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Tema 3: Números racionales
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 4 (Fracciones y números racionales positivos)
(Pág. 119)
22. Al examen de junio de matemáticas se presentan 3 de cada 5 alumnos matriculados,
y por cada 5 alumnos que aprueban hay 2 que suspenden. ¿Qué fracción de los alumnos
matriculados aprueban en junio?
DIAGRAMA EN ÁRBOL:
ARITMÉTICA:
Si suponemos que se han
matriculado 37 personas, los
MATRICULADOS
presentados serían (3/5)(35) = 21.
3/5
De estos 21 aprueban los 5/7, o
sea,
PRESENTADOS
(5/7)(21)=15. La razón entre los
2/7
aprobados y los matriculados
5/7
será:
SUSPENSOS
APROBADOS
15/35 = 3/7.
2/5
NO
PRESENTADOS
Aprobados =(5/7)(3/5) = 3/7
ALGEBRAICA:
Si M representa el número de
alumnos matriculados y A los
aprobados,
5 3
15
3
A  ( M )  M  M ; la
7 5
35
7
fracción pedida es 3/7.
23. En una planta depuradora de aguas residuales, el tratamiento del agua se realiza en
tres etapas. En una primera se quitan los 9/10 de los fosfatos. En la segunda se quitan
los ¾ de los que quedan. Y en la tercera, se quita ½ de los que aún lleva el agua. ¿Qué
fracción de fosfatos se quitan en total del agua?
Si F representa la cantidad
inicial de fosfatos en el agua
residual, la cantidad de
fosfatos remanentes al final
de las tres etapas será:
1 1 1
1
R  [ ( F )]  F .
2 4 10
80
Luego la fracción de fosfatos
eliminados será,
1
1 79

80 80
FOSFATOS
9/10
1/10
ELIMINADOS
1ª FASE
RESTANTES
1ª FASE
3/4
1/4
1/2
RESTANTES
3ª FASE
FOSFATOS
ELIMINADOS:
ELIMINADOS
2ª FASE
RESTANTES
2ª FASE
1 1 1
79
1  [ ( )] 
2 4 10
80
1/2
ELIMINADOS
3ª FASE
24. Supongamos que 2/5 de la ginebra es alcohol, que 1/6 del vermouth es alcohol, y
que un martini se hace con 5 partes de ginebra y 1 parte de vermouth. ¿Qué fracción de
alcohol lleva un martini?
Sea A la fracción total de alcohol en
un martín. A será la suma del
alcohol aportado por la ginebra y por
el vermouth. El alcohol de cada uno
de los componentes será el producto
de las fracciones correspondientes
(fracción de fracción):
2 5 1 1 13
A .  . 
5 6 6 6 36
MARTINI
5/6
VERMOUTH
GINEBRA
2/5
ALCOHOL
1/6
3/5
NO
ALCOHOL
ALCOHOL TOTAL,
1/6
ALCOHOL
5/6
NO
ALCOHOL
2 5 1 1 13
A .  . 
5 6 6 6 36
TALLER DE MATEMÁTICAS (Pág. 119-121):
3. Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentación y
la sexta parte en alquiler del piso. Después de realizados estos pagos le quedan 570
euros. ¿Cuál es su salario mensual?
Si S es el salario mensual,
1
1
S  S  570  S ; despejando se obtiene S = 900€
5
6
4. Un coche circula a 80 km/h durante 18 minutos. ¿Por qué número es necesario
multiplicar la velocidad para encontrar la distancia que recorre expresada en km?
¿Cuánto tiempo necesitará para recorrer 64 km a esa misma velocidad?
a) Hay que multiplicar la velocidad por 18/60, que es la fracción de hora que
km 18
corresponde a 18 minutos. Distancia recorrida, 80
. h  24km
h 60
km
64
4
b) 80
xT  64km; T  h  h  48 minutos
h
80
5
5. Se considera el número A = 45501/56.
a) Encontrar los dos enteros consecutivos que encuadran a A (o sea, el mayor
entero menor que A y el menor entero mayor que A)
b) Calcular en forma de fracción la diferencia entre A y cada uno de los enteros
anteriores.
c) Llamemos B al entero más próximo a A. Encontrar tres números racionales
comprendidos entre A y B.
a) 812 < A < 813;
45501
29
45501 27
b) A  812 
 812 
; 813  A  813 

56
56
56
56
c) 813 es el entero más próximo a A, aunque mayor que A. Por tanto, restando
sucesivamente a 813, por ejemplo, 1/56; 2/56; 3/5,6 obtenemos los tres números
pedidos.
