, denotada por A+B, es la matriz que se obtiene sumando las
componentes correspondientes:
 a11 + b11 a12 + b12

a +b
a22 + b22
A + B =  21 21
 


 am1 + bm1 am 2 + bm 2
Ejemplo 11
 a1n + b1n 

 a2 n + b2 n 

 

 amn + bmn 
(11)
Sean las matrices A y B:
 3 −8 
 5 + 3 1 + ( −8)   8 −7 
5 1 
A=
 , entonces A + B = 
=
 y
; B =
 0 + 5 −2 + 4   5 2 
 0 −2 
5 4 
 5 − 3 1 − ( −8)   2 9 
A−B =
=

 0 − 5 −2 − 4   −5 −6 
A continuación se presentan las propiedades básicas de las operaciones de
multiplicación por un escalar y de la suma de matrices:
Propiedades. Multiplicación por un escalar y suma de matrices.
Del conjunto de todas las matrices, tomamos las matrices A, B y C y los escalares
k1 y k2 cualesquiera, entonces se tiene que:
i)
ii)
iii)
(A + B ) + C = A + ( B + C )
(A + 0 ) = A
A + (− A ) = 0
iv) A + B = B + A
v) k1 (A + B ) = k1 A + k1 B
vi)
vii)
(k1 + k2 ) A = k1 A + k2 A
(k1k2 ) A = k1 (k2 A )
viii) 1 ⋅ A = A y 0 ⋅ A = 0
17
Matemáticas para negocios
1.2.3. Multiplicación de matrices
La multiplicación o producto de matrices denotado por A ⋅ B , para su mejor
comprensión, requiere partir del caso más sencillo que es el producto de un
vector renglón por un vector columna, y al resolver éste, la metodología se repite
en matrices de mayor tamaño.
Sea el vector renglón A = (ai ) y el vector columna B = (bi ) , entonces el producto
interno está dado por:
 b1 
 
b
A ⋅ B = (a1 , a2 ,..., an ) 2  = a1b1 + a2b2 +  + an bn
 
 
 bn 
(12)
Cabe señalar que tanto el vector renglón A como el vector columna B tienen n
elementos, por lo que el producto interno está denido.
Ejemplo 12 Considera los siguientes vectores:
(
A = 5, −7, 13 , 2, − 72
)
 2 
 
 8 
y B =  25  , entonces
 1
−7 
 3
 
A ⋅ B = (5 ⋅ 2 ) + (−7 ⋅ 8 ) + (13 ⋅ 25 )+
( 2 ⋅ − )+ (−
1
7
2
7
)
(
)(
⋅ 3 = (10 ) + (−56 ) + (152 ) + − 71 2 + − 72 3
A ⋅ B = −46.56 , redondeado a dos decimales.
)
Con lo anterior podemos acercarnos de mejor manera a la multiplicación de
matrices como sigue:
Denición 1.10.
Multiplicación de matrices
Sea A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices donde el número de columnas de A es
igual al número de las de B; esto es, que A es una matriz m×p y B es una
matriz p×n. Entonces la matriz AB = C es la matriz m×n, donde la componente
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
18
ij es la que se obtiene multiplicando la la i-ésima de A por la columna j-ésima
de B:
A
 a11

 
 ai 1

 
 am 1

B
 a1p   b11


 
 ai p   


 
 am p   b p1





=
 b1n   c11

     

bi j    =  
 
     
b p j  b p n   c m1
b1 j
C
 c 1n 

  
 
c ij

  
 c mn 
(13)
Donde c ij = ai 1b1 j + ai 2b2 j +  + aip b pj . Además se observa que A tiene p columnas y
B p las tal como se requiere, en otro caso la multiplicación no está denida.
Ejemplo 13
x

z
y   t0

w   h0
t1
h1
t 2   xt 0 + yh0
=
h2   zt 0 + wh0
xt1 + yh1
zt1 + wh1
xt 2 + yh2 

zt 2 + wh2 
El orden en que se realiza cada operación se puede ver siguiendo la secuencia
de los términos encerrados con cuadrados y los términos circulados. Así el
componente c11 se obtiene del producto del primer renglón de A con la primera
columna de B:
(x
t 
y ) 0  = xt 0 + yh0
h0 
Obteniendo el resto de los componentes de manera similar.
Ahora otro ejemplo:
 2 6   1 2 1   (2)(1) + (6)(3) (2)(2) + (6)(0) (2)(1) + (6)( −1) 


