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U niversidad Católica del N orte
F acultad de Ciencias
Departamento de M atemáticas
GUÍA DE ÁLGEBRA 1 MA − 190
PRIM ERA UN IDAD : TRIGO NO M ETRÍA
1
SISTEMAS DE MEDIDAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.
a) Exprese en radianes: 45◦ , 210◦ , 110◦ 450 .
π
2π
2
b) Exprese en grados:
rad,
rad, rad.
3
5
5
2. Una curva de una carretera corresponde a un arco de circunferencia de 450 metros de radio, subo
tendida por un ángulo del centro
∙ de 36
¸ . ¿Cuánto tiempo empleará un automóvil en recorrer la
Km
curva, si su velocidad es de 100
?
h
3. Si sen θ = −5/13, calcule cos θ sabiendo que éste es negativo.
4. El lado final de un ángulo α pasa por el punto (12, −5). Calcule el seno y el coseno en α.
5. El lado final de un ángulo en la posición estándar pasa por el punto:
a) (3, 4)
b) (−5/12)
c) (−4, 3)
d) (24, −7)
e) (−8, −15)
f) (10, −8)
Bosqueje la figura respectiva y obtenga los valores de las funciones trigono- métricas en dicho
ángulo.
6. Determine los valores de las funciones trigonométricas restantes en θ, bajo las siguientes condiciones:
a) sen θ = 5/13 , θ en cuadrante I
b) cos θ = −4/5 , θ en cuadrante III
c) sen θ = 2/3 , θ no en cuadrante I
d) sen θ − 3/5 , cos θ < 0
e) cos θ = −7/9 , sen θ > 0
7. Dibuje el gráfico de :
a) y = |sen x|
b) y = |cos x|
c) y = (cos x) + 1
1
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1. Demuestre:
sec2 θ + sec2 (π/2 − θ) = (1 + tg2 θ) sec2 (π/2 − θ)
2. Pruebe la siguiente identidad:
1 + sen 2θ
cos 2θ
=
cos θ + sen θ
cos θ − sen θ
3. Demuestre que : sen 3θ = 3 senθ − 4 sen3 θ
4. Demuestre:
sen θ
cos θ
+
= sen θ + cos θ
1 − tg θ 1 − cotg θ
5. Demuestre que: cos2 z + cos2 (2π/3 + z) + cos2 (2π/3 − z), no depende de z.
6. Demuestre que:
sec θ − 1
= 2 sen2
sec θ
7. Demuestre que si 0 < θ <
8. Demuestre que:
µ ¶
θ
2
π
, entonces
4
2
sec θ = q
p
2 + 2 + 2 cos (4θ)
cos θ − cos 3θ
= tg 2θ
sen 3θ − sen θ
sen 4θ cos θ − cos 4θ sen 2θ
b)
= tg 2θ
cos2 θ − sen2 θ
r
1−θ
1
9. Demuestre que: Arccos θ = Arcsen
2
2
a)
10. Si Arctg x+Arctg y+Arctg z = π. Demuestre que:
x + y + z = xyz
11. Demuestre que:
Arccos x + 2 Arcsen x = Arccos (−x) ; con x > 0.
√
√
12. Si µ = Arccotg cos α− Arctg cos α , Demuestre que:
α
sen µ = tg2 ( )
2
13. Demuestre las siguientes identidades:
r
1−x
a) Arccos x = 2 Arcsen
2
µ
¶
x+y
b) Arctg x+Arctg y = Arctg
1 − xy
√
2
c) sec ( Arctg x ) = 1 + x
µ
¶
x
d) Arctg √
= Arcsen x , |x| < 1
1 − x2
2
3
PROBLEMAS DE PLANTEO
1. Determine el valor, en radianes, del ángulo que forman las manecillas de un reloj que marca las 5.
2. Un tren se mueve sobre sobre un arco de circunferencia de medio kilómetro de radio a la velocidad
de 20 kilómetros por hora .Halle el ángulo que recorre en 10 segundos .
3. Una escalera de 13, 5 metros de longitud llega justamente hasta la parte superiorde un muro. Si la
escalera forma un ángulo de 60◦ con el muro, hálle la altura de éste y la distancia a él del pie de la
escalera.
4. El palo central de una tienda de campaña de forma de cono circular tiene una elevación de 6 m. y
su parte superior está sostenida por cuerdas de 12 m. de largo amarradas a estacas clavadas en la
tierra .
¿ A qué distancia están las estacas del pie del mástil central ? ¿Cuál es la inclinación de las cuerdas
con la tierra ? .
5. Un observador nota que el ángulo de elevación de un punto de referencia en la cumbre de un cerro
0
es de 15◦ 30 . El mismo camina 98.8 metros sobre un terreno horizontal rumbo a dicho punto y
0
mide de nuevo su ángulo de elevación como 33◦ 10 . Se desea saber la distancia del observador, al
efectuar su primera medición, al punto de referencia .
