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Cuadriláteros 1 CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos. ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes RECTÁNGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos. CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes. TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se llaman bases. TRAPECIO ISÓSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos congruentes. TEOREMA. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero TESIS: m DAB m ABC m BCD m CDA 360º 1. definición de diagonal. 1. Se traza la diagonal AC 2. m m m CDA 180º 4. m m m CDA m m m ABC 360º 2. En ADC la suma de los ángulos interiores es 180º 3. En ABC la suma de los ángulos interiores es 180º 4. Suma de 2 y 3 5. m( 5. De 4. Adición de ángulos. 3. m m m ABC 180º BCD)+m( DAB)+m( CDA)+m( ABC) = 360º TEOREMA: En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AB DC y AD BC 1. ABCD es un paralelogramo 2. AB DC; AD BC 3. Se traza la diagonal AC . 1 4 4. 3 2 5. 1. De hipótesis 2. De 1. Definición de paralelogramo 3. Definición de diagonal 4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas. 5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas Cuadriláteros 2 6. AC AC 7. ADC ABC 6. Propiedad reflexiva 7. De 4, 5, 6. A – L – A 8. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 8. AD BC 9. AB DC TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero AB DC y AD BC TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. Se traza la diagonal AC . 1. Definición de diagonal 2. AD BC; DC AB 2. De hipótesis 3. AC AC 4. ADC ABC 3 2 5. 3. Propiedad reflexiva 6. AD BC 7. 4 1 8. AB DC 9. ABCD es un paralelogramo. 4. De 2 y 3. L – L – L 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5. Por formar ángulos alternos internos congruentes 7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 8. De 7.Por formar ángulos alternos internos congruentes. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo TEOREMA En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: 1. DC AB y AD BC 2. AC AC 3. ADC ABC 4. ADC ABC DAB BCD y ADC ABC 1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes 2. Propiedad reflexiva. 3. De 1 y 2. L – L – L 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB . Cuadriláteros 3 TEOREMA: Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero A C y D B TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. m( 2. m( 3. m( A) = m( C) B) = m( D) A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 4. 2m( A)+2m( B) = 360º 5. 2m( A)+m( B) = 360º 6. m( A)+m( B) = 180º 7. AD BC 8. 2m( A)+2m( D) = 360º 9. 2m( A)+m( D) = 360º 10. m( A)+m( D) = 180º 11. AB DC 12. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hip. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. De 4 factorización 6. De 5. Transposición de términos 7. De 6. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 8. De sustituir 1 y 2 en 3 9. Factor común 10. Álgebra 11. De 10. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 13. De 7 y 11. Definición de paralelogramo. TEOREMA Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero DC AB; DC AB TESIS: ABCD es un paralelogramo. 1. DC AB 1. De hipótesis 2. DC AB DCA CAB 3. 2. De hipótesis 4. AC AC 5. ABC ADC 6. DAC ACB 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 4. Propiedad reflexiva 5. De 1, 3, 4. L – A – L 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en Cuadriláteros 4 7. AD BC 8. ABCD es un paralelogramo. triángulos congruentes. 7. De 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes. La demostración se deja como tarea. TEOREMA Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo. HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero AP PC y DP PB TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. DP PB y AP PC DPC APB 2. 3. DPC APB 4. DCP PAB 5. DC AB 6. DC AB 7. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis. 2. Opuestos por el vértice 3. De 1 y 2. L – A – L 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 5. De 4. Por formar ángulos alternos internos congruentes. 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo las diagonales se bisecan. La demostración se deja como tarea. COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES: 1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. 2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de rectas paralelas son congruentes 3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes 5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los vértices. NOTA: El reciproco no se cumple Cuadriláteros 5 EJERCICIOS RESUELTOS 1) CD BA Hallar x, y. 2) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DM MC DC 2 AD TESIS: AM MB 1. AD 1. De hipótesis DC 2 2. M es punto medio de DC DC 2 4. DM MC AD 5. ADM es isósceles. 3. DM MC 6. m( ) = m( 4. De 1 y 3. Ley transitiva 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. De hipótesis. los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva. ) 7. AD BC 8. MC BC 9. MCB es isósceles. 10. m( ) = m( ) 11. m( D)+m( C) = 180º 12. m( ) + m( 13. 2m( )+m( 14. m( ) + m( ) + m( 2. De hipótesis. Definición de punto medio 3. De hipótesis y de 2 D) = 180º D) = 180º ) + m( C) = 180º 9. De 8. Definición de triangulo isósceles. 10. De 9. La misma razón de 7. 11. Por ser ángulos consecutivos en un paralelogramo 12. En el ADM los ángulos interiores suman 180º 13. Sustitución de 6 en 12 14. En el MCB la suma de los ángulos interiores es 180° Cuadriláteros 6 15. 2m( )+m( C) = 180º 16. 2m( )+m( D)+2m( )+m( C) = 360º 17. 2m( )+2m( )+180º = 360º 18. 2m( )+m( ) = 180º 19. m( )+m( ) = 90º 20. m( )+m( AMB)+m( 21. 