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13
GRAVITACIÓN
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted
aprenderá:
• Cómo calcular las fuerzas
gravitacionales que dos cuerpos
cualesquiera ejercen uno sobre
el otro.
• Cómo se relaciona el peso de un
objeto con la expresión general
de la fuerza gravitacional.
• Cómo utilizar e interpretar la
expresión general de la energía
potencial gravitacional.
• Cómo se relacionan la rapidez,
el periodo orbital y la energía
mecánica de un satélite en
una órbita circular.
• Las leyes que describen los
movimientos de los planetas
y cómo trabajar con ellas.
• Qué son los agujeros negros,
cómo calcular sus propiedades
y cómo se descubren.
?
Los anillos de Saturno están compuestos de incontables partículas en órbita.
¿Todas las partículas orbitan con la misma rapidez, o las partículas interiores
orbitan con mayor rapidez, o mayor lentitud, que las exteriores?
A
lgunas de las primeras investigaciones en el campo de la física nacieron de
preguntas que la gente se hacía acerca del firmamento. ¿Por qué la Luna no
se cae hacia la Tierra? ¿Por qué los planetas se mueven en el cielo? ¿Y por
qué la Tierra no sale despedida hacia el espacio exterior, en lugar de permanecer en
órbita alrededor del Sol? El estudio de la gravitación responde a estas y muchas otras
preguntas relacionadas.
Como enfatizamos en el capítulo 5, la gravitación es una de las cuatro clases de
interacciones que observamos en la naturaleza, y fue la primera que se estudió ampliamente. En el siglo XVII, Newton descubrió que la misma interacción que hace que una
manzana caiga de un árbol mantiene a los planetas en órbita alrededor del Sol. Ese
fue el nacimiento de la mecánica celeste, es decir, el estudio de la dinámica de los
objetos en el espacio. En la actualidad, nuestro conocimiento de la mecánica celeste
nos permite determinar cómo poner un satélite en una órbita deseada alrededor de la
Tierra, o cómo elegir la trayectoria correcta para enviar una nave a otro planeta.
En este capítulo estudiaremos la ley básica que rige las interacciones gravitacionales. Se trata de una ley universal: la fuerza de gravedad actúa fundamentalmente de
la misma manera entre la Tierra y nuestro cuerpo, entre el Sol y un planeta, y entre un
planeta y sus lunas. Aplicaremos la ley de la gravitación a fenómenos como la variación del peso con la altitud, las órbitas de los satélites terrestres y las de los planetas
alrededor del Sol.
13.1
Ley de Newton de la gravitación
El ejemplo de atracción gravitacional que probablemente resulta más conocido para el
lector es su peso, la fuerza que lo atrae hacia la Tierra. Al estudiar el movimiento de
los planetas y la Luna, Newton descubrió la característica fundamental de la atracción
402
403
13.1 Ley de Newton de la gravitación
gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera. Junto con sus tres leyes del movimiento, en 1687 Newton dio a conocer la ley de la gravitación, que puede enunciarse así:
Toda partícula de materia en el Universo atrae a todas las demás partículas con una
fuerza directamente proporcional al producto de las masas de las partículas,
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Traduciendo esto a una ecuación, tenemos
Fg =
Gm1 m2
r2
(ley de la gravitación)
(13.1)
donde Fg es la magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre cualquiera de las
partículas, m1 y m2 son sus masas, r es la distancia entre ellas (figura 13.1), y G es una
constante física fundamental llamada constante gravitacional. El valor numérico de
G depende del sistema de unidades empleado.
La ecuación (13.1) nos indica que la fuerza gravitacional entre dos partículas disminuye al aumentar la distancia r; por ejemplo, si se duplica la distancia, la fuerza se reducirá a la cuarta parte, y así sucesivamente. Aunque muchas estrellas del firmamento
tienen una masa mucho mayor que la del Sol, están tan lejos que la fuerza gravitacional que ejercen sobre la Tierra es insignificante.
CUIDADO No confunda g con G Como los símbolos g y G son muy parecidos, es común confundir las dos cantidades gravitacionales tan diferentes que representan. Por un lado, g minúscula es la aceleración debida a la gravedad, que relaciona el peso w de un cuerpo con su masa
m: w = mg. El valor de g varía en diferentes puntos de la superficie terrestre y en la superficie de
otros planetas. En cambio, G mayúscula relaciona la fuerza gravitacional entre dos cuerpos con
sus masas y la distancia entre ellos. Decimos que G es una constante universal porque tiene el
mismo valor para dos cuerpos cualesquiera, sin importar dónde se encuentren. En la siguiente
sección veremos la relación entre los valores de g y G.
Las fuerzas gravitacionales siempre actúan a lo largo de la línea que une las dos
partículas, y forman un par acción-reacción. Aun si las masas de las partículas difieren, las dos fuerzas de interacción tienen la misma magnitud (figura 13.1). La fuerza
de atracción que el cuerpo del lector ejerce sobre la Tierra tiene la misma magnitud de
la fuerza que la Tierra ejerce sobre el lector. Si caemos de un trampolín a una alberca,
¡toda la Tierra sube hacia nosotros! (No lo notamos porque la masa de la Tierra es
unas 1023 veces mayor que la de una persona, así que la aceleración de la Tierra
es solo 10-23 veces la de la persona).
Gravitación y cuerpos esféricamente simétricos
Hemos planteado la ley de la gravitación en términos de la interacción entre dos partículas. Resulta que la interacción gravitacional entre dos cuerpos con distribuciones
de masa esféricamente simétricas (ya sean sólidas o huecas) es la misma que si toda
la masa estuviera concentrada en el centro, como se muestra en la figura 13.2. Así, si
modelamos la Tierra como un cuerpo esféricamente simétrico de masa mE, la fuerza
que ejerce sobre una partícula o un cuerpo esféricamente simétrico con masa m, a una
distancia r entre los centros, es
Fg =
Gm E m
r2
13.1 Fuerzas gravitacionales entre dos
partículas de masas m1 y m2.
m1
r
Fg (1 sobre 2)
r
Incluso si las partículas
tienen masas muy distintas, las
fuerzas gravitacionales que ejercen
entre sí son de la misma intensidad:
Fg (1 sobre 2) 5 Fg (2 sobre 1)
m2
13.2 El efecto gravitacional afuera de
cualquier distribución de masa esféricamente
simétrica es el mismo que si toda la masa
estuviera concentrada en su centro.
a) La fuerza
gravitacional entre dos
masas esféricamente
simétricas m1 y m2 ...
m1
b) ... es la misma
que si se considera que
toda la masa de cada
esfera estuviera
concentrada en
el centro.
m1
R1
Fg
Fg
r
(13.2)
siempre y cuando el cuerpo se encuentre en el exterior de la Tierra. El cuerpo ejerce una fuerza de la misma magnitud sobre la Tierra. (Demostraremos esto en la
sección 13.6).
En puntos dentro de la Tierra, la situación es diferente. Si pudiéramos taladrar un
agujero hasta el centro de la Tierra y medir la fuerza gravitacional sobre un cuerpo a
diferentes profundidades, veríamos que disminuye hacia el centro, en lugar de aumentar
Dos partículas cualesquiera
se atraen entre sí por las
r
Fg (2 sobre 1) fuerzas gravitacionales.
Fg
R2
m2
r
Fg
m2
404
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.3 Cuerpos esféricos y no esféricos:
Júpiter y una de sus lunas pequeñas, Amaltea.
La masa de Júpiter es muy grande
(1.90 3 1027 kg), así que la atracción
gravitacional mutua de sus partes ha hecho
que el planeta adquiera una forma casi esférica.
según 1兾r2. Conforme el cuerpo entra a la Tierra (o de otro cuerpo esférico), parte de
la masa de la Tierra queda del lado del cuerpo opuesto al centro y tira en la dirección contraria. En el centro exacto de la Tierra, la fuerza gravitacional sobre el cuerpo
es cero.
Los cuerpos esféricamente simétricos son casos importantes porque las lunas, los
planetas y las estrellas tienden a ser esféricos. Puesto que todas las partículas de un
cuerpo se atraen gravitacionalmente entre sí, tienden a moverse para reducir al mínimo la distancia que las separa. El resultado es que el cuerpo tiende naturalmente a
adoptar una forma esférica, como sucede cuando un trozo de arcilla forma una esfera
si lo apretamos con fuerzas iguales por todos lados. Este efecto se reduce mucho en
los cuerpos celestes de masa pequeña porque la atracción gravitacional es menor, y
estos cuerpos tienden a no ser esféricos (figura 13.3).
100 km
Determinación del valor de G
100,000 km
Amaltea, una de las lunas de Júpiter, tiene
una masa relativamente insignificante
(7.17 3 1018 kg, alrededor de 3.8 3 1029
la masa de Júpiter) y su atracción gravitacional
mutua es débil, por lo que tiene una forma
irregular.
Para determinar el valor de la constante de gravitación G, debemos medir la fuerza
gravitacional entre dos cuerpos de masas conocidas m1 y m2 separados por una distancia conocida r. La fuerza es muy pequeña para cuerpos que caben en un laboratorio, aunque puede medirse con un instrumento llamado balanza de torsión, que Sir
Henry Cavendish usó en 1798 para determinar G.
En la figura 13.4 se muestra una versión moderna de la balanza de torsión de
Cavendish. Una varilla ligera y rígida en forma de T invertida es sostenida por una
fibra vertical de cuarzo muy delgada. Dos esferas pequeñas de masa m1 se montan en
los extremos de los brazos horizontales de la T. Si colocamos dos esferas grandes de
masa m2 en las posiciones indicadas, las fuerzas de atracción gravitacionales hacen
girar la T un ángulo pequeño. Para medir el ángulo, hacemos incidir un rayo de luz
en un espejo sujeto a la T. El haz reflejado incide en una escala, y al girar la T, la
luz reflejada se mueve en la escala.
Después de calibrar la balanza de Cavendish, podemos medir las fuerzas gravitacionales y así determinar G. El valor aceptado actualmente es
G = 6.674281672 * 10 -11 N # m2>kg2
Con tres cifras significativas, G = 6.67 * 10-11 N ?m2兾kg2. Como 1 N = 1 kg? m兾s2,
las unidades de G también pueden expresarse como m3兾(kg ?s2).
Las fuerzas gravitacionales se combinan vectorialmente. Si cada una de dos masas
ejerce una fuerza sobre una tercera, la fuerza total que actúa sobre esta es la suma
vectorial de las fuerzas individuales de las dos primeras. El ejemplo 13.3 aprovecha
esta propiedad, la cual se conoce como superposición de fuerzas.
13.4 Principio de la balanza de Cavendish, empleada para determinar el valor de G. El ángulo de desviación se exageró para efectos
de claridad.
2 La desviación del rayo láser indica cuánto se ha
torcido la fibra. Una vez que se calibra el instrumento,
este resultado proporciona el valor de G.
1 La gravitación atrae las masas pequeñas hacia las masas
más grandes, provocando que la fibra vertical de
cuarzo gire.
Las esferas pequeñas alcanzan una nueva posición de
equilibrio cuando la fuerza elástica ejercida por
la fibra de cuarzo torcida equilibra la
fuerza gravitacional entre las masas.
Fibra de
cuarzo
Espejo
Rayo láser
Láser
m1 F
g
m2
Escala
Masa grande 1m2 2
Fg
Masa pequeña 1m1 2
13.1 Ley de Newton de la gravitación
Ejemplo 13.1
Cálculo de la fuerza gravitacional
La masa m1 de una de las esferas pequeñas de una balanza de Cavendish
es de 0.0100 kg, la masa m2 de la esfera grande es de 0.500 kg y la distancia entre centros es de 0.0500 m. Calcule la fuerza gravitacional Fg
que actúa sobre cada esfera debida a la otra.
para determinar Fg:
Fg =
16.67 * 10 -11 N # m2>kg2210.0100 kg210.500 kg2
10.0500 m22
= 1.33 * 10 -10 N
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Como los objetos son esféricamente simétricos, podemos calcular Fg suponiendo que son partículas que están separadas 0.0500 m, como en la figura 13.2. Cada esfera
experimenta una fuerza de la misma magnitud proveniente de la otra
esfera. Usamos la ley de la gravitación de Newton, ecuación (13.1),
Ejemplo 13.2
EVALUAR: Es notable que una fuerza tan pequeña pudiera medirse, o
inclusive detectarse, hace más de 200 años. Solo un objeto en verdad
masivo, como la Tierra, ejerce una fuerza gravitacional que podemos
percibir.
Aceleración debida a la atracción gravitacional
Suponga que las dos esferas del ejemplo 13.1 se colocan con sus centros separados 0.0500 m en un punto del espacio lejos de otros cuerpos.
¿Qué magnitud tiene la aceleración de cada una, relativa a un sistema
inercial?
ley de Newton:
a1 =
a2 =
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Cada esfera ejerce sobre la otra
una fuerza gravitacional de la misma magnitud Fg, la cual se calculó
en el ejemplo 13.1. Se desprecia cualquier otra fuerza. Las magnitudes de las aceleraciones a1 y a2 de las dos esferas son diferentes porque sus masas son distintas. Para determinarlas usaremos la segunda
Ejemplo 13.3
Fg
m1
Fg
m2
=
1.33 * 10 -10 N
= 1.33 * 10 -8 m>s2
0.0100 kg
=
1.33 * 10 -10 N
= 2.66 * 10 -10 m>s2
0.500 kg
EVALUAR: La esfera más grande tiene 50 veces la masa de la esfera
1
más pequeña y, por lo tanto, tiene 50 de su aceleración. Estas aceleraciones no son constantes; las fuerzas gravitacionales aumentan cuando
las esferas comienzan a moverse una hacia la otra.
Superposición de fuerzas gravitacionales
Muchas estrellas pertenecen a sistemas de dos o más estrellas que se
mantienen juntas gracias a su atracción gravitacional mutua. La figura
13.5 muestra un sistema de tres estrellas en un instante en que están en
los vértices de un triángulo rectángulo de 45°. Calcule la fuerza gravitacional total ejercida sobre la estrella pequeña por las dos grandes.
13.5 La fuerza gravitacional total que actúa sobre la estrella
pequeña (en O) es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre
ella por las dos estrellas más grandes. (Como comparación, la masa
del Sol, una estrella típica, es de 1.99 * 1030 kg, y la distancia entre
la Tierra y el Sol es de 1.50 * 1011 m).
y
8.00 3 1030 kg
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR, PLANTEAR ySEJECUTAR: Usaremos el principio de superposición: la fuerza total F que
actúa
sobre la estrella pequeña es la
S
S
suma vectorial de las fuerzas F1 y F2 debidas a cada estrella grande,
como se muestra en la figura 13.5. Suponemos que las estrellas son
esferas como en la figura 13.2. Primero calculamos las magnitudes F1
y F2 usando la ecuación (13.1); luego, calculamos la suma vectorial
empleando componentes:
F1 =
2.00 3 1012 m
12.00 * 10 12 m22 + 12.00 * 10 12 m22
c
16.67 * 10 N # m >kg 2
d
* 18.00 * 10 30 kg211.00 * 10 30 kg2
= 1.33 * 10
-11
2
12.00 * 10 12 m22
26
N
2
F
F1
1.00 3 1030 kg
16.67 * 10 -11 N # m2>kg22
d
c
* 18.00 * 10 30 kg211.00 * 10 30 kg2
= 6.67 * 10 25 N
F2 =
405
O
u F2
2.00 3
1012
m
x
8.00 3 1030 kg
Las componentes x y y de estas fuerzas son
F1x = 16.67 * 10 25 N21cos 45°2 = 4.72 * 10 25 N
F1y = 16.67 * 10 25 N21sen 45°2 = 4.72 * 10 25 N
F2x = 1.33 * 10 26 N
F2y = 0
Continúa
406
CAPÍTULO 13 Gravitación
S
Las componentes de la fuerza total F que actúa sobre la estrella pequeña son
Fx = F1x + F2x = 1.81 * 10 26 N
Fy = F1y + F2y = 4.72 * 10 25 N
EVALUAR: Si bien la magnitud F de la fuerza es enorme, la magnitud
de la aceleración resultante no lo es: a = F兾m = (1.87S* 1026 N)兾(1.00 *
1030 kg) = 1.87 * 10-4 m兾s2. Además, la fuerza F no está dirigida
hacia el centro de masa de las dos estrellas grandes.
S
La magnitud de F y su ángulo u (véase la figura 13.5) son
F = 2Fx 2 + Fy 2 = 211.81 * 10 26 N22 + 14.72 * 10 25 N22
= 1.87 * 10 26 N
Fy
4.72 * 10 25 N
= 14.6°
u = arctan
= arctan
Fx
1.81 * 10 26 N
¿Por qué son importantes las fuerzas gravitacionales?
13.6 Nuestro Sistema Solar forma parte
de una galaxia espiral como esta, que contiene
aproximadamente 1011 estrellas, junto con
gas, polvo y otros materiales. El conjunto
total se mantiene unido gracias a la atracción
gravitacional mutua de toda la materia en
la galaxia.
Una comparación de los ejemplos 13.1 y 13.3 revela que las fuerzas gravitacionales
son insignificantes entre objetos como los que tenemos en nuestras casas; pero son
considerables entre objetos del tamaño de las estrellas. De hecho, la gravitación es la
fuerza más importante a la escala de planetas, estrellas y galaxias (figura 13.6). La
gravitación mantiene la integridad de la Tierra y los planetas en órbitas alrededor del
Sol. La atracción gravitacional mutua de diferentes partes del Sol comprime los materiales en su centro, hasta alcanzar densidades y temperaturas muy elevadas que hacen
posible las reacciones nucleares que ocurren ahí. Tales reacciones generan las emisiones de energía solar, sin las cuales la vida no existiría en la Tierra.
La fuerza gravitacional es tan importante a escala cósmica porque actúa a distancia,
sin contacto directo entre los cuerpos. Las fuerzas eléctricas y magnéticas tienen esta
misma propiedad notable, aunque son menos importantes en la escala astronómica porque las acumulaciones grandes de materia son eléctricamente neutras; es decir, contienen cantidades iguales de cargas negativas y positivas. Por ello, las fuerzas eléctricas
y magnéticas entre estrellas o planetas son muy pequeñas o valen cero. Las interacciones fuerte y débil que vimos en la sección 5.5 también actúan a distancia; no obstante,
su influencia es insignificante a distancias mayores que el diámetro de un núcleo atómico (cerca de 10-14 m).
Una forma útil de describir las fuerzas que actúan a distancia es en términos de un
campo. Un cuerpo produce una perturbación o campo en todos los puntos del espacio,
y la fuerza que actúa sobre otro cuerpo en un punto determinado es la acción del
campo del primer cuerpo en ese punto. Hay un campo asociado a cada fuerza que
actúa a distancia y, por ello, nos referimos a campos gravitacionales, eléctricos, magnéticos, etcétera. En este capítulo, no necesitaremos el concepto de campo para estudiar la gravitación, así que no hablaremos más de él. Sin embargo, en capítulos
posteriores, veremos que el concepto de campo es una herramienta extremadamente
útil para describir las interacciones eléctricas y magnéticas.
Evalúe su comprensión de la sección 13.1 Saturno tiene aproximadamente
100 veces la masa de la Tierra y está alejado del Sol casi 10 veces más que nuestro
planeta. En comparación con la aceleración de la Tierra causada por la atracción
gravitacional solar, ¿qué tan grande es la aceleración de Saturno debida a la gravitación
1
1
solar? i. 100 veces mayor; ii. 10 veces mayor; iii. es igual; iv. 10 ; v. 100 .
13.2
PhET: Lunar Lander
Peso
En la sección 4.4 definimos el peso de un cuerpo como la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él. Ahora vamos a ampliar nuestra definición:
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional total ejercida sobre este por todos los
demás cuerpos del Universo.
13.2 Peso
Si un cuerpo está cerca de la superficie terrestre, se pueden despreciar las demás
fuerzas gravitacionales y considerar el peso tan solo como la atracción de la Tierra.
En la superficie de la Luna, tomaremos el peso de un cuerpo como la atracción gravitacional de la Luna, y así sucesivamente.
Si de nuevo modelamos la Tierra como un cuerpo esféricamente simétrico con radio RE y masa mE, el peso w de un cuerpo pequeño de masa m en la superficie terrestre (a una distancia RE del centro) es
w = Fg =
GmE m
RE2
(peso de un cuerpo de masa m
en la superficie terrestre)
(13.3)
407
Aplicación Caminata y carrera
en la Luna
Usted convierte automáticamente su caminata
en carrera cuando la fuerza vertical que ejerce
sobre el suelo, que por la tercera ley de Newton
es igual a la fuerza vertical que el suelo ejerce
sobre usted, rebasa su peso. Esta transición,
de caminata a carrera, sucede a rapideces
mucho menores en la Luna, donde los objetos
solo pesan el 17% de lo que pesan en la Tierra.
De ahí que los astronautas del Apolo corrían
inclusive cuando se movían con relativa lentitud
durante sus “caminatas” en la Luna.