6. Demostrar que es posible pavimentar un rectángulo con baldosas cuadradas si y sólo
si la razón entre las longitudes de la base y la altura es un número racional.
Expresemos mediante las letras a y b la altura y la base del rectángulo.
Para que se pueda pavimentar con baldosas cuadradas es necesario (y suficiente) que
exista una longitud L tal que a = L.n1; b= L.n2. Entonces, la razón entre b y a será:
b L.n2 n2

 , que es un número racional.
a L.n1 n1
Si la razón es irracional, quiere decir que no existe una fracción que exprese dicha
razón. Por tanto, no existe la longitud L que pueda ser la longitud del lado de la baldosa
cuadrangular que permitiría el recubrimiento.
7. En una familia el padre obtiene 3/5 de los ingresos y el resto lo obtiene la madre.
Mientras que ésta paga 2/10 de sus ingresos en concepto de impuestos directos en su
declaración de la renta, el padre paga 2/11 de sus ingresos. La familia paga además 1/20
de sus ingresos en impuestos autonómicos y estiman que aproximadamente 3/50 de sus
ingresos se pagan en impuestos indirectos (tabaco, gasolina, artículos de lujo, etc.).
¿Qué proporción total de ingresos paga en impuestos esta familia?
Sea I la incógnita que representa los ingresos totales de la familia. El total de impuestos
que paga, según las condiciones indicadas vienen dados por la siguiente expresión:
2 2
2 3
1
3
4 6
1
3
353
. I . I I
 (    ).I 
I
10 5
11 5
20
50 I
50 55 20 50
1100
8. Realiza las siguientes operaciones:
a) 1 
1
1
1
1
, b) 1 
, c) 1 
, d) 1 
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
¿Eres capaz de descubrir un patrón en esta serie? ¿Podrías, sin necesidad de hacer los
cálculos, escribir los tres números siguientes?
a) 3/2; b) 5/3; c) 8/5; d) 13/8.
El numerador de cada nuevo término es la suma de los numeradores de las dos
fracciones anteriores, y el denominador, la suma de los denominadores de las dos
fracciones anteriores.
Según este patrón, los tres números siguientes serán: 21/13; 34/21; 55/34.
11. Una de cada 10.000 personas aproximadamente contrae tuberculosis a lo largo de
su vida. Las pruebas para detectar la tuberculosis dan positivas en el 99/100 de las
personas enfermas y también en el 2/100 de las personas sanas (falsos positivos)
a)
¿Cuál es la probabilidad de contraer tuberculosis?
b) En una población de 40.000 de personas, ¿Cuántas contraerán tuberculosis?
c)
¿Cuántos falsos positivos hay?
d) ¿Cuántos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo)
e)
¿Qué proporción de aquellos en los que el test da positivo está realmente enferma?
POBLACION
40.000
1/10.000
TUBERCULOSOS
4
99/100
DETECTADOS
9.999/10.000
NO
TUBERCULOSOS
39.996
1/100
NO
DETECTADOS
(Falsos negativos)
2/100
FALSOS
POSITIVOS
800
98/100
NEGATIVOS
a) Probabilidad de contraer tuberculosis: 1/10.000;
b) Personas que contraen tuberculosis: 40.000 x(1/10.000) = 4
c) Falsos positivos: (2/100)x(9.999/10.000) x 40.000 = 800
d) Falsos negativos, 4x(1/100) = 0.04 (prácticamente ninguno)
e) Proporción de realmente enfermos respecto de los que el test da positivo:
4/(4+800) = 4/804
Tema 3: Números racionales. Expresiones y números decimales
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5. Expresiones y números decimales
(Pág. 128)
1. Si la fracción a/b es irreducible, a < b y b= 2x54, ¿Cuántos dígitos decimales aparecen
a la derecha de la coma al expresar esta fracción en forma decimal?
El denominador b se puede transformar en una potencia de 10 multiplicando ambos
miembros de la fracción por 23, quedando como 104. Por tanto, el número de dígitos
decimales a la derecha de la coma será de 4.
3. Escribir en notación decimal en base 12 el racional
4712(10
144(10
.
Expresamos en base 12 el numerador y el denominador.
4712(10 = 2888(12; 144(10 = 100(12.
El racional dado se expresará como 28’88 en base 12
8. Sumar 0’6 + 0’3. ¿La suma de dos números decimales periódicos, es siempre un
decimal periódico?
Para sumar dos racionales escritos en forma decimal periódica es necesario hallar las
fracciones generatrices correspondientes. En este caso, 0’6666... = 2/3 (aplicando el
algoritmo habitual); y 0’3333.... = 1/3.