90º+m( AMB) = 180º 22. m( AMB) = 90º ) = 180º 23. AM MB 15. Sustitución de 10 en 14 16. Adición de 13 y 15 17. Sustitución de 11 en 16 18. De 17. Factor común y transposición de términos 19. De 18. Algebra 20. Por formar un par lineal 21. Sustitución de 19 en 20 22. De 21. Transposición de términos 23. De 22. Definición de perpendicularidad. 3) HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo DM AC y BN AC TESIS: DMBN es un paralelogramo. 1. AD CB 2. DAC BCA 3. DMA y CNB son rectángulos 4. AD BC 5. DMA CNB 6. DM BN 7. DM AC y BN AC 8. DM BN 9. DMBN es un paralelogramo. 1. De hipótesis. Definición de paralelogramo 2. Por ser alternos internos entre paralelas 3. De Hipótesis. Definición de triangulo rectángulo 4. De hipótesis. Lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. 5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 7. De hipótesis. 8. De 7. Por ser perpendiculares a la misma recta. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes. 4) HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo. DM y BN son bisectrices TESIS: DMBN es un paralelogramo 1. m ( ADC) = m ( ABC) 2. m ( ADM) = m ( NBC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser mitades de ángulos congruentes y de 1 Cuadriláteros 3. 7 NCB MAD 4. AD BC AMD BNC 6. DM BN 5. 7. AM NC 8. AB DC y AB DC 9. MAB DCN 10. AMB CND 11. MB DN 12. DMNB es un paralelogramo. 3. Por ser alternos internos entre paralelas ( AD BC ) 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 5. De 2, 3, 4. A – L – A 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. De 8, 9,7. L – A – L 11. De 10. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos congruentes. SECANTE Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas. TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P) Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante. HIPÓTESIS: m n s AB BC TESIS: DE EF 1. Por D se traza una paralela a r1, que corta 1. Postulado de la paralela. a n en G. O sea DG AB 2. AD BG 3. ABGD es un paralelogramo 4. AB DG 5. Por E se traza una paralela a r1, que corta a s en H. O sea EH 2. De hipótesis. 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4. De 3. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 5. Postulado de la paralela BC 6. BE CF 7 BCHE es un paralelogramo 6. De hipótesis. 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo Cuadriláteros 8 8. BC EH 8. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 9. De hipótesis 9. AB BC 10. EH DG 11. ABG DGE 12. ABG 10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva. 11. De 3. AB DE . Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 12. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 13. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva 16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del paralelismo 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 18. De 17, 15 y 10. A – L – A 19. De 18. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes BCH 13. BC EH 14. BCH EHF 15. EHF DGE 16. DG r1 EH 17. GDE HEF 18. DGE EHF 19. DE EF CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes. TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de ese lado. HIPÓTESIS: M es punto medio de AC N es punto medio de BC 1) MN AB TESIS: 1. En MN existe un punto Q, tal 2) MN AB 2 1. Construcción que MN NQ y unimos B con Q 2. CN NB 2. De hipótesis. Definición de punto medio Cuadriláteros 9 3. CNM QNB 4. CMN BQN 5. C NBQ 3. Por ser opuestos por el vértice 4. De 2, 1,3. L – A – L 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes. 7. De 6 y de hipótesis. A – M – C 6. BQ AC 7. BQ AM 8. CM BQ 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De hipótesis. Definición de punto medio 9. CM MA 10. BQ MA 11. ABQM es un paralelogramo 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva 12. MQ AB 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y congruentes. 12. De 11. Definición de paralelogramo 13. MN 13. De hipótesis M – N – Q AB 14. MQ AB 14. De 11. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 15. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 15. MN NQ MQ 2 AB 17. MN 2 16. De 15. N es punto medio de MQ . 16. MN 17. Sustitución de 14 en 16. TEOREMA Una recta paralela a un lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado. HIPÓTESIS: MN AB M es punto medio de AC TESIS: N es punto medio de BC 1. Por N se traza una paralela a AM , corta a AB en D. 2. MN AD 3. ADNM es un paralelogramo 4. CM MA ND 5. B MNC 6. C DNB 1. Construcción 2. De hipótesis, de 1. A – D – B 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos de un paralelogramo son s 5. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas 6. De 1. Por ser ángulos correspondientes Cuadriláteros 10 7. MNC DBN 8. CN NB 9. N punto medio de BC . formados por rectas paralelas 7. De 4, 5, 6. L – A – A 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de punto medio. DEFINICIÓN: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama base media. TEOREMA DE LA BASE MEDIA La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la semisuma de las medidas de las bases del trapecio. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB E y F son puntos medios de los lados no paralelos 1.EF AB DC TESIS: 1. DF corta a AB en P 2. DFC BFP 3. C FBP 4. CF FB 5. DCF PBF 6. DF FP 7. F es punto medio de DP 8. E es punto medio de AD 9. EF AP 10. EF AB 2.EF AB DC 2 1. Construcción 2. Por ser opuestos por el vértice 3. De hipótesis. Por ser alternos internos entre paralelas 4. De hipótesis. F es punto medio de CF 5. De 2, 3 y 4. A – L – A 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 7. De 6. Definición de punto medio 8. De hipótesis. 