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TEORÍA DE LA DEMANDA
Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi
CONTENIDO:
(1) Las preferencias del consumidor. Función de utilidad y curvas de indiferencia. Tasa
marginal de sustitución entre bienes.
(2) La restricción presupuestaria.
(3) Derivación de la curva de demanda.
(4) La demanda marshalliana.
(5) La demanda ingreso compensada de Hicks. El teorema de Euler.
(6) Elasticidad. Elasticidad precio (demanda perfectamente inelástica, inelástica, unitaria,
elástica, infinitamente elástica). Elasticidad cruzada (bienes sustitutos, independientes,
complementarios). Elasticidad ingreso (bienes normales, superiores o de lujo, necesarios,
independientes, inferiores).
(7) La demanda del consumidor individual y la demanda de mercado.
(8) Estática comparativa: cambios sobre la curva de demanda y cambios de la curva de
demanda.
(9) Gasto de los consumidores e ingreso de los productores.
(10) Impuestos y subsidios.
(11) El teorema de la envolvente.
(12) Problema de maximización de la utilidad del consumidor. Las funciones marshallianas
de demanda y la función de utilidad indirecta. La identidad de Roy.
(13) Problema de minimización del gasto. Las funciones hicksianas de demanda y la
función de gasto. El lema de Shephard.
(14) Problemas de estática comparativa. Considerando funciones hicksianas de demanda.
Considerando funciones marshallianas de demanda. La ecuación de Slutsky: relación entre
la demanda de Marshall y la de Hicks.
(15) Relación entre elasticidades. La ecuación de slutsky en forma de elasticidades.
Propiedades de las funciones marshallianas y hicksianas de demanda utilizando
elasticidades.
(16) Anexo 1: La tasa marginal de sustitución entre bienes y la función Cobb-Douglas
(17) Anexo 2: La demanda ingreso compensada de Slutsky.
LAS PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR
Supuesto fundamental: el consumidor es racional.
Ante dos conjuntos de bienes y servicios M 1 y M 2 :
(1) M 1 > M 2
El consumidor prefiere M 1 a M 2
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1
M2 > M1
M1 q M2
El consumidor prefiere M 2 a M 1
Al consumidor le son indiferentes M 1 y M 2
(2) El consumidor tiene que elegir una de esas tres posibilidades y sólo una.
(3) Las preferencias son transitivas: Si M 1 > M 2 y M 2 > M 3 ® M 1 > M 3
————–
Así, el individuo puede ordenar sus preferencias ordinalmente. Dicho ordenamiento
se puede representar a través de una función de utilidad: U UŸM 1 , M 2 , . . . . , M n FUNCIÓN DE UTILIDAD Y CURVAS DE INDIFERENCIA
Si se restringe la función de utilidad a una función de dos variables, U UŸM 1 , M 2 , y dicha
función toma un valor determinado, queda determinada una curva que representa distintas
combinaciones de M 1 y M 2 que reportan el mismo nivel de utilidad.
GRÁFICA 1
El lugar geométrico de las combinaciones de M 1 y M 2 que representan para el individuo el
mismo nivel de utilidad, conforma una curva de indiferencia.
GRÁFICA 2
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2
En el punto A se tiene una determinada combinación de M 1 y M 2 que representa un
determinado nivel de utilidad.
En los puntos del primer cuadrante, se tiene una utilidad mayor porque se consume más de
M 1 y más de M 2 . Por en contrario, en el tercer cuadrante, se consume menos de M 1 y menos
de M 2 ; por lo que se obtiene una utilidad menor. En el segundo y cuarto cuadrante hay
puntos que implican una utilidad mayor a la de A y otros puntos una utilidad menor, pero
también hay puntos con los mismos niveles de utilidad que en A y son, por lo tanto, los que
conforman la curva de indiferencia.
Propiedad: Las curvas de indiferencia no se cortan.
GRÁFICA 3
A>C
BqC
Porque en A se consume la misma cantidad de M 1 pero más cantidad de M 2 .
Por estar sobre la misma curva de indiferencia.
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3
Por estar sobre la misma curva de indiferencia.
BqA
Si ŸA>C y ŸB q C ® ŸA>B ® Contradicción: ŸB q A por estar sobre la misma curva de indiferencia.
MAPA DE INDIFERENCIA
Un sistema de preferencias se representa a través de la función de utilidad, que es una
familia de curvas de indiferencia.
GRÁFICA 4
Una curva de indiferencia es siempre parte de un mapa de indiferencia, donde cada curva
otorga un nivel de utilidad diferente.
GRÁFICA 5
El nivel de satisfacción es mayor cuanto más alejada del origen esté la curva de
indiferencia.
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4
TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN ENTRE BIENES (TMSB)
Se diferencia totalmente la función de utilidad: U UŸM 1 , M 2 U UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 M 1 M 2
M 1
M 2
Sobre la misma curva de indiferencia la variación total de la utilidad es cero, ya que a lo
largo de la curva de indiferencia el individuo tiene la misma utilidad:
U ®
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 M 1 M 2 0
M 1
M 2
®
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 M 1 "
M 2
M 1
M 2
®
UŸM 1 , M 2 M 1
"M 2 UMa 1 TMSB
UMa 2
UŸM 1 , M 2 M 1
M 2
UŸM 1 , M 2 : UMa i Utilidad marginal de M i
M i
—————
i 1, 2
LA TMSB Y LAS CURVAS DE INDIFERENCIA
La TMSB mide el intercambio entre M 1 y M 2 para mantenerse en el mismo nivel de
satisfacción, o sea, sobre la misma curva de indiferencia.
GRÁFICA 6
Si para mantenerse en el mismo nivel de utilidad y poder consumir más de un bien, se
tiene que consumir necesariamente menos del otro bien, entonces, las curvas de
indiferencia son convexas hacia el origen; pero hay infinitas formas de curvas de
indiferencia.
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5
OTRAS FORMAS DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA
GRÁFICA 7
En este caso existe un bien y un mal. Para que se consuma más del mal se debe poder
consumir más del bien, hay una recompensa.
GRÁFICA 8
Para cualquier nivel de M 1 se consume el mismo nivel de M 2 . En este caso, M 1 es un bien
irrelevante para el consumidor.
GRÁFICA 9
En este caso, el bien que es irrelevante es M 2 , para una misma cantidad de M 1 se consume
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6
cualquier cantidad de M 2 .
GRÁFICA 10
En el tramo (I) M 1 es un bien; en el tramo (II) es indiferente; y en el tramo (III) es un mal.