=
=
 4 3   3 0 −1   (4)(1) + (3)(3) (4)(2) + (3)(0) (4)(1) + (3)( −1) 
 2 + 18 4 + 0 2 − 6   20 4 −4 
=
=

 4 + 9 8 + 0 4 − 3   13 8 1 
19
Matemáticas para negocios
También se debe destacar que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es
decir, los productos AB y BA no son necesariamente iguales.
1.3. Solución de ecuaciones de orden m × n, mediante
el método de Gauss-Jordan
Una de las herramientas más práctica y comúnmente utilizada para resolver
sistemas de ecuaciones es el método de Gauss-Jordan; con el fin de comprender y
aplicar dicho método, partiremos de la representación de sistemas de ecuaciones
lineales en matrices y revisaremos los conceptos de matrices escalonadas y
operaciones elementales entre las.
1.3.1. Sistemas de ecuaciones lineales: representación por matrices
Los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante matrices, donde lo
importante son los coecientes del sistema de ecuaciones y su posición dentro del mismo. Para ejemplicar lo anterior se presenta la manera en la que se realiza tal representación matricial.
El sistema de ecuaciones lineales
a11 x1 + a12 x 2 +  + a1n x n = b1
a21 x1 + a22 x 2 +  + a1n x n = b2

am1 x1 + am 2 x 2 +  + amn x n = bm
(14)
Es equivalente a la ecuación matricial
 a11 a12

 a21 a22
 

 am 1 am 2
 a1n  x1   b1 
   
 a2 n  x 2   b2 
=
o sólo AX = B
       
   
 amn 
 x n   bm 
(15)
Donde A es una matriz m×n, X y B son vectores columna. Con esta correspondencia
entre el sistema de ecuaciones lineales (14) y la ecuación matricial (15) se observa
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
20
que la solución de la ecuación matricial también corresponderá a la solución del
sistema de ecuaciones lineales.
De la ecuación matricial (15), la matriz A se conoce como la matriz de coecientes
del sistema de ecuaciones (14) y a la siguiente matriz se le conoce como la matriz
aumentada del sistema de ecuaciones (14):
 a11 a12

 a21 a22
 

 am 1 am 2
 a1n
 a2 n
 
 amn
b1 

b2 


bm 
(16)
La cual se obtiene aumentando una última columna a la matriz de coecientes y escribiendo en esta última columna los términos independientes del sistema de ecuaciones.
Ejemplo 14
Obtener las matrices de coecientes y aumentada del sistema de ecuaciones lineales:
3 x1 + 2 x 2 − 1x n = 7
4 x1 + 1x 2 − 3 x n = −5
−2 x1 + 8 x 2 + x n =
7
9
(I)
1
3
La matriz de coecientes y aumentada del sistema de ecuaciones (I) son respectivamente:
 3 2 −1 


 4 1 −3 
7 

 −2 8 9 
y
 3 2 −1 7 


 4 1 −3 −5 
1 
 −2 8 7
9
3 

(I)
Se dice que un sistema AX = B es inconsistente si no tiene solución y que es
consistente si el sistema tiene al menos una solución.
21
Matemáticas para negocios
1.3.2. Matrices escalonadas
Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales a través del
álgebra de matrices, se debe obtener matrices escalonadas y matrices escalonadas
reducidas por renglones, por lo anterior se presenta la siguiente denición:
Una matriz A escalonada es aquella que:
i) El número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de
una la crece la por la hasta llegar a las donde todos sus componentes sean ceros, si existen estos componentes.
ii) La primera componente distinta de cero de cada renglón es una componente
distinguida del renglón y si es un número 1 se le llama pivote.
iii) En particular se llama matriz escalonada reducida por renglones o las, si las componentes distinguidas de la matriz todas son iguales a 1 y los
elementos por arriba y por debajo del pivote son todos iguales a cero.
Ejemplo 15
La matriz A es una matriz escalonada con componentes distinguidas subrayadas
y la matriz B es una matriz escalonada reducida por renglones también con los
pivotes subrayados.
3