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el triángulo ADP. 10. De 9 y 1. A – B – P 11. AB DC 11. De hipótesis 12. EF AB DC AP 13. EF 2 AB BP 14. EF 2 12. De 10 y 11. Propiedad transitiva 15. BP DC 15. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un triángulo. 14. De 13. Adicion de segmentos Cuadriláteros 11 16. EF AB DC 2 16. Sustitución de 15 en 14. TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media) Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB M es punto medio de AD MN AB DC C–N–B TESIS: N es punto medio de BC . 1. De hipótesis 1. M es punto medio de AD 2. De 1. Definición de punto medio 2. AM MD 3. De hipótesis 3. MN AB DC 4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental del 4. BN NC paralelismo 5. De hipótesis y 1. 5. N es punto medio de BC TEOREMA En un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles con AD BC TESIS: A B 1. Se trazan DH AB y CE AB 1. Construcción auxiliar 2. DH CE 2.De1, por ser perpendiculares a la misma recta. 3. DC AB DC HE 4. DHEC es un paralelogramo 3.De hipótesis, definición de trapecio 4.De 3 y 2, definición de paralelogramo 5.De 4, en un paralelogramo los lados opuestos son congruentes 6.De hipótesis 7.De 1, definición de triangulo rectángulo 8.De 7, 6 y 5, cateto-hipotenusa 9.De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 5. DH CE 6. AD BC 7. DHA y CEB son rectángulos 8. DHA CEB 9. A B Cuadriláteros 12 TEOREMA El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. O de otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. HIPÓTESIS: Triangulo ABC es rectángulo M es el punto medio de la hipotenusa CB TESIS: 1)AM MB MC BC 2)AM 2 1. Por M se traza una paralela a AB , que corta a AC en N 1. Construcción 6. AM MC 2. De 1. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado, cortara al otro lado en su punto medio. 3. De hipótesis y de 1. Por ser correspondientes entre paralelas 4. De 3. Definición de altura. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura. 6. De 5. Definición de triangulo isósceles. 7. MC MB 7. De hipótesis. Definición de punto medio. 2. N es punto medio de AC 3. m( CNM) = m( CAB) = 90º 4. MN es altura 5. CMA es isósceles. 8. AM MC MB BC 2 8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es punto medio. TEOREMA Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G está a 2/3 de cada vértice. HIPÓTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G 2 AM 3 TESIS: 2 BG BN 3 AG 1. M y N son puntos medios de BC y AC 2. NM AB; NM AB 2 3. Sean P y Q los puntos medios de AG y BG respectivamente. 1. De hipótesis. Definición de mediana 2. De 1. Teorema de la paralela media en ABC 3. Todo segmento tiene un punto medio Cuadriláteros 13 4. PQ AB; NM 5. AB 2 4. De 3. Teorema de la paralela media en triangulo AGB NM PQ 5. De 2 y 4. Propiedad transitiva NM PQ 7. PG AP 6. De 5. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes. 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio 8. De 3. Definición de punto medio 8. AP PG GM 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 5. NPQM es un paralelogramo 6. PG GM 9. AP PG GM 10. AP PG 11. AG 1 AM 3 10. De 9. Definición de fracción 2 AM 3 11. De 10. Aritmética. 2 AM 3 12. De 11. Adición de segmentos. De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN RESUMEN DE CUADRILÁTEROS Paralelogramos 1. Lados opuestos congruentes 2. Ángulos opuestos congruentes 3. Ángulos consecutivos suplementarios 4. Las diagonales se bisecan Cuadrado 1. Diagonales congruentes 2. Diagonales perpendiculares 3. Las diagonales son bisectrices 4. Las diagonales se bisecan Rectángulo 1. Las diagonales se bisecan 2. Las diagonales son congruentes Rombo 1. Diagonales se bisecan 2. Diagonales son perpendiculares 3. Diagonales son bisectrices Cuadriláteros 14 Trapecio isósceles 1. Los lados no paralelos son congruentes 2. Los ángulos de las bases son congruentes 3. Al trazar las alturas se generan triángulos rectángulos congruentes. EJERCICIOS RESUELTOS DE CUADRILÁTEROS 1) HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB E, D, F son puntos medios. TESIS: DECF es un rombo 1. A B 1. De hipótesis, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes 2. AD DB 3. CA CB 4. AE BF 5. AED BDF 6. DE DF 7. DE BC CF 8. DF AC CE 9. DECF es un paralelogramo 10. DE CF 11. DF CE 12. DF CE CF DE 13. DECF es un rombo 2. De hipótesis, definición de punto medio 3. De hipótesis. 4. De 3 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes 5. De 4, 2 y 1 L - A – L 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. Teorema de la paralela media en un triángulo. 8. Teorema de la paralela media en un triángulo. 9. De 7 y 8, por tener los lados opuestos paralelos 10. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo 11. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo 12. De 6, 10 y 11, por la propiedad transitiva de la congruencia 13. De 9 y 12, definición de rombo. 2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo M es punto medio de DC N es punto medio de AB A – P – M; C – Q – N TESIS: DP PQ QB Cuadriláteros 15 1. DC AB 1. De hipótesis definición de paralelogramo 2. MC AN 2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un paralelogramo 3. DC AB DC 2 AB 5. AN 2 DC 6. AN 2 7. MC AN 4. MC 8. ANCM es un paralelogramo 9. MA CN 4. De hipótesis, definición de punto medio. 5. De hipótesis, definición de punto medio. 6. Sustitución de 3 en 5. 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva 8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos. 9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N 11. En CQD : P es punto medio 11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado del de DQ triángulo, pasa por el punto medio del otro lado. 12. De 11, definición de punto medio. 