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CONTEO
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
1.
Principios básicos
El Principio de Adición
Si se puede realizar una acción A de n formas distintas, y se puede realizar una acción B
de m formas distintas, y A y B son excluyentes, entonces el número de formas de realizar
la acción “A o B” es n + m.
Ejemplo 1.1. Supongamos que una persona va a salir a pasear y puede ir al cine donde
hay 3 películas en cartel o al teatro donde hay 4 obras posibles. Entonces, tendrá un total
de 3 + 4 = 7 formas distintas de elegir el paseo.
El Principio de Multiplicación
Si una acción A puede realizarse de n formas distintas, y una acciónn B de m formas
distintas, y A y B son independientes, entonces se puede realizar la acción “A y B” de
n · m formas distintas.
Ejemplo 1.2. Supongamos que la persona del ejemplo anterior tiene suficiente tiempo y
dinero para ir primero al cine y luego al teatro. Entonces tendrá 3 · 4 = 12 formas distintas
de hacer el paseo.
2.
Selecciones ordenadas con repetición
Un aplicación inmediata del principio de multiplicación es que dado nos permite calcular la cantidad de selecciones ordenadas con repetición. Este problema es equivalente a
calcular la cantidad de aplicaciones entre dos conjuntos finitos.
Ejemplo 2.1. Sea X = [[1, n]] el intervalo inicial de orden n, o sea
X = {1, 2, · · · , n}
Vamos a considerar las aplicaciones
f :X→X
1
2
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
Por ejemplo, si X = [[1, 3]] = {1, 2, 3} se tienen las siguientes aplicaciones de X en X.
Para no escribir demasiado vamos a adoptar una notación muy conveniente.
Sea f : X → X entonces f está completamente determinada por la terna (ordenada)
f (1) f (2) f (3)
Entonces, utilizamos esta terna para designar a f . Así por ejemplo al escribir la terna
121
estamos representando a la aplicación
f (1) = 1
f (2) = 2
f (3) = 1
Observemos que f puede ser vista como la aplicación que “elige” tres números entre 1, 2, 3,
repetidos o no.
Entonces, en muy breve espacio seremos capaces de escribir todas las aplicaciones de
[[1, 3]] en [[1, 3]]. Estas son:
111
211
311
112
212
312
113
213
313
121
221
321
122
222
322
123
223
323
131
231
331
132
232
332
133
233
333
Por lo tanto, hay 33 = 27 aplicaciones de [[1, 3]] en [[1, 3]].
En base a lo anterior, sería interesante saber si “a priori” podríamos haber anticipado
la existencia de exactamente 33 aplicaciones. Veamos que sí.
CONTEO
3
Si se quiere definir una aplicación de {1, 2, 3} en {1, 2, 3} habrá que ver qué valores
puede tomar 1, qué valores puede tomar 2 y qué valores puede tomar 3.
Es claro que a 1 le podemos dar 3 valores posibles. Se tienen 3 posibilidades. Pasemos
al 2.
Por cada elección de 1 tenemos 3 elecciones del 2. O sea en total se tienen 3·3 elecciones
posibles del 1 y el 2. Por cada una de estas tenemos 3 más posibilidades para el 3, en
definitiva podemos darle valores a l, 2, 3 en 3 · 3 · 3 formas posibles.
Un diagrama arbolado ayuda a pensar.
4
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
1
2
3
1
1
2
3
111
112
113
2
1
2
3
121
122
123
3
1
2
3
131
132
133
1
1
2
3
211
212
213
2
1
2
3
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222
223
3
1
2
3
231
232
233
1
1
2
3
311
312
313
2
1
2
3
321
322
323
1 331
2 332
3
3 333
Cada rama del árbol representa una aplicación de [[1, 3]] en [[1, 3]].
Vamos a ser más generales calculando el número total de aplicaciones de [[1, n]] en
[[1, m]], donde n y m son números naturales arbitrarios.
CONTEO
5
Por ejemplo hay m = m1 aplicaciones de [[1, 1]] en [[1, m]], m2 aplicaciones de [[1, 2]]
en [[1, m]] simplemente porque como en el ejemplo anterior, por cada elección para 1 se
tienen m imágenes posibles en el 2.