La suma de ambas fracciones es 1. Este caso sirve como contraejemplo de que la suma
de dos racionales cuya expresión decimal (en base 10) es periódica no tiene porqué ser
también decimal periódica. (A menos que consideremos que 1 se puede escribir también
como 1’0000....)
11. Encontrar un decimal con tres cifras decimales que difiera de 15/7 menos de una
milésima. Expresar el resultado en forma polinómica.
El número racional 15/7 se puede expresar en escritura decimal periódica mixta del
siguiente modo: 2’142857...;
El número decimal 2’142 cumple la condición de diferir de 15/7 en menos de una
milésima. Se comprueba fácilmente haciendo la sustracción, (15/7)- 2’142.
Expresión polinómica de 2’142 = 2 + 1x10-1 + 4x10-2 + 2x10-3.
TALLER DE MATEMÁTICAS (Pág. 140)
1. Escribir en forma simplificada como “número con coma” las siguientes expresiones
de dos números expresados de forma polinómica en base b >6. ¿Cuál de ellos es mayor?
d1 = 2b2 + 0b1 + 1b0 + 5b-1 +1b-2 +6b-4
d2 =2b2 + 0b1 + 1b0 + 5b-1 +6b-3
d1 = 201’5106; d2 = 201’506
(se escriben sólo los coeficientes de sus respectivas expresiones polinómicas; los
exponentes negativos de las potencias de la base corresponden a los dígitos que figuran
a la derecha de la coma)
d1 > d2, ya que tienen la misma parte entera (201), pero d1 tiene mayor parte decimal
(0’5106 > 0’506)
2. Dar la escritura decimal, eventualmente aproximada, de los números que se escriben
del siguiente modo:
214’23 (en base cinco) y
214’23 (en base seis)
(Se interpreta que el enunciado pide expresar los números en base 10)
214’23(5 = 2x52 + 1x51 + 4x50 + 2x5-1 + 3x5-2 = 59’52(10 (basta hacer las operaciones
indicadas en base 10)
214’23(6 = 2x62 +1x61 +4x60 + 2x6-1 + 3x6-2 = 82’41166666...
3. Si escribimos los números racionales en un sistema de base 12,
a) ¿Qué fracciones podrán escribirse con una escritura “duodecimal” finita?
b) ¿Qué fracciones tendrán una escritura “duodecimal” ilimitada periódica?
c) ¿Qué fracciones tendrán una escritura duodecimal ilimitada no periódica?
a) Las fracciones cuyo denominador sea una potencia de 12, o que sólo tenga
como factores 2, 3, o sus respectivas potencias y productos. Por ejemplo
1
1 2
   2 x121  0 '2
2.3 6 12
b) Las restantes fracciones serían duodecimales periódicas (puras o mixtas)
c) Ninguna; tal escritura correspondería a números irracionales para los que no
existe expresión fraccionaria.
4. Si al usar la calculadora para dividir 4 entre 9 obtienes como resultado 0.4444444,
¿significa eso que 4/9 es un número racional con expresión decimal periódica?
En efecto, cuando al dividir dos números se repite un mismo resto, los dígitos
siguientes del cociente comienzan a repetirse indefinidamente. El uso de la calculadora
para hallar el periodo de una expresión decimal requiere tener en cuenta los dígitos que
puede mostrar la calculadora y el proceso de redondeo.
5. Escribe las siguientes fracciones en expresión decimal:
1/11
1/111
1/1111
¿Puedes adivinar la expresión decimal de 1/11111? Comprueba tu conjetura hallando su
fracción generatriz.
Describe la expresión decimal de 1/N donde N el un número formado por n unos:
111…..1
1
1
1
 0 '09090909...;
 0 '009009009009....;
 0 '00090009...
11
111
1111
1
 0 '000090000900009.....
11111
Fracción generatriz: 10.000 x = 9’00009000090000…
x = 0’00009000090000...
1
Restando, 9.999 x = 9; despejando x, x 
11111
La expresión decimal de 1/N tiene como parte entera 0, y como parte decimal periódica
pura la cifra 9 precedida de n-1 ceros.
6. ¿Cuáles son las fracciones generatrices de las siguientes expresiones?
0'7474747474...
0'235235235235...
0'ababababab...
0'abcabcabc...
a) Fracción generatriz x de 0’747474 …; x 
74
99
235
999
ab
; ...
c) Fracción generatriz z de 0’abababab... ; z 
99
b) Fracción generatriz y de 0’235235235...; y 