12. DP PQ 10. MP CQ Continuar con la demostración, pero ya analizando el triángulo PBA. 3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. HIPÓTESIS: BE y AD son bisectrices y se cortan en I. TESIS: I es un punto de la bisectriz de ACB Cuadriláteros 16 1. IP IR 1. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo 2. IR IQ 2. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo 3. IP IQ 4. I es un punto de la bisectriz de equidista de los lados del ángulo 3. De 1 y 2, propiedad transitiva 4. De 3, por equidistar de los lados del ángulo. ACB 4) 1. DM AB EH 2. DEHM es un trapecio 3. CHB es un triángulo rectángulo CB 2 CB 5. DE 2 4. HM 6. HM DE 7. DEHM es un trapecio isósceles 1. De hipótesis, teorema de la paralela media 2. De 1, definición de trapecio 3. De hipótesis, definición de altura y de triangulo rectángulo 4. De 3, en un triángulo rectángulo la mediana a la hipotenusa mide la mitad de esta 5. De hipótesis, teorema de la paralela media 6. De 4 y 5, propiedad transitiva 7. De 6 y 2, definición de trapecio isósceles. Cuadriláteros 17 PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO: 1. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( ) 2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triángulo isósceles es paralela a la base. ( ) 3. La mediana de un triángulo es perpendicular a la base. ( ) 4. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( ) 6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas de ángulos alternos internos. ( ) 7. En un triángulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de 30º ( ) 8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( ) 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( ) 10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( ) 11. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. ( ) 12. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( ) 13. Un rectángulo es un paralelogramo. ( ) 14. Un paralelogramo es un rectángulo ( ) 15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un cuadrado. ( ) 16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las bases. ( ) 17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente. ( ) 18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( ) 19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo forman un rombo. ( ) 20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( ) 21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son perpendiculares.( ) 1. 2. 3. 4. EJERCICIOS AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m ( B) = 120º, hallar m ( BAC). En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A ) En el triángulo ABC. AD DB (A – D – B), m( C) = 90º, m ( B) = 30º. AC = 35 cm. Hallar BD y la mediana CD ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos. Cuadriláteros 18 5. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC TESIS: DE FB 6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. 7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. 8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. 9. HIPÓTESIS: SRQT es un paralelogramo QL es la bisectriz de TQR SM es la bisectriz de TSR TESIS: SLQM es un paralelogramo. 10. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E. TESIS: E es el punto medio de FG 11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo. 12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo forman un rombo. 13. Cuadriláteros 19 14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la base media del trapecio. 15. HIPÓTESIS: M y N son puntos medios de las bases del trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales. 1)EP QF TESIS: 2)ES SF 3)S es punto medio de PQ 16. HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB D, E, F son puntos medios TESIS: CDEF es un rombo 17. HIPÓTESIS; ELMN es un cuadrilátero A, B, C, D son puntos medios de los lados del Cuadrilátero. TESIS: CA y DB se bisecan mutuamente. 18. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo P es el punto medio de AD Q es el punto medio de BC TESIS: AR RS SC 19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero, entonces el cuadrilátero es un rombo. 20. Cuadriláteros 20 21 22. HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto medio de medio de BC . AH HR y BG GS TESIS: 1)S C R 2)CR CS AYUDA: Trazar BR y AS 23. En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triángulo APB es isósceles. 24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo. 25. HIPÓTESIS: CD es mediana E y F son puntos medios TESIS: M es punto medio de CD y EF AYUDA: Trazar los segmentos DF y ED. Cuadriláteros 21 26. ABCD es un rectángulo. F es punto medio de AD y E es punto medio de DC , se traza la diagonal DB que corta a FE en G. Demostrar que G es punto medio de FE AYUDA: Trazar la diagonal AC 27. ABCD es un rombo de lado 20 centímetros. Se traza AN AD , AN corta a la diagonal DB en M y al lado BC en N, si 5MN 3 AM , hallar BN. 28. ABCD es un paralelogramo, hallar el valor del ángulo alfa Cuadriláteros 22 29. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AC , E B y AB 10 . Calcular la longitud de ED Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise De Internet Recopilados por: José Manuel Montoya Misas. Cuadriláteros 23 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILÁTEROS HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC A–E–B;D–F–C TESIS: DE FB m( ADC ) 2 m( ABC ) 2. m( 2) 2 3.m( ADC)=m( ABC) m( ADC ) 4. m( 2) 2 5. m( 1) = m( 2) 6. C A 7. 3 4 1. m( 1) 8. DC AB 1. De hipótesis. Definición de bisectriz 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 4. Sustitución de 3 en 2. 