0
6. Algunos habitantes de Antofagasta observan un O.V.N.I. volando en dirección N 68◦ 40 E. Al mismo
0
tiempo unos observadores de Calama determinan la dirección del OVNI como N 10◦ 20 O. Medido
0
sobre el mapa, Calama está a 2, 34 pulgadas al N 75◦ 20 E de Antofagasta. Si se mide sobre el
mismo mapa. ¿a qué distancia está el objeto de Antofagasta? .
7. Una torre de altura h, se encuentra al norte de un punto A y al este de un puntoB. En A y
en B los ángulos de elevación a la parte más alta de la torre son α y β respectivamente. Si
AB = c, demuestre que:
c
h= p
2
cotg α + cotg 2 β
8. Dos estaciones A y B , situadas en lados opuestos de una montaña , son vistas desde una tercera
0
estación C .Se conocen las distancias AC = 11, 5 km. y BC = 9, 4 km. , y el ángulo ACB = 59◦ 30 .
Halle la distancia entre A y B .
9. Un hombre está de pie en un punto X en la ribera XY de un río de orillas rectas y paralelas, y
observa que las rectas que une X con un punto Z de la ribera opuesta forma con XY un ángulo
de 30◦ . Camina entonces 200 metros por la ribera hasta Y , y observa que Y Z forma con Y X un
ángulo de 60◦ . Halle el ancho del río.
10. Se va cavar una trinchera cuya sección mida en su parte superior 4, 5 metros y 2, 7 metros en el
fondo, y de una profundidad uniforme de 2, 40 metros. Si un lado debe estar inclinado 12◦ respecto
a la vertical, ¿cuál debe ser la inclinación del otro lado?.
11. Para ir de las poblaciones Gran Vía a Villa Azul es necesario viajar 60 kilómetros al Este y 25
0
kilómetros en Dirección N 23◦ 30 E. Cuán separadas están las dos poblaciones?
12. Desde un barco que se halla en el mar, el ángulo que subtienden dos puertos A y B es de 30 grados.
El barco navega 4 km. en dirección de A y el ángulo es entonces de 48 grados. Compruebe que la
distancia de B al segundo lugar de observación es de aproximadamente 6.472 metros.
13. Un hombre que está en un globo, observa que dos iglesias que él sabe que están separadas un
0
kilómetro subtienden un ángulo de 11◦ 24 ,cuando está exactamente sobre el punto medio entre
ellas. Halle la altura del globo en kilómetros.
14. Dos boyas son observadas en la dirección Sur desde lo alto de un acantilado cuya parte superior
está 312 m. sobre el nivel del mar . Halle la distancia entre las boyas si sus ángulos de depresión
0
0
medidos desde la punta del acantilado son 46◦ 18 y 27◦ 15 , respectivamente.
3
15. La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es 45◦ , y desde un lugar B, hacia el
oeste p
del campanario, su elevación es de 15◦ . Si AB = 2a demuéstrese que la altura del campanario
√
es: a 2 − 3.
4
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Resuelva la ecuación para 0 ≤ x < 2π
√
a) 2 sen x − 3 = 0
√
b) tg x − 3 = 0
√
c) 2 cos2 x − 3 cos x = 0
2. Resuelva la ecuación: sen x + cos x = 1
3. Resuelva las ecuaciones para x tal que 0 ≤ x < 2π .
a) 2 sen2 x−sen x − 1 = 0
b) 2 tg x sen x−tg x = 0
c) sen x − cos x = −1
d) sen x cos x = 12
³x´
e) sen
+ cos x = 1
2
f) sen 3x+sen x = 0
4. Resuelva la ecuación para x tal que 0 ≤ x < 2π :
sen x + sen 3x = cos x + cos 3x
1 − cos x
1 + cos x
5. Resuelva la ecuación: √
=
x
cos ( x2 )
3 sen ( 2 )
6. Resuelva la ecuación: 1 + 2 tg x sen x−tg x − 2 sen x = 0
√
√
7. Resuelva : tg x − 3 cotg x + 1 = 3
√
√
8. Encuentre todos los ángulos x, x ∈ [0, π],tales que satisfagan la ecuación: tg2 x−( 3+1) tg x+ 3 =
0
9. Resuelva: cos 2x = cos x+ sen x
√
10. Resuelva: sen 5x− sen 3x − 2 cos 4x = 0
11. Resuelva: sen4 x + cos4 x = 0, 5
12. Resuelva Arcsen (5/x)+ Arcsen (12/x) = π/2
13. Resuelva: 2 Arctg (cos x) = Arctg (2 cosec x)
14. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones :
π
4
π
b) Arcsen x+ Arctg x =
2
π
c) Arccos x+ Arctg x =
2
a) Arctg 2x+ Arctg x =
4
15. Resuelva el sistema:
(
tg x + tg y = 1
4
tg (x + y) =
3
16. Demuestre que en todo triángulo se verifica que:
2(bc cos α + ac cos β + ab cos γ) = a2 + b2 + c2
5