0
A=
0

0
1 2 5

0 2 8
;
0 0 4

0 0 0
1 0 0


B = 0 1 3


0 0 0
El 3 es la primera componte distinta de cero del primer renglón, el 2 es la primera
componente distinta de cero del segundo renglón y el número de ceros anteriores
a este 2 aumentó respecto del primer renglón y así sucesivamente para los cuatro
renglones de la matriz A, por lo tanto es una matriz escalonada. De igual forma
se observa que la matriz B es una matriz escalonada reducida por renglones.
Pero, ¿cómo se obtienen las matrices escalonadas reducidas por renglones? Esta
pregunta se responde en la sección siguiente, donde se establecen las operaciones
con las o renglones de una matriz para obtener la matriz escalonada reducida por renglones.
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
22
1.3.3. Operaciones elementales entre renglones
Las operaciones elementales entre renglones o las de una matriz son:
i) Multiplicar o dividir todo un renglón por un número diferente de cero.
ii) Sumar o restar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
iii) Intercambiar dos renglones.
Para realizar la reducción por renglones de una matriz se utilizan las operaciones
denidas bajo la siguiente notación:
1. Ri → kRi
2. R j → R j ± kRi
3. Ri → R j
Ejemplo 16
El i-ésimo renglón se reemplaza por el mismo renglón
multiplicado por el escalar k.
El j-ésimo renglón se reemplaza por la suma (resta) del
j-ésimo renglón y k veces el i-ésimo renglón.
El i-ésimo renglón se intercambia con el j-ésimo renglón.
1. Ri → kRi , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar la multiplicación del escalar con todos los componentes del mismo renglón.
R1  3 2 −1 7 
 3

 R2 → 14 R2  1
→  4 (4 )
R2  4 1 −3 −5  
7
1 

 −2
R3  −2 8 9
3 

2
1
4 (1)
−1
1
4 (−3 )
8
7
9
7   3 2 −1 7 
 

1
1
− 43 − 45 
4 (−5 ) →  1
4
1
1 
  −2 8 7
3
9
3 
 
2. R j → R j ± kRi , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar la suma (resta) y multiplicación del escalar con todos los componentes del
mismo renglón.
R1  3 2 −1 7 
2
−1
7 
 3


 R1 → R1R2
R2 →−3 R2
3
5
3
1
1
→  −3(1) −3( 4 ) −3( − 4 ) −3( − 45 )  
→
R2  1 4 − 4 − 4  
7
7
1 
1



R3  −2 8 9
8
3 
9
3
 −2

 (3 − 3 )

 −3
 −2

(2 − 43 ) (−1 + 49 ) (7 + 154 )
− 43
8
9
4
7
9
15
4
1
3
1
 0
4
 
3
 →  −3 − 4
  −2 8
 
5
4
9
4
7
9
43
4
15
4
1
3





23
Matemáticas para negocios
3. Ri → R j , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar el intercambio de renglones:
R1  0 14 45

R2  1 14 − 43
R3  −2 8 79

 −2 8 79
 R1 → R3 
3
1
−  →
 1 4 −4
1 
 0 1 5
3 
4
4

43
4
5
4


− 


1
3
5
4
43
4
1.3.4. Método de Gauss-Jordan
Método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la
reducción por renglones de la matriz aumentada del sistema, una vez realizado
esto, se obtienen las soluciones del mismo, recuperando directamente de la matriz
escalonada el valor de las incógnitas del sistema. El método puede enunciarse
como sigue:
i) Obtener la matriz aumentada del sistema AX = B .
ii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por
renglones.
iii) Obtener las soluciones del sistema.
Ejemplo 17
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de Gauss-Jordan:
x − 2y = 6
−2 x + y = 9
i) Obtener la matriz aumentada del sistema AX = B .
Se obtiene con los coecientes de cada variable y los términos independientes de cada ecuación.
R1  1 −2 6 


R2  −2 1 9 
ii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones.
Para reducir la matriz aumentada se utilizan las operaciones elementales
entre renglones:
6  R2 → R2 + 2 R1  1 −2 6  R2 →− 13 R2  1 −2 6 
→
 
 → 

1 9
 0 −3 21 
 0 1 −7 
 1 0 −8 
R1 → R1 + 2 R2

→

 0 1 −7 
R1  1
R2  −2
−2
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
24
iii) Obtener las soluciones del sistema.
Para obtener las soluciones del sistema leemos de la matriz escalonada
reducida por renglones que x = −8 y y = −7 , que son los valores que están
localizados en la última columna de la matriz escalonada que les corresponde
a los pivotes de x y y .
Ejemplo 18
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de GaussJordan:
x − 5 y = −14
3 x − 15 y = −42
i) Se obtiene la matriz aumentada del sistema AX = B
 1