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva. 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del segundo. 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes 9. 4 5 10. 3 5 11. DE FB Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB A B TESIS: ABCD es un trapecio isósceles 1. Se trazan las alturas DH y 1. Construcción auxiliar CE 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB 2. DH CH 3. 4. 5. 6. 7. DC HE HECD es un paralelogramo DH CE A B DHA CEB 3. De hipótesis. DC AB 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo. 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 6. De hipótesis. 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo congruentes. Cuadriláteros 8. AD BC 9. ABCD es isósceles 24 un 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s trapecio 9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz de DAB BE es bisectriz de ABC TESIS: AE EB 1. 1. De hipótesis. Definición de bisectriz m( DAB ) m( 1) 2 m( 1) m( DAB) 2 2 m( ABC ) m( 2) 2 m( 2) m( ABC ) 2 3. m( DAB) + m( ABC) = 180° 4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180° 5. m( 1) + m( 2) = 90° 6. m( E) = 90° 7. AE EB 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. De 2. Algebra 6. De 5. Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° 7. De 6. Definición de perpendicularidad 1. M es punto medio de AD y N es punto 1. De hipótesis medio de BC 2. MN es la base media del trapecio 2. De hipótesis. Definición de base media 3. MN 3. De 2. La base media es paralela a las bases 4. De 3 y M – P – Q – N DC 4. MP DC Cuadriláteros 25 5. En ADC : P es punto medio de AC 5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a u n lado, esa paralela pasa por el punto medio del otro lado. Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB. HIPÓTESIS: ELNM es un cuadrilátero A, B, C, D son los puntos medios de los lados del cuadrilátero. TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente. 1. Se traza la diagonal EN 2. D es punto medio EM y C es punto medio de MN 3. DC es paralela media en el EMN EN ; DC EN 2 5. A es punto medio de EL y B es punto medio de LN 6. AB es paralela media en el ELN 4. DC EN ; AB EN 2 8. DC AB y DC AB 9. ABCD es un paralelogramo 7. AB 10. AC y DB se bisecan 1. Construcción auxiliar 2. De hipótesis 3. De 2. Definición de la paralela media en un triángulo. 4. De 3. Teorema de la paralela media 5. De hipótesis. 6. De 5. Definición de la paralela media en un triángulo. 7. De 6. Teorema de la paralela media 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva 9. De 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos. 10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan. Cuadriláteros 26 HIPÓTESIS: BT es altura A–P–B PR AC y PS BC TESIS: PR + PS = BT 1. Se traza PQ BT 2. AC BT 3. PQ AC 4. PR AC 5. BT AC QT AC 6. PR QT 7. RPQT es un paralelogramo 8. PR QT 9. BT = BQ + QT 10. BT = BQ + PR 11. PQB y PSB son rectángulos 12. A 13. QPB ABC A 14. QPB ABC 15. PB PB 16. PQB PSB 17. BQ = PS 18. BT = PS + PR 1. Construcción auxiliar. 2. De hipótesis. Definición de altura. 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma recta 4. De hipótesis 5. De hipótesis. Definición de altura 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo 8. De 7. Los lados opuestos de un son congruentes 9. Suma de segmentos 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo rectángulo. 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva 15. Propiedad reflexiva 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo y la hipotenusa congruentes. 17. De 16. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 18. Sustitución de 17 en 10. Cuadriláteros 27 Solución del ejercicio 23 En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triángulo APB es isósceles. 1. DAB CBA 2. AD BC 3. AB AB 4. DAB CBA 5. 1 2 6. APB es isósceles 1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son congruentes 2. De hipótesis. 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD . AB CD . CH AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo. 1. AHC es un triángulo rectángulo 1. HM es la mediana sobre la hipotenusa 2. HM MA MC 2. De 1. En un triángulo rectángulo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 3. De 2. Definición de triangulo isósceles. 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva. 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes. 3. AMH es isósceles 4. MAH MHA 5. APB es isósceles. 6. MAH PBA PBA 8. HM BN 9. AC BD 7. MHA 10. BN AM 11. BN AM HM BN 9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes. 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes. 11. De 10 y 2. Propiedad transitiva Cuadriláteros 12. MHBN es un paralelogramo. 28 12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos. Se da un triángulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto medio de CA . Demostrar 1) APNM es un paralelogramo. 2) PBNM es un paralelogramo 3) CMPN es un paralelogramo. AYUDA: Utilizar varias veces el teorema de la paralela media en un triángulo y la definición de paralelogramo. Sea un triángulo ABC, rectángulo en A, K es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia que pasa por los puntos B, C, K. Se trazan los diámetros CE y BD , como las diagonales de un cuadrado se bisecan y son perpendiculares, vamos a demostrar que estos diámetros son perpendiculares. K es el incentro, es decir el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo, por consiguiente KC y KD son bisectrices. m( ACB) m( ABC ) 90º Porque los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, entonces se tiene que m( KCB) m( KBC ) 45º , porque KC y KD son bisectrices. Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 180º entonces en el triángulo CKB el ángulo K mide 135º y por lo tanto el arco CDEB mide 270º y por resta de arcos el arco CKB mide 90º y por lo tanto el ángulo COB mide 90º por ser un ángulo central. Entonces tenemos que las diagonales CE y BD se bisecan y son perpendiculares, por lo tanto CB es el lado de un cuadrado. El triángulo ABC es isósceles con BA = BC, se traza la altura AH . Desde un punto P de la base AC , se trazan los segmentos PG y PF perpendiculares a los lados congruentes del triángulo, B – G – C y B – F – A. Demostrar que AH PG PF HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles con BA = BC AH es altura PG BC y PF BA B – G – C y B – F – A. TESIS: AH PG PF 1.Se traza DP AH 2. PDHG es un paralelogramo 3. PG = DH 1. Construcción auxiliar 2. De hipótesis y de 1, ¿Por qué? 3. De 2, ¿Por qué? Cuadriláteros 4. AH AD DH 5. AH AD PG 6.El triángulo AHC es rectángulo 7.El complemento de HCA es HAC 8. El triángulo PFA es rectángulo 9.El complemento de FAP es FPA 10. HCA FAP 11. HAC FPA 12.El triángulo PDA es rectángulo 13. AP AP 14. PDA PFA 15. PF AD 16. AH PG PF 29 4. Suma de segmentos 5. Sustitución de 3 en 4 6. De hipótesis, definición de altura y triangulo rectángulo 7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 8. De hipótesis, definición triangulo rectángulo 9. De 8, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 10. De hipótesis, ¿Por qué? 11. De 7, 9 y 10, por tener el mismo complemento 12. De 1, definición de triangulo rectángulo 13. ¿Cuál es la razón? 14. De 13, 11 y 8, ¿Por qué? 15. De 14, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 16. Sustitución de 15 en 5 ABCD es un paralelogramo, en el cual DF 7 y FC 3 EFB BFC , E es el punto medio de DA , D – F – C encontrar EF Solución: ABFD es un trapecio ¿Por qué? , se traza la base media que corta a FB en G tenemos que EG EF 8.5 AB 10 DF AB 7 10 EG 8.5 2 2 DC AB ABF EG AB EGF ABF Por lo tanto el triángulo EGF es isósceles y por lo tanto Cuadriláteros 30 El triángulo ABC es isósceles con CA CB . Se toma un punto cualquiera D sobre la base AB, se traza la altura AG . Demostrar que DE DF AG ABC es isósceles HIPÓTESIS: AG es una altura D es un punto de AB DF CB; DE CA TESIS: DE DF AG 1. DF 1. De hipótesis. Por ser perpendiculares a la AG 2.Por D se traza una perpendicular a AG que la corta en H 3. DH FG 4.DFGH es un paralelogramo 5. DF HG 6.Los triángulos AED y DHA son rectángulos 7. B CAB misma recta BC 2.Construccion auxiliar 3.Por ser perpendiculares a la misma recta AG 4.De 3 y 1, definición de paralelogramo 5.De 4, por ser lados opuestos de un paralelogramo 6. De hipótesis, definición de triangulo rectángulo HDA CAB 10. AD AD 7.De hipótesis, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 8.De 3, por ser ángulos correspondientes entre paralelas 9.De 7 y 8, propiedad reflexiva 10.Propiedad reflexiva 11. AED DHA 11.De 9 y 6, por tener congruentes la hipotenusa y 8. B HDA 9. Cuadriláteros 31 un ángulo agudo 12.De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 13.Suma de segmentos 14.Sustitucion de 12 y 5 en 13 12. DE AH 13. AG AH HG 14. AG DE DF Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también la bisectriz del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa. HIPÓTESIS: Triangulo ABC rectángulo en A AM mediana sobre la hipotenusa AD bisectriz del ángulo recto AH altura sobre la hipotenusa TESIS: AD es bisectriz de BC 2 BC 2. MB 2 3. AM MB HAM 1. En un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta 1. AM 2. De hipótesis, por definición de mediana M es punto medio 9. 4 B 10. 1 4 11. m( 1) m( 2) m( 3) m( 4) 3. De 1 y 2, propiedad transitiva 4. De 3, definición de triangulo isósceles 5. De 4, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 6. De hipótesis, definición de altura. 7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 8. De hipótesis, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 9. De 8 y 9, por tener el mismo complemento 10. De 5 y 9, propiedad transitiva 11. De hipótesis, definición de bisectriz 12. m( 2) m( 3) 12. De 11 y 10, propiedad cancelativa de las igualdades 4.Triangulo AMB es isósceles 5. 1 B 6.Triangulo AHC es rectángulo 7.El complemento de 4 es 8. El complemento de B es 13. AD es bisectriz de C HAM C 13. De 12, definición de bisectriz Cuadriláteros 32 SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PARES 2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A) HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo m( A) 2m( B) Hallar la medida del ángulo A 1. m( A) 2m( B) 6. 2m( B) m( B) 2m( B) m( B) 360 1. De hipótesis 2. De hipótesis, los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 3. Sustitución de 1 en 2 4. De hipótesis, los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 5. La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es de 360° 6. Sustitución de 1, 2 y 4 en 5 7. 6m( B) 360 m( B) 60 7. De 6, algebra 8. m( A) 2m( B) 2(60) 120 8. Sustitución de 7 en 1 2. m( C ) m( A) 3. m( C ) 2m( B) 4. m( D) m( B) 5. m( A) m( B) m( C ) m( D) 360 4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos. Hallar EF, si DC 10 y AB 14 EF es la base media del trapecio, por lo tanto AB DC 14 10 EF 12 2 2 Hallar ER, si DC 10 y AB 14 ER es la paralela media del triángulo ADC, por lo tanto DC 10 ER 5 2 2 Cuadriláteros 33 Hallar DC, si EF 24 y AB 30 EF es la base media del trapecio, por lo tanto AB DC EF 2 EF AB DC 2 EF AB DC 2 2(24) 30 DC 48 30 DC DC 18 Hallar RS, si EF 24 y DC 20 RS EF ER SF ER es la paralela media del ADC , por lo tanto DC 20 ER 10 2 2 SF es la paralela media del BCD , por lo tanto DC 20 SF 10 2 2 RS EF ER SF 24 10 10 4 Hallar AB, si ER 5 y RF 7 EF ER RF 5 7 12 Hallamos DC ER es la paralela media del ADC , por lo tanto DC DC ER 5 DC 10 2 2 EF es la base media del trapecio, por lo tanto AB DC AB 10 EF 12 24 AB 10 24 10 AB 2 2 AB 14 Hallar SF, si ER 5 y RF 7 ER es la paralela media del ADC , por lo tanto DC DC ER 5 DC 10 2 2 SF es la paralela media del BDC , por lo tanto DC 10 SF 5 2 2 Cuadriláteros 34 6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB A B TESIS: ABCD es un trapecio isósceles 1. Se trazan las alturas DH y CE 2. DH CH 3. DC HE 4. HECD es un paralelogramo 5. DH CE 6. A B 7. DHA CEB 1. Construcción auxiliar 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB 3. De hipótesis. DC AB 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo. 