———————–
La TMSB es la que da la inclinación de la curva de indiferencia representativa del
sistema de preferencias del individuo. Por ejemplo: si la pendiente es positiva habrá
un bien y un mal; si es negativa habrá dos bienes parcialmente sustitutos; si es nula
habrá un bien que es irrelevante.
LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA
RESTRICCIONES LINEALES
Supuestos:
(1) Dos bienes o servicios: M 1 y M 2
(2) Los precios de estos bienes están dados: p 1 y p 2 , respectivamente
(3) El consumidor tiene un ingreso nominal de m
®
m u p1M1 p2M2
GRÁFICA 11
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7
m
p 2 es la cantidad de M 2 que el consumidor puede obtener con su ingreso.
m
p 1 es la cantidad de M 1 que el consumidor puede obtener con su ingreso.
La unión de estos dos puntos representa la recta de restricción, donde se consume todo el
ingreso en la adquisición de M 1 y M 2 . Todos los puntos limitados por la restricción y los dos
ejes son consumibles dado el ingreso m. En un punto como A, el ingreso nominal será
mayor al consumo de M 1 y M 2 . En cambio, en un punto como B, el consumidor gasta el total
de su ingreso en el consumo de M 1 y M 2 .
" pm2
"p 2
es la relación de precios.
Pendiente de la restricción presupuestaria:
m p1
p1
Estática comparativa:
(1) Cambios en el ingreso nominal manteniendo todo lo demás constante:
GRÁFICA 12
El cambio en el ingreso no afecta la relación de precios, por lo que no cambia la pendiente
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8
de la restricción. Pero al aumentar el ingreso la restricción se desplaza hacia arriba,
produciéndose un aumento en el ingreso real por el monto representado por el área
rayada.
(2) Cambios en p 1 manteniendo todo lo demás constante:
GRÁFICA 13
"p
Dada la pendiente de la restricción: p 12 :
a) Si p 1 disminuye, la restricción se hace más plana, aumentando el ingreso real.
b) Si p 1 aumenta, la restricción se hace más empinada, disminuyendo el ingreso real.
Nótese que el punto A no cambia, dado que no cambia m ni p 2 .
(3) Cambios en p 2 manteniendo todo lo demás constante:
GRÁFICA 14
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9
"p
Dada la pendiente de la restricción: p 12 :
a) Si p 2 disminuye, la restricción se hace más empinada, aumentando el ingreso real.
b) Si p 2 aumenta, la restricción se hace más plana, disminuyendo el ingreso real.
Nótese que el punto B no cambia, dado que no cambia m ni p 1 .
RESTRICCIONES NO LINEALES
Este tipo de restricciones están asociadas a mercados donde no existe buena información,
ya sea por regulaciones que hacen que la competencia no exista, o por falta de
transparencia del mercado. Esto hace que no haya precios únicos para M 1 y M 2 ,
coexistiendo distintos precios en el mercado.
EJEMPLO
GRÁFICA 15
Si se trabaja más de 8 horas, aumenta el ingreso, ya que las horas extra se pagan más.
DERIVACIÓN DE LA CURVA DE DEMANDA
La curva de demanda es la relación entre la cantidad y el precio transados (ceteris paribus)
GRÁFICA 16
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E es el punto de equilibrio del consumidor dados m 0 , p 1 , p 2 y su función de utilidad,
hallándose en el punto de tangencia de su restricción presupuestal y la curva de
indiferencia más alejada del origen posible que se pueda alcanzar (es decir, donde la
pendiente de estas dos curvas sea igual). Se verá cómo se llega al mismo cuando se vea
el problema de maximización de la utilidad del consumidor.
Observación: Si las curvas de indiferencia son cóncavas hacia el origen, el equilibrio del
consumidor se da en un punto donde se consume un único bien, siempre y cuando la
restricción sea lineal. Si la restricción es no lineal, no tiene por qué cumplirse esto.
GRÁFICA 17
Si cambia p 1 , tal que p 01 p 11 , la restricción cambia, y dependiendo del sistema de
preferencias, el consumidor encontrará su nuevo punto de equilibrio.
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11
GRÁFICA 18
El nuevo punto de equilibrio se dará sobre la nueva restricción, pero su emplazamiento
depende del sistema de preferencias.
(1) Supongamos que el nuevo punto de equilibrio es E’
GRÁFICA 19
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12
A y B son puntos de demanda y al unirlos se obtiene la curva de demanda de M 1 , dados m 0
y p 2 . Así, la curva de demanda tendría pendiente negativa: a menor precio mayor cantidad
demandada.
(2) ¿Qué hubiese pasado si en vez de en E’, el consumidor se hubiese ubicado en
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13
E”?
GRÁFICA 20
En este caso, la curva de demanda tendría pendiente positiva: a mayor precio mayor
cantidad demandada.
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(3) ¿Y si se hubiese ubicado en E”’?
GRÁFICA 21
En este caso, la curva de demanda tendría pendiente nula: no importa cuál sea el precio,
siempre se demanda la misma cantidad.
LA DEMANDA MARSHALLIANA
UŸM 1 , M 2 p15
x 1
UŸM 1 , M 2 p25
x 2
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15
m0 M1p1 M2p2
®
MM
1 fŸp 1 , p 2 , m 0 MM
2 fŸp 1 , p 2 , m 0 De esta forma, se obtienen los determinantes de la demanda de un bien.
Las funciones de demanda del consumidor muestran las cantidades óptimas de cada uno
de los bienes en función de los precios y del ingreso del consumidor.
GRÁFICA 22
La demanda es una lista de cantidades que se comprarían a distintos precios del bien, para
el precio de los otros bienes y el ingreso nominal dados. Otra cosa distinta es la cantidad
demandada: Al precio p 11 la cantidad demandada es M 11 , pero la demanda la constituyen
todos los puntos de la curva.
La demanda que considera el ingreso nominal del individuo se le llama DEMANDA
MARSHALLIANA U ORDINARIA.
La demanda Marshalliana toma el ingreso nominal, pero al variar el precio de un bien,
cambia el ingreso real. Por lo tanto, hay un efecto precio y un efecto ingreso.
Existen varios emplazamientos posibles para la curva de demanda Marshalliana:
GRÁFICA 23
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Cuando la curva de demanda Marshalliana tiene pendiente positiva, ante un aumento en el
precio del bien, aumenta la cantidad demandada. O sea que habría una relación directa
entre el precio y la cantidad transados.
Propiedad de la demanda Marshalliana
La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero en precios y en ingreso.