Sin embargo, en la sección 4.4 también vimos que el peso w de un cuerpo es la fuerza
que provoca la aceleración g en caída libre, de modo que por la segunda ley de Newton,
w = mg. Si igualamos esto con la ecuación (13.3) y dividimos entre m, obtenemos
g =
GmE
RE2
(aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre)
(13.4)
La aceleración debida a la gravedad g es independiente de la masa m del cuerpo porque m no aparece en esta ecuación. Ya lo sabíamos, pero ahora vemos cómo se deduce
a partir de la ley de la gravitación.
Podemos medir todas las cantidades de la ecuación (13.4) excepto mE, así que esta
relación nos permite calcular la masa de la Tierra. Despejando mE de la ecuación
(13.4) y usando RE = 6380 km = 6.38 * 106 m y g = 9.8 m兾s2, se obtiene
mE =
gRE2
= 5.98 * 10 24 kg
G
que está muy cerca del valor actualmente aceptado de 5.974 * 1024 kg. Una vez que
Cavendish midió G, calculó la masa terrestre precisamente así.
En un punto arriba de la superficie terrestre a una distancia r del centro de la Tierra
(una distancia r - RE sobre la superficie), el peso de un cuerpo está dado por la ecuación (13.3) sustituyendo RE por r:
w = Fg =
Gm E m
r2
(13.5)
El peso de un cuerpo disminuye inversamente con el cuadrado de su distancia al centro de la Tierra (figura 13.7). La figura 13.8 muestra cómo varía el peso de un astronauta en función de su altura sobre la Tierra, si su peso es de 700 N en la superficie.
El peso aparente de un cuerpo en la Tierra difiere un poco de la fuerza gravitacional
terrestre porque la Tierra gira y, por lo tanto, no es precisamente un marco inercial de
referencia. Hasta ahora hemos ignorado este efecto, suponiendo que la Tierra es un sistema inercial. En la sección 13.7 nos ocuparemos del efecto de la rotación terrestre.
Aun cuando la Tierra es una distribución de masa con simetría esférica aproximada, no es uniforme volumétricamente. Para demostrar esto, calculemos primero su
densidad media, o masa por unidad de volumen. Si suponemos una Tierra esférica, el
volumen es
V E = 43 pRE3 = 43 p16.38 * 10 6 m23 = 1.09 * 10 21 m3
13.7 En un avión comercial a gran altitud,
estamos más lejos del centro de la Tierra
que cuando estamos en el suelo, por lo que
pesamos ligeramente menos. ¿Puede usted
demostrar que a una altitud de 10 km pesaría
0.3% menos que en el suelo?
408
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.8 Un astronauta que pesa 700 N en la superficie terrestre experimenta menos atracción
gravitacional cuando está por arriba de dicha superficie. La distancia r que importa es la del
astronauta al centro de la Tierra (no del astronauta a la superficie terrestre).
Tierra, masa mE
w (N)
Radio terrestre RE 5 6.38 3 106 m
700
Astronauta, m
600
500
w 5 peso del astronauta 5 GmEm r2
r 5 distancia del astronauta al centro de la Tierra
r 2 RE 5 distancia del astronauta a la superficie terrestre
/
400
300
200
100
13.9 La densidad de la Tierra disminuye
al aumentar la distancia al centro.
0
5
10
15
0
5
20
10
25
15
r (3 106 m)
30
20
25
r ⫺ RE (3 106 m)
La densidad media r (la letra griega rho) de la Tierra es la masa total dividida entre el
volumen total:
r 13 1000 kg/m3 2
r =
16
Núcleo
interior
sólido
12
= 5500 kg>m3 = 5.5 g>cm3
Núcleo
exterior
fundido
8
Manto en su
mayor parte
sólido
4
0
1
Ejemplo 13.4
mE
5.97 * 10 24 kg
=
VE
1.09 * 10 21 m3
2
3
r (3
106
4
5
6 RE
m)
(Como referencia, la densidad del agua es de 1000 kg兾m3 = 1.00 g兾cm3). Si la Tierra
fuera uniforme, cabría esperar que la densidad de las rocas individuales cerca de la superficie tuviera ese mismo valor. De hecho, la densidad de las rocas superficiales es significativamente menor: de 2000 kg兾m3 para rocas sedimentarias, a cerca de 3300 kg兾m3
para el basalto (un tipo de roca volcánica). Por lo tanto, la Tierra no puede ser uniforme,
y el interior debe ser mucho más denso que la superficie para que la densidad media sea
de 5500 kg兾m3. Según modelos geofísicos del interior de la Tierra, la densidad máxima
en el centro es de aproximadamente 13,000 kg兾m3. La figura 13.9 es una gráfica de la
densidad en función de la distancia al centro.
Gravedad en Marte
Un vehículo de descenso, que pesa en la Tierra 3430 N, es enviado a
Marte, cuyo radio es RM = 3.40 * 106 m y cuya masa es mM = 6.42 *
1023 kg (véase el apéndice F). Calcule su peso Fg en la superficie marciana y la aceleración gM debida a la gravedad de Marte.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Para calcular Fg usamos la ecuación
(13.3), después de sustituir mE y RE por mM y RM. Determinamos la
masa m del vehículo de descenso a partir del peso w en la Tierra y
luego calculamos gM a partir de Fg = mgM.
EJECUTAR: El peso del vehículo en la Tierra es w = mg, de modo que
m =
w
3430 N
=
= 350 kg
g
9.80 m>s2
La masa es la misma sin que importe dónde se encuentra el vehículo.
De acuerdo con la ecuación (13.3), el peso del vehículo en Marte es
Fg =
=
Gm Mm
RM2
16.67 * 10 -11 N # m2>kg2216.42 * 10 23 kg21350 kg2
13.40 * 10 6 m22
= 1.30 * 10 N
3
13.3 Energía potencial gravitacional
La aceleración debida a la gravedad de Marte es
gM =
Fg
m
=
1.30 * 10 3 N
= 3.7 m>s2
350 kg
EVALUAR: Aun cuando Marte tiene el 11% de la masa de la Tierra
(6.42 * 1023 kg contra 5.98 * 1024 kg), la aceleración gM debida a la
409
gravedad (y por lo tanto el peso Fg del objeto) es de aproximadamente el 40% del valor en la superficie terrestre. Esto se debe a que
gM es inversamente proporcional al cuadrado del radio del planeta, y
Marte solo tiene el 53% del radio de la Tierra (3.40 * 106 m contra
6.38 * 106 m).
Se puede comprobar el resultado de gM usando la ecuación (13.4),
con las sustituciones adecuadas. ¿Obtuvo la misma respuesta?
Evalúe su comprensión de la sección 13.2 Ordene de mayor a menor
la gravedad superficial de los siguientes planetas ficticios: i. masa = 2 veces la masa
de la Tierra, radio = 2 veces el radio de la Tierra; ii. masa = 4 veces la masa de laTierra,
radio = 4 veces el radio de la Tierra; iii. masa = 4 veces la masa de la Tierra, radio = 2 veces
el radio de la Tierra; iv. masa = 2 veces la masa de la Tierra, radio = 4 veces el radio
de la Tierra.
13.3
Energía potencial gravitacional
Cuando presentamos el concepto de energía potencial gravitacional en la sección 7.1,
supusimos que la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es constante en magnitud y dirección. Esto llevó a la expresión U = mgy. Pero la fuerza gravitacional de la
Tierra sobre un cuerpo de masa m afuera de la Tierra está dada en forma más general
por la ecuación (13.2), Fg = GmEm兾r2, donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. En problemas donde r cambia lo suficiente para
que la fuerza gravitacional no se considere constante, necesitamos una expresión más
general para la energía potencial gravitacional.
Para obtener esta expresión, usamos los mismos pasos que en la sección 7.1. Consideramos un cuerpo de masa m fuera de la Tierra, y calculamos primero el trabajo
Wgrav efectuado por la fuerza gravitacional cuando el cuerpo se aleja o se acerca al
centro de la Tierra, desde r = r1 hasta r = r2 como en la figura 13.10. Este trabajo está
dado por
r2
Wgrav =
Lr1
Fr dr
(13.6)
13.10 Cálculo del trabajo efectuado sobre
un cuerpo por la fuerza gravitacional, cuando
el cuerpo se mueve de la coordenada radial
r1 a r2.
Trayectoria
S
Fg
curva
Trayectoria
recta
m
S
donde Fr es la componente radial de la fuerza gravitacional FS
; es decir, la componente dirigida hacia afuera desde el centro de la Tierra. Dado que F apunta hacia el centro
de la Tierra, Fr es negativa y difiere de la ecuación (13.2), la magnitud de la fuerza
gravitacional, por un signo menos:
Fr = -
Gm E m
r2
(13.7)
Sustituyendo la ecuación (13.7) en la (13.6), vemos que Wgrav está dado por
r2
Wgrav = - Gm E m
Gm E m
Gm E m
dr
=
2
r2
r1
Lr1 r
(13.8)
La trayectoria no tiene que ser recta; puede ser una curva como la de la figura 13.10.
Por un argumento similar al de la sección 7.1, este trabajo solo depende de los valores
inicial y final de r, no del camino seguido. Esto también demuestra que la fuerza gravitacional siempre es conservativa.
Ahora definimos la energía potencial correspondiente U de modo que Wgrav =
U1 - U2 como en la ecuación (7.3). Comparando esto con la ecuación (13.8), vemos
que la definición apropiada de energía potencial gravitacional es
U = -
GmE m
r
(energía potencial gravitacional)
(13.9)
mE
r1
r2 La fuerza gravitacional
es conservativa:S el trabajo
efectuado por Fg no
depende de la trayectoria
seguida de r1 a r2.
410
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.11 Gráfica de energía potencial
gravitacional U para el sistema de la Tierra
(masa mE) y un astronauta (masa m)
contra la distancia r entre el astronauta
y el centro de la Tierra.
Tierra, masa mE
Astronauta, masa m
U
Energía potencial
Gm E m
gravitacional U 5 2 r
para el sistema de
la Tierra y el astronauta.
O
RE
GmEm
2
RE
r
U siempre es negativa,
pero se vuelve menos
negativa al aumentar la
distancia radial r.
La figura 13.11 muestra cómo la energía potencial gravitacional depende de la distancia r entre el cuerpo de masa m y el centro de la Tierra. Si el cuerpo se aleja de la
Tierra, r aumenta, la fuerza gravitacional efectúa trabajo negativo y U aumenta (se
vuelve menos negativa). Si el cuerpo “cae” hacia la Tierra, r disminuye, el trabajo
gravitacional es positivo y la energía potencial disminuye (se hace más negativa).
La ecuación (13.9) quizá parezca extraña porque indica que la energía potencial
gravitacional siempre es negativa; pero ya hemos visto valores negativos de U. Al usar
la fórmula U = mgy en la sección 7.1, vimos que U era negativa, siempre que el cuerpo de masa m estuviera en un valor de y menor que la altura arbitraria que elegimos
como y = 0; es decir, si el cuerpo y la Tierra estaban más cerca que cierta distancia
arbitraria. (Véase el ejemplo 7.2 de la sección 7.1). Al definir U con la ecuación (13.9),
elegimos que U es cero cuando el cuerpo de masa m está infinitamente lejos de la
Tierra (r = q). Al acercarse el cuerpo a la Tierra, la energía potencial gravitacional
disminuye y se hace negativa.
Si quisiéramos, podríamos tomar U = 0 en la superficie terrestre, donde r = RE, solo
con sumar la cantidad GmEm兾RE a la ecuación (13.9). Esto haría a U positiva cuando
r 7 RE. No lo haremos por dos razones: una, se complicaría la expresión para U;
y dos, el término sumado no afectaría la diferencia en energía potencial entre dos
puntos, que es la única cantidad físicamente significativa.
CUIDADO Fuerza gravitacional contra energía potencial gravitacional Asegúrese de no confundir las expresiones de fuerza gravitacional, ecuación (13.7), y de energía potencial gravitacional, ecuación 13.9. La fuerza Fr es proporcional a 1兾r2, y la energía potencial U es proporcional
a 1兾r.
Con la ecuación (13.9), ya podemos usar relaciones generales de energía para problemas donde debe incluirse el comportamiento según 1兾r2 de la fuerza gravitacional
de la Tierra. Si esta fuerza gravitacional es la única que efectúa trabajo sobre el cuerpo, la energía mecánica total del sistema es constante, es decir, se conserva. En el
ejemplo que sigue usaremos este principio para calcular la rapidez de escape, es decir, la rapidez que debe tener un cuerpo para escapar por completo de un planeta.
Ejemplo 13.5
“De la Tierra a la Luna”
En la novela de Julio Verne de 1865 con ese título, tres hombres viajaron a la Luna en un proyectil disparado desde un cañón gigante hundido
en el suelo de Florida. a) Calcule la rapidez inicial mínima necesaria
para disparar el proyectil verticalmente hasta una altura sobre la Tierra
igual al radio RE de esta. b) Calcule la rapidez inicial mínima que permitiría al proyectil escapar de la Tierra (la rapidez de escape). Desprecie la resistencia del aire, la rotación de la Tierra y la atracción
gravitacional de la Luna. El radio de la Tierra es RE = 6.38 * 106 m y
su masa es mE = 5.97 * 1024 kg.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Una vez que el proyectil sale del cañón,
solo la fuerza gravitacional (que es conservativa) efectúa trabajo, por
lo que podemos usar la conservación de energía mecánica para calcular la rapidez del proyectil a la que debe salir del cañón hasta que se
detenga a) a dos radios terrestres con respecto al centro del planeta, y
b) a una distancia infinita de la Tierra. La ecuación de conservación de
la energía es K1 + U1 = K2 + U2, donde la energía potencial U está
dada por la ecuación (13.9).
La figura 13.12 muestra los diagramas. El punto 1 está en r1 = RE,
donde el proyectil sale del cañón con rapidez v1 (la incógnita). El punto 2
13.12 Diagrama para este problema.
a)
b)
Proyectil, masa m
Proyectil, masa m
Tierra, masa mE
Tierra, masa mE
está donde el proyectil alcanza su altura máxima; en el inciso a) r2 = 2RE
(figura 13.12a); y en el inciso b) r2 = q (figura 13.12b). En ambos
casos v2 = 0 y K2 = 0. Sea m la masa del proyectil (con pasajeros).
13.4 Movimiento de satélites
EJECUTAR: a) Obtenemos v1 con la ecuación de conservación de la
energía
1
2
2 mv1
v1 =
K 1 + U1 = K 2 + U2
Gm Em
Gm Em
+ ab = 0 + ab
RE
2RE
GmE
B RE
=
16.67 * 10
-11
B
+ a-
N # m2 >kg 2 215.97
* 10
24
kg2
6.38 * 10 m
= 7900 m>s 1 = 28,400 km>h = 17,700 mi>h2
6
Gm E m
b = 0 + 0
RE
v1 =
216.67 * 10 -11 N # m2 >kg 2 215.97 * 10 24 kg2
B
6.38 * 10 6 m
= 1.12 * 10 m>s 1 = 40,200 km>h = 25,000 mi>h2
4
b) Ahora r2 = q, así que U2 = 0 (véase la figura 13.11). Como K2 = 0,
la energía mecánica total K2 + U2 es entonces cero. Nuevamente, obtenemos v1 de la ecuación de conservación de la energía:
1
2
2 mv1
=
411
2GmE
B RE
EVALUAR: El resultado del inciso b) no depende de la masa del proyectil ni de la dirección en que se lanza. Las naves modernas lanzadas
desde Florida deben alcanzar prácticamente la misma rapidez que en el
inciso b) para escapar de la Tierra; sin embargo, antes del lanzamiento
ya se están moviendo a 410 m兾s hacia el este por la rotación terrestre;
si el lanzamiento es hacia el este, la nave aprovecha esta contribución
“gratuita” a la rapidez de escape.
Generalizando nuestro resultado, la rapidez inicial v1 que un cuerpo necesita para escapar de la superficie de un cuerpo esférico de masa
M con radio R (despreciando la resistencia del aire) es v1 = 22GM>R
(rapidez de escape). Esta ecuación produce rapideces de escape de
5.02 * 103 m兾s para Marte, 5.95 * 104 m兾s para Júpiter y 6.18 *
105 m兾s para el Sol.
Más sobre la energía potencial gravitacional
Como nota final, demostremos que si estamos cerca de la superficie terrestre, la ecuación (13.9) se reduce a U = mgy que ya conocemos del capítulo 7. Primero rescribimos la ecuación (13.8) como:
Wgrav = Gm E m
r1 - r2
r1 r2
Si el cuerpo se mantiene cerca de la Tierra, en el denominador podemos sustituir r1
y r2 por RE, el radio de la Tierra, así que
Wgrav = Gm E m
r1 - r2
RE2
Según la ecuación (13.4), g = GmE兾RE2, por lo cual
Wgrav = mg1r1 - r22
Si sustituimos las r por y, esta es la ecuación (7.1) para el trabajo efectuado por una
fuerza gravitacional constante. En la sección 7.1 usamos esta ecuación para deducir la
ecuación (7.2), U = mgy, así que podemos considerar la ecuación (7.2) de la energía
potencial gravitacional como un caso especial de la ecuación (13.9) que es más general.
Evalúe su comprensión de la sección 13.3 ¿Un planeta puede tener la misma
gravedad superficial que la Tierra (es decir, el mismo valor de g en la superficie) y tener una
rapidez de escape mayor?
13.4
Movimiento de satélites
Los satélites artificiales que orbitan la Tierra son parte cotidiana de la tecnología moderna (figura 13.13). Pero, ¿cómo se mantienen en órbita y qué determina las propiedades
de sus órbitas? Podemos usar las leyes del movimiento y la ley de la gravitación de
Newton para obtener las respuestas. En la siguiente sección veremos cómo el movimiento de los planetas se puede analizar del mismo modo.
Para comenzar, recordemos lo dicho sobre el movimiento de proyectiles en la
sección 3.3. En el ejemplo 3.6, un motociclista se lanza horizontalmente del borde
de un acantilado en una trayectoria parabólica que termina en terreno plano en la
base del acantilado. Si sobrevive y repite el experimento aumentando su rapidez de
lanzamiento, caerá más lejos del punto de partida. Podemos imaginarlo lanzándose
con tal rapidez que la curvatura de la Tierra se hace significativa. Conforme cae, la
curvatura de la Tierra se aleja más de él. Si la rapidez del motociclista es suficiente,
y si su punto de lanzamiento es tan alto que pueda evitar las montañas, podría seguir dando vueltas a la Tierra, sin tocar jamás el suelo.
13.13 Con una longitud de 13.2 m y una
masa de 11,000 kg, el telescopio espacial
Hubble se cuenta entre los satélites más
grandes que se han puesto en órbita.
412
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.14 Trayectorias de un proyectil lanzado
desde una gran altura (ignorando la resistencia del aire). Las órbitas 1 y 2 se completarían
como se muestra, si la Tierra fuera una masa
puntual en C. (Esta ilustración se basa en
una de los Principia de Isaac Newton).
A
B
7
1
6
2
3
Un proyectil se lanza
de A a B.
Trayectorias 1 a
7 muestran el efecto
de la rapidez inicial
creciente.
4
RE
5
C
r
La figura 13.14 muestra una variación de este tema. Lanzamos un proyectil del
punto A en la dirección AB, tangente a la superficie terrestre. Las trayectorias 1 a 7
muestran el efecto de aumentar la rapidez inicial. En las trayectorias 3 a 5, el proyectil no choca contra la Tierra y se convierte en su satélite. Si no hay una fuerza que
frene al proyectil, su rapidez al volver al punto A es la que tenía inicialmente, y el
movimiento se repite indefinidamente.
Las trayectorias 1 a 5 terminan donde comenzaron y se denominan órbitas cerradas. Todas las órbitas cerradas son elipses o segmentos de elipses; la trayectoria 4 es
un círculo, un caso especial de la elipse. (Analizaremos las propiedades de una elipse en
la sección 13.5). Las trayectorias 6 y 7 son órbitas abiertas; el proyectil nunca vuelve a su punto de partida y se aleja cada vez más de la Tierra.
PhET: My Solar System
ActivPhysics 4.6: Satellites Orbit
Satélites: Órbitas circulares
S
13.15 La fuerza Fg debida a la atracción
gravitacional de la Tierra proporciona la
aceleración centrípeta que mantiene a un
satélite en órbita. Compare esta figura
con la 5.28.
S
v
r
S
S
a
Fg
S
v
S
S
Fg
a
?
RE
S
Fg
Una órbita circular, como la trayectoria 4 de la figura 13.14, es el caso más sencillo.
También es un caso importante, pues muchos satélites artificiales tienen órbitas casi
circulares, y las órbitas de los planetas alrededor del Sol también son aproximadamente circulares. La única fuerza que actúa sobre un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra es la atracción gravitacional terrestre, dirigida hacia el centro de
la Tierra y, por lo tanto, hacia el centro de la órbita (figura 13.15). Como vimos en la
sección 5.4, esto implica que el satélite está en movimiento circular uniforme y su
rapidez es constante. El satélite no cae hacia la Tierra; más bien, cae constantemente
alrededor de la Tierra. En una órbita circular, la rapidez es exactamente la necesaria
para mantener constante la distancia entre el satélite y el centro de la Tierra.
