Download x - PublicacionesDidácticas

Funciones recíprocas de las funciones circulares.
Funciones hiperbólicas y sus recíprocas.
Situaciones en las que aparecen
Título: Funciones recíprocas de las funciones circulares. Funciones hiperbólicas y sus recíprocas. Situaciones en las
que aparecen. Target: Profesores de Matemáticas.. Asignatura: Matemáticas. Trigonometría.. Autor: Emiliana Oliván
Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación Secundaria.
1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS.
Las funciones trigonométricas no son biyectivas, por lo que hay que restringirlas a intervalos convenientes
para que existan las recíprocas.
A. La función arco seno
   
f :
,    1,1
La función
es biyectiva.
 2 2
x  f x   senx
Entonces podemos definir la función recíproca f
f
1
1
llamada arco seno, denotada arcsen como:
   
 arcsen :  1, 1  
, 
.
 2 2
x  arcsen x   arcsenx
Su gráfica es simétrica de la gráfica senx respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
284 de 293

Su derivada es arcsenx  
1
1 x2
.
Demostración:
f x   senx  f x   cos x

f 1 x arcsenx


f  f 1 x   cosarcsenx .
Ahora bien:
sen 2 arcsenx   cos 2 arcsenx   1
 cos 2 arcsenx   1  x 2  cos arcsenx    1  x 2




f 1 creciente
1 x2
f  f 1 x   cosarcsenx   1  x 2 .


1
1
1

f 1 x  
 f 1 x  
 arcsenx 
1
2
f  f x 
1 x
1 x2
Luego

tenemos

 
que

Y
como:
B. La función arco coseno
f : 0,     1, 1
es biyectiva. Así, podemos definir la función recíproca f
x  f x   cos x
arco coseno, denotada arc cos como:
La función
1
llamada
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
285 de 293
f
1
 arc cos :  1, 1  0,  
x  f 1 x   arc cosx   arc cos x
.
Su gráfica es:

Su derivada es arccos x  
1
1 x2
.
Demostración: Análoga a la de la función anterior.
C. La función arco tangente
  
f :
, R
La función
es biyectiva.
 2 2
x  f x   tgx
Así, podemos definir la función recíproca f
f
1
1
llamada arco tangente y denotada arctg como:
   
 arctg : R  
, 
. Su gráfica es simétrica de la gráfica de la función tgx respecto de la
 2 2
x  arctg x   arctgx
bisectriz del primer cuadrante.
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
286 de 293

Su derivada es: arctgx  
1
.
1 x2
Demostración:


f x   tgx  f x   1  tg 2 x  f  f 1 x 
f
1
x  
f  f
1
1
x 

 arctgx  

1  tg 2 arctgx   1  x 2
f 1 x arctgx
1
1 x2
Nota: Análogamente podemos estudiar las funciones recíprocas del resto de funciones trigonométricas.
2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
La circunferencia goniométrica tiene como ecuación x 2  y 2  1 y sus ecuaciones paramétricas son
 x  cos t
. Por eso las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones circulares.

 y  sent
Análogamente, una hipérbola tiene como ecuación
x2 y2

 1 y sus ecuaciones paramétricas son
a2 b2
 x  aCht
, siendo Sht el seno hiperbólico de t y Cht el coseno hiperbólico de t. Estas funciones son

 y  bSht
funciones hiperbólicas.
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
287 de 293
A. La función seno hiperbólico
Definimos la función seno hiperbólico, denotada Sh ,
Shx 
f :RR
como:
x  Shx
e x  ex
. Notar que Shx  Sh x  luego es una función impar. Su gráfica es:
2

Su derivada es Shx  
e x  ex
 Chx (lo definiremos a continuación).
2
B. La función coseno hiperbólico
Definimos la función coseno hiperbólico, denotada Ch , como: Chx 
e x  ex
.
2
Es una función par, Ch x   Ch  x  su gráfica es:
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
288 de 293

Su derivada es: Chx  
e x  ex
 Shx .
2
Propiedad: Ch 2 x  Sh 2 x  1 . Demostración: Inmediata por definición.
D. La función tangente hiperbólica
Definimos la función tangente hiperbólica, f : R   1, 1 , denotada Th como:
Thx 
Shx e x  e  x
. Es una función impar, ya que, Th x   Th  x  . Su gráfica es:

Chx e x  e  x
Ch 2 x  Sh 2 x
1

Su derivada es: Thx 
.
2
Ch x
Ch 2 x

D. La función cosecante hiperbólica
Definimos la función cosecante hiperbólica denotada Cosec h como: Co sec hx 
1
.
Shx
Su gráfica es:
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
289 de 293