MM
2
MM
1 fŸp 1 , p 2 , m 0 ® fŸkp 1 , kp 2 , km 0 MM
1
fŸp 1 , p 2 , m 0 Gráficamente:
GRÁFICA 24
0
A km 0 m
p2
kp 2
® Al no variar ninguno de estos puntos, el emplazamiento de la curva no cambia.
0
B km 0 m
p1
kp 1
La restricción no cambia porque no cambian A ni B. De esta forma, el punto de equilibrio no
cambia. Por lo tanto, la curva de demanda tampoco debería cambiar.
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Analíticamente:
max UŸM 1 , M 2 s.a. km 0 kp 1 M 1 kp 2 M 2
®
c
M 1
UŸM 1 , M 2 " 5kp 1 0
x 1
®
®
max c UŸM 1 , M 2 5Ÿkm 0 " kp 1 M 1 " kp 2 M 2 UŸM 1 , M 2 x 1
5k (1)
p1
UŸM 1 , M 2 x 2
5k (2)
p2
c
®
M 2
c km 0 " kp 1 M 1 " kp 2 M 2 0 ® kŸm 0 " p 1 M 1 " p 2 M 2 0
® 5
®
®
UŸM 1 , M 2 " 5kp 2 0
x 2
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 x 1
x 2
p1
p2
®
kp0
®
m 0 " p 1 M 1 " p 2 M 2 0 (3)
UŸM 1 , M 2 x 1
pp 12
UŸM 1 , M 2 x 2
Se llega a la misma condición de equilibrio.
® La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero.
LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE HICKS
Hicks utiliza un método para mantener el ingreso real constante en vez del nominal.
GRÁFICA 25
Se debe descomponer el efecto sustitución o precio del efecto ingreso.
En un primer momento, se consumen M E2 y M E1 para la relación de precios implícita en esa
restricción presupuestal. Luego, p 1 disminuye, manteniéndose constantes p 2 y m. En la
nueva restricción presupuestal, varió la pendiente, es decir que cambió la relación de
precios: p 1 es relativamente más barato. En esta situación, según Marshall, el consumidor
puede ubicarse sobre la nueva restricción presupuestal consumiendo:
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(1) menos de M 1 y más de M 2
(2) lo mismo de M 1 y más de M 2
(3) más de M 1 y más de M 2
(4) más de M 1 y lo mismo de M 2
(5) más de M 1 y menos de M 2
GRÁFICA 26
GRÁFICA 27
El cambio total en el consumo de M 1 es: M E1 " M E1 , dado el cambio en p 1 ceteris paribus.
U
Hicks coincide con Marshall, pero expresa que al utilizarse el ingreso nominal, se
contradice la definición de demanda: cómo varía la cantidad demandada cuando varía el
precio manteniéndose constantes las demás variables. En el análisis de Marshall
permanecen constantes p 2 y el ingreso nominal, pero varía el ingreso real al disminuir p 1 .
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Hicks define el ingreso real constante: Cuando un precio disminuye, el individuo siente
que es más rico. Entonces, se debe manejar el ingreso nominal del individuo de modo tal
de mantenerlo en el mismo nivel de utilidad que antes, o sea, de forma que se mantenga
en la misma curva de indiferencia; pero con una relación de precios distinta. Para esto se
debe encontrar una recta paralela a la nueva restricción presupuestal según Marshall y
tangente a la curva de indiferencia U 0 .
GRÁFICA 28
Hicks descompone el cambio total de Marshall en dos componentes: puro efecto
sustitución y efecto ingreso.
Cambio total
ŸM 1
M
Efecto precio
Efecto ingreso
H
" M E1 ŸM H1 " M E1 ŸM M
1 " M1 El efecto precio o sustitución constituye la verdadera curva de demanda porque el otro
efecto se da por un aumento del ingreso real.Para Marshall, en cambio, la demanda era
afectada por todo el cambio.
Propiedad de la demanda ingreso compensada:
x H1 Ÿp 1 , p 2 , U es homogénea de grado cero en precios.
n
El teorema de Euler:
si y fŸx 1 , x 2 es homogénea de grado cero ®
i1
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y
xi 0
x i
20
x H1
x H
p2 1 0
p 1
p 2
®
Aplico Euler: p 1
®
Divido por x H1 :
®
/ Hx ,p / Hx ,p 0
1
1
1
p 2 x H1
p 1 x H1
0
x H1 p 1
x H1 p 2
2
ELASTICIDAD
La elasticidad mide la relación que existe entre dos variables, una dependiente y otra
independiente. En el caso concreto de la demanda Marshalliana, se tiene la relación entre
M 1 ó M 2 (variables dependientes) y p 1 ó p 2 (variables independientes), ceteris paribus.
En general: M fŸy 1 , y 2 , y 3 ®
/
d log M d log y i
1 dM
M
1
y i dy i
dM
M
dy i
yi
Variación porcentual de M ante cambios porcentuales de y i.
Elasticidad: La elasticidad mide el cambio porcentual en la cantidad dado por la variación
porcentual en el precio.
ELASTICIDAD PRECIO (PROPIO): / M 1 ,p 1
Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y su cantidad
demandada.
M 1 fŸp 1 , p 2 , m 0 ®
(1)
/ M ,p 1
1
dM 1
M'
d log M 1
M 1 1' dM 1 pM 11
p1
dp 1
d log p 1
dp 1
p1
/ M ,p 0
1
1
®
® El valor de la elasticidad depende de la pendiente.
Perfectamente inelástica: al variar p 1 la cantidad demandada no cambia.
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21
GRÁFICA 29
(2) "1 / M ,p 0
1
1
®
Inelástica
GRÁFICA 30
(3)
/ M ,p "1
1
1
®
Unitaria: los cambios porcentuales en las variables deben ser iguales en valor
absoluto y de signo opuesto.
GRÁFICA 31
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(4) ". / M ,p "1
1
1
®
Elástica
GRÁFICA 32
(5)
/ M ,p ".
1
1
®
Infinitamente elástica: al precio p 11 la demanda de M 1 se hace infinita, pero si el
precio sube la cantidad demandada se hará nula.
GRÁFICA 33
—————–
M 11 : cambio porcentual en M 1 (es un operador semi-logarítmico)
——————
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23
La elasticidad precio y la demanda lineal
GRÁFICA 34
La elasticidad precio de la demanda depende de la existencia de sustitutos y de la
participación en el presupuesto de gasto del consumidor.
La demanda de elasticidad constante
Son aquellas que cumplen: x 1 Ap / x1 p 1
ELASTICIDAD CRUZADA: / M 1 ,p 2
Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y la cantidad
demandada de otro bien.