Veamos cómo calcular la rapidez constante v de un satélite en órbita circular.
El radio de la órbita es r, medido desde el centro de la Tierra; la aceleración del
satélite tiene magnitud arad = v2兾r y siempre está dirigida hacia el centro del círculo.
Por la ley de la gravitación, la fuerza neta (la gravitacional) que actúa sobre el satélite
de masa m tiene magnitud Fg = GmSEm兾r2 y tiene la misma dirección de la aceleraS
ción. La segunda ley de Newton 1gF ⴝ ma 2 nos dice entonces que
S
a
S
v
El satélite está en órbita circular: su
S
aceleración a es siempre perpendicular a
S
su velocidad v, por ello, la rapidez v
es constante.
Gm E m
r2
=
mv2
r
Despejando v, tenemos que
v =
GmE
B r
(órbita circular)
(13.10)
Esta relación señala que no podemos elegir el radio r de la órbita y la rapidez v independientemente; para un radio r dado, la rapidez v de la órbita circular ya está predeterminada.
13.4 Movimiento de satélites
La masa m del satélite no aparece en la ecuación (13.10), lo cual demuestra que el
movimiento del satélite no depende de su masa. Si pudiéramos partir un satélite a la mitad sin alterar su rapidez, cada mitad seguiría con el movimiento original. Un astronauta
a bordo de un transbordador espacial también es como un satélite de la Tierra, retenido
por la atracción gravitacional en la misma órbita que la nave. El astronauta tiene la
misma velocidad y aceleración que la nave, así que nada lo empuja contra el piso o las
paredes de la nave. Se encuentra en un estado de ingravidez aparente, como en un elevador en caída libre; véase la explicación que sigue al ejemplo 5.9 en la sección 5.2.
(La ingravidez verdadera solo se lograría si el astronauta estuviera infinitamente lejos
de cualquier otra masa, de modo que la fuerza gravitacional sobre él fuera cero). De
hecho, cada parte de su cuerpo está aparentemente ingrávida; él no siente que algo empuje su estómago contra los intestinos ni la cabeza contra los hombros (figura 13.16).
La ingravidez aparente no se da solo en órbitas circulares; existe siempre que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre una nave espacial; por lo tanto, se experimenta
en órbitas de cualquier forma, incluidas las abiertas como las 6 y 7 de la figura 13.14.
Podemos deducir una relación entre el radio r de una órbita circular y el periodo T,
la duración de una revolución. La rapidez v es la distancia 2pr recorrida en una revolución, dividida entre el periodo:
v =
2pr
T
413
13.16 Estos astronautas del transbordador
espacial se encuentran en un estado de
ingravidez aparente. ¿Quiénes están
de pie y quiénes de cabeza?
(13.11)
Obtenemos una expresión para T si despejamos T de la ecuación (13.11) y sustituimos v de la ecuación (13.10):
T =
2pr
r
2pr3>2
= 2pr
=
v
A GmE
2GmE
(órbita circular)
(13.12)
Las ecuaciones (13.10) y (13.12) indican que las órbitas más grandes corresponden a
rapideces más bajas y a periodos más largos. Como un ejemplo, la Estación Espacial
Internacional orbita la Tierra a 6800 km del centro de nuestro planeta (400 km arriba
de la superficie de la Tierra) con una rapidez orbital de 7.7 km兾s y un periodo orbital de
93 minutos. La Luna gira alrededor de la Tierra en una órbita mucho más grande de radio igual a 384,000 km, y por lo tanto tiene una rapidez orbital menor (1.0 km兾s) y un
periodo orbital mucho más prolongado (27.3 días).
Es interesante comparar la ecuación (13.10) con el cálculo de la rapidez de escape
en el ejemplo 13.5. Vemos que la rapidez de escape de un cuerpo esférico con radio R es
12 veces mayor que la rapidez de un satélite en una órbita circular con ese radio. Si
nuestra nave está en órbita circular alrededor de cualquier planeta, debemos multiplicar nuestra rapidez por 12 para escapar al infinito, sin importar la masa del planeta.
Puesto que la rapidez v en una órbita circular está determinada por la ecuación
(13.10) para un radio orbital r dado, la energía mecánica total E = K + U también está
predeterminada. Usando las ecuaciones (13.9) y (13.10), tenemos
E = K + U = 12 mv2 + a = -
GmE m
2r
Gm E m
Gm E
Gm E m
b = 12 ma
b r
r
r
(órbita circular)
13.17 Los dos satélites pequeños de
Plutón fueron descubiertos en 2005.
De acuerdo con las ecuaciones (13.10)
y (13.12), el satélite de la órbita más grande
tiene una rapidez orbital menor y un periodo
orbital más prolongado que el satélite en
la órbita más pequeña.
(13.13)
La energía mecánica total en una órbita circular es negativa e igual a la mitad de la energía potencial. Aumentar el radio orbital r implica incrementar la energía mecánica (es
decir, E se hace menos negativa). Si el satélite está en una órbita relativamente baja y
toca las orillas de la atmósfera, la energía mecánica disminuirá a causa del trabajo negativo efectuado por la resistencia del aire; en consecuencia, el radio orbital disminuirá
hasta que el satélite caiga a tierra o se queme en la atmósfera.
Hemos hablado casi exclusivamente de satélites terrestres; no obstante, podemos aplicar el mismo análisis al movimiento circular de cualquier cuerpo sometido a la atracción
gravitacional de un cuerpo estacionario. Otros ejemplos son nuestra Luna y las lunas de
otros planetas (figura 13.17).
Plutón
Caronte: satélite interior
grande de Plutón
Dos satélites exteriores
pequeños de Plutón
414
CAPÍTULO 13 Gravitación
Ejemplo 13.6
Una órbita de satélite
Suponga que desea poner un satélite de 1000 kg en una órbita circular
a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre. a) ¿Qué rapidez,
periodo y aceleración radial debe tener? b) ¿Cuánto trabajo se requiere
para poner el satélite en órbita? c) ¿Cuánto trabajo adicional se necesita para que el satélite escape de la Tierra? El radio y la masa de la
Tierra se dan en el ejemplo 13.5 (sección 13.3).
SOLUCIÓN
E2 = = -
IDENTIFICAR y PLANTEAR: El satélite tendrá una órbita circular, así
que podemos usar las ecuaciones que dedujimos en esta sección. En
el inciso a) primero determinamos el radio r de la órbita del satélite a
partir de su altitud. Luego calculamos la rapidez v y el periodo T
usando las ecuaciones (13.10) y (13.12), y la aceleración con la fórmula arad = v2兾r. En los incisos b) y c), el trabajo requerido es la diferencia entre las energías mecánicas inicial y final que, en el caso de una
órbita circular, está dada por la ecuación (13.13).
EJECUTAR: a) El radio de la órbita del satélite es r = 6380 km +
300 km = 6680 km = 6.68 * 106 m. De acuerdo con la ecuación
(13.10), la rapidez orbital es
GmE
16.67 * 10 -11 N # m2 >kg 2 215.97 * 10 24 kg2
=
B r
B
6.68 * 10 6 m
= 7720 m>s
v =
Calculamos el periodo orbital con la ecuación (13.12):
2p16.68 * 10 6 m2
2pr
=
= 5440 s = 90.6 min
T =
v
7720 m>s
Por último, la aceleración radial es
a rad =
b) El trabajo requerido es la diferencia entre E2, la energía mecánica total cuando el satélite está en órbita, y E1, la energía mecánica
total cuando el satélite estaba en reposo en su plataforma de lanzamiento. Según la ecuación (13.13), la energía en órbita es
17720 m>s22
v2
= 8.92 m>s2
=
r
6.68 * 10 6 m
Este es el valor de g a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre; es aproximadamente 10% menor que en la superficie.
Gm Em
2r
16.67 * 10 -11 N # m2>kg2215.97 * 10 24 kg211000 kg2
216.68 * 10 6 m2
= - 2.98 * 10 10 J
La energía cinética del satélite es cero en la plataforma de lanzamiento
(r = RE), así que:
E 1 = K 1 + U1 = 0 + a = -
Gm Em
b
RE
16.67 * 10 -11 N # m2>kg 2215.97 * 10 24 kg211000 kg2
6.38 * 10 6 m
= - 6.24 * 10 10 J
Por lo tanto, el trabajo requerido es
Wrequerido = E2 - E1 = 1 - 2.98 * 10 10 J2 - 1 -6.24 * 10 10 J2
= 3.26 * 10 10 J
c) En el inciso b) del ejemplo 13.5, vimos que, para que un satélite
escape al infinito, la energía mecánica total mínima debe ser cero.
Aquí, la energía mecánica total en la órbita circular es E2 = -2.98 *
1010 J; por lo que para llevar esto a cero, tendríamos que efectuar un
trabajo de 2.98 * 1010 J sobre el satélite, presumiblemente por los
motores.
EVALUAR: En el inciso b), despreciamos la energía cinética inicial que
el satélite tenía por la rotación terrestre (cuando aún estaba en la plataforma de lanzamiento). ¿Cuánta diferencia implica esto? (Véase el
ejemplo 13.5, donde se incluyen datos útiles).
Evalúe su comprensión de la sección 13.4 Imagine que una nave espacial
está en una órbita circular a baja altitud alrededor de la Tierra. La resistencia del aire de
las regiones exteriores de la atmósfera efectúa trabajo negativo sobre la nave, haciendo
que el radio orbital disminuya ligeramente. ¿La rapidez de la nave i. permanece igual,
ii. aumenta o iii. disminuye?
Las leyes de Kepler y el movimiento
de los planetas
13.5
La palabra planeta viene de un vocablo griego que significa “vagabundo”, y efectivamente, los planetas cambian continuamente su posición en el cielo en relación con el
fondo estrellado. Uno de los grandes logros intelectuales de los siglos XVI y XVII fue
darse cuenta de que la Tierra es un planeta, que todos los planetas están en órbita alrededor del Sol y que los movimientos aparentes de los planetas vistos desde la Tierra
pueden servir para determinar con precisión sus órbitas.
Los primeros dos descubrimientos fueron publicados por Nicolás Copérnico en
Polonia en 1543. La deducción de la naturaleza de las órbitas planetarias entre 1601 y
1619 corrió a cargo del astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler, utilizando
un voluminoso conjunto de datos precisos acerca de los movimientos planetarios aparentes compilado por su maestro, el astrónomo danés Tycho Brahe. Por medio de en-
13.5 Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas
sayo y error, Kepler descubrió tres leyes empíricas que describían con exactitud los
movimientos de los planetas:
1. Cada planeta se mueve en una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos
de la elipse.
2. Una línea del Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Los periodos de los planetas son proporcionales a las longitudes del eje
3
mayor de sus órbitas elevadas a la potencia 2 .
13.18 Geometría de una elipse. La suma
de las distancias SP y S9P es la misma para
todos los puntos de la curva. Se exageraron
los tamaños del Sol (S) y del planeta (P)
por claridad.
Un planeta P describe una órbita elíptica.
El Sol S está en
un foco de la elipse.
y
Perihelio
Kepler no sabía por qué los planetas se movían así. Tres generaciones después, cuando
Newton dirigió su atención al movimiento planetario, descubrió que las leyes de
Kepler pueden deducirse; son consecuencia de las leyes de Newton del movimiento y
de la ley de la gravitación. Veamos de dónde surge cada una de las leyes de Kepler.
P Afelio
S
S⬘
x
O
ea
Primera ley de Kepler
ea
a
a
Consideremos primero las órbitas elípticas descritas en la primera ley de Kepler. La
figura 13.18 muestra la geometría de una elipse. La dimensión más larga es el eje mayor,
siendo “a” la mitad de su longitud; esta distancia se denomina semieje mayor. La
suma de las distancias de S a P y de S9 a P es la misma para todos los puntos de la curva. S y S9 son los focos. El Sol está en S, y el planeta está en P; consideramos a ambos
como puntos porque su tamaño es muy pequeño en comparación con la distancia
entre ellos. No hay nada en el otro foco S9.
La distancia de cada foco al centro de la elipse es ea, donde e es un número adimensional entre 0 y 1 llamado excentricidad. Si e = 0, la curva en realidad es un círculo.
Las órbitas reales de los planetas son casi circulares; sus excentricidades varían entre
0.007 para Venus a 0.206 para Mercurio. (La órbita de la Tierra tiene e = 0.017). El
punto de la órbita más cercano al Sol es el perihelio; y el más lejano, el afelio.
Newton logró demostrar que, para un cuerpo sobre el que actúa una fuerza de atracción proporcional a 1兾r2, las únicas órbitas cerradas posibles son un círculo o una
elipse; también demostró que las órbitas abiertas (las trayectorias 6 y 7 en la figura
13.14) deben ser parábolas o hipérbolas. Estos resultados pueden deducirse aplicando
directamente las leyes de Newton del movimiento y la ley de la gravitación, junto con
muchas ecuaciones diferenciales que estamos listos para enfrentar.
415
No hay nada
en el otro foco.
13.19 a) El planeta (P) se mueve
alrededor del Sol (S) en una órbita elíptica.
b) En un tiempo dt, la línea SP barre un área
dA = 12 1r du2r = 12 r 2 du. c) La rapidez del
planeta varía de modo que la línea SP barre
la misma área A en un tiempo dado t, sea cual
fuere la posición del planeta en su órbita.
S
a)
v
P
r
Segunda ley de Kepler
S
SP 5 línea del Sol
(S) al planeta (P)
La figura 13.19 muestra la segunda ley de Kepler. En un lapso de tiempo pequeño dt,
la línea del Sol S al planeta P describe un ángulo du. El área barrida es el triángulo
coloreado de altura r, base r du y área dA = 12 r2 du en la figura 13.19b. La rapidez con
la que se barre el área, dA兾dt, se denomina velocidad de sector:
dA
du
= 12 r 2
dt
dt
(13.14)
La esencia de la segunda ley de Kepler es que la velocidad de sector tiene el mismo
valor en todos los puntos de la órbita. Cuando el planeta está cerca del Sol, r es
pequeña y du兾dt es grande; cuando el planeta está lejos del Sol, r es grande y du兾dt
es pequeña.
Para ver por qué la segunda ley de Kepler es consecuencia de las leyes de Newton,
S
expresamos dA兾dt en términos del vector velocidad v del planeta P. La componente
S
de v perpendicular a la línea radial es v› = v sen f. Según la figura 13.19b, el desplazamiento en la dirección de v› durante el tiempo dt es r du, de modo que tenemos
v› = r du兾dt. Usando esta relación en la ecuación (13.14), obtenemos
dA
= 12 rv sen f
dt
v' 5 v sen f
b)
S
f
du
S
r
P
dA 5 área barrida por la
línea SP en el tiempo dt
c)
S
v1
A
(velocidad de sector)
r du
v
A
La línea SP barre áreas iguales
en tiempos iguales.
(13.15)
S
v2
416
CAPÍTULO 13 Gravitación
S
S
De esta manera, rv sen f es la magnitud del producto vectorial r : v, que es 1兾m veS
S
S
ces el momento angular L ⴝ r : mv del planeta con respecto al Sol. Tenemos,
entonces,
dA
L
1 S
S
=
ƒ r : mv ƒ =
dt
2m
2m
(13.16)
Por lo tanto, la segunda ley de Kepler establece que la velocidad de sector es constante, ¡e implica que el momento angular es constante!
Es fácil saber por qué el momento angularSdel planeta debe ser constante. Según
la ecuación (10.26),
la rapidez de cambio de L es igual a la torca debida a la fuerza
S
gravitacional F que actúa sobre el planeta:
S
S
dL
S
S
ⴝTⴝ r : F
dt
S
Aplicación Riesgos biológicos
de un viaje interplanetario
Una nave espacial enviada de la Tierra a otro
planeta usa la mayor parte de su jornada en
realizar un rodeo a lo largo de una órbita
elíptica, con el Sol en uno de sus focos. Los
cohetes se usan solo al principio y al final del
viaje, e incluso el viaje a un planeta cercano
como Marte toma varios meses. Durante
su viaje, la nave espacial está expuesta a los
rayos cósmicos, la radiación que emerge de
otros puntos de nuestra galaxia. (En la Tierra,
estamos protegidos de esta radiación por el
campo magnético de nuestro planeta, como
se describirá en el capítulo 27, volumen 2).
Esto no es un problema para una nave espacial robótica, pero representa un problema
médico serio para los astronautas que realicen
este viaje.
S
En nuestra situación, r es el vector del Sol al planeta, y la fuerza F está dirigida del
planeta al Sol. Por loStanto, estos vectores siempre
están en la misma línea y su proS
S
ducto vectorial r : F es cero. De ahí que dL>dt ⴝ 0. Esta conclusión no depende
del comportamiento según 1兾r2 de la fuerza; el momento angular se conserva para
cualquier fuerza que siempre actúe sobre la línea que une la partícula a un punto fijo,
denominada fuerza central. (La primera y la tercera leyes de Kepler solo son válidas
para fuerzas 1兾r 2).
La conservaciónSdel momento angular también explica por qué la órbita está en
S
S
S
un plano. ElSvector L ⴝ r : mv siempre es perpendicular al plano de los vectores r
S
S
S
y v; como L es constante en magnitud y dirección, r y v siempre están en el mismo
plano, que es el plano de la órbita del planeta.
Tercera ley de Kepler
Ya dedujimos la tercera ley de Kepler para el caso específico de órbitas circulares. La
ecuación (13.12) indica que el periodo de un satélite o planeta en una órbita circular
3
es proporcional al radio de la órbita elevado a la potencia 2 . Newton logró demostrar
que esta misma relación se cumple para una órbita elíptica, sustituyendo el radio r
por el semieje mayor a:
T =
2pa3>2
2GmS
(órbita elíptica alrededor del Sol)
(13.17)
Como el planeta está en órbita alrededor del Sol, no de la Tierra, en la ecuación (13.12)
sustituimos la masa de la Tierra ME por la masa del Sol mS. Observe que el periodo no
depende de la excentricidad e. Un asteroide en una órbita elíptica alargada con semieje mayor a tiene el mismo periodo orbital que un planeta en una órbita circular de
radio a. La diferencia clave es que la rapidez del asteroide varía a lo largo de su órbita
elíptica (figura 13.19c), mientras que la rapidez del planeta es constante en su órbita circular.
Ejemplo conceptual 13.7
Rapideces orbitales
¿En qué punto de una órbita elíptica (figura 13.19) un planeta tiene la
mayor rapidez? ¿Y la menor?
SOLUCIÓN
La energía mecánica se conserva al desplazarse el planeta en su órbita. La energía cinética del planeta K = 12 mv2 es máxima cuando la energía potencial U = -GmSm兾r es mínima (es decir, la más negativa;
véase la figura 13.11), lo cual se da cuando es mínima la distancia r
entre el Sol y el planeta. Por lo tanto, la rapidez v es máxima en el perihelio. De manera análoga, K es mínima cuando r es máxima, de modo
que la rapidez es mínima en el afelio.
Aquí podemos aprovechar lo que nos dice la intuición acerca de los
cuerpos que caen. Al caer el planeta hacia el Sol, aumenta su rapidez,
y su rapidez es máxima cuando está más cerca del Sol. Por el mismo
razonamiento, el planeta se frena al alejarse del Sol, y su rapidez es
mínima en el afelio.
13.5 Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas
Ejemplo 13.8
Tercera ley de Kepler
El asteroide Palas tiene un periodo orbital de 4.62 años y una excentricidad orbital de 0.233. Calcule el semieje mayor de su órbita.
EJECUTAR: De acuerdo la ecuación (13.17), a3兾2 = [(GmS)1兾2T ]兾2p.
Para despejar a, elevamos ambos lados de esta expresión a la potencia
2
3 y luego sustituimos los valores de G, mS y T:
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este ejemplo utiliza la tercera ley de
Kepler, la cual relaciona el periodo T con el semieje mayor a para
un objeto (como un asteroide) en órbita. Usamos la ecuación (13.17)
para determinar a; en el apéndice F observamos que mS = 1.99 *
1030 kg, y el factor de conversión del apéndice E da T = (4.62 años)
(3.156 * 107 s兾año) = 1.46 * 108 s. Observe que no necesitamos el
valor de la excentricidad.
Ejemplo 13.9
a = a
Gm ST 2
4p2
b
1>3
= 4.15 * 10 11 m
(Realice el cálculo para comprobarlo).
EVALUAR: Nuestro resultado es intermedio entre los semiejes mayores
de Marte y Júpiter (véase el apéndice F). Efectivamente, la mayoría de
los asteroides conocidos se localizan en un “cinturón de asteroides”
entre las órbitas de esos dos planetas.
El cometa Halley
El cometa Halley se desplaza en una órbita elíptica alargada alrededor
del Sol (figura 13.20). Sus distancias del Sol al perihelio y al afelio son
8.75 * 107 km y 5.26 * 109 km, respectivamente. Calcule el semieje
mayor, la excentricidad y el periodo.
La figura 13.19 también indica que la distancia entre el cometa y el
Sol en el perihelio es a - ea = a(1 - e). Esta distancia es 8.75 * 107 km,
por lo que
e = 1 -
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Vamos a calcular el semieje mayor a, la
excentricidad e y el periodo de la órbita T. Podemos usar la figura
13.18 para calcular a y e a partir de las distancias al perihelio y al afelio. Una vez que conozcamos el valor de a, podremos obtener T con la
tercera ley de Kepler, ecuación (13.17).