También hay m3 aplicaciones de [[1, 3]] en [[1, m]]. En general demostraremos que
Proposición 2.1. Dados m, n ∈ N, hay hay mn aplicaciones de [[1, n]] en [[1, m]].
Demostración. Para verificar esta afirmación, procedemos inductivamente en n.
Si n = 1 el resultado es cierto, según acabamos de señalar.
Supongamos que existan mn aplicaciones de [[1, n]] en [[1, m]].
Para calcular el número de aplicaciones de [[1, n + 1]] en [[1, m]] observemos que por
cada aplicación de[[1, n]] en [[1, m]] se obtienen m aplicaciones de [[1, n + 1]] en [[1, m]]
simplemente dando los m valores posibles a n + 1.
O sea, cada aplicación de [[1, n]] en [[1, m]] se extiende a una aplicación de [[1, n + 1]]
en [[1, m]].
Pero recíprocamente, es claro que cada aplicación de [[1, n + 1]] en [[1, m]] es una extensión de una aplicación de [[1, n]] en [[1, m]]. Por lo tanto, hay m veces el número de
aplicaciones de [[1, n]] en [[1, m]] aplicaciones de [[1, n + 1]] en [[1, m]].
Este número es mn · m = mn+1 .
Pero esto dice que es válido el paso inductivo; por lo tanto cualquiera sea n ∈ N hay
n
m aplicaciones de [[1, n]] en [[1, m]].
Siendo m arbitrario la afirmación dice que cualesquiera sean m y n hay mn aplicaciones
de [[1, n]] en [[1, m]].
Ejemplo 2.2. ¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2,
3, 4, 5, 6? Se trata de formar todas las aplicaciones de [[1, 4]] en [[1, 6]]. Hay 64 números
posibles.
Ejemplo 2.3. ¿Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse con los números
dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? Un número capicúa de cinco dígitos es de la forma
xyzyx
Se reduce a ver cuántos números de tres dígitos pueden formarse con aquéllos dígitos.
Exactamente 83 . (Nota, el número 11111 es considerado capicúa, de los buenos.)
6
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
3.
Selecciones ordenadas sin repetición
Sea n ∈ N. Definimos factorial de n al número real denotado por
n!
tal que
1! = 1
(n + 1)! = n!(n + 1)
Definimos también
0! = 1
Por ejemplo
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · ,1 = 6
4! = 3! · 4 = 6 · 4 = 24.
Ahora estudiaremos aplicaciones inyectivas de [[1, n]] en [[1, m]]. Se trata de contar las
aplicaciones f : [[1, n]] → [[1, m]] tales que f (x) = f (y) implica x = y o equivalentemente
x 6= y en [[1, n]] implica f (x) 6= f (y) en [[1, m]].
Por ejemplo, en el caso de las aplicaciones de [[1, 3]] en [[1, 3]] observamos que las
aplicaciones inyectivas son exactamente,
123, 132, 213, 231, 312, 321
(son las ternas donde los tres números son distintos). O sea hay 6 aplicaciones inyectivas
de [[1, 3]] en [[1, 3]].
Notemos que
3 · 2 · 1 = 6 = 3!
Esta forma de escribir nos da la razón de que haya 6 aplicaciones inyectivas de [[1, 3]] en
[[1, 3]]. En efecto, ya dijimos que para definir una aplicación de [[1, 3]] en [[1, 3]] debemos
dar valores a 1, 2 y 3.
A 1 le podemos dar los valores 1, 2 ó 3, es decir tenemos 3 elecciones.
Sin embargo, al pretender dar valores a 2, si queremos que la aplicación sea inyectiva,
debemos excluir el valor dado a 1, o sea que para 2 tenemos solo 2 elecciones.
CONTEO
7
Análogamente para 3 hay solo una posibilidad.
En un diagrama arbolado la construcción de las aplicaciones inyectivas es
2
3
123
3
2
132
1
3
213
3
1
231
1
2
312
2
1
321
1
2
3
El número total es entonces 3 × 2 × 1 = 6.