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 6. De hipótesis. 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo congruentes. 8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz del DAB BE es bisectriz del CBA TESIS: AE EB m( DAB ) 2 m( 1) m( DAB) 2 m( ABC ) 2 m( 2) 2 m( 2) m( ABC ) 2 1. m( 1) 3. m( DAB) + m( ABC) = 180° 4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180° 5. m( 1) + m( 2) = 90° 6. m( E) = 90° 7. AE EB 1. De hipótesis. Definición de bisectriz 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. De 2. Algebra 6. De 5. Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° 7. De 6. Definición de perpendicularidad Cuadriláteros 35 10. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E. TESIS: E es el punto medio de FG 6. FE EG 1. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos 2. De 1, por ser ángulos alternos internos entre paralelas 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice 4. De hipótesis, las diagonales de un paralelogramo se bisecan 5. De 2, 3 y 4, A – L – A 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. E es el punto medio de FG 7. De 6, definición de punto medio 1. DC AB 2. 1 2 3. 3 4 4. DE BE 5. DEF BEG Cuadriláteros 36 12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo forman un rombo. HIPÓTESIS: ABCD es un rectángulo E, F, G y H son puntos medios TESIS: EFGH es un rombo. 1. AB DC 2. AE EB CG GD 3. AD BC 4. AH HD CF FB 5. HAE FBE FCG GDH 6. EF FG GH HE 7. EFGH es un rombo 1. De hipótesis, por ser lados opuestos de un rectángulo 2. De hipótesis y 1, por ser mitades de segmentos congruentes 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un rectángulo 4. De hipótesis y 3, por ser mitades de segmentos congruentes 5. De hipótesis, por ser triángulos rectángulos con los catetos congruentes 6. De 5, por ser hipotenusas de triángulos rectángulos congruentes 7. De 6, por ser un cuadrilátero con todos sus lados congruentes Cuadriláteros 37 14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la base media del trapecio. HIPÓTESIS: AB DC EF es la base media del trapecio ABCD M es punto medio de DC N es punto medio de AB 1. EF AB DC 2. EP AN DM 3. E es punto medio de AD 4. P es punto medio de MN TESIS: EP PF 1. De hipótesis, definición de base media de un trapecio 2. De 1 y de hipótesis. 3. De hipótesis, definición de base media de un trapecio 4. De 3 y 2, si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo, porque ANMD es un trapecio. 5. EP es la base media del trapecio ANMD 5. De 3 y 4, definición de base media de un trapecio 6. EP 6. La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases AN DM 2 7. F es punto medio de BC 7. De hipótesis, definición de base media de un trapecio 8. FP es la base media del trapecio NBCM 8. De 7 y 4, definición de base media de un trapecio 9. FP 9. La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases NB MC 2 10. AN NB y DM MC AN DM 11. FP 2 12. EP PF 10. De hipótesis, definición de punto medio 11. Sustitución de 10 en 9 12. De 11 y 6, propiedad transitiva Cuadriláteros 38 16. HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB D, E, F son puntos medios TESIS: CDEF es un rombo 1. CA CB 2. CD CF CB 2 CB 4. CF 2 3. DE 5. CF DE CA 2 CA 7. CD 2 6. EF 8. CD EF 9. CD CF DE EF 10. CDEF es un rombo 1. De hipótesis 2. De hipótesis y de 1, por ser mitades de segmentos congruentes 3. De hipótesis, si se unen los puntos medios de dos lados de un triángulo, se obtiene un segmento paralelo al tercer lado y su medida es la mitad de este lado 4. De hipótesis, definición de punto medio de un segmento 5. De 3 y 4, por medir lo mismo 6. De hipótesis, si se unen los puntos medios de dos lados de un triángulo, se obtiene un segmento paralelo al tercer lado y su medida es la mitad de este lado 7. De hipótesis, definición de punto medio de un segmento 8. De 6 y 7, por medir lo mismo 9. De 2, 5 y 8, propiedad transitiva 10. De 9, por ser un cuadrilátero con todos sus lados congruentes Cuadriláteros 39 18. Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo M es punto medio de DC N es punto medio de AB A – P – M; C – Q – N 1. DC AB 2. MC AN 3. DC AB DC 2 AB 5. AN 2 DC 6. AN 2 7. MC AN 4. MC 8. ANCM es un paralelogramo 9. MA CN TESIS: DP PQ QB 1. De hipótesis definición de paralelogramo 2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un paralelogramo 4. De hipótesis, definición de punto medio. 5. De hipótesis, definición de punto medio. 6. Sustitución de 3 en 5. 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva 8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos. 9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N 11. En CQD : P es punto medio 11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado del de DQ triángulo, pasa por el punto medio del otro lado. 12. De 11, definición de punto medio. 12. DP PQ 10. MP CQ Cuadriláteros 40 20. 