EJECUTAR: A partir de la figura 13.18, vemos que la longitud del eje
mayor 2a es la suma de las distancias entre el cometa y el Sol en el
perihelio y en el afelio. Así que
a =
417
18.75 * 10 7 km2 + 15.26 * 10 9 km2
= 2.67 * 10 9 km
2
8.75 * 10 7 km
8.75 * 10 7 km
= 0.967
= 1 a
2.67 * 10 9 km
Según la ecuación (13.17), el periodo es
T =
2pa3>2
2GmS
=
2p12.67 * 10 12 m23>2
216.67 * 10 -11 N # m2 >kg 2 211.99 * 10 30 kg2
= 2.38 * 10 9 s = 75.5 años
EVALUAR: La excentricidad es casi 1, así que la órbita del cometa es
muy alargada (véase la figura 13.20a). El cometa Halley estuvo en su
perihelio a principios de 1986 (figura 13.20b); llegará otra vez al perihelio un periodo después, en el año 2061.
13.20 a) Órbita del cometa Halley. b) El cometa en 1986. En el corazón del cometa hay un cuerpo helado, llamado núcleo, de unos 10 km de
diámetro. Cuando el cometa se acerca al Sol, el calor de este hace que el núcleo se evapore parcialmente. El material evaporado forma la cauda,
que llega a medir decenas de millones de kilómetros de longitud.
a)
b)
Órbitas planetarias:
Plutón
Neptuno
Urano
Saturno
Júpiter
1977
1948
2024
1983 1985
Órbita del cometa Halley
1996
Marte
Tierra
1989
1987
Movimientos planetarios y el centro de masa
Hemos supuesto que, mientras un planeta o un cometa se mueven alrededor del Sol,
este permanece absolutamente estacionario. Desde luego, esto no es correcto; como el
Sol ejerce una fuerza gravitacional sobre el planeta, este ejerce una fuerza gravita-
418
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.21 Una estrella y su planeta están en
órbita alrededor de su centro de masa común.
Órbita del planeta alrededor del centro de masa
Centro de masa del
sistema planeta-estrella
vS
Planeta
cm
Estrella
Órbita de
la estrella
La estrella tiene una masa
mucho mayor y está mucho
más cerca del centro de masa.
vP
El planeta y la estrella están siempre
en lados opuestos del centro de masa.
13.22 Cálculo de la energía potencial
gravitacional de interacción entre una masa
puntual m afuera de un cascarón esférico y
un anillo en la superficie del cascarón.
cional sobre el Sol de la misma magnitud pero en sentido opuesto. De hecho, tanto el
Sol como el planeta giran alrededor de su centro de masa común (figura 13.21). No
obstante, nuestro error al despreciar este efecto es pequeño; la masa del Sol es unas
750 veces mayor que la masa combinada de todos los planetas, de modo que el centro
de masa del Sistema Solar no está lejos del centro del Sol. Resulta interesante que los
astrónomos hayan aprovechado este efecto para detectar la presencia de planetas en
órbita alrededor de otras estrellas. Los telescopios más sensibles pueden detectar el
“bamboleo” aparente de una estrella en órbita alrededor del centro de masa común de
la estrella y un planeta acompañante que no puede verse. (Los planetas son demasiado
borrosos para observarse directamente). Analizando los “bamboleos”, los astrónomos
han descubierto planetas en órbita alrededor de más de un centenar de estrellas.
Los astrónomos modernos usan a diario los resultados del análisis de los movimientos planetarios efectuado por Newton. No obstante, el resultado más notable de la labor de Newton es que los movimientos de los cuerpos celestes obedecen las mismas
leyes del movimiento que los cuerpos en la Tierra. Esta síntesis newtoniana, como se
ha llamado, es uno de los grandes principios unificadores de la ciencia y afecta profundamente la forma en que vemos el Universo: no como un reino de misterio impenetrable, sino como una extensión directa del mundo cotidiano, sujeta al estudio y
cálculo científicos.
Evalúe su comprensión de la sección 13.5 La órbita del cometa X tiene
un semieje mayor cuatro veces más grande que el semieje mayor del cometa Y. Calcule
la razón del periodo orbital de X con respecto al periodo orbital de Y. i. 2; ii. 4; iii. 8;
iv. 16; v. 32; vi. 64.
a) Geometría de la situación
P
m
13.6
s
R df
dA 5 (2pR sen f)(R df)
dM 5
r
R sen f
R
f
df
O
M
b) La distancia s es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo con catetos
(r 2 R cos f) and R sen f.
P
r 2 R cos f
r
R sen f
R
f
Hemos enunciado, sin demostrarlo, que la interacción gravitacional entre dos distribuciones de masa esféricamente simétricas es la misma que sería si la masa de cada
una estuviera concentrada en su centro. Ya estamos en condiciones de demostrarlo.
Newton buscó varios años una demostración, y aplazó la publicación de la ley de la
gravitación hasta que la encontró.
Veamos lo que haremos. En lugar de comenzar con dos masas esféricamente simétricas, atacaremos el problema más sencillo de una masa puntual m que interactúa
con un cascarón esférico delgado con masa total M. Demostraremos que, si m está
afuera de la esfera, la energía potencial asociada a esta interacción gravitacional es
la que sería si M estuviera concentrada en el centro de la esfera. En la sección 7.4
vimos que la fuerza es la derivada negativa de la energía potencial, así que la fuerza
que actúa sobre m es la misma que para la masa puntual M. Toda distribución de masa
esféricamente simétrica puede considerarse formada por muchos cascarones esféricos
concéntricos, así que nuestro resultado será válido para cualquier M esféricamente
simétrica.
Una masa puntual afuera de un cascarón esférico
m
s
MdA
A
Distribuciones esféricas de masa
Comenzamos considerando un anillo en la superficie del cascarón (figura 13.22a),
con centro en la línea que va del centro del cascarón a m. Hacemos esto porque todas
las partículas del anillo están a la misma distancia s de la masa puntual m. De acuerdo
con la ecuación (13.9), la energía potencial de la interacción entre la Tierra (masa mE)
y una masa puntual m separada una distancia r es U = -GmEm兾r. Cambiando la notación en esta expresión, vemos que la energía potencial de interacción entre la masa
puntual m y una partícula de masa mi del anillo está dada por
R cos f
O
Ui = -
Gmm i
s
13.6 Distribuciones esféricas de masa
Para calcular la energía potencial de interacción entre m y el anillo entero de masa
dM = g i m i , sumamos esta expresión de Ui para todas las partículas del anillo. Llamamos a esto energía potencial dU, y vemos que
dU = a Ui = a a i
i
Gmm i
Gm
Gm dM
mi = b = s
s a
s
i
(13.18)
Para continuar, necesitamos conocer la masa dM del anillo, que podemos calcular con
un poco de geometría. El radio del cascarón es R, así que, en términos del ángulo f
de la figura, el radio del anillo es R sen f, y su circunferencia es 2pR sen f. La
anchura del anillo es R df, y su área dA es aproximadamente su anchura multiplicada
por su circunferencia:
dA = 2pR 2 sen f df
La razón entre la masa dM del anillo y la masa total M del cascarón es la misma que
hay entre el área dA del anillo y el área total A = 4pR2 del cascarón:
2pR2 sen f df
dM
=
=
M
4pR2
1
2
sen f df
(13.19)
Ahora despejamos dM de esta ecuación y sustituimos el resultado en la ecuación
(13.18) para obtener la energía potencial de interacción entre la masa puntual m y el
anillo:
dU = -
GMm sen f df
2s
(13.20)
La energía potencial de interacción entre la masa puntual y el cascarón es la integral de la ecuación (13.20) para toda la esfera, desde f = 0 hasta f = p (¡no 2p!) y
desde s = r - R hasta s = r + R. Para realizar la integración, debemos expresar el integrando en términos de una sola variable; elegimos s. Para expresar f y df en términos de s necesitamos otro poco de geometría. En la figura 13.22b es evidente que s es
la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos (r - R cos f) y R sen f, así que,
por el teorema de Pitágoras:
s2 = 1r - R cos f22 + 1R sen f22
= r 2 - 2rR cos f + R 2
(13.21)
Diferenciamos ambos miembros:
2s ds = 2rR sen f df
Ahora dividimos esto entre 2rR y sustituimos el resultado en la ecuación (13.20):
dU = -
GMm s ds
GMm
= ds
2s rR
2rR
(13.22)
Ahora podemos integrar la ecuación (13.22), recordando que s varía desde r - R hasta
r + R:
r+R
GMm
GMm
ds = 31r + R2 - 1r - R24
2rR Lr-R
2rR
(13.23)
(masa puntual m afuera de un cascarón esférico M)
(13.24)
U = Por último, tenemos
U = -
GMm
r
Esto es igual a la energía potencial de dos masas puntuales m y M a una distancia r, así
que hemos demostrado que la energía potencial gravitacional del cascarón esférico M
y la masa puntual m a cualquier distancia r es la misma que sería si fueran masas puntuales. Como la fuerza está dada por Fr = -dU兾dr, la fuerza es la misma.
419
420
CAPÍTULO 13 Gravitación
Fuerza gravitacional entre distribuciones
esféricas de masa
Cualquier distribución esféricamente simétrica de masa puede considerarse como una
combinación de cascarones esféricos concéntricos. Por el principio de superposición
de las fuerzas, lo que es válido para un cascarón es válido para la combinación. Por lo
tanto, hemos demostrado la mitad de lo que nos propusimos: que la interacción gravitacional entre una distribución esféricamente simétrica de masa y una masa puntual
es la misma que sería si toda la masa de la distribución esféricamente simétrica estuviera concentrada en su centro.
La otra mitad consiste en demostrar que dos distribuciones esféricamente simétricas
de masa interactúan como si fueran puntos. Esto es más fácil. En la figura 13.22a, las
fuerzas que los dos cuerpos ejercen entre sí son un par acción-reacción, y cumplen la
tercera ley de Newton. De esta manera, hemos demostrado que la fuerza que m ejerce
sobre la esfera M es la que ejercería si M fuera un punto. Pero si ahora sustituimos m
por una distribución esféricamente simétrica de masa centrada en la posición de m, la
fuerza gravitacional que actúa sobre cualquier parte de M es la misma que antes, y
lo mismo se cumple para la fuerza total. Esto completa la demostración.
Masa puntual dentro de un cascarón esférico
13.23 Si una masa puntual m está dentro
de un cascarón esférico uniforme de masa M,
la energía potencial es la misma sin importar
en qué punto del interior del cascarón esté la
masa puntual. La fuerza de la interacción
gravitacional mutua de las masas es cero.
P
Supusimos al principio que la masa puntual m estaba afuera del cascarón esférico, así
que nuestra demostración solo es válida si m está afuera de una distribución esféricamente simétrica de masa. Si m está adentro de un cascarón esférico, la geometría es la
que se muestra en la figura 13.23. El análisis es el mismo; las ecuaciones (13.18) a
(13.22) siguen siendo válidas; sin embargo, en la ecuación (13.23) los límites de integración deben cambiarse a R - r y R + r. De esta manera,
R+r
m
R df
s
R sen f
R
r
GMm
GMm
ds = 31R + r2 - 1R - r24
2rR LR-r
2rR
(13.25)
y el resultado final es
f
df
O
M
Ejemplo 13.10
U = -
U = -
GMm
R
(masa puntual m dentro de un cascarón esférico M)
(13.26)
Compare este resultado con la ecuación (13.24): en lugar de tener r, la distancia entre
m y el centro de M, en el denominador, tenemos R, el radio del cascarón. Esto implica
que en la ecuación (13.26) U no depende de r y, por ello, tiene el mismo valor en todo
el interior del cascarón. Si m se mueve dentro del cascarón, no se efectúa trabajo sobre ella, por lo que la fuerza que actúa sobre m en cualquier punto dentro del cascarón
debe ser cero.
En términos más generales, en cualquier punto del interior de una distribución esféricamente simétrica de masa (no necesariamente hueca), a una distancia r del centro,
la fuerza gravitacional que actúa sobre una masa puntual m es la misma que existiría
si elimináramos toda la masa situada a una distancia mayor que r del centro y concentráramos la masa restante en el centro.
“Viaje al centro de la Tierra”
Suponga que usted perfora un agujero que atraviesa la Tierra siguiendo
un diámetro y deja caer un saco de correo por él. Deduzca una expresión para la fuerza gravitacional Fg que actúa sobre el saco en función
de su distancia al centro de la Tierra. Suponga que la densidad de la
Tierra es uniforme (un modelo no muy realista; véase la figura 13.9).
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Partiendo de nuestro análisis anterior, el
valor de Fg a una distancia r del centro de la Tierra está determinado
solo por la masa M dentro de una región esférica de radio r (figura 13.24).
Por lo que Fg es la misma que si toda la masa dentro del radio r estuviera concentrada en el centro de la Tierra. La masa de una esfera uniforme es proporcional al volumen de la esfera, que es 43 pr3 para la
esfera de radio r y 43 pRE3 para toda la Tierra.
EJECUTAR: La razón de la masa M de la esfera de radio r y la masa
terrestre, mE, es
4
3
M
r3
3 pr
= 4
=
3
mE
RE3
3 pRE
de modo que
M = mE
r3
RE3
13.7 Peso aparente y rotación terrestre
La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre m está dada por
Fg =
GMm
r
2
Gm
=
r
2
amE
r3
RE3
Gm Em
b =
RE3
421
13.24 Agujero por el centro de la Tierra (la cual suponemos
uniforme). Si un objeto está a una distancia r del centro, solo la
masa dentro de una esfera de radio r ejerce una fuerza gravitacional
neta sobre él.
r
Sección transversal
de la Tierra
EVALUAR: Dentro de esta esfera de densidad uniforme, Fg es directamente proporcional a la distancia r del centro, no a 1兾r2 como sucede
afuera de la esfera. En la superficie, donde r = RE, tenemos que Fg =
GmEm兾RE2, como es de esperarse. En el siguiente capítulo aprenderemos a calcular el tiempo que el saco tardaría en llegar al otro lado de
la Tierra.
m
Fg
Región esférica
de radio r
r
RE
O
M
mE
Evalúe su comprensión de la sección 13.6 En la novela clásica de ciencia ficción
En el centro de la Tierra, escrita en 1913 por Edgar Rice Burroughs, ciertos exploradores
descubren que la Tierra es una esfera hueca y que toda una civilización vive en el interior de
ella. ¿Sería posible ponerse de pie y caminar en la superficie interior de un planeta hueco
que no gira?
13.7
Peso aparente y rotación terrestre
Puesto que la Tierra gira sobre su eje, no es precisamente un marco de referencia inercial. Por tal razón, el peso aparente de un cuerpo en la Tierra no es exactamente igual
S
a la atracción gravitacional terrestre, a la que llamaremos peso verdadero w0 del
cuerpo. La figura 13.25 es la vista de un corte de la Tierra donde hay tres observadores. Cada uno sostiene una balanza de resorte,
de la cual cuelga un cuerpo de masa m.
S
Cada balanza aplica una fuerza de tensión F al cuerpo que cuelga, y la lectura de cada
balanza es la magnitud F de dicha fuerza. Si los observadores no están conscientes de
S
En el Polo Norte o Sur: N
el peso aparente
es igual al peso
verdadero.
w0 ⫽ peso verdadero de un objeto de masa m.
S
F ⫽ fuerza ejercida por la balanza de resorte sobre el
objeto de masa m.
S
S
F ⴙ w0 ⫽ fuerza neta que actúa sobre el objeto de masa m;
debido a la rotación terrestre, es diferente de cero
(excepto en los polos).
S
S
w ⫽ peso aparente = opuesto de F.
S
F
m
b
S
b
w0
S
O⬘
g0 ⴝ w0/m
F
S
S
arad
w0
m
u
S
w
u
O
S
arad
S
w0
m
S
w
Ecuador
Rotación de la Tierra
S
S
S
ⴚarad
S
F
S
g
S
g0
Lejos de los polos:
por la rotación terrestre,
el peso aparente no es igual
al peso verdadero.
S
g ⴝ w/m
S
S
ⴚarad
13.25 Excepto en los polos, la lectura
de una báscula en la que se pesa un objeto
(el peso aparente) es menor que la fuerza de
atracción gravitacional que actúa sobre el
objeto (el peso verdadero). Ello se debe a
que se requiere una fuerza neta que proporcione la aceleración centrípeta, pues el objeto
gira junto con la Tierra. Por claridad, en el
dibujo se exagera considerablemente el
ángulo b entre los vectores de peso verdadero
y peso aparente.
422
CAPÍTULO 13 Gravitación
la rotación terrestre, piensan que la lectura de la báscula es igual al peso del cuerpo
porque creen
que este se encuentra en equilibrio. Así, cada observador piensa que a la
S
S
tensión F debe oponerse una fuerza igual y en sentido contrario w, a la que llamamos
peso aparente. Pero si los cuerpos giran junto con la Tierra, no están precisamente en
S
equilibrio. Nuestro problema es encontrar la relación entre el peso aparente w y el
S
peso verdadero w0 .
S
Si suponemos que la Tierra es esféricamente simétrica, el peso verdadero w0 ten2
drá magnitud GmEm兾RE , donde mE y RE son la masa y el radio de la Tierra. Este
valor es el mismo para todos los puntos en la superficie terrestre. Si podemos tomar
el centro de la Tierra como el origen de un sistema inercial de coordenadas, el cuerpo
que se encuentra en el Polo Norte realmente está en equilibrio en el sistema inercial,
y la lectura de la balanza de resorte de ese observador es igual a w0. En cambio, el
cuerpo en el ecuador se mueve en un círculo de radio RE con rapidez v, y debe haber una fuerza neta hacia adentro igual a la masa multiplicada por la aceleración
centrípeta:
w0 - F =
mv2
RE
Por lo tanto, la magnitud del peso aparente (igual a la magnitud de F) es
w = w0 -
mv2
RE
(en el ecuador)
(13.27)
Si la Tierra no girara y el cuerpo se soltara, este tendría una aceleración de caída
libre g0 = w0兾m. Como la Tierra sí gira, la aceleración real del cuerpo que cae relativa
al observador en el ecuador es g = w兾m. Dividiendo la ecuación (13.27) entre m y
usando estas relaciones, obtenemos
g = g0 -
v2
RE
(en el ecuador)
Para evaluar v2兾RE, observamos que, en 86,164 s, un punto en el ecuador se mueve una distancia igual a la circunferencia de la Tierra, 2pRE = 2p(6.38 * 106 m). (El
1
1
día solar, 86,400 s, es 365 más largo porque, en un día, la Tierra también recorre 365 de
su órbita alrededor del Sol). Entonces,
v =
2p16.38 * 10 6 m2
86,164 s
= 465 m>s
1465 m>s22
v2
=
= 0.0339 m>s2
6
RE
6.38 * 10 m
Tabla 13.1 Variaciones de
g
con la latitud y la elevación
Estación
Latitud
norte
Elevación
(m)
g(m兾s2)
Zona del Canal
09°
0
9.78243
Jamaica
18°
0
9.78591
Bermudas
32°
0
9.79806
Denver, CO
40°
1638
9.79609
Pittsburgh,
PA
40.5°
235
9.80118
Cambridge,
MA
42°
0
9.80398
Groenlandia
70°
0
9.82534
Así, para una Tierra esféricamente simétrica, la aceleración debida a la gravedad debería ser aproximadamente 0.03 m兾s2 menor en el ecuador que en los polos.
S
En puntos intermedios entre el ecuador y los polos, el peso verdadero w0 y la aceleración centrípeta no están en la misma línea, y necesitamos escribir la ecuación vectorial correspondiente a la ecuación (13.27). En la figura 13.25, vemos que la ecuación
adecuada es
S
S
S
S
S
w ⴝ w0 ⴚ ma rad ⴝ mg 0 ⴚ ma rad
(13.28)
La diferencia en las magnitudes de g y g0 está entre cero y 0.0339 m兾s2. Como se
aprecia en la figura 13.25, la dirección del peso aparente difiere de la dirección hacia
el centro de la Tierra en un ángulo pequeño b, que es de 0.1° o menos.
La tabla 13.1 da los valores de g en varios lugares, mostrando las variaciones con
la latitud. También hay otras variaciones pequeñas debido a que la Tierra no tiene una
simetría esférica perfecta, a las variaciones locales en la densidad y a las diferencias
de elevación.
13.8 Agujeros negros
Evalúe su comprensión de la sección 13.7 Imagine un planeta que tiene la
misma masa y radio que la Tierra; no obstante, realiza 10 rotaciones durante el tiempo
en que la Tierra hace una. ¿Cuál sería la diferencia entre la aceleración debida a la
gravedad en el ecuador del planeta y la aceleración debida a la gravedad en sus polos?
i. 0.00339 m兾s2; ii. 0.0339 m兾s2; iii. 0.339 m兾s2; iv. 3.39 m兾s2.