/ M ,p
1
(1)
M1.
(2)
2
dM 1
M'
d log M 1
M 1 1' dM 1 pM 21
p2
d log p 2
dp 2
dp 2
p2
/ M ,p 0
2
®
Bienes sustitutos: si aumenta el precio de M 2 , aumenta la cantidad demandada de
/ M ,p 0
®
Bienes independientes: los cambios en el precio de uno, no afectan la cantidad
1
1
2
demandada del otro.
(3)
/ M ,p 0
1
2
®
Bienes complementarios: si aumenta el precio de uno, disminuye la cantidad
demandada del otro (se consumen conjuntamente)
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ELASTICIDAD INGRESO: / M 1 ,m
/ M ,m 1
(1)
d log M 1
d log m
/ M ,m 0
1
®
dM 1
M1
dm
m
ut. marginal
M '1
m'
¥
dM 1 .
dm
m
M1
¦
1/ ut.media
Bienes normales: la demanda aumenta cuando aumenta el ingreso (m)
1.1-
/ M ,m 1
®
Bienes superiores: M 1 crece más que proporcionalmente al aumento de m.
1.2-
/ M ,m 1
®
Bienes necesarios: M 1 crece menos que proporcionalmente al aumento de m.
1
1
(2)
/ M ,m 0
®
Bienes independientes: cambios en el ingreso no afectan la cantidad demandada.
(3)
/ M ,m 0
®
Bienes inferiores: ante aumentos en el ingreso, cae la cantidad demandada.
1
1
(*) El hecho de que un bien sea inferior o no, depende del nivel de ingreso que se esté
considerando.
Bienes de lujo y necesarios: una relación interesante
Se forman las restricciones presupuestarias para dos niveles de ingreso:
p 1 x 11 p 2 x 12 m 1
p 1 x 01 p 2 x 02 m 0
Se restan ambas y se obtiene: p 1 x 1 p 2 x 2 m
Se multiplica y se divide los precios por: xx ii y se divide ambos miembros por m.
®
p2x2 x2
p1x1 x1
m
m x1 m x2 m
Se divide ambos miembros por: mm
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®
p1x1 x1
p2x2 x2
m x1 m x2 m
m
m
m
Se define: k i ®
k1
pixi
m
m
m
m
m
como la proporción del bien i en el gasto del individuo.
x1
x2
x1 k x2 1
2
m
m
m
m
La media ponderada de las elasticidades ingreso es uno, donde los ponderadores son la
proporción sobre el gasto.
Los bienes de lujo, que tienen una elasticidad ingreso mayor que uno, deben
contrarrestarse con bienes que tengan una elasticidad ingreso menor que uno, por lo que
las elasticidades ingreso serán en promedio alrededor de uno.
LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR INDIVIDUAL Y LA DEMANDA DE
MERCADO
MM
1 fŸp 1 , p 2 , . . . . . , p n , m Demanda Marshalliana
M H1 fŸp 1 , p 2 , . . . . . , p n , m ' Demanda de Hicks (m ' ingreso real constante)
AGREGACIÓN: DEMANDA DE MERCADO
Sea x i1 Ÿp 1 , p 2 , m la demanda del bien 1 realizada por el individuo i.
La demanda de mercado será:
n
x 1 Ÿp 1 p 2 , m 1 , . . . , m n x i1 Ÿp 1 , p 2 , m i i1
Se puede suponer la demanda agregada como la demanda de un consumidor
representativo que tiene un ingreso que es la suma del ingreso de todos los individuos.
®
La función de demanda agregada tiene la forma:
x 1 Ÿp 1 , p 2 , M ,
donde M es la suma del ingreso de todos los consumidores.
Según este supuesto, la demanda agregada de la economía es igual a la demanda de un
individuo que se enfrenta a los precios (p 1 , p 2 ) y que tiene un ingreso M.
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GRÁFICA 35
Interpretación geométrica y la suma de curvas de demanda lineales:
La demanda agregada es la suma horizontal de las curvas de demanda.
Dado un precio, se suman las cantidades demandadas por cada individuo.
Supongamos dos curvas de demanda lineales:
D 11 Ÿp 1 20 " p 1
D 21 Ÿp 1 10 " 2p
GRÁFICA 36
ESTÁTICA COMPARATIVA
(1) Movimientos sobre la misma curva: cambio en el gasto real en el bien 1
GRÁFICA 37
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
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PUNTO A: Al precio p A1 se demanda una cantidad de M A1 . El rectángulo rayado representa el
gasto real de los consumidores en el bien 1.
PUNTO B: Como la curva de demanda es negativamente inclinada, si aumenta el precio de
p A1 a p B1 , entonces disminuirá la cantidad demandad de M A1 a M B1 ; y el gasto real de los
consumidores en el bien 1 pasará a estar representado por el rectángulo punteado.
Lo que ocurre con el gasto real de los consumidores en el bien 1 al variar su precio,
depende de la elasticidad de la curva de demanda:
/ M ,p 0
1
®
1
"1 / M ,p 0
1
1
1
". ®
/ M ,p "1
1
1
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
®
1
/ M ,p "1
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
dŸp 1 M 1 0
®
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
Si dp 1 0 ® dŸp 1 M 1 0
dŸp 1 M 1 : Variación del gasto
En síntesis: Gasto: R p 1 M 1
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
28
®
dR dp 1 . x 1 p
dx 1
dx 1
®
dR p 1 "
1
dx 1
|/ M 1 ,p 1 |
(2) Cambios de la curva de demanda:
GRÁFICA 38
Se producen movimientos sobre la misma curva de demanda de M 1 cuando varía el precio
de ese bien: p 1 . De esta forma cambiará la cantidad demandada, pero la demanda
continúa siendo la misma.
2.1- Cambio en el precio de otro bien (p 2 ):
Para determinar qué ocurre con la demanda de un bien cuando varía el precio de otro bien,
hay que ver si esos bienes son: sustitutos, independientes o complementarios. Por lo tanto,
habrá que observar la elasticidad cruzada.
* Si son independientes (/ M 1 ,p 2 0), los cambios en p 2 no afectan la demanda por M 1 .
GRÁFICA 39
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
29
*Si son sustitutos (/ M 1 ,p 2 0), los cambios en p 2 sí afectarán la demanda por M 1 .
GRÁFICA 40
*Si son complementarios (/ M 1 ,p 2 0) los cambios en p 2 afectarán la demanda por M 1 .