 3
−5 −14 

−15 −42 
ii) Se lleva a la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por
renglones
 1

 3
−5 −14  R2 → R2 −3 R1  1
 → 
−15 −42 
 0
−5
0
−14 

0 
iii) Se obtienen las soluciones del sistema
El nuevo sistema es: x − 5 y = −14
Por lo tanto x = 5 y − 14
y= t
Donde t es un parámetro que puede tomar cualquier valor.
El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.
Ejemplo 19
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de GaussJordan:
9x − 6 y = 8
6x − 4 y = 5
25
Matemáticas para negocios
i) Se obtiene la matriz aumentada del sistema AX = B
−6
−4
 9

 6
8
5



ii) Se lleva a la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones
 9

 6
−6
−4
8
5

 R1→ 19 R1  1
  →
 6


−
2
3
−4
8 

 1

R
R
6
R
→
−
9  
2
2
1
 →
 0
5 


−
2
3
0
8 

9 
1
− 
3
iii) Se obtienen las soluciones del sistema
El sistema no tiene solución. Se observa en la segunda ecuación que el sistema equivalente
tiene una inconsistencia, esto es:
x−
2
8
y=
3
9
0x − 0 y = −
1
3
Cabe señalar que el estudio y práctica de los conceptos previamente revisados,
sentarán las bases necesarias para el uso del álgebra de matrices y el método de
Gauss-Jordan para la resolución de problemas; estas herramientas serán utilizadas
en los capítulos siguientes, donde se resolverán problemas en el ámbito de la toma
de decisiones apoyada en resultados cuantitativos de modelos matemáticos.
1.4. Aplicaciones a los negocios
En el área de los negocios se presentan una gran cantidad de problemas en
los cuales la necesidad de obtener soluciones cuantitativas nos lleva a plantear
modelos matemáticos. Resolver estos problemas, en ocasiones, implica encontrar
la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Aun y cuando el planteamiento de los diferentes problemas generen muy variados
sistemas de ecuaciones lineales, los métodos para encontrar su solución son los
mismos, uno de ellos es el que abordamos en temas anteriores que es el de GaussJordan y que retomaremos ahora para resolver problemas relacionados con los
negocios.
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
26
Una situación común en los negocios es el cambio de divisas, ya que en la
actualidad cualquier negocio con socios o tratos internacionales necesariamente
deberá manejar equivalencias y cotizaciones de diferentes tipos de monedas.
En alguno de estos casos es necesario plantear sistemas de acuaciones lineales
para su solución. Ejemplo 1. En un viaje de negocios se realizan las siguientes
operaciones con dinero; se cambia 2960 pesos por dólares y euros, importe por el
cual se reciben 160 euros y 80 dólares. Después, se cambian 4800 pesos y se reciben
200 euros y 200 dólares. ¿Es posible expresar cuál es la cotización del tipo de cambio
del euro y del dólar mediante un sistema de ecuaciones lineales? Para expresar este
planteamiento, primero se plantea el sistema de ecuaciones que modela la situación:
Se dene x como el tipo de cambio del euro y y como el tipo de cambio del
dólar. Entonces, las dos operaciones se establecen como:
160 x + 80 y = 2960
200 x + 200 y = 4800
(1)
(2)
Entonces la matriz aumentada del sistema de ecuaciones es:
 160 80 2960 


 200 200 4800 
Resolviendo el sistema de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan, se tiene:
 1 0 13 


 0 1 11 
Es decir que el valor de las variables del sistema de ecuaciones son:
x = 13
y = 11
Lo cual quiere decir que el tipo de cambio para el euro es de 13 y de 11 para el
dólar.
Ejemplo 20
Un empleado recibió un bono por la cantidad de $14,800 el cual decidió invertir
en dos diferentes instrumentos. Si el instrumento A le produjo un rendimiento de
4% mensual y el instrumento B un rendimiento de 6% mensual y si el empleado
27
Matemáticas para negocios
recibió $752 de intereses en total en el primer mes, ¿qué cantidad de dinero
invirtió en cada uno de los instrumentos?
Si se definen a
x: cantidad de dinero a invertir en el instrumento A
y: cantidad de dinero a invertir en el instrumento B
Podemos establecer la relación entre estas variables mediante el siguiente sistema
de ecuaciones.
x+
y = 14800
0.04 x + 0.06 y = 752
En la primera ecuación se establece que la suma de las cantidades invertidas en
los dos diferentes instrumentos es igual a la cantidad total a invertir que es de
$14,800.
En la segunda ecuación se establecen los rendimientos de cada uno de los
instrumentos que en total producen $752 de intereses.
La matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones es:
 1