13.8
Agujeros negros
El concepto de agujero negro es una de las consecuencias más interesantes y desconcertantes de la teoría gravitacional moderna, pero la idea básica puede entenderse con base
en los principios newtonianos.
Rapidez de escape de una estrella
Pensemos primero en las propiedades de nuestro Sol. Su masa M = 1.99 * 1030 kg y
radio R = 6.96 * 108 m son mucho mayores que los de cualquier planeta; sin embargo, en comparación con otras estrellas, nuestro Sol no es excepcionalmente masivo.
Se puede calcular la densidad media r del Sol del mismo modo en que se calculó la
densidad media de la Tierra en la sección 13.2:
r =
1.99 * 10 30 kg
M
M
= 4 3 = 4
= 1410 kg>m3
8
3
V
pR
p16.96
*
10
m2
3
3
La temperatura del Sol varía entre 5800 K (unos 5500°C o 10,000°F) en la superficie
y 1.5 * 107 K (unos 2.7 * 107°F) en el interior, así que seguramente no contiene sólidos
ni líquidos. No obstante, la atracción gravitacional junta los átomos de gas hasta volver
al Sol, en promedio, 41% más denso que el agua y unas 1200 veces más denso que el
aire que respiramos.
Veamos ahora la rapidez de escape de un cuerpo en la superficie del Sol. En el
ejemplo 13.5 (sección 13.3), vimos que la rapidez de escape de la superficie de una
masa esférica de masa M y radio R es v = 22GM>R . Podemos relacionar esto con
la densidad media. Sustituyendo M = rV = r(43pR3) en la expresión para la rapidez
de escape:
v =
8pGr
2GM
=
R
A R
A 3
(13.29)
Con cualquier forma de esta ecuación, podemos demostrar que la rapidez de escape
para un cuerpo en la superficie solar es v = 6.18 * 105 m兾s (cerca de 2.2 millones de
1
km兾h o 1.4 millones de mi兾h). Este valor, que es aproximadamente 500
de la rapidez
de la luz, es independiente de la masa del cuerpo que escapa; solo depende de la masa
y el radio (o la densidad media y el radio) del Sol.
Consideremos ahora diversas estrellas con la misma densidad media r y diferentes
radios R. La ecuación (13.29) indica que, para un valor dado de la densidad r, la rapidez de escape v es directamente proporcional a R. En 1783 el astrónomo aficionado
John Mitchell señaló que, si un cuerpo con la misma densidad media del Sol tuviera
un radio 500 veces mayor, la magnitud de su rapidez de escape sería mayor que la rapidez de la luz c. Al apuntar que “toda la luz emitida por semejante cuerpo tendría
que regresar a él”, Mitchell se convirtió en la primera persona en sugerir la existencia de lo que ahora llamamos agujero negro, un objeto que ejerce una gran fuerza
gravitacional sobre otros cuerpos, pero que ni siquiera puede emitir su propia luz.
Agujeros negros, el radio de Schwarzschild
y el horizonte de eventos
La primera expresión para la rapidez de escape de la ecuación (13.29) sugiere que
un cuerpo de masa M actúa como agujero negro, si su radio R es menor que o igual a
cierto radio crítico. ¿Cómo podemos determinar este radio crítico? Podríamos pensar
que se puede determinar su valor con solo establecer que v = c en la ecuación (13.29).
De hecho, esto sí da el resultado correcto, pero solo porque dos errores se compensan.
423
424
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.26 a) Un cuerpo con radio R mayor
que el radio de Schwarzschild RS. b) Si el
cuerpo colapsa a un radio menor que RS,
es un agujero negro con una rapidez de
escape mayor que la rapidez de la luz.
La superficie de la esfera de radio RS se
denomina el horizonte de eventos del
agujero negro.
a) Si el radio R de un cuerpo es mayor que el
radio de Schwarzschild RS, la luz puede escapar
de la superficie del cuerpo.
b) Si toda la masa del cuerpo está dentro del
radio RS, este cuerpo es un agujero negro:
ninguna luz puede escapar de él.
R
RS
RS
Gravedad que actúa sobre la luz que escapa y se
“desplaza al rojo” hacia longitudes de onda
mayores.
La energía cinética de la luz no es mc2兾2, y la energía potencial gravitacional cerca de
un agujero negro no está dada por la ecuación (13.9). En 1916 Karl Schwarzschild
usó la teoría general de la relatividad de Einstein (que en parte es una generalización y
extensión de la teoría gravitacional newtoniana) con la finalidad de deducir una expresión para el radio crítico RS, llamado ahora radio de Schwarzschild. El resultado es
el mismo que si hubiéramos igualado v a c en la ecuación (13.29):
c =
2GM
A RS
Despejando el radio de Schwarzschild RS, tenemos
RS =
2GM
c2
(radio de Schwarzschild)
(13.30)
Si un cuerpo esférico sin rotación con masa M tiene un radio menor que RS, nada
(ni siquiera la luz) podrá escapar de su superficie, y el cuerpo es un agujero negro
(figura 13.26). En este caso, todos los cuerpos que estén a menos de una distancia RS
del centro del agujero negro quedarán atrapados por su atracción gravitacional y no
podrán escapar de él.
La superficie de la esfera con radio RS que rodea a un agujero negro se denomina
horizonte de eventos porque, como la luz no puede escapar del interior de la esfera,
no podemos ver los eventos que ocurren ahí. Lo único que un observador afuera del
horizonte de eventos puede conocer acerca de un agujero negro es su masa (por sus
efectos gravitacionales sobre otros cuerpos), su carga eléctrica (por las fuerzas eléctricas
que ejerce sobre otros cuerpos cargados) y su momento angular (porque un agujero
negro en rotación tiende a arrastrar el espacio que hay a su alrededor y todo lo que
contiene en él). Toda la demás información acerca del cuerpo se pierde irremediablemente cuando se colapsa dentro de su horizonte de eventos.
Ejemplo 13.11
Cálculos en agujeros negros
Las teorías astrofísicas sugieren que una estrella quemada puede colapsarse bajo su propia gravedad para formar un agujero negro, si su
masa es de cuando menos tres masas solares. En tal caso, ¿qué radio
tendría el horizonte de eventos?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: El radio en cuestión es el radio
de Schwarzschild. Usamos la ecuación (13.30) con un valor de M de
tres masas solares, es decir, M = 3 (1.99 * 1030 kg) = 6.0 * 1030 kg:
RS =
2GM
c2
=
216.67 * 10 -11 N # m2>kg 2216.0 * 10 30 kg2
13.00 * 10 8 m>s22
= 8.9 * 10 3 m = 8.9 km = 5.5 mi
13.8 Agujeros negros
EVALUAR: La densidad media de este objeto es
r =
M
4
3
3 pR
=
6.0 * 10 30 kg
4
3 p18.9
* 10 3 m23
= 2.0 * 10 18 kg>m3
425
De hecho, una vez que el cuerpo se colapsa a un radio de RS, nada puede evitar que se colapse más. Toda la masa se comprime a un solo punto llamado singularidad en el centro del horizonte de eventos. Este
punto tiene volumen cero y, por ende, densidad infinita.
Esto es aproximadamente 1015 veces la densidad de la materia ordinaria en la Tierra y es comparable con la densidad de los núcleos atómicos.
Visita a un agujero negro
En puntos alejados de un agujero negro, sus efectos gravitacionales son los mismos que
los de cualquier cuerpo normal con la misma masa. Si el Sol se colapsara para formar
un agujero negro, las órbitas de los planetas no se afectarían. Sin embargo, en las cercanías del agujero negro las cosas son drásticamente distintas. Si el lector decidiera
convertirse en un héroe de la ciencia y saltara a un agujero negro, quienes se quedaran
atrás observarían varios efectos extraños al moverse usted hacia el horizonte de eventos, casi todos asociados con la relatividad general.
Si usted llevara un radiotransmisor para informar de sus experiencias, habría que
sintonizar el receptor continuamente a frecuencias cada vez más bajas por el efecto
denominado desplazamiento gravitacional al rojo. Junto con este desplazamiento, los
observadores percibirían que los relojes de usted (electrónicos o biológicos) avanzarían cada vez más lentamente por el efecto llamado dilatación del tiempo. De hecho,
a los observadores no les alcanzaría la vida para ver cómo usted llega al horizonte de
eventos.
En su marco de referencia, usted llegaría al horizonte de eventos en un tiempo muy
corto, pero de forma un tanto desconcertante. Al caer con los pies por delante hacia el
agujero negro, la atracción gravitacional sobre los pies sería mayor que sobre la cabeza, la cual estaría un poco más lejos del agujero. Las diferencias en la fuerza gravitacional que actúa sobre las distintas partes de su cuerpo serían suficientes para estirarlo
a usted en la dirección hacia el agujero negro y comprimirlo en la dirección perpendicular. Estos efectos (llamados fuerzas de marea) separarían sus átomos y luego los desgarrarían, antes de que usted llegara al horizonte de eventos.
Detección de agujeros negros
Si la luz no puede escapar de un agujero negro, y si los agujeros negros son tan pequeños como sugiere el ejemplo 13.11, ¿cómo sabemos que tales entidades existen?
La respuesta es que si hay gas o polvo cerca de un agujero negro, tenderá a formar un
disco de acreción que girará en torno del agujero y caerá en él, como en un remolino
(figura 13.27). La fricción dentro del material del disco hace que pierda energía mecánica y caiga en espiral hacia el agujero negro, comprimiéndose al hacerlo. Esto
1 El agujero negro tira de la
Estrella
ordinaria
materia de la estrella ordinaria
para formar un disco de
acreción a su
alrededor.
2 El gas del disco se comprime
y calienta a temperaturas
tan altas que se convierte en
una fuente intensa de rayos x.
3 En el disco de acreción, el gas
que no cae al agujero negro se expulsa
en dos veloces chorros a presión.
Agujero negro
13.27 Sistema de estrellas binarias en el
que una estrella ordinaria y un agujero negro
giran uno alrededor del otro. El agujero negro
no puede verse, pero pueden detectarse los
rayos x de su disco de acreción.
426
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.28 Esta imagen de color falso muestra
los movimientos de las estrellas en el centro
de nuestra galaxia durante un periodo de
13 años. Un análisis de estas órbitas con la
tercera ley de Kepler indica que las estrellas
se mueven alrededor de un objeto invisible,
cuya masa es de unas 4.1 * 106 veces la masa
del Sol. La barra de la escala indica una
longitud de 1014 m (670 veces la distancia
entre la Tierra y el Sol) a la distancia del
centro galáctico.
causa un calentamiento del material, como sucede con el aire comprimido en una bomba para bicicleta. Se pueden alcanzar temperaturas por encima de 106 K en el disco de
acreción, de modo que no solo se emite luz visible (como hacen los cuerpos al “rojo
vivo” o al “blanco vivo”), sino también rayos x. Los astrónomos buscan estos rayos x
(emitidos antes de que el material cruce el horizonte de eventos), para detectar la
presencia de un agujero negro. Se han hallado varios candidatos prometedores, y los
astrónomos han expresado una confianza considerable en la existencia de los agujeros
negros.
La masa de los agujeros negros en sistemas de estrellas binarias, como el de la figura 13.27, es unas cuantas veces mayor que la del Sol, y cada vez hay más pruebas de
la existencia de agujeros negros supermasivos mucho mayores. Se cree que hay uno
en el centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, a unos 26,000 años luz de la Tierra en la
dirección de la constelación Sagitario. Imágenes de alta definición del centro galáctico
revelan estrellas que giran a más de 1500 km兾s en torno a un objeto invisible que coincide con la posición de una fuente de ondas de radio llamada Sgr A* (figura 13.28). Al
analizar estos movimientos, los astrónomos pueden inferir el periodo T y el semieje
mayor a de la órbita de cada estrella. Así, se puede calcular la masa mX del objeto invisible utilizando la tercera ley de Kepler en la forma que se da en la ecuación (13.17),
sustituyendo la masa del Sol mS por mX:
T =
1014 m
2pa3>2
1GmX
así que
mX =
4p2a3
GT2
La conclusión es que el misterioso objeto oscuro en el centro de la galaxia tiene una
masa de 8.2 * 1036 kg, es decir, 4.1 millones de veces la masa del Sol. Sin embargo,
observaciones efectuadas con radiotelescopios revelan que su radio no es mayor que
4.4 * 1010 m, aproximadamente un tercio de la distancia que hay entre la Tierra y el Sol.
Estas observaciones sugieren que este objeto masivo y compacto es un agujero negro
con un radio de Schwarzschild de 1.1 * 1010 m. Los astrónomos confían en mejorar
la resolución de sus observaciones a tal grado que, en unos pocos años, podrán ver el
horizonte de eventos de ese agujero negro.
Otras líneas de investigación sugieren que podría haber agujeros negros aún más
grandes, con más de 109 masas solares, en el centro de otras galaxias. Los estudios de
observación y teóricos sobre agujeros negros de todos tamaños siguen siendo un área
de investigación estimulante tanto en la física como en la astronomía.
Evalúe su comprensión de la sección 13.8 Si el Sol llegara a colapsarse
para formar un agujero negro, ¿qué efecto tendría este suceso sobre la órbita de la
Tierra? i. La órbita se encogería; ii. la órbita se expandiría; iii. la órbita permanecería
del mismo tamaño.
13
Video Tutor
Solutions
CAPÍTULO
RESUMEN
Ley de Newton de la gravitación: Dos cuerpos cualesquiera
con masas m1 y m2, separados por una distancia r, se
atraen con fuerzas inversamente proporcionales a r 2.
Tales fuerzas forman un par acción-reacción y obedecen
la tercera ley de Newton. Si dos o más cuerpos ejercen
fuerzas gravitacionales sobre un cuerpo dado, la fuerza
gravitacional total que actúa sobre ese cuerpo es la suma
vectorial de las fuerzas ejercidas por los otros cuerpos.
La interacción gravitacional entre distribuciones esféricas
de masa, como los planetas o las estrellas, es igual que
si toda la masa estuviera concentrada en el centro.
(Véase los ejemplos 13.1 a 13.3 y 13.10).
Fuerza gravitacional, peso y energía potencial gravitacional:
El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional total
ejercida sobre él por todos los demás cuerpos del Universo.
Cerca de la superficie de la Tierra (masa mE y radio RE),
el peso en esencia es igual a la fuerza gravitacional de la
Tierra sola. La energía potencial gravitacional U de dos
masas m y mE separadas por una distancia r es inversamente proporcional a r. La energía potencial nunca es positiva;
es cero solo cuando los dos cuerpos están infinitamente
distantes. (Véase los ejemplos 13.4 y 13.5).
Gm 1 m 2
Fg =
r
m1
(13.1)
S
Fg (2 sobre 1)
S
Fg (1 sobre 2)
r
Fg (1 sobre 2) 5 Fg (2 sobre 1)
w = Fg =
Gm E m
RE2
(13.3)
g =
Gm E
RE2
RE 5 6.38 3 106 m
masa m
w 5 Gm E m r 2
/
(13.4)
(aceleración debida a la gravedad
en la superficie terrestre)
v =
Gm E m
r
r (3 106 m)
0
T =
(13.9)
S
v
r
S
(13.10)
2pr
r
2pr3>2
= 2pr
=
v
A GmE
1GmE
(periodo en órbita circular)
r 2 RE (3 10 6 m)
0
GmE
B r
(rapidez en órbita circular)
m2
Tierra, masa mE
w (N)
(peso en la superficie de la Tierra)
U = -
Órbitas: Si un satélite se mueve en una órbita circular,
la atracción gravitacional de la Tierra proporciona la
aceleración centrípeta. Las tres leyes de Kepler describen
el caso más general: la órbita elíptica de un planeta
alrededor del Sol o de un satélite alrededor de un planeta.
(Véase ejemplos 13.6 a 13.9).
2
S
a
Fg
S
v
S
S
Fg
a
RE
(13.12)
S
Fg
S
a
S
v
Agujeros negros: Si una distribución esférica de masa sin
rotación, con masa total M, tiene un radio menor que su
radio de Schwarzschild, RS, se clasifica como agujero
negro. La interacción gravitacional impide que cualquier
cosa, incluida la luz, escape de una esfera con radio RS.
(Véase el ejemplo 13.11).
RS =
2GM
c2
(radio de Schwarzschild)
(13.30)
RS
Si todo el cuerpo está dentro del radio
de Schwarzschild RS = 2GM c2,
el cuerpo es un agujero negro.
/
427
428
CAPÍTULO 13 Gravitación
PROBLEMA PRÁCTICO
Rapideces en una órbita elíptica
Un cometa gira en torno al Sol (masa mS) en una órbita elíptica con semieje mayor a y excentricidad e. a) Obtenga las expresiones para las
rapideces del cometa en el perihelio y en el afelio. b) Evalúe estas expresiones para el cometa Halley (véase el ejemplo 13.9).
GUÍA DE SOLUCIÓN
Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar
una solución con Video Tutor.
EJECUTAR
4. Por lo menos serán necesarias dos ecuaciones que incluyan las dos
incógnitas, y expresiones para las distancias entre el Sol y el cometa
en el perihelio y el afelio. (Sugerencia: Véase la figura 13.18).
5. Resuelva las ecuaciones para obtener las incógnitas. Compare las expresiones: ¿Cuál es la menor rapidez? ¿Es lógico?
6. Use las expresiones del paso 5 para obtener los valores de la rapidez en el perihelio y el afelio para el cometa Halley. (Sugerencia:
Véase el apéndice F).
IDENTIFICAR y PLANTEAR
1. Elabore un dibujo de la situación; muestre todas las dimensiones
relevantes. Identifique el perihelio y el afelio.
2. Liste las cantidades desconocidas e identifique las incógnitas.
3. Igual que sucede con un satélite que gira alrededor de la Tierra, la
energía mecánica de un cometa alrededor del Sol se conserva. (¿Por
qué?). ¿Qué otra cantidad se conserva conforme el cometa se mueve
en su órbita? (Sugerencia: Véase la sección 13.5).
Problemas
EVALUAR
7. Compruebe si sus resultados son lógicos para el caso especial de
una órbita circular (e = 0).
Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com
. , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores.
CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas.
PREGUNTAS PARA ANÁLISIS
P13.1 Un estudiante escribió: “La única razón por la que una manzana
cae hacia la Tierra en lugar de que esta suba hacia la manzana es que la
Tierra tiene una masa mucho mayor y, por lo tanto, tira con una fuerza
mucho mayor”. Comente esta aseveración.
P13.2 Un planeta gira en una órbita circular con periodo T alrededor de una estrella. Si orbitara, a la misma distancia, en torno a una
estrella con una masa tres veces mayor que la estrella original, ¿el
nuevo periodo (en términos de T) sería: a) 3T, b) T 13 , c) T, d) T兾 13
o e) T兾3?
P13.3 Si todos los planetas tuvieran la misma densidad media, ¿cómo
dependería del radio del planeta la aceleración en la superficie debida
a la gravedad?
P13.4 ¿Una libra de mantequilla es la misma cantidad en la Tierra que
en Marte? ¿Y un kilogramo de mantequilla? Explique su respuesta.
P13.5 El ejemplo 13.2 (sección 13.1) muestra que la aceleración de
cada esfera causada por la fuerza gravitacional es inversamente proporcional a la masa de dicha esfera. ¿Por qué entonces esa fuerza da a
todas las masas la misma aceleración cuando se dejan caer cerca de la
superficie terrestre?
P13.6 ¿Usted atrae más al Sol al mediodía o a la medianoche? Explique su respuesta.
P13.7 Puesto que la Luna es atraída constantemente hacia la Tierra por
la interacción gravitacional, ¿por qué no choca contra la Tierra?
P13.8 Un planeta se mueve en una órbita circular con periodo T alrededor de una estrella. Si el planeta estuviera en órbita a la misma distancia alrededor de esa estrella, pero su masa fuera tres veces mayor,
¿cuál sería el nuevo periodo (en términos de T)? a) 3T, b) T 13 , c) T,
d) T兾 13 o e) T兾3?
P13.9 El Sol tira de la Luna con una fuerza cuya magnitud es más del
doble de la magnitud de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna.
¿Por qué entonces el Sol no “se lleva” a la Luna?
P13.10 En el capítulo 7 se definió la energía potencial gravitacional
como U = mgy, positiva para un cuerpo de masa m sobre la superficie
terrestre (que está en y = 0). Sin embargo, en este capítulo definimos la
energía potencial gravitacional como U = –GmEm兾r, que es negativa
para un cuerpo de masa m sobre la superficie terrestre (que está en r =
RE). ¿Cómo puede conciliar estas descripciones de la energía potencial
gravitacional que, al parecer, son incompatibles?
P13.11 Un planeta se mueve con rapidez constante en una órbita
circular alrededor de una estrella. En una órbita completa, ¿la fuerza
gravitacional que la estrella ejerce sobre el planeta realiza trabajo neto
positivo, negativo o cero? ¿Y si la órbita del planeta fuera elíptica, de
modo que la rapidez del planeta no sea constante? Explique sus respuestas.
P13.12 ¿La rapidez de escape para un objeto en la superficie terrestre
depende de la dirección en que se lanza? Explique su respuesta. ¿Su
respuesta depende de si incluye o no los efectos de la resistencia del
aire?