GRÁFICA 41
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
30
2.2- Cambios en el ingreso (m):
En este caso, hay que observar la elasticidad ingreso y determinar si los bienes son:
inferiores, independientes, necesarios, o de lujo.
(a) / M 1 ,m 0
«
El bien 1 es un bien inferior
GRÁFICA 42
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
31
(b) / M 1 ,m 0 « El bien 1 es un bien independiente del ingreso ® los cambios en el ingreso
no afectarán la demanda por dicho bien ® no cambiará el emplazamiento de la curva de
demanda.
(c) / M 1 ,m 0
(c.1) 0 «
/ M ,m
1
(c.2) / M 1 ,m 1
El bien 1 es un bien normal
t1
«
«
Es un bien necesario.
GRÁFICA 43
Es un bien de lujo.
GRÁFICA 44
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
32
GASTO DE LOS CONSUMIDORES E INGRESO DE LOS PRODUCTORES
IT Ÿp 1 M 1 Ingreso total
Esto era el gasto de los consumidores. Ahora lo veremos como el ingreso total de los
productores.
Ÿp 1 M 1 IT
M1 M1
p 1 IMe
IT Ÿp 1 M 1 IMa
M 1
M 1
Ingreso medio
Ingreso marginal
GRÁFICA 45
El rectángulo de vértices: (p E1 , E, M E1 , 0 ) define tanto el gasto de los consumidores como el
ingreso de los productores. Y se puede observar que su monto depende de:/ M 1 ,p 1
Ÿp 1 M 1 p 1 p 1 M 1 p 1 1 p 1 Mp 11
IMa IT M 1
M 1
M 1
M 1
/ M ,p
1
1
t0
®
1
/ M ,p
1
t0
®
IMa t p 1
®
p1 1 1
/ M ,p
1
1
IMa t IMe
1
(1) Si / M 1 ,p 1 0 ® IMa ".
(2) Si "1 / M 1 ,p 1 0 ® IMa 0
(3) Si / M 1 ,p 1 "1 ® IMa 0
(4) Si ". / M 1 ,p 1 "1 ® IMa 0
(5) Si / M 1 ,p 1 ". ® IMa IMe p 1
IMPUESTOS Y SUBSIDIOS
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
33
La demanda es, desde otro punto de vista, la solicitud de bienes que enfrentan los
productores.
La demanda es el precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar por una
determinada cantidad de producto.
En un mercado sin distorsiones, la demanda de los consumidores coincide con la demanda
que enfrentan los oferentes.
IMPUESTOS
Hay dos tipos de impuestos:
(1) IMPUESTO ESPECÍFICO: se paga una cantidad fija de pesos por unidad de producto.
GRÁFICA 46
La curva de demanda de los consumidores no se traslada. Pero sí cambia la demanda que
enfrentan los oferentes: antes coincidía con la demanda de los consumidores y ahora está
representada por la recta punteada.
(2) IMPUESTO AD.VALOREM: se paga por un porcentaje del valor (por ejemplo: IVA).
GRÁFICA 47
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
34
Al introducir un impuesto de *%, la demanda de los consumidores se mantiene
incambiada, pero la demanda que enfrentan los oferentes se traslada, quedando
representada por la recta punteada.
La recaudación está altamente relacionada, positiva o negativamente, con la elasticidad de
la demanda. Si la demanda es relativamente inelástica se generará una recaudación mayor
a que si la demanda es relativamente elástica. Esto es así porque cuando la demanda es
elástica hay muchos bienes sustitutos, y si se grava con impuestos un bien y sus sustitutos
no, entonces se recaudará poco porque los consumidores comprarán menos del bien
gravado y más de sus sustitutos.
SUBSIDIOS
Los subsidios pueden verse como impuestos a tasas negativas.
GRÁFICA 48
En ambos casos, la demanda que enfrentan los oferentes se traslada (ya que antes
coincidía con la demanda de los consumidores que se mantiene incambiada), quedando
representada por la curva punteada. El área rayada representa la trasferencia de la
tesorería hacia los oferentes, la cual será mayor a medida que la curva de demanda sea
más inelástica.
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
35
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
max y fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) s.a. gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
®
max c fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 5gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) ®
c fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 5 gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
M i
M i
M i
®
c gŸM , M , . . . . , M , ) 0
n
1 2
5
®
M i M 'i Ÿ) ®
5 5 ' Ÿ) Si se sustituye M 'i y 5 ' en la función objetivo, se obtiene la solución óptima.
®
CŸ) f¡M '1 Ÿ) , M '2 Ÿ) , . . . . , M 'n Ÿ) , ) ¢
®
C
f M , M , . . . . , M n , ) M 'i
f M , M , . . . . , M n , ) Ÿ 1 2
Ÿ 1 2
)
M i
)
)
C
)
Cambio en la función óptima cuando cambia el parámetro
Si se sustituye M 'i y 5 ' en la restricción, da cero.
g¡M '1 Ÿ) , M '2 Ÿ) , . . . . , M 'n Ÿ) , ) ¢ 0
M '
gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) i gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
)
M i
5 gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) M i
)
M 'i
g M , M , . . . . , M n , ) 5 Ÿ 1 2
0
)
)
0
¥
Sumo:
®
C
g
)
)
® No cambia el resultado
M 'i
M 'i
C
f
f 5 g
5 g
M i )
)
M i )
)
)
c 0
M i
®
C
)
f 5 g
M i
M i
M 'i
f 5 g
)
)
)
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
36
®
C
f 5 g
)
)
)
®
C
c
)
)
Derivada del lagrangiano con respecto a )
Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptimo cuando cambia el parámetro
directamente derivando el lagrangiano respecto a dicho parámetro.
MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD DEL CONSUMIDOR
El consumidor maximizará su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria.
max UŸM 1 , M 2 s. a. p 1 M 1 p 2 M 2 m
®
®
max c p 1 ,p 2 ,m UŸM 1 , M 2 5Ÿm " p 1 M 1 " p 2 M 2 c UŸM 1 , M 2 " 5p 0
1
M 1
M 1
c UŸM 1 , M 2 " 5p 2 0
® M 2
M 2
c
®
m " p1M1 " p2M2 0
5
(1)(2) ® Condición de equilibrio
®
p2
p1
UŸM 1 , M 2 M 2
UŸM 1 , M 2 M 1
TMSB
¥
tal que 5 u 0
®
UŸM 1 , M 2 M 1
5
p1
(1)
®
UŸM 1 , M 2 M 2
5
p2
(2)
UŸM 1 , M 2 M 1
pp 12
UŸM 1 , M 2 M 2
o
UŸM 1 , M 2 M 2
pp 21
UŸM 1 , M 2 M 1
"M 2
M 1
De esta forma, el punto de máxima satisfacción se da donde las pendientes de la
restricción y de la curva de indiferencia más alejada posible del origen, sean iguales. O sea
que el punto de equilibrio del consumidor se da en el punto de tangencia de estas dos
curvas.