Su derivada es: Co sec hx  
 Chx
.
Sh 2 x
E. La función secante hiperbólica:
Definimos la función secante hiperbólica denotada Sech como: Sechx 

Su derivada es: Sechx  
1
. Su gráfica es:
Chx
 Shx
.
Ch 2 x
E. La función cotangente hiperbólica
Definimos la función cotangente hiperbólica denotada
Cotgh
x
x
como: Cotghx  1  e x  e  x  Chx . Su
Thx
e e
Shx
gráfica es:
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
290 de 293

Su derivada es: Cotghx  
1
.
Sh 2 x
3. FUNCIONES RECÍPROCAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
A. La función argumento seno hiperbólico
La función
f :RR
es biyectiva. Así, podemos definir su función recíproca f
x  f x   Shx
argumento seno hiperbólico denotada arg Sh como:
f
1
 arg Sh : R  R
x  arg Sh ( x)  arg Shx
1
llamada
.
Su gráfica viene dada por:
Veamos otra forma de expresarla:
y  arg Shx  x  Shy 
e y  ey
e y e y  e  y 
 2x 
 e 2 y  2 xe y  1  0 
y
2
e

2x  4x 2  4
 ey 
 x  x 2  1  e y  x  x 2  1  y  ln x  x 2  1
2
ey  0
1

derivada es: arg Shx  
x2 1

. Su
x  R
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
291 de 293
Veámoslo:

1 2x
 1 
x  x2 1  2 1 x2
arg Shx  
1
 x2 1  x 

1




2
2

x  1 
 x  x 1 
1
x2 1
B. La función argumento coseno hiperbólico
La función
f : 0,  1,
x  f x   Chx
es biyectiva. Así podemos definir su función recíproca f
argumento coseno hiperbólica, denotada arg Ch como:
f
1
1
llamada
 arg Ch : 1,  0,
 arg Chx   arg Chx
x
Su gráfica es:

Análogamente al caso anterior vemos que arg Chx  ln x  x 2  1
f x   Chx sea biyectiva hay que restringir el dominio a 0, .

Tomando arg Chx  ln x  x 2  1
 ,0 .
Su derivada es: y  
y 
1
x2 1


x  1 (porque para que
x  1 obtenemos la otra rama, en este caso el dominio de f es
x  1 . Veámoslo:

1 2x 
1
x2 1  x

 1 



2
2
2
2
x  x 1  2  x 1  x  x 1
x 1
1
1
x2 1
C. La función argumento tangente hiperbólica
f :RR
es biyectiva. Así podemos definir la función recíproca f
x  f x   Thx
argumento de la tangente hiperbólica, denotada arg Th como:
La función
1
llamada
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
292 de 293
f
1
: arg Th :  1,1  R
x  arg Thx   arg Thx
. Su gráfica es:
Veamos otra forma de expresarla:
e y  e y e2y 1
 2y
 x  e 2 y  x  e 2 y  1  e 2 y 1  x   x  1 
y
y
e e
e 1
Su
x 1
1 1 x 
1 x 

 0  2 y  ln 
 y  ln 
1  x  1


1  x x1,1
2 1 x 
1 x 
y  arg Thx  x  Thy 
 e2y
derivada es: y  
1
. Veámoslo:
1 x2
2
1
 1 1  x 11  x   1  x  1 1 1 1  x  1  x 1
y   arg Thx  


 

.
 
2
2
2
2 1 x 
2
1

x
1

x
2
1

x
1

x
1  x 

4. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN.
Aplicaciones de las funciones hiperbólicas
1.- Para resolver integrales de funciones irracionales.
2.- Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
3.- En el movimiento descendente de un cuerpo.
NOTA: Las funciones circulares e hiperbólicas se utilizan en la mayoría de campos de otras ciencias.
Gaudí utilizó las funciones hiperbólicas. Ejemplo: Casa Mila, La Pedrera.
La función Chx se utiliza en la estructura arquitectónica del Arco Gateway en St Louis Missouri.
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
293 de 293
5. ASPECTOS DIDÁCTICOS.
Parte de los contenidos tratados en este tema aparecen en el programa de matemáticas I de 1º Bachillerato.
Las funciones hiperbólicas no están incluidas en los programas de Bachillerato.
El estudio de las recíprocas de las funciones circulares es útil para que los alumnos resuelvan ecuaciones
trigonométricas y para que vean que sus gráficas son simétricas de las gráficas de las funciones circulares. ●
Bibliografía
Pisot-Zamansky. Matemáticas generales.
Shervatov, V.G. Funciones hiperbólicas.
Ayres,F. Cálculo diferencial.
Spivak, M. Calculus.
PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012
294 de 293