P13.13 Si un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la
superficie terrestre, ¿qué sucederá si la energía mecánica total (cinética
+ potencial) es a) menor que cero y b) mayor que cero? En cada caso,
desprecie la resistencia del aire y los efectos gravitacionales del Sol, la
Luna y los demás planetas.
P13.14 Diga si la siguiente afirmación es correcta: “En ausencia de
resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado cerca de la
superficie terrestre es una elipse, no una parábola”.
P13.15 La Tierra está más cerca del Sol en noviembre que en mayo.
¿En cuál de estos meses es mayor su rapidez orbital? Explique su
respuesta.
P13.16 Una empresa de comunicaciones desea poner en órbita un
satélite que siempre esté directamente sobre el paralelo 45 de la Tierra
(latitud 45° norte). Esto implica que el plano de la órbita no pasará por
el centro de la Tierra. ¿Es posible tal órbita? ¿Por qué?
429
Ejercicios
P13.17 ¿En qué punto de una órbita elíptica es máxima la aceleración?
¿Y mínima? Justifique sus respuestas.
P13.18 ¿Qué viaje requiere más combustible, de la Tierra a la Luna
o de la Luna a la Tierra? Explique su respuesta.
P13.19 ¿Cuál sería la tercera ley de Kepler para órbitas circulares, si
una modificación a la ley de Newton de la gravitación hiciera a la fuerza
gravitacional inversamente proporcional a r3? ¿Este cambio afectaría
las otras dos leyes de Kepler? Explique su respuesta.
P13.20 En la órbita elíptica del cometa Halley que se ilustra en la figura 13.20a, la fuerza de gravedad del Sol hace que el cometa caiga
desde el afelio hasta el perihelio. Pero, ¿qué hace que el cometa suba
otra vez del perihelio al afelio?
P13.21 Muchas personas creen que los astronautas en órbita sienten que
no tienen peso porque están “fuera del alcance de la gravedad terrestre”.
¿Qué tan lejos tendría que viajar una nave para estar realmente fuera de
la influencia gravitacional de la Tierra? En tal caso, ¿permanecería en
órbita la nave? Explique su respuesta. ¿Cuál es la razón real por la que
los astronautas en órbita se sienten sin peso?
P13.22 Como parte de su capacitación, los astronautas viajan en un
avión que vuela en la misma trayectoria parabólica que un proyectil en
caída libre. Explique por qué esto provoca la misma sensación de ingravidez aparente que estar en órbita.
EJERCICIOS
Sección 13.1 Ley de Newton de la gravitación
13.1 . ¿Cuál es la razón que hay entre la atracción gravitacional del
Sol sobre la Luna y la de la Tierra sobre la Luna? (Suponga que la distancia entre la Luna y el Sol es aproximadamente la misma que entre
la Tierra y el Sol). Use los datos del apéndice F. ¿Es más preciso decir
que la Luna está en órbita alrededor de la Tierra o del Sol?
13.2 .. PA Experimento de Cavendish. En la balanza de Cavendish
que se ilustra en la figura 13.4, suponga que m1 = 1.10 kg, m2 = 25.0 kg
y la varilla que conecta a las esferas de masa m1 mide 30.0 cm de longitud. Si la distancia del centro de cada esfera de masa m1 al centro de
la esfera de masa m2 más cercana es de 12.0 cm, calcule a) la fuerza
neta y b) la torca neta (alrededor del eje de rotación) en la parte giratoria del aparato. c) ¿Parece que la torca del inciso b) sería suficiente
para hacer girar la varilla con facilidad? Sugiera algunas maneras de
mejorar la sensibilidad de este experimento.
13.3 . Cita en el espacio. Una pareja de astronautas acuerda citarse en el espacio después de unas horas. Su plan es dejar que la fuerza de
gravedad los reúna. Uno de ellos tiene una masa de 65 kg y el otro una
masa de 72 kg, y parten del reposo estando separados una distancia de
20.0 m. a) Elabore un diagrama de cuerpo libre de cada astronauta y
úselo para determinar la aceleración inicial del individuo. Como una
aproximación burda, se puede modelar a los astronautas como esferas
uniformes. b) Si la aceleración de los astronautas es constante, ¿cuántos
días tendrían que esperar para estar juntos? (¡Cuidado! Ambos astronautas aceleran el uno hacia el otro). c) De hecho, ¿su aceleración permanecería constante? Si no, ¿aumentaría o disminuiría? ¿Por qué?
13.4 .. Dos esferas uniformes, ambas con masa M y radio R, se tocan
entre sí. ¿Qué magnitud tiene su fuerza de atracción gravitacional?
13.5 . Dos esferas uniformes de
Figura E13.5
0.260 kg están fijas en los puntos
0.010 kg
A y B (figura E13.5). Calcule la
P
magnitud y la dirección de la ace10.0 cm
10.0 cm
leración inicial de una esfera uni- 0.260 kg
0.260 kg
6.0 cm
forme con masa de 0.010 kg que se
suelta del reposo en P, suponiendo
8.0 cm 8.0 cm
A
B
que solo actúan sobre ella las fuerzas gravitacionales ejercidas por las
esferas A y B.
13.6 .. Obtenga la magnitud y la dirección de la fuerza gravitacional
neta que las masas B y C ejercen sobre la masa A en la figura E13.6.
Cada masa es de 2.00 kg.
Figura E13.6
A
C
B
a)
10 cm
C
40 cm
A
B
b)
10 cm
40 cm
13.7 . Una persona adulta promedio tiene una masa aproximada de
70 kg. a) ¿Qué fuerza ejerce la Luna llena sobre ella, si está directamente arriba de su cabeza y tiene su centro a 378,000 km? b) Compare
esta fuerza con la fuerza que la Tierra ejerce sobre la persona.
13.8 .. Una masa puntual de 8.00 kg y una masa puntual de 15.0 kg
están separadas 50.0 cm. Se suelta una partícula de masa m desde un
punto entre las dos masas a 20.0 cm de la masa de 8.00 kg en la línea
que conecta las dos masas fijas. Obtenga la magnitud y la dirección de
la aceleración de la partícula.
13.9 .. Una partícula de masa 3m se localiza a 1.00 m de una partícula de masa m. a) ¿Dónde debería colocar usted una tercera masa M, de
manera que la fuerza gravitacional neta sobre M debida a las dos masas
sea exactamente igual a cero? b) ¿En este punto, el equilibrio de M es
estable o inestable, i. para puntos en la línea que une m y 3m, y ii. para
puntos en una línea que pasa por M y es perpendicular a la línea que
conecta m y 3m?
13.10 .. Las masas puntuales m y 2m están sobre el eje x, con m en el
origen y 2m en x = L. Una tercera masa puntual M se mueve a lo largo
del eje x. a) ¿En qué punto la fuerza gravitacional neta sobre M, debida
a las otras dos masas, es igual a cero? b) Elabore un diagrama de la componente x de la fuerza neta sobre M debida a m y a 2m, considerando
las cantidades a la derecha como positivas. Incluya las regiones x 6 0,
0 6 x 6 L y x 7 L. Tenga especial cuidado en mostrar el comportamiento de la gráfica en los lados x = 0 y x = L.
Sección 13.2 Peso
13.11 .. ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre la aceleración
debida a la gravedad es de 0.980 m兾s2, si en la superficie tiene una
magnitud de 9.80 m兾s2?
13.12 . La masa de Venus es el 81.5% de la masa de la Tierra, y su
radio es el 94.9% del radio de la Tierra. a) Calcule la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Venus con estos datos. b) Si una
roca pesa 75.0 N en la Tierra, ¿cuánto pesará en la superficie de Venus?
1
13.13 . Titania, la luna más grande de Urano, tiene 8 del radio te1
rrestre y 1700 de la masa de la Tierra. a) Calcule la aceleración debida a
la gravedad en su superficie. b) Obtenga la densidad media de Titania.
(Es menor que la densidad de las rocas, lo cual es una evidencia de que
Titania está constituida principalmente por hielo).
13.14 . Rea, una de las lunas de Saturno, tiene un radio de 765 km y
una aceleración debida a la gravedad de 0.278 m兾s2 en su superficie.
Calcule su masa y densidad media.
13.15 .. Calcule la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre un
astronauta de 75 kg, quien está reparando el telescopio espacial Hubble
a una altura de 600 km sobre la superficie terrestre, y compare ese va-
430
CAPÍTULO 13 Gravitación
lor con su peso en la superficie de la Tierra. Con base en su resultado,
explique por qué decimos que los astronautas no tienen peso cuando
están en órbita alrededor de la Tierra en un satélite como el transbordador espacial. ¿Se debe a que la atracción gravitacional terrestre es
tan pequeña que se puede despreciar?
Sección 13.3 Energía potencial gravitacional
13.16 .. Volcanes en Io. La luna de Júpiter llamada Io tiene volcanes activos (de hecho, es el cuerpo volcánico más activo del Sistema
Solar), que expulsa material hasta 500 km arriba de la superficie (o
inclusive más alto). Io tiene una masa de 8.94 * 1022 kg y un radio de
1815 km. Ignore cualquier variación de la gravedad en un intervalo
de 500 km de escombros. ¿A qué altura subiría este material en la
Tierra si fuera expulsado con la misma rapidez que en Io?
13.17 . Use los resultados del ejemplo 13.5 (sección 13.3) para calcular la rapidez de escape de una nave: a) desde la superficie de Marte, y
b) desde la superficie de Júpiter. Use los datos del apéndice F. c) ¿Por
qué la rapidez de escape de la nave es independiente de su masa?
13.18 .. Diez días después de lanzarse hacia Marte en diciembre de
1998, la nave Mars Climate Orbiter (masa de 629 kg) estaba a 2.87 *
106 km de la Tierra, viajando con rapidez de 1.20 * 104 km兾h relativa
a la Tierra. Para ese instante, calcule a) la energía cinética de la nave
relativa a la Tierra y b) la energía potencial del sistema Tierra-nave.
Sección 13.4 Movimiento de satélites
13.19 . Para que un satélite tenga una órbita circular de 780 km arriba
de la superficie terrestre, a) ¿qué rapidez orbital debe tener? y b) ¿cuál
es el periodo de la órbita (en horas)?
13.20 .. Misión Aura. El 15 de julio de 2004, la NASA lanzó la nave
espacial Aura para estudiar el clima y la atmósfera terrestres. Este satélite fue puesto en una órbita a 705 km sobre la superficie terrestre.
Suponga una órbita circular. a) ¿Cuántas horas le tomará a este satélite
completar una órbita? b) ¿Qué tan rápido (en km兾s) se mueve la nave
espacial Aura?
13.21 .. Dos satélites tienen órbitas circulares alrededor de un planeta
de radio igual a 9.00 * 106 m. Un satélite tiene una masa de 68.0 kg,
radio orbital de 5.00 * 107 m, y rapidez orbital de 4800 m兾s. El segundo satélite tiene una masa de 84.0 kg y radio orbital de 3.00 * 107 m.
¿Cuál es la rapidez orbital de este segundo satélite?
13.22 .. Estación Espacial Internacional. La Estación Espacial Internacional efectúa 15.65 revoluciones por día en su órbita alrededor
de la Tierra. Suponiendo una órbita circular, ¿qué tan alto con respecto
a la superficie terrestre debe estar dicho satélite?
13.23 . Deimos, una luna de Marte, tiene un diámetro aproximado de
12 km y una masa de 2.0 * 1015 kg. Suponga que usted está varado
solo en Deimos y quiere jugar béisbol. ¡Usted mismo sería el lanzador y el bateador! a) ¿Con qué rapidez tendría que lanzar la pelota
para que entre en órbita justo por encima de la superficie y vuelva a
donde usted está listo para batearla? ¿Cree que podría lanzarla con esa
rapidez? b) ¿Cuánto tiempo (en horas) después del lanzamiento, la pelota debería estar lista para ser bateada? ¿Sería un juego de béisbol
emocionante?
Sección 13.5 Las leyes de Kepler y el movimiento
de los planetas
13.24 .. Planeta Vulcano. Suponga que se descubre un planeta en2
tre el Sol y Mercurio, con una órbita circular de radio igual a 3 del radio
orbital medio de Mercurio. ¿Qué periodo orbital tendría ese planeta?
(Llegó a postularse la existencia de tal planeta, en parte para explicar la
precesión de la órbita de Mercurio. Incluso recibió el nombre Vulcano,
aunque no tenemos pruebas de que realmente exista. La precesión de
Mercurio se ha explicado con base en la relatividad general).
13.25 .. La estrella Rho1 Cancri está a 57 años luz de la Tierra y su
masa es 0.85 veces la del Sol. Se ha detectado un planeta en órbita
circular en torno a Rho1 Cancri, con un radio orbital igual a 0.11 veces
el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Calcule a) la rapidez orbital y b) el periodo orbital del planeta de Rho1 Cancri.
13.26 .. En marzo de 2006, se descubrieron dos satélites pequeños en
órbita alrededor de Plutón: uno a una distancia de 48,000 km y el otro
a 64,000 km. Ya se sabe que Plutón tiene un satélite grande, Caronte, el
cual orbita a 19,600 km y tiene un periodo orbital de 6.39 días. Suponiendo que los satélites no se afectan mutuamente, encuentre los periodos orbitales de los dos satélites pequeños sin considerar la masa
de Plutón.
13.27 . a) Use la figura 13.18 para demostrar que la distancia entre el
Sol y el planeta en el perihelio es (1 - e)a, que en el afelio es (1 + e)a
y que, por lo tanto, la suma de estas dos distancias es 2a. b) Cuando el
planeta enano Plutón se encontraba en su perihelio en 1989, estaba casi
100 millones de km más cerca del Sol que Neptuno. Los semiejes mayores de las órbitas de Plutón y Neptuno son 5.92 * 1012 m y 4.50 *
1012 m, respectivamente, y sus excentricidades son 0.248 y 0.010.
Calcule la distancia más corta de Plutón al Sol y la más grande de
Neptuno al Sol. c) ¿Cuántos años, después de haberse ubicado en su
perihelio en 1989, Plutón volverá a estar en su perihelio?
13.28 .. Júpiter caliente. En 2004 los astrónomos informaron el
descubrimiento de un planeta del tamaño de Júpiter con una órbita muy
cercana a la estrella HD 179949 (de ahí el término “Júpiter caliente”).
1
La órbita estaba solo a 9 de la distancia de Mercurio al Sol, y al planeta
le tomó solo 3.09 días efectuar una órbita (que se supone circular).
a) ¿Cuál es la masa de la estrella? Exprese su respuesta en kilogramos
y como múltiplo de la masa del Sol. b) ¿Qué tan rápido (en km兾s) se
mueve este planeta?
13.29 .. Planetas más allá del Sistema Solar. El 15 de octubre de
2001, se descubrió un planeta orbitando alrededor de la estrella HD
68988. Su distancia orbital se midió en 10.5 millones de kilómetros a
partir del centro de la estrella, y su periodo orbital se estimó en 6.3 días.
¿Cuál es la masa de HD 68988? Exprese su respuesta en kilogramos y
en términos de la masa del Sol. (Consulte el apéndice F).
Sección 13.6 Distribuciones esféricas de masa
13.30 . Un cascarón esférico uniforme de 1000.0 kg tiene un radio de
5.00 m. a) Calcule la fuerza gravitacional que dicho cascarón ejerce
sobre una masa puntual de 2.00 kg colocada a las siguientes distancias
del centro del cascarón: i. 5.01 m, ii. 4.99 m, iii. 2.72 m. b) Dibuje una
gráfica cualitativa de la magnitud de la fuerza gravitacional que esta
esfera ejerce sobre una masa puntual m en función de la distancia r
de m desde el centro de la esfera. Incluya la región desde r = 0 hasta
r S q.
13.31 .. Una esfera sólida uniforme de 1000.0 kg tiene un radio de
5.00 m. a) Obtenga la fuerza gravitacional que esta esfera ejerce sobre
una masa puntual de 2.00 kg colocada a las siguientes distancias del
centro de la esfera: i. 5.01 m y ii. 2.50 m. b) Dibuje una gráfica cualitativa de la magnitud de la fuerza gravitacional que esta esfera ejerce
sobre una masa puntual m en función de la distancia r de m desde el
centro de la esfera. Incluya la región desde r = 0 hasta r S q.
13.32 . CALC Una varilla delgada uniforme tiene longitud L y masa M.
Una esfera uniforme pequeña de masa m se coloca a una distancia x de
un extremo de la varilla, sobre el eje de esta (figura E13.32). a) Calcule
Figura E13.32
m
M
L
x
Problemas
la energía potencial gravitacional del sistema varilla-esfera. Tome la
energía potencial igual a cero cuando la varilla y la esfera están separadas una distancia infinita. Demuestre que su respuesta se reduce al resultado esperado cuando x es mucho mayor que L. [Sugerencia: Use la
expansión en forma de serie de potencias que se da en el apéndice B
para ln(1 + x)]. b) Utilice Fx = -dU兾dx para calcular la magnitud y la
dirección de la fuerza gravitacional que la varilla ejerce sobre la esfera
(véase la sección 7.4). Demuestre que su respuesta se reduce al resultado esperado cuando x es mucho mayor que L.
13.33 . CALC Considere el cuerpo con forma de anillo de la figura
E13.33. Una partícula de masa m se coloca a una distancia x del centro del anillo, sobre la línea que pasa por el centro y es perpendicular al
plano del anillo. a) Calcule la energía potencial gravitacional U de este
sistema. Tome la energía potencial igual a cero cuando los dos objetos
están muy alejados. b) Demuestre que su respuesta al inciso a) se reduce al resultado esperado cuando x es mucho mayor que el radio a del
anillo. c) Use Fx = -dU兾dx para obtener la magnitud y la dirección de
la fuerza que actúa sobre la partícula (véase la sección 7.4). d) Demuestre que su respuesta al inciso c) se reduce al resultado esperado cuando
x es mucho mayor que a. e) ¿Cuánto valen U y Fx cuando x = 0?
Explique por qué son lógicos estos resultados.
431
una sola estrella tenga una masa mayor de unas 50 masas solares.
¿Podría el objeto masivo ser una simple estrella ordinaria? c) Muchos
astrónomos creen que el objeto masivo en el centro de la Vía Láctea es
un agujero negro. De ser así, ¿qué radio de Schwarzschild tendría?
¿Un agujero negro de este tamaño cabría dentro de la órbita de la
Tierra en torno al Sol?
13.38 . a) Demuestre que un agujero negro atrae a un objeto de masa m
con una fuerza de mc2RS兾(2r2), donde r es la distancia entre el objeto y
el centro del agujero negro. b) Calcule la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un agujero negro con radio de Schwarzschild
de 14.0 mm sobre una masa de 5.00 kg a 3000 km de distancia. c) ¿Qué
masa tiene este agujero negro?
13.39 . En 2005 los astrónomos anunciaron el descubrimiento de un
enorme agujero negro en la galaxia Markarian 766 que tenía aglomeraciones de materia orbitando alrededor una vez cada 27 horas y moviéndose a 30,000 km兾s. a) ¿Qué tan lejos están estas aglomeraciones del
centro del agujero negro? b) ¿Cuál es la masa de este agujero negro
suponiendo órbitas circulares? Exprese su respuesta en kilogramos y
como múltiplos de la masa de nuestro Sol. c) ¿Cuál es el radio de su
horizonte de eventos?
PROBLEMAS
13.40 ... En las esquinas de un cuadrado que mide 10.0 cm por lado,
Figura E13.33
a
x
m
M
Sección 13.7 Peso aparente y rotación terrestre
13.34 .. Una visita a Santa. Usted decide visitar a Santa Claus en
el Polo Norte para ponerlo al corriente de su excelente comportamiento durante el año. Mientras está ahí, observa que el elfo Sneezy,
cuando cuelga de una cuerda, genera una tensión de 475.0 N en esta. Si
Sneezy cuelga de una cuerda similar mientras entrega regalos en el
ecuador de la Tierra, ¿cuál será la tensión en ella? (Recuerde que la
Tierra gira alrededor de un eje que pasa por los polos Norte y Sur).
Consulte el apéndice F y comience con un diagrama de cuerpo libre de
Sneezy en el ecuador.
13.35 . La aceleración debida a la gravedad en el Polo Norte de Neptuno es cercana a 10.7 m兾s2. Neptuno tiene una masa de 1.0 * 1026 kg,
un radio de 2.5 * 104 km y gira una vez alrededor de su eje en aproximadamente 16 h. a) Calcule la fuerza gravitacional que actúa sobre un
objeto de 5.0 kg en el Polo Norte de Neptuno. b) ¿Qué peso aparente
tiene ese mismo objeto en el ecuador de Neptuno? (Nota: La “superficie” de Neptuno es gaseosa, no sólida, así que no podríamos ponernos
de pie ahí).
Sección 13.8 Agujeros negros
13.36 .. Miniagujeros negros. Los cosmólogos han especulado
que agujeros negros del tamaño de un protón pudieron haberse formado en los días posteriores al Big Bang cuando inició el Universo. Si
tomamos el diámetro de un protón como 1.0 * 10-15 m, ¿cuál sería la
masa de un miniagujero negro?