Análogamente, se puede ver que el número total de aplicaciones inyectivas de [[1, 3]] en
[[1, 4]] se ve que es
4×3×2
Se puede demostrar que si m < n, no hay ninguna aplicación de inyectiva de [[1, m]] en
[[1, m]] (lo cual se ve muy bien intuitivamente: si hay más personas que asientos, ¡alguien
se quedará parado!). Este hecho es llamado el principio de las casillas en la literatura.
Proposición 3.1. Si n ≤ m entonces existen
(1)
m · (m − 1) · · · (m − (n − 1))
(n factores)
aplicaciones inyectivas de [[1, m]] en [[1, n]].
Demostración. Probaremos el enunciado por inducción en n.
Si n = 1 es claro que hay exactamente m aplicaciones de {1} en [[1, m]] (1 yendo a los
m valores posibles).
Supongamos que toda vez que n ≤ m hay m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) aplicaciones
inyectivas de [[1, n]] en [[1, m]].
Sea n + 1 ≤ m. Entonces las aplicaciones (todas) de [[1, n + 1]] en [[1, m]] se obtienen
por extensión de aplicaciones de [[1, n]] en [[1, m]].
8
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
Ahora, si f es una aplicación inyectiva de [[1, n]] en [[1, m]] al querer definir f (n + 1) y
obtener así una aplicación inyectiva de [[1, n + 1]] en [[1, m]] debemos notar que f (n + 1)
puede tomar m − n valores (o sea excluyendo los n valores tomados por 1, 2, · · · , n).
Por lo tanto se sigue que hay (m − n)-veces el número de aplicaciones inyectivas de
[[1, n]] en [[1, m]] , de aplicaciones inyectivas de [[1, n + 1]] en [[1, m]].
O sea hay
(m − n) · (m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) =
= m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) · (m − n) =
= m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) · (m − ((n + 1) − 1))
aplicaciones inyectivas de [[1, n + 1]] en [[1, m]].
Se sigue de esto la validez del paso inductivo, por lo tanto queda probada nuestra
afirmación.
Observación 3.1. El resultado anterior en particular nos dice que existen
m · (m − 1) · · · (m − (m − 1)) = m · (m − 1) · · · 1 = m!
aplicaciones de [[1, m]] en [[1, m]] y esta podría ser una motivación natural del factorial.
Una aplicación f es biyectiva cuando es inyectiva y además todo elemento del conjunto de llegada es f de un elemento del conjunto de partida. Las aplicaciones inyectivas
de[[1, m]] en [[1, m]] son necesariamente biyectivas y se denominan permutaciones de grado
m.
Hay pues m! permutaciones de grado m.
Volviendo al resultado de la Proposición 3.1, por ejemplo hay
7 · 6 · 5 aplicaciones inyectivas de [[1, 3]] en [[1, 7]],
7 · 6 · 5 · 4 · 3 aplicaciones inyectivas de [[1, 5]] en [[1, 7]] y
7! aplicaciones de [[1, 7]] en [[1, 7]].
Notemos que si n ≤ m entonces
m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) =
m!
(m − n)!
pues
m! = m · (m − 1) · · · (m − (n − 1)) · (m − n) · (m − (n + 1)) · · · (m − (m − 1))
CONTEO
9
Ejercicio 3.1. Simplificar las expresiones siguientes (n ∈ N)
n!
(n − 2)!
(n + 2)!
c)
(n − 2)!
(n − 1)!
e)
(n + 2)!
a)
(n + 2)!
n!
n!
d)
(n − 2)!2!
si 2 ≤ n
b)
si 2 ≤ n
si 2 ≤ n
Ejemplo 3.1. Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden
sentarse 7 personas? Se trata de contar las aplicaciones inyectivas d e [[1, 7]] en [[1, 10]].
Este número es
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 (7 factores).
Ejemplo 3.2. Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de silvia.
Afirmamos que hay
6!
.
2!