GRÁFICA 49
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
37
—————
Otra forma de ver la condición de equilibrio:
(1) (2) ®
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 M
M 2
1
5
p1
p2
Condición de equilibrio
La utilidad marginal por peso gastado en el bien 1 tiene que ser igual a la utilidad marginal
por peso gastado en el bien 2. Si esto no fuera así, el individuo gastaría más en la compra
del bien que le proporcionara una mayor satisfacción, o sea el que tuviera mayor utilidad
marginal por peso gastado, y adquiriría menos del bien que le produciera menor
satisfacción. Con esto, iría disminuyendo la utilidad marginal del primero y aumentaría la de
este último, hasta que se igualasen.
Interpretación económica de 5:
De esta forma, 5 es la utilidad marginal por peso gastado en cada uno de los dos bienes.
Por lo tanto, podría verse a 5 como la utilidad marginal del dinero.
De las condiciones de primer orden se originan las siguientes funciones:
1) Las funciones solución: M M
i Ÿp 1 , p 2 , m ; i 1, 2 , conocidas como funciones marshallianas
de demanda.
2) La función valor óptimo: 'Ÿp 1 , p 2 , m U¡M 1 Ÿp 1 , p 2 , m , M 2 Ÿp 1 , p 2 , m ¢ , vista como la
función de utilidad indirecta.
Las funciones marshallianas de demanda señalan lo que el consumidor comprará dados
los precios p 1 , p 2 y el ingreso m. La función de utilidad indirecta indica cuál es el nivel de
utilidad alcanzado.
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
38
IDENTIDAD DE ROY
Relación entre las funciones marshallianas de demanda y la función de utilidad
indirecta
'
p i
xM
i Ÿp 1 , p 2 , m "
'
m
i 1, 2
Aplicando el teorema de la envolvente con respecto a p 1 , p 2 se tiene:
) "5x "5x M Ÿp , p , m '
i
1 2
i
p i
p i
i 1, 2
) 5 '
m
m
A partir de estas dos relaciones se llega a:
'
p i
xM
i Ÿp 1 , p 2 , m "
'
m
i 1, 2
Las derivadas del segundo término están evaluadas en (p 1 , p 2 , m)
La identidad de Roy muestra que se pueden deducir las funciones marshallianas de
demanda una vez conocida la función de utilidad indirecta, derivando y aplicando la
identidad de Roy.
PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA
'Ÿtp 1 , tp 2 , tm 'Ÿp 1 , p 2 , m ®
' es homogénea de grado cero.
Demostración:
Como x M
i es homogénea de grado cero, se cumple: p 1 x 1 p 2 x 2 m / tp 1 x 1 tp 2 x 2 tm
®
UŸM 1 , M 2 M 1
pp 12
UŸM 1 , M 2 M 2
/
UŸM 1 , M 2 M 1
1
tp
tp 2
UŸM 1 , M 2 M 2
®
M
xM
i Ÿp 1 , p 2 , m x i Ÿtp 1 , tp 2 , tm Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
39
®
U¡M 1 Ÿtp 1 , tp 2 , tm , M 2 Ÿtp 1 , tp 2 , tm ¢ U¡M 1 Ÿp 1 , p 2 , m , M 2 Ÿp 1 , p 2 , m ¢
PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN DEL GASTO
En el problema de minimización del gasto los parámetros son los precios y el nivel de
utilidad prefijado.
®
min p 1 x 1 p 2 x 2
s.a.
UŸx 1 , x 2 U
®
c x ,x ,5 p 1 x 1 p 2 x 2 5¡U " UŸx 1 , x 2 ¢
1
®
c p " 5 UŸx 1 , x 2 0
1
x 1
x 1
®
5
p1
UŸx 1 , x 2 x 1
®
c p " 5 UŸx 1 , x 2 0
2
x 2
x 2
®
5
p2
UŸx 1 , x 2 x 2
®
c U " UŸM , M 0
1 2
5
®(1)(2) ®
2
(1)
(2)
UŸx 1 , x 2 x 1
pp 12
UŸx 1 , x 2 x 2
Las condiciones de primer orden permiten encontrar las siguientes funciones:
1) x Hi Ÿp 1 , p 2 , U funciones Hicksianas de demanda
2) La función de valor óptimo: eŸp 1 , p 2 , U p 1 x H1 Ÿp 1 , p 2 , U p 2 x H2 Ÿp 1 , p 2 , U es la función
de gasto.
La función de gasto da el gasto mínimo que tiene que realizar el consumidor para alcanzar
el nivel de utilidad U dados los precios p 1 y p 2 .
LEMA DE SHEPHARD
eŸp 1 , p 2 , U x Hi Ÿp 1 , p 2 , U p i
i 1, 2
PROPIEDADES
(i) x Hi Ÿp 1 , p 2 , U (ii) eŸp 1 , p 2 , U es homogénea de grado cero en precios
es homogénea de grado uno en precios
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
40
PROBLEMAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA
Utilizando las demandas hicksianas:
Primero veámos que la función de gasto del consumidor es cóncava en precios:
GRÁFICA 50
Se considera la siguiente matriz:
®
S
x H
1
p 1
x H
1
p 2
x H
2
p 1
x H
2
p 2
Aplicando el lema de Shephard, se tiene:
S
2e
p 21
e
p 1 p 2
e
p 1 p 2
2e
p 22
®
Como la función de gasto del consumidor es cóncava, la matriz S es semidefinida
negativa. Por consiguiente, los elementos de la diagonal principal son negativos.
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
41
x H1
t0
p 1
®
y
x H2
t0
p 2
p i produce una reducción de la demanda hicksiana del bien i.
Como las funciones de demanda hicksianas son homogéneas de grado cero en precios, se
puede aplicar el teorema de Euler:
t0
®
p1
p i 0 x H
x H1
x H
1
p 2 1 0 ®
u0
p 1
p 2
p 2
t0
®
p1
p i 0 x H
x H2
x H2
2
p2
0 ®
u0
p 1
p 2
p 1
Si hay tres bienes ® para cada bien i alguno de los elementos que no están en la diagonal
principal serán mayores o iguales a cero.