 0.04
1
0.06
14800 

752 
Resolviendo el sistema de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan
 1

 0.04
1
0.06
 1
R1 → R1 − R2

→
 0
14800  R2 → R2 −0.04 R1 
 → 
752 

0
1
6800 

8000 
de donde
1
0
1
0.02
1
R2
14800  R2 → 0.02

 → 
160 

1
0
1
1
14800 

8000 
x = 6800
y = 8000
El empleado invirtió $6,800 en el instrumento A y $8,000 en el instrumento B.
En la siguiente sección se presenta una serie de ejercicios, desde las operaciones
básicas con matrices hasta las aplicaciones a los negocios.
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
28
Ejercicios
1.2. Operaciones con matrices
Considera las siguientes matrices:
 75
1 8 2
5 2 0





A =  2 9 5  , B =  6 −1 5  , C =  76
5 6 7
 3 −1 3 
3




8
5
E = (4 7 2 ) y G =  
1
1
2
− 25
− 14
0
5
2 1),
3  , D = (3

0
1.2.1. Multiplicación por un escalar
Realiza las siguientes multiplicaciones por escalares:
a) 3A
b) 12 A
c) −2C
d) − 25 B
e) 3C
1.2.2. Suma de matrices
Realiza las siguientes sumas:
a)
b)
c)
d)
e)
A+ A
A+B
A−B
B +C
2 A − 2B
1.2.3. Multiplicación de matrices
Realiza las siguientes multiplicaciones:
a)
b)
c)
d)
DA
EC
AB
BA
29
Matemáticas para negocios
e) D ( A + C )
f) EG
1.2.4. Transpuesta
Realiza en cada caso lo que se pide:
a) AT
T
b) (A + B )
 8 10 3 
c) BT


d) ¿Es simétrica la matriz H =  10 4 2  ?
 6 2 14 


15 −24 
 0


e) ¿Es antisimétrica la matriz J =  −15 0
15  ?
 24 −15 0 


1.3. Solución de sistemas de orden m × n, mediante el método
de Gauss-Jordan
1.3.1. Sistemas de ecuaciones lineales: representación por matrices
Obtén las matrices de coecientes y aumentada de los sistemas de ecuaciones:
a)
2x + 3y = 0
x−y=0
2x + 3y = 5
b) x − y = 7
2 x1 + x 2 + x 3 = 16
c) x1 − x 2 + 8 x 3 = 1
3
7
1
2 x1 + 5 x 2 − 8 x 3 =
x1 + x 2 + x 3 = 11
4
9
d) − x1 − x 2 − x 3 = −10
2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 7
1
2
x1 − 13 x 2 + 14 x 3 = 10
1
5
x1 + 71 x 2 + 19 x 3 = 3
e) − 12 x1 + 13 x 2 − 14 x 3 = −2
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
30
1.3.2. Matrices escalonadas
Indica cuáles son las componentes distinguidas y pivotes de las matrices:
1 0
a) 

0 1
3 2 4
b)  0 2 6 


0 0 3


1 2 0


c)  0 1 6 
0 0 0


0

0
d) 
0

0
0

0
e) 
0

0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0

0
1

0
8 −2
0 1
0 0
0 0
0 3
0 −1
0 1
0 0
0

1
9

1
1.3.3. Operaciones elementales entre renglones
Realiza correctamente la operación entre renglones que se indica en cada inciso:
R1  5 2 0 
R1 → 15 R1
a) R2  6 1 5  
→


R3  −3 1 −2 
R1  1 8 2 

 R2 → R2 −2 R1
→
b) R2  2 9 5  


R3  5 6 7 
c)
R1  75 12 0 
? ?
R1 → 75 R1
6

5
2
R2  7 − 5 3  
→  76 − 25
1
3
R3  83 − 14 0 
8 −4
?
? ?
R3 → R3 − 83 R1

5
→  76 − 25
3  

0 
? ?
?
? ? ?