Si escribo en lugar de silvia,
s i l v i’ a
todas las letras son distintas, luego hay 6! permutaciones, pero cada par de permutaciones
del tipo
· · · i · · · i’ · · ·
· · · i’ · · · i · · ·
coinciden, por lo tanto tengo que dividir por 2 el número total de permutaciones.
Tomemos la palabra
ramanathan
el número total de permutaciones es
10!
.
4!2!
En efecto, escribiendo el nombre anterior así
r a1 m a2 n1 a3 t h a4 n1
el número total de permutaciones es 10!. Pero permutando las ai y las ni sin mover las
otras letras obtenemos la misma permutación de ramanathan.
Como hay 4! permutaciones de las letras a1 , a2 , a3 , a4 , y 2! de n1 , n2 el número buscado
es
10!
.
4!2!
10
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
Dejamos a cargo del lector probar que el número total de permutaciones de las letras
de arrivederci es
11!
3! · 2! · 2!
4.
Selecciones sin repetición
Consideremos un conjunto X finito de n elementos. Por esto entendemos que es posible
establecer una biyección entre X y el intervalo natural [[l, n]] .
Nos proponemos averiguar cuántos subconjuntos de n elementos hay en X.
Ejemplo 4.1. Por ejemplo, sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y nos interesan los subconjuntos de
tres elementos. ¿Cuántos habrá? Una forma de individualizar un subconjunto de tres
elementos en X, consiste en definir una aplicación inyectiva de [[1, 3]] en [[1, 5]].
Habría, a priori, 5 · 4 · 3 subconjuntos pues ese es el número de aplicaciones inyectivas
de [[1, 3]] en [[1, 5]].
Pero un examen más detenido nos dice qué distintas aplicaciones pueden determinar el
mismo subconjunto. En efecto, por ejemplo, cualesquiera de las aplicaciones
123
132
213
231
312
321
determina el subconjunto {1, 2, 3} . Es decir las permutaciones de {1, 2, 3} determinan el
mismo subconjunto. Y así con cualquier otro subconjunto de tres elementos. Por lo tanto,
el número total de subconjuntos de 3 elementos debe ser
5!
5·4·3
=
3!
3! · (5 − 3)!
En el caso general de subconjuntos de n elementos de un conjunto de m elementos
(n ≤ m) sucede la misma cosa. Cada subconjunto de n elementos está determinado por
una aplicación inyectiva y todas las permutaciones de su imagen en X.
CONTEO
11
Por lo tanto el número total de subconjunto de n elementos de X es
m · (m − 1)...(m − (n − 1))
m
=
n!
(m − n)! · n!
Definición 4.1. Sean n, m ∈ N, n ≤ m. Definimos
m!
m
=
n
(m − n)! · n!
y por razones que se verán más adelante se denomina el coeficiente binomial o número
combinatorio asociado al par n, m con n ≤ m.
Definimos también
0
m
=1
=
0
0
Teorema 4.1. Sea n ≤ m,
m
m
m+1
+
=
n
n−1
n
Demostración. La dejamos como ejercicio para el lector.
Corolario 4.2. Si n, m ∈ N ∪ {0}, n ≤ m entonces
m
n
∈ N.
Demostración. Haremos inducción en m. Si m = 1 los posibles números combinatorios
son
1
1
= 1 ∈ N.
=
0
1
Ahora supongamos que el resultado sea cierto para m ∈ N. Es decir,
sea k tal que 0 ≤ k ≤ m, k ∈ N ∪ {0}.
m
k
∈ N cualquiera
Entonces por el teorema anterior
m+1
m
m
=
+
n
n−1
n
m
pertenecen a N por la hipótesis inductiva, su suma es también un
y m
Como n−1
n
∈ N cualquiera sea n, con 1 ≤ n < m + 1 y como además
número natural, o sea m+1
n
m+1
= 1 ∈ N, se concluye que
m+1
m+1
∈N
n
cualquiera sea n , 0 ≤ n ≤ m + 1.
Por lo tanto, es válido el paso inductivo y así nuestra afirmación queda probada.