1. Los triángulos DMC, DMA, AMB, BMC, son triángulos rectángulos 2. MS , MP, MQ, MR son medianas 3. MS DC 2 4. MP DA 2 5. MQ BA 2 6. MR BC 2 DA BA BC DC 7. MP MQ MR MS 2 2 2 2 1. De hipótesis, definición de triángulos rectángulos. 2. De hipótesis, definición de la mediana de un triangulo 3. De 1 y 2, en un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 4. De 1 y 2, en un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 5. De 1 y 2, en un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 6. De 1 y 2, en un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta 7. Suma de 3, 4, 5 y6 Cuadriláteros 41 DA BA BC DC 8. 2 2( MP MQ MR MS ) DA BA BC DC MP MQ MR MS 8. De 7. 22. HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto medio de medio de BC . AH HR y BG GS TESIS: 1)S C R 2)CR CS 1. Se trazan los segmentos AS y BR 1. Construcción auxiliar 2. G es el punto medio de AC 3. BG GS 2. De hipótesis 3. De hipótesis 4. G es punto medio de BS 4. De 3, definición de punto medio 5. De 2 y 4, si las diagonales de un cuadrilátero, el cuadrilátero es un paralelogramo 6. De 5, los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 7. De hipótesis 8. De hipótesis 9. De 8, definición de punto medio 10. De 7 y 9, La misma razón de 5 11. De 10, la misma razón de 6 12. De 11 y 6, propiedad transitiva 13. De 5, los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos 14. De 13, por ser ángulos alternos internos entre paralelas. 15. De 10, los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos 16. De 15, por ser ángulos alternos internos entre paralelas. 5. ABCS es un paralelogramo 6. CS AB 7. H es el punto medio de medio de BC 8. AH HR 9. H es punto medio de AR 10. ABRC es un paralelogramo 11. AB CR 12. CS CR 13. AB CS 14. 1 CAB 15. AB CR 16. 2 CBA 17. m( CAB) m( CBA) m( 3) 180 17. Suma de los ángulos interiores del ABC 18. m( 1) m( 2) m( 3) 180 18. Sustitución de 14 y 16 en 17 19. S C R (colineales) 19. De 18, porque se forma un ángulo llano Cuadriláteros 42 24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo. HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles M es punto medio de AC N es punto medio de BD AB CD CH AB A H B TESIS: MHBN es un paralelogramo 1. CHA es rectángulo 2. M es punto medio de AC 1. De hipótesis, definición de triangulo rectángulo 2. De hipótesis 3. HM es mediana sobre la hipotenusa 3. De 1 y 2, definición de mediana AC 2 AC 5. HM 2 6. HM AM 7. AMH es isósceles 4. AM 4. De 2, definición de punto medio 5. De 3, 2 y 1, en un triángulo rectángulo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta 15. m( DBA) m( CBA) m( 4) 6. De 4 y 5, por medir lo mismo 7. De 6, definición de triangulo isósceles 8. De 7. Por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles 9. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de un trapecio isósceles 10. De hipótesis, por ser los lados no paralelos de un trapecio isósceles 11. Propiedad reflexiva 12. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes 13. De 10, 11 y 12, teorema L – L – L 14. De 13, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 15. Resta de ángulos 16. m( 1) m( DAB) m( 3) 16. Resta de ángulos 17. m( 1) m( CBA) m( 4) 17. Sustitución de 9 y 14 en 16 18. m( DBA) m( 1) 18. De 15 y 17, propiedad transitiva 19. m( DBA) m( 2) 19. Sustitución de 8 en 18. 8. 1 9. 2 DAB CBA 10. AD BC 11. DC DC 12. AC BD 13. ADC BDC 14. 3 4 Cuadriláteros 20. NB HM 21. NB AM 22. NB HM 23. MHBN es un paralelogramo 43 20. De 19, por formar ángulos correspondientes congruentes. 21. De hipótesis y de 12, por ser mitades de segmentos congruentes 22. De 21 y 6, propiedad transitiva 23. De 22 y 20, por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes. 26. ABCD es un rectángulo. F es punto medio de AD y E es punto medio de DC , se traza la diagonal DB que corta a FE en G. Demostrar que G es punto medio de FE 1. PD PB 2. PA PC 3. AC BD 4. PD PB PA PC 5. DPA es isósceles 6. 1 7. FE 8. 2 AC DFE 1 9. DFE 2 10. DGF es isósceles 11. GD GF 12. DPC es isósceles 13. EDG 3 14. 4 3 15. 4 EDG 1. De hipótesis, las diagonales de un rectángulo se bisecan 2. La misma razón de 1 3. Las diagonales de un rectángulo son congruentes 4. De 1, 2 y 3, por ser mitades de segmentos congruentes 5. De 4, definición de triangulo isósceles 6. De 5, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 7. Teorema de la paralela media en ADC , porque E y F son puntos medios de dos lados del triangulo 8. De 7, por ser ángulos correspondientes entre paralelas 9. De 8 y 6, propiedad transitiva 10. De 9, por tener dos ángulos congruentes 11. De 9 y 10, en un triángulo isósceles a los ángulos congruentes se oponen lados congruentes 12. De 4, definición de triangulo isósceles 13. De 12, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 14. De 7, por ser ángulos correspondientes entre paralelas 15. De 13 y 14, propiedad transitiva Cuadriláteros 16. DGE es isósceles 17. GD GE 18. GF GE 19. G es punto medio de FE 44 16. De 15, por tener dos ángulos congruentes 17. De 15 y 16, en un triángulo isósceles a los ángulos congruentes se oponen lados congruentes 18. De 17 y 11, propiedad distributiva 19. De 18, definición de punto medio de un segmento 28. ABCD es un paralelogramo, hallar el valor del ángulo alfa 1. AB DC 2. 41 m( FDC ) 83 180 3. m( FDC ) 56 4. m( FDC ) m( EFB) 56 5. m( ) 180 56 124 1. Los lados opuestos de un paralelogramos son paralelos 2. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios 3. De 2, algebra 4. De 1. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 5. Por ser suplementarios Otra manera de resolverlo: m( A) 41 Porque en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes m( ) 83 41 124 porque es un ángulo exterior del AFD