R2 → R3
5
? ?
3  →  ?


? 
? ? ?
31
Matemáticas para negocios
d) Reduce por renglones las matrices:
 2 −4 12 
i) A =  2

1
3
3
− 3
 8 10 6 


ii) B =  10 4 16 
 6 2 10 


1.3.4. Método de Gauss-Jordan
i) Obtener o contar con un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n
incógnitas.
ii) Obtener la matriz aumentada del sistema AX = B
iii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por
renglones.
iv) Obtener las soluciones del sistema.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con el método de GaussJordan:
a)
b)
c)
6x − 2 y = 0
−5 x + 53 y = 0
8 x + 7 y = 30
5 x + 4 y = 18
x−y =3
−3 x + 2 y = −11
x1 − x 2 + x 3 = 10
d) − x1 + x 2 + 3 x 3 = 2
x1 + x 2 + x 3 = 4
2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 57
e) − x1 + 2 x 2 − 1x 3 = 1
3 x1 + 4 x 2 + 4 x 3 = 55
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
32
1.4. Aplicaciones a los negocios
1. Un sábado por la noche, como dueño de una zapatería examinas los recibos
de las ventas semanales. De acuerdo con el reporte se vendieron 300 pares
de zapatos tenis de dos modelos diferentes cuyos precios son de $1,500 para
el modelo A y de $1,250 para el modelo B. La máquina registradora falló
y sólo se cuenta con el registro del número total de pares vendidos y del
total de ingresos que fue de $406,250. Necesitas hacer un nuevo pedido a
tu proveedor por lo que requieres determinar el número exacto de pares
vendidos de cada modelo.
Resuelve el sistema de ecuaciones empleando el método de Gauss-Jordan.
2. Una exportadora de tres productos diferentes (x, y, z) trabaja en tres diferentes
países (A, B, C) debido a esto sus productos tienen diferentes precios de
venta en cada uno de los países. Los totales que la exportadora ha obtenido
son de $310,000, $439,000 y $355,000 respectivamente. Los datos con los que
se cuentan son: para el país A los precios son de $20, $35 y $72; en el país B
de $40, $30 y $110; y en el país C de $10, $55 y $80; para los tres productos,
respectivamente. ¿Cuántos productos de cada tipo se exportaron? Considera
que la cantidad de productos de cada tipo es igual para los tres países.
3. Se propone un negocio con dos tipos de socios, mayoritarios y minoritarios.
Y para tener un portafolios de inversión con dos instrumentos se requieren
dos montos de $174,000 y $296,000, cada uno; sabiendo que en el monto
menor los socios mayoritarios invierten $3,000 y los minoritarios $1,200
y que para el monto mayor $5,000 y $2,300, mayoritarios y minoritarios
respectivamente, ¿cuál es la cantidad de socios de cada tipo que se requieren
para poder realizar las dos inversiones simultáneamente?
33
Matemáticas para negocios
Autoevaluación
1. Indica cuáles de las siguientes matrices son de orden 2×3.
 4 −3
1 5 
x y 
1 1 5




z w ; E =  x
A = 0 1  ; B =  6 12  ; C = 
D
=
;




0 0 0

 h0
0 0 
 h q 
 −1 9 
a)
b)
c)
d)
e)
C 2×3 ,
A2×3 ,
B2×3 ,
A2×3 ,
C 2×3 ,
E 2×3
D2×3
E 2×3
B2×3
D2×3
 14 12 
2. Es el resultado de 4 
:
 −1 3 
 161 81 
a)  1 3 
− 4 4 
 18
b)  3
− 4
1
16
1
4



 4 12 
c) 

 −1 2 
 − 43
d)  1
 8
1
4
1
16



 1 2
e) 

 −4 12 
 2 −1 
 4 −5 
3. Suma las matrices A = 
 y B =

 −1 2 
 8 −5 
 6 −6 
a) 

 7 −10 
 −2 −11 
b) 

 −9 7 
 −6 6 
c) 

 −7 10 
y z

h1 h2 
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
34
 −6 6 
d) 

 −7 3 
 6 −6 
e) 

