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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Álgebra Lineal
Profesor: Hernán Giraldo
En los problemas 1 al 5 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si no
lo es, dé una lista de los axiomas que no se cumplen.
1. El conjunto de matrices diagonales de n×n bajo la suma de matrices y multiplicación
por un escalar usuales.
2. El conjunto de matrices diagonales de n×n bajo la multiplicación (es decir, A⊕B =
AB).
3. {(x, y) : y ≤ 0; x, y reales} con la suma de vectores y multiplicación por un escalar
usuales.
4. Los vectores en el plano que están en el primer cuadrante.
5. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x).
6. Considere la ecuación diferencial de segundo orden homogénea
y 00 (x) + a(x)y 0 (x) + b(x)y(x) = 0
Donde a(x) y b(x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de la ecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de
funciones y multiplicación por un escalar.
7. Demuestre que M22 se puede generar con matrices invertibles.
8. Sean {u1 , u2 . . . , un } y {v1 , v2 . . . , vn } dos n-vectores en un espacio vectorial V .
Suponga que
v1 = a11 u1 + a12 u2 + . . . + a1n un
v2 = a21 u1 + a22 u2 + . . . + a2n un
..
.
vn
= an1 u1 + an2 u2 + . . . + ann un
Demuestre que si
a11
a21
..
.
an1
a12
a22
..
.
···
···
an2
···
a1n a2n .. 6= 0
. ann Entonces gen {u1 , u2 , . . . , un } = gen {v1 , v2 , . . . , vn }.