13.37 .. En el centro de la galaxia. Los astrónomos han observado un objeto pequeño y masivo en el centro de nuestra galaxia, la
Vía Láctea (véase la sección 13.8). Un anillo de material orbita este
objeto masivo; el anillo tiene un diámetro aproximado de 15 años luz y
rapidez orbital aproximada de 200 km兾s. a) Determine la masa del
objeto central de la Vía Láctea. Dé su respuesta en kg y en masas
solares (una masa solar es la masa del Sol). b) Observaciones de estrellas y las teorías acerca de su estructura sugieren que es imposible que
se colocan cuatro masas idénticas de 800 kg cada una. ¿Qué fuerza
gravitacional neta (magnitud y dirección) actúa sobre una de las masas, debida a las otras tres?
13.41 ... Las estrellas de neutrones, como la que está en el centro de
la nebulosa del Cangrejo, tienen aproximadamente la misma masa que
el Sol, pero un diámetro mucho más pequeño. Si una persona pesa 675 N
en la Tierra, ¿cuánto pesaría en la superficie de una estrella de neutrones que tuviera la misma masa que el Sol y un diámetro de 20 km?
13.42 ... PA Exploración de Europa. Hay evidencia contundente
de que Europa, un satélite de Júpiter, tiene un océano líquido debajo de
su superficie congelada. Muchos científicos creen que se debería
enviar un vehículo explorador ahí para buscar señales de vida. Antes
de lanzarlo, se debería probar tal vehículo en las condiciones de la
gravedad en la superficie de Europa. Una forma de hacerlo consiste en
colocar el vehículo explorador en el extremo de un brazo giratorio
en un satélite en órbita terrestre. Si el brazo tiene 4.25 m de longitud y
pivota en uno de sus extremos, ¿con qué rapidez angular (en rpm)
debería girar para que la aceleración del vehículo fuera la misma que la
aceleración debida a la gravedad en la superficie de Europa? La masa
de Europa es de 4.8 * 1022 kg y tiene un diámetro de 3138 km.
13.43 . Tres esferas uniformes esFigura P13.43
tán fijas en las posiciones indicadas
y
en la figura P13.43. a) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza
1.0 kg
2.0 kg
que actúa sobre una partícula de
0.0150 kg colocada en P? b) Si las
esferas están en el espacio pro- 0.50 m
fundo y una partícula de 0.0150 kg
1.0 kg
se suelta del reposo a 300 m del
x
origen sobre una línea inclinada
0.50
m
P
45° abajo del eje -x, ¿qué rapidez
tendrá la partícula cuando llegue al origen?
13.44 .. Una esfera uniforme con masa de 60.0 kg se sostiene con su
centro en el origen, y una segunda esfera uniforme con masa de 80.0 kg
se sostiene con su centro en el punto x = 0, y = 3.00 m. a) ¿Qué magnitud
y dirección tiene la fuerza gravitacional neta que estas esferas ejercen
sobre una tercera esfera uniforme con masa de 0.500 kg cuyo centro
está en el punto x = 4.00 m, y = 0? b) ¿En qué posición, que no sea a
una distancia infinita, podría colocarse la tercera esfera de modo que
la fuerza gravitacional neta que actúa sobre ella debida a las otras dos
esferas sea cero?
432
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.45 .. PA BIO Desgaste de cadera en la Luna. a) Use los datos
del apéndice F para calcular la aceleración debida a la gravedad en la
Luna. b) Calcule la fuerza de fricción sobre una astronauta de 65 kg que
camina en la Luna transportando un paquete de instrumentos de 43 kg
si el coeficiente de fricción cinética en la articulación de su cadera
es de 0.0050. c) ¿Cuál sería la fuerza de fricción en la Tierra para esta
astronauta?
13.46 .. Misión en Titán. El 25 de diciembre de 2004, la sonda
Huygens se separó de la nave espacial que orbitaba Saturno e inició una
misión de 22 días en la luna gigante de Saturno, Titán, sobre cuya superficie se posó. Además de los datos del apéndice F, es importante saber
que Titán está a 1.22 * 106 km del centro de Saturno y tiene una masa de
1.35 * 1023 kg y un diámetro de 5150 km. ¿A qué distancia de Titán su
atracción gravitacional equilibrará la atracción gravitacional de Saturno?
13.47 .. El asteroide Toro tiene un radio de 5.0 km aproximadamente. Consulte el apéndice F si es necesario. a) Suponiendo que la densidad
de Toro es la misma que la de la Tierra (5.5 g兾cm3), calcule su masa
total y obtenga la aceleración en su superficie debida a la gravedad.
b) Suponga que un objeto se coloca en órbita circular alrededor de Toro,
con un radio ligeramente más grande que el radio del asteroide. ¿Cuál
es la rapidez del objeto? ¿Podría lanzarse usted mismo en órbita alrededor de Toro si corre?
13.48 ... En cierto instante, la Tierra, la Luna y una nave estacionaria
de 1250 kg están en los vértices de un triángulo equilátero, cuyos lados
miden 3.84 * 105 km de longitud. a) Calcule la magnitud y dirección
de la fuerza gravitacional neta que la Tierra y la Luna ejercen sobre la
nave. Exprese la dirección en términos de un ángulo medido a partir
de una línea que pasa por la Tierra y la nave. En un dibujo, muestre la
Tierra, la Luna, la nave y el vector fuerza. b) ¿Qué cantidad mínima de
trabajo tendría que efectuarse para desplazar la nave a un punto distante de la Tierra y la Luna? Pueden despreciarse los efectos gravitacionales debidos a los demás planetas y al Sol.
13.49 ... PA Se realiza un experimento en el espacio profundo con
dos esferas uniformes, una con masa de 50.0 kg y la otra con masa de
100.0 kg. El radio de las dos esferas es el mismo: r = 0.20 m. Las esferas se sueltan del reposo con sus centros separados 40.0 m, y aceleran
una hacia la otra por su atracción gravitacional mutua. Ignore todas las
demás fuerzas gravitacionales. a) Explique por qué se conserva el momento lineal. b) Cuando sus centros están separados 20.0 m, i. ¿qué rapidez tiene cada esfera? y ii. ¿con qué magnitud de velocidad relativa se
acerca una esfera a la otra? c) ¿A qué distancia de la posición inicial del
centro de la esfera de 50.0 kg chocan las superficies de las dos esferas?
13.50 .. PA Submarinos en Europa. Algunos científicos están deseosos de enviar un submarino de control remoto a la luna de Júpiter,
Europa, con la finalidad de buscar vida en sus océanos debajo de la
capa de hielo. Se ha medido la masa de Europa como 4.8 * 1022 kg, su
diámetro es de 3138 km, y no tiene atmósfera apreciable. Suponga que
la capa de hielo en la superficie no es lo suficientemente gruesa para
ejercer una fuerza considerable sobre el agua. Si las ventanas del submarino que se diseñó son cuadradas, tienen 25.0 cm por lado, y pueden resistir una fuerza máxima hacia adentro de 9750 N por ventana,
¿cuál es la máxima profundidad a la que puede viajar con seguridad
el submarino?
13.51 . Satélites geosincrónicos. Muchos satélites se mueven en
un círculo en el plano ecuatorial de la Tierra y están a tal altura que
siempre permanecen sobre el mismo punto. a) Determine la altura
de estos satélites sobre la superficie terrestre. (Una órbita con estas
características se llama geosincrónica). b) Explique, con un dibujo, por
qué las señales de radio de estos satélites no pueden llegar directamente a receptores terrestres situados a más de 81.3° de latitud norte.
13.52 ... Un módulo de descenso con masa de 12,500 kg está en
órbita circular a una distancia de 5.75 * 105 m sobre la superficie de un
planeta. El periodo de la órbita es de 5800 s. Los astronautas del módulo han determinado que el diámetro del planeta es de 9.60 * 106 m.
El módulo desciende en el Polo Norte del planeta. ¿Cuánto pesará un
astronauta de 85.6 kg al ponerse de pie en la superficie del planeta?
13.53 ... Determine la rapidez de escape desde un asteroide de 300 km
de diámetro y densidad de 2500 kg兾m3.
13.54 .. a) Los asteroides tienen densidades medias del orden de
2500 kg兾m3 y radios desde 470 km hasta menos de 1 km. Suponiendo
que un asteroide tiene una distribución esféricamente simétrica de
masa, estime el radio del asteroide más grande del que podría escapar con solo saltar. (Sugerencia: Puede estimar su rapidez de salto relacionándola con la altura máxima que puede saltar en la Tierra).
b) Europa, una de las cuatro lunas grandes de Júpiter, tiene un radio de
1570 km. La aceleración debida a la gravedad en su superficie es
de 1.33 m兾s2. Calcule su densidad media.
13.55 ... a) Suponga que está en el ecuador de la Tierra y observa un
satélite que pasa directamente arriba en dirección oeste a este. Exactamente 12.0 horas después, observa otra vez el satélite directamente
arriba de su cabeza. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre está la
órbita del satélite? b) Ahora observa otro satélite que se mueve de este
a oeste y pasa directamente arriba de su cabeza. El satélite vuelve a
estar en esa posición 12.0 horas después. ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre está su órbita?
13.56 .. El planeta X gira de forma análoga a la Tierra alrededor de
un eje que pasa por sus polos Norte y Sur, y es perfectamente esférico.
Un astronauta que pesa 943.0 N en la Tierra pesa 915.0 N en el Polo
Norte del planeta X y solo 850.0 N en su ecuador. La distancia entre el
Polo Norte y el ecuador es de 18,850 km, medidos sobre la superficie
del planeta X. a) ¿Qué duración tiene el día en el planeta X? b) Si un
satélite de 45,000 kg se coloca en órbita circular 2000 km arriba de
la superficie del planeta X, ¿qué periodo orbital tendrá?
13.57 .. Hay dos ecuaciones para calcular el cambio en la energía potencial gravitacional U del sistema de una masa m y la Tierra. Una es
U = mgy (ecuación 7.2) y la otra es U = -GmEm兾r (ecuación 13.9).
Como se demostró en la sección 13.3, la primera solo es correcta si la
fuerza gravitacional es constante dentro del cambio de altura ¢y. La segunda siempre es correcta. En realidad, la fuerza gravitacional nunca
es exactamente constante dentro de cualquier cambio de altura, pero si
la variación es pequeña, podemos despreciarla. Considere la diferencia
de U entre una masa en la superficie terrestre y a una distancia h arriba de ella, usando ambas ecuaciones, y determine el valor de h con el
que la ecuación (7.2) tiene un error de 1%. Exprese h como una fracción del radio de la Tierra y también como valor numérico.
13.58 ... PA Imagine que usted es el principal ingeniero científico de
la nave Despistado Errante, la cual se posa en el misterioso planeta
Mongo. Usted efectúa estas mediciones: una piedra de 2.50 kg lanzada hacia arriba desde el suelo a 12.0 m兾s vuelve al suelo en 6.00 s; la
circunferencia de Mongo en el ecuador es de 2.00 * 105 km; y el planeta carece prácticamente de atmósfera. El capitán Confusión, comandante de la nave, pide la siguiente información: a) ¿Qué masa tiene
Mongo? b) Si el Despistado Errante se coloca en una órbita circular
30,000 km arriba de la superficie de Mongo, ¿cuántas horas tardará en
dar una vuelta completa al planeta?
13.59 .. PA Un astronauta, cuya misión es ir donde nadie ha ido antes, desciende sobre un planeta esférico en una galaxia lejana. Cuando
se encuentra en la superficie del planeta, libera del reposo una roca
pequeña y determina que esta tarda 0.480 s en caer 1.90 m. Si el radio
del planeta es de 8.60 * 107 m, ¿cuál es la masa del planeta?
Problemas
13.60 .. En el ejemplo 13.5 (sección 13.3), despreciamos los efectos
gravitacionales de la Luna sobre una nave que viaja de la Tierra a la
Luna. De hecho, debemos incluir también la energía potencial gravitacional debida a la Luna. Para este problema, desprecie los movimientos de ambos cuerpos. a) Si la Luna tiene radio RM y la distancia entre
los centros de la Tierra y la Luna es REM, calcule la energía potencial
gravitacional total de los sistemas partícula-Tierra y partícula-Luna,
cuando una partícula de masa m está entre ambos cuerpos, a una distancia r del centro de la Tierra. Sea la energía potencial gravitacional
cero cuando los objetos están muy alejados entre sí. b) Hay un punto
en la línea entre la Tierra y la Luna, donde la fuerza gravitacional neta es
cero. Use la expresión que dedujo en a) y valores numéricos del apéndice F para calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra.
¿Con qué rapidez debe lanzarse una nave desde la superficie terrestre
para llegar apenas a este punto? c) Si se lanzara una nave de la superficie terrestre a la Luna con una rapidez inicial de 11.2 km兾s, ¿qué
rapidez tendría al chocar contra la Luna?
13.61 .. Calcule la diferencia porcentual entre el peso que tiene usted
en Sacramento, al nivel del mar, y en la cima del monte Everest, que
está a 8800 m sobre el nivel del mar.
13.62 .. La esfera de 0.100 kg de la figura P13.62 se libera del reposo
en la posición que se indica en el diagrama, con su centro a 0.400 m
del centro de masa de 5.00 kg. Suponga que las únicas fuerzas sobre la
esfera de 0.100 kg son las fuerzas gravitacionales ejercidas por las otras
dos esferas (de 5.00 y 10.0 kg), las cuales se mantienen en su lugar.
¿Cuál es la rapidez de la esfera de 0.100 kg cuando se ha movido 0.400 m
a la derecha de su posición inicial?
Figura P13.62
10.0 kg
5.00 kg
0.100 kg
0.400 m
0.600 m
13.63 ... Una nave no tripulada está en órbita circular alrededor de la
Luna, observando la superficie lunar desde una altura de 50.0 km (véase
el apéndice F). Para consternación de los científicos en la Tierra, un
desperfecto eléctrico hace que un motor a bordo se incendie y reduzca
la rapidez de la nave en 20.0 m兾s. Si no se corrige la órbita, ¿con qué
rapidez (en km兾h) chocará la nave contra la superficie lunar?
13.64 ... Masa de un cometa. El 4 de julio de 2005, la nave espacial de la NASA Deep Impact disparó un proyectil a la superficie del
cometa Tempel 1, el cual mide aproximadamente 9.0 km de diámetro.
Observaciones de los restos superficiales liberados por el impacto mostraron que el polvo, con una rapidez tan baja como 1.0 m兾s, podía escapar del cometa. a) Suponiendo una forma esférica, ¿cuál es la masa de
este cometa? (Sugerencia: Véase el ejemplo 13.5 en la sección 13.3).
b) ¿Qué tan alejados del centro del cometa estarán los restos cuando
hayan perdido i. el 90.0% de la energía cinética inicial en la superficie,
y ii. toda su energía cinética inicial en la superficie?
13.65 . Martillo que cae. Un martillo de masa m se deja caer del
reposo desde una altura h arriba de la superficie terrestre, no necesariamente pequeña en comparación con el radio RE de la Tierra. Despreciando la resistencia del aire, deduzca una expresión para la rapidez v
del martillo cuando llega a la superficie terrestre. Su expresión deberá
incluir h, RE y mE, la masa de la Tierra.
433
13.66 . a) Calcule cuánto trabajo se requiere para lanzar una nave espacial de masa m desde la superficie de la Tierra (masa mE, radio RE) y
colocarla en una órbita baja circular, es decir, una órbita cuya altura
sobre la superficie terrestre es mucho menor que RE. (Por ejemplo, la
Estación Espacial Internacional está en órbita baja a una altura aproximada de 400 km, mucho menor que RE = 6380 km). Se puede despreciar la energía cinética que la nave tiene en el suelo debido a la rotación
de nuestro planeta. b) Calcule la cantidad mínima de trabajo adicional
requerida para pasar la nave de una órbita baja a una distancia muy
grande desde la Tierra. Se pueden ignorar los efectos gravitacionales
del Sol, la Luna y los demás planetas. c) Justifique la afirmación de
que “en términos de energía, una órbita baja está a la mitad de la distancia a los confines del Universo”.
13.67 . Se va a lanzar una nave Figura P13.67
de la superficie terrestre, de modo
que escape del Sistema Solar.
a) Calcule la rapidez relativa al
centro de la Tierra con que se debe
Florida
lanzar la nave. Tenga en cuenta los
Tierra
efectos gravitacionales de la Tierra
Sol
y el Sol, e incluya los efectos de la
rapidez orbital de la Tierra, pero
desprecie la resistencia del aire.
b) La rotación terrestre puede ayudar a esta nave a alcanzar la rapidez
de escape. Calcule la rapidez que la nave debe tener relativa a la superficie terrestre, si se lanza de Florida en el punto indicado en la figura
P13.67. Los movimientos rotacional y orbital de la Tierra tienen la
misma dirección. Las instalaciones de lanzamiento de Florida están
28.5° al norte del ecuador. c) La Agencia Espacial Europea (ESA) usa
instalaciones de lanzamiento en la Guyana Francesa (inmediatamente
al norte de Brasil), 5.15° al norte del ecuador. ¿Qué rapidez relativa
a la superficie terrestre necesitaría adquirir una nave para escapar del
Sistema Solar, si se lanza desde la Guyana Francesa?
13.68 . Gravedad dentro de la Tierra. Calcule la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre una masa de 10.0 kg, si esta se coloca
en los siguientes lugares. Consulte la figura 13.9 y suponga una densidad constante en cada una de las regiones interiores (manto, núcleo
exterior, núcleo interior), pero no la misma densidad entre ellas. Utilice
la gráfica para estimar la densidad media para cada región: a) en la superficie terrestre; b) en la superficie exterior del núcleo exterior fundido;
c) en la superficie del núcleo interior sólido; d) en el centro de la Tierra.
13.69 . Huecos de Kirkwood. Cientos de miles de asteroides giran
alrededor del Sol en el cinturón de asteroides, el cual se extiende desde
aproximadamente 3 * 108 km hasta 5 * 108 km del Sol. a) Calcule el
periodo orbital (en años) de un asteroide en i. la orilla interior del cinturón y ii. la orilla exterior del cinturón. Suponga órbitas circulares.
b) En 1867, el astrónomo estadounidense Daniel Kirkwood señaló que
existen varios huecos en el cinturón de asteroides, donde se encuentran
relativamente pocos de tales cuerpos. Ahora se sabe que esos huecos
de Kirkwood se deben a la atracción gravitacional de Júpiter, el planeta
más grande, cuyo periodo orbital alrededor del Sol es de 11.86 años.
Por ejemplo, si un asteroide tiene un periodo orbital que es la mitad del
de Júpiter, es decir, 5.93 años, en cada segunda órbita el asteroide estaría a una distancia mínima de Júpiter y experimentará una fuerte
atracción hacia ese planeta. Dicha atracción, al actuar repetidamente
en órbitas sucesivas, podría ir sacando a los asteroides para crear el
hueco de Kirkwood. Utilice esta hipótesis para determinar el radio orbital de ese hueco de Kirkwood. c) Otro hueco de Kirkwood aparece a una
distancia del Sol, en la que el periodo orbital es 0.400 veces el de Júpiter. Explique esto y calcule el radio orbital de ese hueco de Kirkwood.
434
CAPÍTULO 13 Gravitación
13.70 ... Si un satélite está en una órbita lo bastante baja, experimentará el arrastre de la atmósfera terrestre. Dado que el arrastre realiza trabajo negativo (es decir, la dirección de la fuerza de arrastre es
opuesta al movimiento), la energía mecánica disminuirá. Según la
ecuación (13.13), si E disminuye (se hace más negativa), el radio r de
la órbita disminuirá. Si el arrastre es relativamente pequeño, puede
considerarse que el satélite está en una órbita circular con radio continuamente decreciente. a) Según la ecuación (13.10), si el radio de la
órbita circular de un satélite disminuye, la rapidez orbital v del satélite
aumenta. ¿Cómo puede conciliar esto con la afirmación de que la energía mecánica disminuye? (Sugerencia: ¿El arrastre es la única fuerza que
realiza trabajo sobre el satélite al disminuir el radio orbital?). b) Por el
arrastre del aire, el radio de la órbita circular de un satélite disminuye
de r a r - ¢r, donde la cantidad positiva ¢r es mucho menor que r. La
masa del satélite es m. Demuestre que el aumento en la rapidez orbital es ¢v = +(¢r兾2) 2GmE>r3 ; que el cambio de energía cinética es
¢K = +(GmE m兾2r2) ¢r; que el cambio de energía potencial gravitacional es ¢U = -2 ¢K = -(GmE m兾r2) ¢r; y que la cantidad de trabajo
efectuado por la fuerza de arrastre es W = -(GmE m兾2r2) ¢r. Interprete
estos resultados a la luz de sus comentarios del inciso a). c) Un satélite
con masa de 3000 kg está inicialmente en una órbita circular a 300 km
por encima de la superficie terrestre. A causa del arrastre el aire, la altura del satélite disminuye a 250 km. Calcule la rapidez orbital inicial,
el aumento en dicha rapidez, la energía mecánica inicial, el cambio de
energía cinética, el cambio de energía potencial gravitacional, el cambio de energía mecánica y el trabajo realizado por la fuerza de arrastre
del aire. d) A final de cuentas, el satélite descenderá a una altura tan
baja en la atmósfera que se quemará y los restos caerán a la superficie.