 7 −3 
 1 −1 
4. Calcula la multiplicación de matrices (2 3 )⋅ 

 −5 7 
a) (13 −19)
b) ( −13 19)
c) (13 19)
d) ( −13 −19)
e) La multiplicación no está denida.
 2 1 2  5 2 0 

 

5. ¿Cuál es el resultado de A ⋅ B =  7 0 4  ⋅  1 2 −1  =

 

 −1 3 5   −2 1 2 
 12 2 1 


a)  35 3 −6 
 1 0 15 


 19 17 −9 


b)  −1 5 6 
 4 17 6 


 24 5 18 


c)  17 −2 5 
 1 4 10 


8 3
 7


d)  27 18 8 


 −12 9 7 
 15 2 1 


e)  43 3 −6 
 −5 −2 9 


35
Matemáticas para negocios
 a w h0

b x h1
6. Es la matriz transpuesta de 
 c y h2

b a c d 
 d z h3


x
w
y
z

a) 
 h1 h0 h2 h3 


 t1 t 0 t 2 t3 
c

y
b) 
 h2

 t2
a

w
c) 
 h0

 t0
d

z
d) 
 h3

 t3
a

x
e) 
 h0

 t0
t0
b d

x z
h1 h3 

t1 t3 
b
x
c
y
a
w
h0
h1 h2
t1 t 2
a
w
b
x
h0
t0
h1
t1
c
w
b
y
h2
t2
h1
t1
t0 

t1 
t2 

t3 
d

z
h3 

t3 
c 

y
h2 

t2 
d

z
h3 

t3 
7. ¿A cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales corresponde la
 1 8 −2 10 


matriz aumentada  5 1 5 12  ?


 −2 7 1 10 
w + 8 x + 2 y = 10
a) 5w + x + 5 y = 12
2w + 7 x + y = 10
x + 8 y − 2 z = 10
b) 5 x + y + 5 z = 12
−2 x + 7 y + z = 10
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
36
−w + 8 x + 2 y = 10
c) 5w + x + 5 y = 12
2w + 7 x − y = 10
x + 5 y − 2 z = 10
d) 8 x + y + 7 z = 12
−2 x + 5 y + z = 10
− x + 5 y + z = 10
e) 8 x + y + 5 z = 12
x + 5 y − 2 z = 10
x+y=2
8. Resuelve el sistema de ecuaciones 2 x + y = −5
− x + 3 y = 34
a) x = 7 ; y = 9
b) x = −7 ; y = −9
c) x = −7 ; y = 9
d) x = −9 ; y = −7
e) x = −9 ; y = 7
9. Calcula la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
2 x 0 + 2 x1 − 4 x 2 = 6
6 x 0 − 2 x1 + 5 x 2 = 4
a)
b)
c)
d)
e)
x0
x0
x0
x0
x0
= 2 ; x1 = 6 ; x 2 = 1
= 6 ; x1 = 1 ; x 2 = 2
= 1 ; x1 = 2 ; x 2 = 6
= −1 ; x1 = 2 ; x 2 = 6
= 1 ; x1 = 6 ; x 2 = 2
− x 0 + 2 x1 + 3 x 2 = 17
37
Matemáticas para negocios
Respuestas a los ejercicios
1.2. Operaciones con matrices
1.2.1. Multiplicación por un escalar
Realiza las siguientes multiplicaciones por escalares:
 3 24 6 


a) 3A =  6 27 15 
 15 18 21 


 12 4 1 


b) 12 A =  1 92 25 
5 3 7
2
2
 − 107

c) −2C =  − 127
−3
 4
 −2

2
d) − 5 B =  − 125
 6
−5
e)
 5 73

3C =  6 7 3
3 3
 8

−1
4
5
1
2
− 45
2
5
2
5
3
2
− 2 53
−
3
4
0 

− 103 
0 
0 

−2 
− 65 
0 

5 3
3 

0 
1.2.2. Suma de matrices
Realiza las siguientes sumas:
 2 16 4 


a) A + A =  4 18 10 
 10 12 14 


 6 10 2 


b) A + B =  8 8 10 
 8 5 10 


Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
38
 −4 6 2 
c) A − B =  −4 10 0 
 2 7 4