Utilizando las demandas marshallianas:
Para ver los efectos de estática comparativa utilizando funciones de demanda
marshallianas, veremos la ecuación de Slutsky, que relaciona las funciones de demanda
marshalliana con las hicksianas.
LA ECUACIÓN DE SLUTSKY
En el óptimo se tiene:
H
xM
1 ¡p 1 , p 2 , eŸp 1 , p 2 , U ¢ x 1 Ÿp 1 , p 2 , U Derivamos respecto a p 2 :
®
x M ¡p , p , eŸp 1 , p 2 , U ¢ eŸp 1 , p 2 , U x H Ÿp , p , U x M
1 ¡p 1 , p 2 , eŸp 1 , p 2 , U ¢
1 1 2
1 1 2
p 2
m
p 2
p 2
Por el lema de Shephard se tiene:
x H2 Ÿp 1 , p 2 , U ®
eŸp 1 , p 2 , U p 2
x M ¡p , p , eŸp 1 , p 2 , U ¢
x M
x H Ÿp , p , U 1 ¡p 1 , p 2 , eŸp 1 , p 2 , U ¢
x H2 Ÿp 1 , p 2 , U 1 1 2
1 1 2
p 2
m
p 2
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
42
Sea eŸp 1 , p 2 , U m ; donde U 'Ÿp 1 , p 2 , m En el óptimo: x H2 x M
2
®
x H ¡p , p , 'Ÿp 1 , p 2 , m ¢
x M
x M
1 Ÿp 1 , p 2 , m 1 Ÿp 1 , p 2 , m xM
1 1 2
2 Ÿp 1 , p 2 , m p 2
m
p 2
Esta es la conocida ecuación de Slutsky. Reordenando:
®
x H ¡p , p , 'Ÿp 1 , p 2 , m ¢
x M
x M
1 Ÿp 1 , p 2 , m 1 Ÿp 1 , p 2 , m 1 1 2
" xM
2 Ÿp 1 , p 2 , m p 2
p 2
m
En general:
x H Ÿ. x M
x M
i Ÿ. i Ÿ. i
" xM
j Ÿ. p j
p j
m
El efecto total que un cambio de p j ejerce sobre la demanda marshalliana del bien i
puede descomponerse en dos partes:
(1)
x Hi Ÿ. : Efecto sustitución sobre la demanda marshalliana del bien i producido por un cambio en p j
p j
(2) "x M
j Ÿ. x M
i Ÿ. : Efecto ingreso sobre la demanda marshalliana del bien i debido a un cambio en p j
m
Del análisis anterior se tenía que:
1) Para: i 1, 2, . . . , n
®
x Hi Ÿ. t0
p i
2) Para: i 1, 2, . . . , n, donde i p j
®
x Hi Ÿ. puede ser tanto positivo como negativo si
p j
n 2.
Si i p j el efecto total es la suma de un efecto sustitución de signo indeterminado y de un
efecto ingreso también de signo indeterminado.
Si i j el efecto total precio propio es la suma de un efecto sustitución negativo y de un
efecto ingreso de signo indeterminado. El signo del efecto ingreso depende de que el bien i
sea inferior o no. Hay tres posibles resultados:
(a) Si el bien i no es inferior, el efecto ingreso es negativo, lo cual refuerza el efecto
sustitución negativo, lo que produce un efecto total negativo.
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
43
(b) Se llega al mismo resultado si el bien i es inferior, lo que da un efecto ingreso positivo;
pero este efecto es pequeño y queda superado por el efecto sustitución negativo, volviendo
a producirse un efecto total negativo.
(c) El bien i es fuertemente inferior, causando un efecto ingreso positivo grande que pesa
más que el efecto sustitución, produciéndose un efecto total positivo.
RELACIÓN DE ELASTICIDADES
LA ECUACIÓN DE SLUTSKY EN FORMA DE ELASTICIDADES:
x H
x M
x M
i
i
i " x M
j
p j
p j
m
SLUTSKY:
®
p
Multiplico todo por: x ij
/M
ij
/H
ij
p j x M
p j x Hi
p j M x M
i
i
m
x i p j x i p j " x i x j m m
®
Las dos primeras expresiones son elasticidades, y puedo convertir la última multiplicando
m
m
por
/M
ij
/H
ij
/ im
kj
p j x M
p j x Hi
p j M x M
i
i m
"
x i p j x i p j
m x j m x i
®
®
/ Mij / Hij " k j / im
Donde k j es la participación del gasto en el bien j sobre el ingreso m.
OTRA FORMA DE VER EL PROBLEMA DE ESTÁTICA COMPARATIVA:
/ MM ,p / HM ,p k 1 / M ,m
1
1
1
Ÿ Ÿ" Ÿ0 1
1
¦
Ÿ Ÿ" Ÿ0 Ÿ" / HM 1 ,p 1
/M
M 1 ,p 1
M 1 M 1 M 1 m
p 1
p 1
m p 1
Multiplico por
®
p 1 /M 1
p 2 ,m
/ M 1 ,m
®
/ MM ,p / HM ,p Mm1 Mm1
1
1
1
1
M 1 p 1 M 1 p 1 M 1 m
p 1 M 1 p 1 M 1
m p 1
1
p1 ¥
m ®
M
m
1
U U 0
k1
m
p 1
p1
m
¦
M1
—————–
mn m0 p1M1
®
m p1M1
®
m M1
p1
®
m M
1
p 1
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
44
M 1 pm1 k 1
m p 1 k
1
p 1 m
®
——————
Se resta porque la compensación que se hace es de signo contrario a la variación del
precio.
®
/ MM ,p / HM ,p k 1 / M ,m
1
1
1
1
1
De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada por
la elasticidad ingreso:
®
/ MM ,p 0 « / M ,m
®
/ MM ,p
1
1
1
u0
®
Bien normal o independiente.
/ M ,m 0
®
Bien inferior.
1
1
u0
«
1
Pero además / M ,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego k 1 / M ,m a
/ HM ,p . Si no se compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá / MM ,p 0
1
1
1
1
1
1
ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA MARSHALLIANA
(1) UTILIZANDO LA HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA MARSHALLIANA:
xM
1 Ÿp 1 , p 2 , m es homogénea de grado cero en precios e ingreso.