¿Qué pasa con la energía mecánica inicial?
13.71 . Estrella binaria: masas iguales. Dos estrellas idénticas de
masa M están en órbita alrededor de su centro de masa. Las dos órbitas
son circulares con radio R, de modo que las dos estrellas siempre están
en lados opuestos del círculo. a) Calcule la fuerza gravitacional que
una estrella ejerce sobre la otra. b) Calcule la rapidez orbital de cada
estrella y el periodo de la órbita. c) ¿Cuánta energía se requeriría para
separar las estrellas hasta el infinito?
13.72 .. PA Estrella binaria: masas distintas. Dos estrellas, de
masas M1 y M2, están en órbitas circulares alrededor de su centro
de masa. La primera tiene una órbita de radio R1; y la segunda, R2.
a) Demuestre que la relación de los radios orbitales de las dos estrellas
es igual al recíproco de la relación de sus masas, es decir, R1兾R2 =
M2兾M1. b) Explique por qué las dos estrellas tienen el mismo periodo orbital T y que este último está dado por T = 2p(R1 + R2)3兾2兾
2G1M1 + M2 2. c) Las dos estrellas de cierto sistema binario se
mueven en órbitas circulares. La primera estrella, Alfa, tiene una rapidez orbital de 36.0 km兾s; y la segunda estrella, Beta, de 12.0 km兾s.
El periodo orbital es de 137 días. Calcule las masas de las estrellas.
d) Uno de los mejores candidatos para agujero negro está en el sistema
binario llamado A0620-0090. Los dos objetos del sistema son una estrella anaranjada, V616 Monocerotis, y un objeto compacto que se cree
es un agujero negro (figura 13.27). El periodo orbital de A0620-0090 es
de 7.75 horas. Se estima que la masa de V616 Monocerotis es 0.67 veces la masa del Sol, y la del agujero negro, 3.8 veces la masa del Sol.
Suponiendo que las órbitas son circulares, determine el radio de la órbita y la rapidez orbital de cada objeto. Compare sus respuestas con
el radio orbital de la Tierra y su rapidez orbital alrededor del Sol.
13.73 ... Los cometas viajan alrededor del Sol en órbitas elípticas de
gran excentricidad. Si un cometa tiene una rapidez de 2.0 * 104 m兾s
cuando está a una distancia de 2.5 * 1011 m del centro del Sol, ¿qué
rapidez tiene cuando se encuentra a 5.0 * 1010 m?
13.74 .. PA Un astronauta se encuentra en el Polo Norte de un planeta con simetría esférica, descubierto recientemente, de radio R. En sus
manos sostiene un contenedor lleno de un líquido de masa m y volumen V. En la superficie del líquido, la presión es p0; a la profundidad d,
debajo de la superficie, la presión tiene un valor mayor p. Con esta
información, determine la masa del planeta.
13.75 .. CALC La Tierra no tiene densidad uniforme: es más densa
en su centro y menos densa en su superficie. Una aproximación de
su densidad es r(r) = A - Br, donde A = 12,700 kg兾m3 y B = 1.50 *
10-3 kg兾m4. Use R = 6.37 * 106 m para el radio de la Tierra aproximada como una esfera. a) La evidencia geológica indica que las densidades son 13,100 kg兾m3 y 2400 kg兾m3 en el centro y la superficie
de la Tierra, respectivamente. ¿Qué valores da el modelo aproximado
para las densidades de estas dos ubicaciones? b) Imagine que se divide
la Tierra en cascarones esféricos concéntricos. Cada cascarón tiene un
radio r, espesor dr, volumen dV = 4pr2 dr y masa dm = r(r)dV. Integrando desde r = 0 hasta r = R, demuestre que la masa de la Tierra en
4
3
este modelo es M = 3pR 31A - 4BR2. c) Demuestre que los valores dados de A y B proporcionan la masa correcta de la Tierra con
un margen del 0.4%. d) En la sección 13.6 vimos que un cascarón
esférico uniforme no contribuye a g en su interior. Demuestre que
g1r2 = 43pGr1A - 34Br2 dentro de la Tierra en este modelo. e) Compruebe que la expresión del inciso d) da g = 0 en el centro de la Tierra
y g = 9.85 m兾s2 en la superficie. f ) Demuestre que, en este modelo, g
no disminuye uniformemente con la profundidad, sino que tiene un
máximo de 4pGA2兾9B = 10.01 m兾s2 en r = 2A兾3B = 5640 km.
13.76 .. PA CALC En el ejemplo 13.10 (sección 13.6) vimos que en
el interior de un planeta de densidad uniforme (un supuesto irreal para
la Tierra), la aceleración debida a la gravedad se incrementa uniformemente con la distancia al centro del planeta. Es decir, g(r) = gSr兾R,
donde gS es la aceleración debida a la gravedad en la superficie, r es
la distancia al centro del planeta y R es el radio del planeta. El interior
del planeta se puede tratar aproximadamente como un fluido incompresible de densidad r. a) Sustituya la altura y en la ecuación (12.4)
por la coordenada radial r e integre para calcular la presión en el interior de un planeta uniforme como función de r. Sea la presión en la
superficie igual a cero. (Esto significa ignorar la presión de la atmósfera del planeta). b) Usando este modelo calcule la presión en el centro
de la Tierra. (Use un valor de r igual a la densidad media de la Tierra,
calculada a partir de la masa y el radio proporcionados en el apéndice F).
c) Los geólogos estiman que la presión en el centro de la Tierra es de
aproximadamente 4 * 1011 Pa. ¿Concuerda esto con el cálculo de la presión en r = 0? ¿Qué podría explicar cualquier diferencia?
13.77 ... PA Considere una nave en órbita elíptica alrededor de la
Tierra. En el punto bajo, o perigeo, de su órbita, la nave está 400 km
arriba de la superficie de la Tierra; en el punto alto, o apogeo, está a
4000 km de la superficie de la Tierra. a) Calcule el periodo de la nave
en esa órbita. b) Usando la conservación del momento angular, calcule la razón entre la rapidez de la nave en el perigeo y la rapidez de la
nave en el apogeo. c) Usando la conservación de la energía, determine
la rapidez de la nave tanto en el perigeo como en el apogeo. d) Se
desea que la nave escape totalmente de la Tierra. Si sus cohetes se encienden en el perigeo, ¿cuánto tendrá que aumentarse la rapidez para
lograrlo? ¿Qué ocurre si los cohetes se disparan en el apogeo? ¿Qué
punto de la órbita se puede usar con mayor eficiencia?
13.78 . Urano tiene un radio de 25,560 km y en la superficie de sus
polos la aceleración debida a la gravedad es de 11.1 m兾s2. Su luna
Miranda (descubierta en 1948 por Kuiper) está en una órbita circular
a una altura de 104,000 km sobre la superficie del planeta; además, tiene
una masa de 6.6 * 1019 kg y un radio de 235 km. a) Calcule la masa de
Problemas de desafío
Urano a partir de estos datos. b) Calcule la magnitud de la aceleración de Miranda debida a su movimiento orbital alrededor de Urano.
c) Calcule la aceleración debida a la gravedad de Miranda en su superficie. d) ¿Las respuestas a los incisos b) y c) implican que un objeto
soltado 1 m arriba de la superficie de Miranda en el lado que da hacia
Urano caerá hacia arriba relativo a Miranda? Explique.
13.79 ... Una nave de 5000 kg está en órbita circular 2000 km arriba
de la superficie de Marte. ¿Cuánto trabajo deben efectuar sus motores
para llevarla a una órbita circular 4000 km arriba de la superficie?
13.80 .. Uno de los cometas más brillantes del siglo XX fue el cometa
Hyakutake, que pasó cerca del Sol a principios de 1996. Se estimó que
el periodo orbital de ese cometa es de unos 30,000 años. Calcule el
semieje mayor de la órbita de este cometa y compare ese valor con la
distancia media entre Plutón y el Sol, y con la distancia a Alfa Centauri, la estrella más cercana al Sol, que se encuentra a 4.3 años luz.
13.81 ... CALC Los planetas no son uniformes en su interior. Normalmente, son más densos en el centro, y su densidad se reduce hacia la
superficie. Modele un planeta esféricamente simétrico, con el mismo
radio que la Tierra, suponiendo que su densidad disminuye linealmente
al aumentar la distancia al centro. Sea la densidad en el centro de 15.0 *
103 kg兾m3, y en la superficie, de 2.0 * 103 kg兾m3. Determine la aceleración debida a la gravedad en la superficie de ese planeta.
13.82 .. CALC Un alambre uniforme con masa M y longitud L se
dobla para formar una semicircunferencia. Calcule la magnitud y la
dirección de la fuerza gravitacional que este alambre ejerce sobre
una masa puntual m colocada en el centro de curvatura de la semicircunferencia.
13.83 ... CALC Un objeto en forma de anillo circular delgado tiene
radio a y masa M. Una esfera uniforme de masa m y radio R se coloca
con su centro a una distancia x a la derecha del centro del anillo, sobre
una línea que pasa por el centro del anillo y es perpendicular a su plano
(véase la figura E13.33). ¿Qué fuerza gravitacional ejerce la esfera
sobre el anillo? Demuestre que su resultado se reduce al valor esperado
cuando x es mucho mayor que a.
13.84 ... CALC Una varilla uniforme delgada tiene una longitud L y
una masa M. Calcule la magnitud de la fuerza gravitacional que la varilla ejerce sobre una partícula de masa m, situada en un punto a lo largo
del eje de la varilla y a una distancia x de un extremo (figura E13.32).
Demuestre que su resultado se reduce al valor esperado cuando x es
mucho mayor que L.
13.85 . CALC Se perfora un pozo de la superficie al centro de la Tierra
(véase la figura 13.24). Como en el ejemplo 13.10 (sección 13.6),
suponga que la densidad de la Tierra es uniforme. Con esta aproximación poco realista, la fuerza gravitacional que actúa sobre un objeto
de masa m, ubicado dentro de la Tierra a una distancia r del centro,
tiene magnitud Fg = GmEmr兾RE3 (como se demostró en el ejemplo
13.10) y apunta hacia el centro de la Tierra. a) Deduzca una expresión
para la energía potencial gravitacional U(r) del sistema objeto-Tierra en
función de la distancia del objeto al centro de la Tierra. Considere la
energía potencial igual a cero cuando el objeto está en el centro de
la Tierra. b) Si un objeto se deja caer por el pozo desde la superficie
terrestre, ¿qué rapidez tendrá cuando llegue al centro de la Tierra?
PROBLEMAS DE DESAFÍO
13.86 ... a) Cuando un objeto está en una órbita circular de radio r
alrededor de la Tierra (masa mE), el periodo de la órbita es T, dado por
la ecuación (13.12), y la rapidez orbital es v, dada por la ecuación
(13.10). Demuestre que, cuando el objeto se mueve en una órbita circular con radio un poco mayor r + ¢r, donde ¢r 66 r, su nuevo periodo
es T + ¢T y su nueva rapidez orbital es v - ¢v, donde ¢r, ¢T y ¢v son
cantidades positivas y
¢T =
3p ¢r
v
y
¢v =
p ¢r
T
435
[Sugerencia: Use la expresión (1 + x)n L 1 + nx, válida para 兩x 兩 66 1.]
b) La Estación Espacial Internacional (ISS, por las siglas de International Space Station) está en una órbita casi circular a una altitud de
398.00 km. Una cuadrilla de mantenimiento está a punto de llegar en
un transbordador espacial que también está en una órbita circular en el
mismo plano orbital que la ISS, pero con una altitud de 398.10 km.
La cuadrilla acudió para retirar un cable eléctrico inutilizado con una
longitud de 125 m que está unido a la ISS por un extremo, con el otro
extremo flotando libre en el espacio. El plan es que el transbordador
atrape el extremo libre en el instante en que la nave, la ISS y el centro
de la Tierra estén alineados. Al tensarse el cable, se soltará de la ISS.
¿Cuántos minutos después de que el transbordador atrape el extremo
suelto el cable se soltará de la ISS? Dé su respuesta en minutos.
c) Demuestre que, si el transbordador no logra atrapar el cable, la cuadrilla deberá esperar un tiempo t L T 2兾¢T para tener otra oportunidad.
Calcule el valor numérico de t y explique si valdría la pena esperar.
13.87 ... Navegación interplanetaria. La forma más eficiente de
enviar una nave de la Tierra a otro planeta es usar una órbita de transferencia de Hohmann (figura P13.87). Si las órbitas de los planetas de
origen y de destino son circulares, la órbita de transferencia de Hohmann
es una órbita elíptica, cuyo perihelio y afelio son tangentes a las órbitas
de los dos planetas. Los cohetes se encienden brevemente en el planeta de origen para colocar la nave en la órbita de transferencia; a continuación, la nave viaja sin motor hasta llegar al planeta de destino. En
ese instante, los cohetes se encienden otra vez para poner a la nave en
la misma órbita alrededor del Sol que el planeta de destino. a) Para un
vuelo de la Tierra a Marte, ¿en qué dirección se deben disparar los cohetes en la Tierra y en Marte: en la dirección del movimiento o en la
dirección opuesta? ¿Y en un vuelo de Marte a la Tierra? b) ¿Cuánto
tarda un viaje de ida de la Tierra a Marte, entre los disparos de los
cohetes? c) Para llegar a Marte desde la Tierra, el instante del lanzamiento debe calcularse de modo que Marte esté en el lugar correcto
cuando la nave llegue a la órbita de Marte alrededor del Sol. En el lanzamiento, ¿qué ángulo deben formar las líneas Sol-Marte y Sol-Tierra?
Use datos del apéndice F.
Figura P13.87
Órbita
de transferencia de
Hohmann
Órbita de Marte
Sol
Órbita de la Tierra
13.88 ... PA Fuerzas de marea cerca de un agujero negro. Un astronauta, dentro de una nave que lo protege de las radiaciones dañinas,
está en órbita alrededor de un agujero negro a una distancia de 120 km
de su centro. El agujero tiene 5.00 veces la masa del Sol y un radio de
Schwarzschild de 15.0 km. El astronauta está situado dentro de la
nave, de modo tal que una de sus orejas de 0.030 kg está 6.0 cm más
lejos del agujero negro que el centro de masa de la nave, y la otra oreja
está 6.0 cm más cerca. a) ¿Qué tensión hay entre las orejas? ¿Sería
difícil para el astronauta evitar ser desgarrado por las fuerzas gravitacionales? (Puesto que todo su cuerpo está en órbita con la misma
velocidad angular, una oreja se mueve con demasiada lentitud para el
radio de su órbita y la otra lo hace con demasiada rapidez. Por ello, la
cabeza debe ejercer fuerzas sobre las orejas para mantenerlas en sus
436
CAPÍTULO 13 Gravitación
órbitas). b) ¿El centro de gravedad de la cabeza está en el mismo punto
que su centro de masa? Explique.
13.89 ... CALC La masa M está Figura P13.89
distribuida uniformemente en un
m
disco de radio a. Calcule la fuerza
gravitacional (magnitud y dirección) que actúa entre esta masa y
x
una partícula de masa m situada
a una distancia x arriba del centro
del disco (figura P13.89). ¿Su rea
sultado se reduce a la expresión
M
correcta cuando x se hace muy
grande? (Sugerencia: Divida el
disco en anillos concéntricos infi-
nitesimalmente delgados, use la expresión deducida en el ejercicio
13.33 para la fuerza gravitacional debida a cada anillo, e integre para
obtener la fuerza total).
13.90 ... CALC La masa M está Figura P13.90
distribuida uniformemente a lo larP
go de una línea de longitud 2L.
Una partícula de masa m está en un
a
punto a una distancia a arriba del
centro de la línea en su bisectriz
L
L
perpendicular (el punto P en la
figura P13.90). Para la fuerza graM
vitacional que la línea ejerce sobre
la partícula, calcule las componentes perpendicular y paralela a la línea.
¿Su resultado se reduce a la expresión correcta cuando a se hace muy
grande?
Respuestas
Pregunta inicial del capítulo
?
Cuanto menor sea el radio orbital r de un satélite, mayor será su rapidez orbital v [ecuación (13.10)]. Por lo tanto, una partícula cerca del
borde interior de los anillos de Saturno tiene mayor rapidez que una
partícula cerca del borde exterior de los anillos.
Preguntas de las secciones
Evalúe su comprensión
13.1 Respuesta: v. De acuerdo con la ecuación (13.1), la fuerza
gravitacional del Sol (masa m1) sobre un planeta (masa m2) que está
a una distancia r tiene magnitud Fg = Gm1m2兾r2. En comparación con
la Tierra, Saturno tiene un valor de r2 que es 102 = 100 veces más
grande y un valor de m2 que también es 100 veces mayor. Por lo tanto,
la fuerza que el Sol ejerce sobre Saturno tiene la misma magnitud
que la fuerza que el Sol ejerce sobre la Tierra. La aceleración de un
planeta es igual a la fuerza neta dividida entre la masa del planeta:
como Saturno tiene 100 veces más masa que la Tierra, su aceleración
1
es 100 de la aceleración terrestre.
13.2 Respuesta: iii, i, ii, iv. De acuerdo con la ecuación (13.4), la
aceleración debida a la gravedad en la superficie de un planeta de masa
mP y radio RP es gP = Gm P兾RP2. Es decir, gp es directamente proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado
de su radio. Entonces, comparado con el valor de g en la superficie
terrestre, el valor de gp en cada planeta es de i. 2兾22 = 12 ; ii. 4兾42 = 14 ;
iii. 4兾22 = 1; es decir, el mismo que en la Tierra, y iv. 2兾42 = 18 .
13.3 Respuesta: sí Esto es posible, porque la gravedad superficial y
la rapidez de escape dependen de diferente manera de la masa mP y del
radio RP del planeta: el valor de g en la superficie es Gm P兾RP2, mientras que la rapidez de escape es 22GmP >RP . En el caso de Saturno,
por ejemplo, mP es aproximadamente 100 veces la masa de la Tierra y
RP es aproximadamente 10 veces el radio de la Tierra. El valor de g
difiere del valor en la Tierra por un factor de (100)兾(10)2 = 1 (es decir,
es igual que en la Tierra), en tanto que la rapidez de escape es mayor
en un factor de 2100>10 = 3.2. Es útil recordar que la gravedad
superficial se refiere a las condiciones en la superficie del planeta,
mientras que la rapidez de escape (que es la que necesitamos adquirir
para escapar al infinito) depende de las condiciones en todos los puntos entre la superficie del planeta y el infinito.
13.4 Respuesta: ii. La ecuación (13.10) muestra que en una órbita
de radio menor, la nave espacial tiene una rapidez mayor. El trabajo
negativo efectuado por la resistencia del aire disminuye la energía mecánica total E = K + U; la energía cinética K aumenta (se vuelve más
positiva), pero disminuye la energía potencial gravitacional U (se vuelve más negativa) en una cantidad mayor.
13.5 Respuesta: iii. La ecuación (13.17) indica que el periodo orbi3
tal T es proporcional a la potencia 2 del semieje mayor a. Por lo tanto,
el periodo orbital del cometa X es más largo que el del cometa Y por
un factor de 43兾2 = 8.
13.6 Respuesta: no Nuestro análisis revela que la fuerza gravitacional dentro de un cascarón esférico hueco es cero. Por consiguiente,
quienes visitaran el interior de un planeta hueco experimentarían ingravidez, y no podrían ponerse de pie ni caminar sobre la superficie
interior del planeta.
13.7 Respuesta: iv. El análisis de la ecuación (13.27) indica que la
diferencia entre la aceleración debida a la gravedad en el ecuador y en
los polos es v2兾RE. Puesto que este planeta tiene el mismo radio y, por
consiguiente, la misma circunferencia que la Tierra, la rapidez v en su
ecuador debe ser 10 veces la rapidez del ecuador terrestre. Por lo tanto,
v2兾RE es 102 = 100 veces mayor que en la Tierra, o bien, 100(0.0339
m兾s2) = 3.39 m兾s2. La aceleración debida a la gravedad en los polos
es 9.80 m兾s2, en tanto que en el ecuador es significativamente menor:
9.80 m兾s2 - 3.39 m兾s2 = 6.41 m兾s2. Usted puede demostrar que si el
planeta estuviera girando 17.0 veces más rápido que la Tierra, la aceleración debida a la gravedad en el ecuador sería cero ¡y los objetos
sueltos saldrían disparados de la superficie del ecuador!
13.8 Respuesta: iii. Si el Sol se colapsara para formar un agujero
negro (lo cual, según lo que actualmente sabemos acerca de las estrellas, no puede suceder), tendría la misma masa pero un radio mucho
menor. Como la atracción gravitacional entre el Sol y la Tierra no depende del radio del Sol, no se alteraría la órbita de la Tierra.
Problema práctico
Respuestas: a) Perihelio: vP =
Afelio: vA =
GmS (1 + e)
B a 11 - e2
GmS (1 - e)
B a 11 + e2
b) vP = 54.4 km>s, vA = 0.913 km>s