12
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
El teorema precedente permite calcular los coeficientes binomiales inductivamente. Escribamos en forma de triángulo
0
0
1
1
1
0
2
0
2
1
·
·
·
4
4
4
3
4
2
4
1
4
0
3
3
3
2
3
1
3
0
2
2
·
·
·
En virtud del teorema en cuestión cada término interior es suma de los dos términos
inmediatos superiores. Los elementos en los lados valen 1 por lo tanto se puede calcular
cualquiera de ellos.
1
1
1
1
1
·
2
3
4
·
1
1
3
6
·
1
4
·
1
·
·
(Lector: calcule el valor de la suma en cada fila del triángulo.)
El triángulo es simétrico respecto de su altura. Esto es consecuencia de la propiedad
m
m
=
n
m−n
de verificación inmediata.
Nota 4.1. El hecho precedente se interpreta así en términos de subconjuntos.
número de subconjuntos de n elementos de un conjunto de m elementos.
m
n
da el
Puesto que con cada subconjunto de n elementos hay unívocamente asociado un sub
m
.
=
conjunto de m − n elementos -su complemento en X- es claro que m
m−n
n
CONTEO
13
Ejemplo 4.2. Veamos qué significación tienen las aplicaciones de X en un conjunto de
dos elementos, que por conveniencia, será el formado por 0 y 1.
Si f : X → 0, 1 es una tal aplicación entonces a f le asociamos el subconjunto siguiente
de X
f → Xf = {x/x ∈ X y f (x) = 1}
Recíprocamente si H es un subconjunto de X, sea gH : X → {0, 1} definida por gH (x) = 1
si x ∈ H, gH (x) = 0 si x 6∈ H.
Entonces
f 6= g ⇒ Xf 6= Xg
donde f, g : X → {0, 1},
H 6= L ⇒ gH 6= gL
donde H ⊂ X y L ⊂ X.
De esta manera hay una correspondencia biyectiva entre subconjuntos de X y aplicaciones
de X en {0, 1}. Pero sabemos calcular el número de aplicaciones de X en {0, 1}.
Es el mismo que de [[1, n]] en [[1, 2]] , o sea
2n .
Se sigue que si X es un conjunto finito de n elementos, X posee 2n distintos subconjuntos.
Por ejemplo, si X = {1, 2, 3} los subconjuntos de X son exactamente
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3, }
5.
El teorema del binomio
En álgebra elemental aprendemos las formulas
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
y a veces nos piden desarrollar la formula para (a + b)4 y potencias mayores de a + b.
El resultado general que da una formula para (a + b)n es conocido como el teorema del
binomio.
Teorema 5.1. Sea n un entero positivo. El coeficiente del termino an−r br en el desarrollo
de (a + b)n es el número binomial nr . Explícitamente, tenemos
n n
n n−1
n n−2 2
n n
n
(a + b) =
a +
a b+
a b + ··· +
b .
0
1
2
n
14
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
Demostración. (Primera) Considerar que ocurre cuando multiplicamos n factores
(a + b)(a + b) · · · (a + b).
Un término en el producto se obtiene seleccionando o bien a o bien b de cada factor. El
número de términos an−r br es solo el número de formas de seleccionar r b’s (y consecuen
temente n − r a’s), y por definición éste es el número binomial nr .
Observación 5.1. Antes de hacer una segunda demostración del teorema del binomio
veamos el siguiente resultado que nos resultará útil: sea ak , ak+1 , . . . , am−1 , am una sucesión
de números reales (k ≤ m) y sea r ∈ N0 . Entonces
m
X
ai =
m−k+r
X
ai+k−r .
i=r
i=k
La sumatoria de la derecha es la de la izquierda con un “cambio de variable” en el índice.
La demostración de este hecho se puede hacer por inducción sobre m (caso base m = k)
o simplemente escribiendo ambas sumatorias con la notación de puntos suspensivos y
verificando que ambas son iguales a
ak + ak+1 + · · · + am−1 + am .
Demostración. (Segunda) Se hace por inducción en n. Si n = 1, el resultado es trivial.