Aplicando Euler:
x M
x M
x M
1
1
1
p1 p2 m0
p 1
p 2
m
Dividiendo todo por x M
1 :
De igual manera, se cumple:
x M
x M
x M
p1
p2
1
1
1
m 0
x
x
1
1
p 1
p 2
m x 1
®
/ M11 / M12 / M1m 0
/ M21 / M22 / M2m 0
M
(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA: m p 1 x M
1 p2x2
(a) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a m:
x M
x M
1
2
p1 p2 1
m
m
Multiplico y divido ambos términos por m, además, el primero por x 1 y el segundo por x 2 :
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
45
p1x1
m
x M
1 m
m x 1
p 2mx 2
x M
2 m
m x 2
1
®
k 1 / 1m k 2 / 2m 1
La suma ponderada de la elasticidad ingreso de todos los bienes es igual a uno. Se
cumplirá que si / 1m es relativamente alta ® / 2m será relativamente baja.
M
(b) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a precios: p 1 x M
1 p2x2 m
xM
1 p1
Diferenciando con respecto a p 1 :
Divido todo por m:
®
M
1 p 1 x 1
m
p 1
M
xM
1
1 p 1 x 1
m
m
p 1
1 p 2 x 2
m
M
p 1
Multiplico todo por p 1 :
p1
m
x M
x M
1
p2 2 0
p 1
p 1
1 p 2 x 2
m
0
x M
pm2 p 1 2
" 1m 1
M
p 1
xM
" m1
p1
x M
1
p 1
p 1
p xM
Multiplico y divido el primer término por x 1 y el segundo por x 2 :
p1x1
m
p 1 x M
1
x 1 p 1
p 2mx 2
p 1 x M
2
x 2 p 1
p xM
" 1m 1
®
M
k1/M
11 k 2 / 21 "k 1
ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA HICKSIANA
(1) UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA HICKSIANA:
x H1 Ÿp 1 , p 2 , U es homogénea de grado cero en precios.
Aplicando Euler:
x H1
x H1
p1 p2 0
p 1
p 2
Dividiendo todo por x H1 :
De igual manera, se cumple:
x H1 p 2
x H1 p 1
0
p 1 x 1
p 2 x 1
®
/ H11 / H12 0
/ H21 / H22 0
(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN:
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
46
UŸx H1 , x H2 U
Diferenciando con respecto a p 1 :
c p 1 x 1 p 2 x 2 6¡U " UŸx 1 , x 2 ¢
Del lagrangiano se tiene:
®
c p " 6 U 0
1
x 1
x 1
H
H
U x 1 U x 2 0
x 1 p 1
x 2 p 1
®
U
6 x 1
p1
p 2 x H2
p 1 x H1
6 p 1
6 p 1 0
®
Sustituyo:
®
Multiplico por 6:
Divido todo por m:
p1
x H1
x H
p2 2 0
p 1
p 1
H
1 p 1 x 1
m
p 1
Multiplico todo por p 1 :
p1
m
1 p 2 x 2
m
0
x H1
p 1
p 1
H
p 1
p1
x H
pm2 p 1 2
0
Multiplico y divido el primer término por x 1 y el segundo por x 2 :
p1x1
m
p 1 x H1
x 1 p 1
p 2mx 2
p 1 x H2
x 2 p 1
0
®
k 1 / H11 k 2 / H21 0
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
47
ANEXO 1
LA TMSB Y LA FUNCIÓN COBB-DOUGLAS
U UŸM 1 , M 2 AM )1 M 12")
A es un escalar
M 1 , M 2 son bienes
0)1
®
®
®
®
®
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 Por estar sobre la misma curva de indiferencia
M 1 M 2 0
M 1
M 2
UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 UŸM 1 , M 2 M 1
"M 2 UMa 1 TMSB
M 1 "
M 2 ®
UMa 2
M 1
M 2
UŸM 1 , M 2 M 1
M 2
UŸ. 1 1")
"
)
UMa 1 A)x 1 . x 2
x 1
UŸ. UMa 2 AŸ1 " ) x )1 . x "2)
x 2
UMa 1 A. )x )1 "1 . x 12") A . ) . x 12")) ) . x 2 ® TMSB ) . x 2
UMa 2
A 1 " ) x )1 ")1
1 " ) x1
1 " ) x1
A. Ÿ1 " ) x )1 . x "2 )
U Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
48
ANEXO 2
LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE SLUTSKY (*)
(*) Nota: esta parte no fue dada en clase, por consiguiente es opcional.
Slutsky define el ingreso real constante de modo que con la nueva relación de precios el
individuo pueda consumir lo mismo que antes en términos de bienes.
GRÁFICA 51
Al caer el precio de M 1 , se le quitará ingreso nominal al consumidor, de modo tal que con la
nueva relación de precios continúe consumiendo lo mismo que antes.
Para encontrar el nuevo punto de equilibrio S, se debe trazar una recta paralela a la nueva
restricción según Marshall que pase por el punto inicial E, y de esta forma se encuentra la
nueva curva de indiferencia.
Efecto total
Efecto precio
M "M M "M
M
Ÿ 1
E
S
1 Ÿ 1
E
1 Efecto ingreso
S
ŸM M
1 " M1 Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
49
Tanto para Hicks como para Slutsky, el efecto precio o sustitución es la curva de demanda.
La diferencia entre estos autores es la definición de ingreso real constante. En Hicks el
individuo se mantiene en el mismo nivel de utilidad, mientras que en Slutsky el individuo
consume lo mismo que antes en términos de bienes.
Elasticidad: relación entre la de Marshall y la de Slutsky
/M
M 1 ,p 1
M 1 M 1 M 1 m
p 1
p 1
m p 1
®
m m p1M1
®
®
/ MM ,p / SM ,p
1
1
1
Ÿ Ÿ" Ÿ0 1
1
1
®
p 1 /M 1
m " m p1M1
®
®
m M1
p1
¥
M1
M 1 p 1 M 1 p 1 M 1
p 1 M 1 p 1 M 1
m
p
" M 1 Mm1 Mm1 M 1 M 11
m
1
Ÿ" / MM ,p / SM ,p
Multiplico por
/S
M 1 ,p 1
®
m
p 1
m M
1
p 1
/ M 1 ,m
/ MM ,p / SM ,p
1
1
1
p1
M1
1
k1
" M 1 Mm1 Mm1 p 1
m
Ÿ Ÿ" Ÿ0 1
" k 1 / M 1 ,m
Lo mismo que ocurría con Hicks
De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada por
la elasticidad ingreso:
®
®
/ MM ,p 0
1
/ MM ,p
1
1
1
u0
«
«
/ M ,m
1
u0
/ M ,m 0
1
®
®
Bien normal o independiente.
Bien inferior.
Pero además / M ,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego k 1 / M ,m a
/ SM ,p . Si no se compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá / MM ,p 0
1
1
1
Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi
1
1
1
50