 407

d) B + C =  487
 27
8
5
2
− 75
− 45
0
20 
3 
3 
 −8 12 4 


e) 2 A − 2 B =  −8 20 0 
 4 14 8 


1.2.3. Multiplicación de matrices
Realiza las siguientes multiplicaciones de matrices:
a) DA = (12 48 23 )
b) EC = = ( 269
28
13
− 10
35
3
)
 59 −8 46 


c) AB =  79 −10 60 


 82 −3 51 
 9 58 20 


d) BA =  29 69 42 
 16 33 22 


e) D ( A + C ) = ( 909
56
969
20
79
3
)
f) Como se observa E1x 3 y G2 x 1 , por lo tanto esta multiplicación no está
denida. 1.2.4. Transpuesta
Realiza en cada caso lo que se pide:
1 2 5


a) A =  8 9 6 
2 5 7


T
39
Matemáticas para negocios
b)
(A + B )
T
6 8 8


=  10 8 5 
 2 10 10 


5 6 3 


c) B =  2 −1 −1 
0 5 3 


T
d) La matriz H no es simétrica.
e) La matriz J es antisimétrica.
1.3. Solución de sistemas de ecuaciones m × n, mediante el
método de Gauss-Jordan
1.3.1. Sistemas de ecuaciones lineales: representación por matrices
Obtén las matrices de coecientes y aumentada de los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 3  2 3 0
a) 
 y
 , respectivamente.
 1 −1   1 −1 0 
2 3  2 3 5
b) 
 y
 , respectivamente.
 1 −1   1 −1 7 
1   2 1 1 16 
2 1

 

c)  1 −1 8  y  1 −1 8 1 
1 3 −7 1 3 −7 4 
8
9 
8
2 5
2 5
 1

d)  −1

 2
 12

e)  − 12
 1
 5
1
−1
3
− 13
1
3
1
7
1   1
 
−1  y  −1
 
5  2
  12
 
− 14  y  − 12
1 
 1
9 
 5
1
4
1
−1
3
− 13
1
11 

−1 −10 

5
7
1
4
1
3
− 14
1
7
1
9
10 

−2 
3 
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
40
1.3.2. Matrices escalonadas
Indica cuáles son las componentes distinguidas o pivotes de las matrices:
1 0

a) 
0 1


3 2 4



b) 0 2 6 


0 0 3


1 2 0


c)  0 1 6 


0 0 0
0

0
c) 
0

0
0

0
d) 
0

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0
1 8 −2 0
0 0
1
0 0
0
0 0
0
0

0 −1 1 

0 1 9

0 0 1

3
1.3.3. Operaciones elementales entre renglones
Realiza correctamente la operación entre renglones que se indica en cada inciso:
R1  5 2 0 
R1  1 25 0 
1



 R1 → 5 R1
→ R2  6 1 5 
a) R2  6 1 5  
R3  −3 1 −2 
R3  −3 1 −2 
R1  1 8 2 
R1  1 8 2 

 R2 → R2 −2 R1


→ R2  0 −7 1 
b) R2  2 9 5  
R3  5 6 7 
R3  5 6 7 
41
Matemáticas para negocios
c)
R1  75

R2  76
R3  83
1
2
− 25
− 41
0
 1 107
7
R
→
R

1
5
5 1
→  76 − 25
3  
3 −1
0 
4
8
0
0
0
 1 107
 1 107
3
R
→
R
−
R
6


R2 → R3
3
3 8 1
5
5
2
41
→  7 − 5 3  →  0 − 80 0 
3  
 0 − 41 0 
6 −2 5
0 
80
5
3


7
d) Reduce por renglones las matrices:
1
i) 
0
1

ii)  0
0

0 −8 

1 −7 
0 2

1 −1 
0 0 
1.3.4. Método de Gauss-Jordan
a)
x +
y = 300
1500 x + 1250 y = 406250
 1
b) 
 1500
1
1250
300 

406250 
c) x= 125 y=175 Se vendieron 125 pares del modelo A y 175 pares del modelo
B.
a)
b)
c)
d)
e)
x = 1, y = 3
x =2, y =2
x = 5, y = 2
x1 = 4 , x 2 = −3 ; x 3 = 3
x1 = 1 , x 2 = 5 ; x 3 = 8
1.4. Aplicaciones a los negocios
1) x = 125; y = 175
2) x = 2300 ; y = 2400 ; z = 2500
3) 50 mayoritarios y 20 minoritarios en ambas inversiones.
Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices
42
Respuestas a la autoevaluación
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
a)
e)
e)
b)
d)
c)
b)
c)
e)