Supongamos que el resultado es cierto para n − 1, es decir
(a + b)
n−1
=
n−1 X
n−1
i=0
i
an−1−i bi .
CONTEO
15
Luego
(a + b)n = (a + b)(a + b)n−1
n−1 X
n − 1 n−1−i i
= (a + b){
a
b}
i
i=0
n−1 n−1 X
n − 1 n−i i X n − 1 n−1−i i+1
=
a b +
a
b
i
i
i=0
i=0
n n−1
X
X n−1
n − 1 n−i i
n−i i
a b
a b +
=
i−1
i
i=1
i=0
n−1 X
n−1
n−1
n
}an−i bi + bn
+
=a +
{
i
−
1
i
i=1
n−1 X
n n−i i
n
=a +
a b + bn
i
i=1
n
X
n n−i i
=
a b.
i
i=0
por hip. inductiva
por Teorema 3.4.1
Los coeficientes en el desarrollo pueden por lo tanto ser calculados con el método recursivo usado para los números binomiales (triángulo de Pascal) o usando la formula. Por
ejemplo,
6 3 3
6 4 2
6 5
6 6
ab
ab +
a b+
a +
(a + b) =
3
2
1
0
6 6
6
6 2 4
b
ab +
ab5
+
6
5
4
6
= a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 .
Por supuesto, podemos obtener otras formulas útiles si reemplazamos a y b por otras
expresiones. Algunos ejemplos típicos son:
(1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 ;
(1 − x)7 = 1 − 7x + 21x2 − 35x3 + 35x4 − 21x5 + 7x6 − x7 ;
(x + 2y)5 = x5 + 10x4 y + 40x3 y 2 + 80x2 y 3 + 80xy 4 + 32y 5 ;
(x2 + y)4 = x8 + 4x3 y + 6x4 y 2 + 4x2 y 3 + y 4 .
16
BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE
La expresión a + b es conocida como un expresión binómica porque tiene dos términos.
Como los números nr aparecen como los coeficientes en el desarrollo de (a + b)n , general-
mente se los llama coeficientes binomiales. De todos modos esta claro por la prueba del
Teorema 5.1 que estos números aparecen en este contexto porque representan el número
de formas de hacer ciertas selecciones. Por esta razón continuaremos usando el nombre de
números binomiales, que se aproxima más al concepto que simbolizan.
Además de ser extremadamente útil en manipulaciones algebraicas, el teorema del binomio puede usarse para deducir identidades en que estén involucrados los números binomiales.
Ejemplo 5.1. Probar que
2 2 2
2 n
n
n
n
2n
+
+
+ ··· +
=
.
0
1
3
n
n
Demostración. Usamos la igualdad
(1 + x)n (1 + x)n = (1 + x)2n .
De acuerdo con el teorema del binomio el miembro izquierdo es el producto de dos factores,
ambos iguales a
n
n r
1+
x + ··· +
x + · · · + xn .
1
r
Cuando los dos factores se multiplican, un termino en xn se obtiene tomando un termino
del primer factor y un termino del segundo factor. Por lo tanto los coeficientes de xn en
el producto son
n n
n
n
n
n
n n
.
+ ··· +
+
+
0
n
n−2
2
n−1
1
n
0
n
= nr , vemos que éste es el lado izquierdo de la igualdad requerida. Pero el
Como n−r
que es también el coeficiente de xn en el desarrollo de (1 + x)2n , y
lado derecho es 2n
n
entonces obtenemos la igualdad que buscábamos.
5.1.
Ejercicios.
1. Desarrollar las fórmulas de (1 + x)8 y (1 − x)8 .
2. Calcular los coeficientes de
(i) x5 en (1 + x)11 ;
(ii) a2 b8 en (a + b)10 ;
CONTEO
(iii) a6 b6 en (a2 + b3 )5 ;
(iv) x3 en (3 + 4x)6 .
3. Usar la identidad (1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n para probar que
m+n
m n
m
n
m n
=
+
+ ···
r
0
r
1
r−1
r
0
donde m, n y r son enteros positivos y, m ≥ r, y n ≥ r.
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