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Funciones Trigonométricas
Iván Castro
Leonardo Rendón
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Ayuda en transparencias Ricardo Miranda
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Octubre - 2009
Definición de Radián
Funciones
Trigonométricas
Iván
Castro.
Leonardo
Rendón
Definición de Radián: Un radián
es una medida de un ángulo cuyo
vértice está en el centro de una
circunferencia y que barre un
arco cuya longitud es igual al
radio de la circunferencia.
S = rθ
r = rθ
1rad = θ
Relación entre radianes y grados
sexagecimales
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Como la longitud de la
circunferencia C está dada por ,
2πr se tiene que:
2π → 360◦
π → 180◦
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luego se siguen las equivalencias
Radianes
π
0
π
6
π
4
π
3
π
2
3π
2
2π
Grados
180
0
30
45
60
90
270
360
Sentido de los ángulos
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Se determina un sentido para determinar los ángulos
(en radianes) en el plano cartesiano
Sentido positivo de un ángulo en
posición normal
Sentido negativo de un ángulo en
posición normal
Definición de las funciones seno y coseno
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Consideremos un número real t y construyamos el
ángulo en posición normal de medida t radianes . Sea
P el punto de intersección de la línea terminal del
ángulo con la circunferencia unitaria centrada en el
origen. Si P = (x, y), definimos
cos(t) = x y sen(t) = y
Definición de seno y coseno de un ángulo
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De la definición de seno y de coseno, se tiene:
Dom sen = Dom cos = R
|sen(t)| ≤ 1 , |cos(t)| ≤ 1
sen2 (t) + cos2 (t) = 1, ∀t ∈ R
3π
t
0 π2
π
2π
2
cos(t) 1 0 −1 0
1
sen(t) 0 1
0 −1 0
f es una función periódica si existe p > 0 tal que,
para todo x ∈ Domf se tiene f (x + p) = f (x).
El periodo es el mínimo valor de p para el cual
f (x + p) = f (x)
sen(t + 2π) = sen(t)
cos(t + 2π) = cos(t)
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sen(−t) = −sen(t) (función
impar)
cos(−t) = cos(t) (función par)
sen( π2 − t) = cos(t)
cos( π2 − t) = sen(t)
Valores del seno y del coseno para ángulos con
medidas de π4 , π3 y π6
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√
x=
2
2√
sen( π
)=
4
cos( π
)
4
=
2
2
√
2
2
√
3
2
√
x = 12 ,y =
sen( π
)=
3
cos( π
)
3
=
3
2
1
2
x = 12 ,y =
cos( π
)=
6
√
√
3
2
sen( π
)= 1
6
2
3
2
Gráficas de seno y coseno
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y(x) = sen(x)
y(x) = cos(x)
Relaciones Trigonométricas de seno y
coseno
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CO
h
=
sen(t)
1
CO
sen(t) =
h
CA
h
=
cos(t)
1
CA
cos(t) =
h
Ley de cosenos
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b2 − (bcos(t))2 = h2 = a2 − (c − bcos(t))2
b2 − b2 Cos2 (t) = a2 − c2 + 2bccos(t) − b2 cos2 (t))2
b2 = a2 − c2 + 2bccos(t)
a2 = b2 + c2 − 2bccos(t)
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Ejemplo:
Calcular el valor
de a
Ley de senos
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sen(β) =
h
h
, sen(α) =
a
b
sen(β)
b
=
sen(α)
a
sen(β)
sen(α)
=
b
a
sen(α)
a
=
sen(β)
b
=
sen(γ)
c
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Ejemplo:
Calcular el valor
de β
seno y coseno de la suma y de la resta de
dos ángulos
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A partir de la ley de los cosenos, se tiene:
2
2
(cos(β) − cos(α)) + (sen(β) − sen(α))
2
= 1 + 1 − 2cos(β − α)
2
cos (β) − 2cos(β)cos(α) + cos (α)+
2
2
sen (β) − 2sen(β)sen(α) + sen (α) = 2 − 2cos(β − α)
cos(β − α) = cos(β)cos(α) + sen(β)sen(α)
seno y coseno de la suma y de la resta de
dos ángulos
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Para calcular cos(α + β):
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β)
= cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
Para calcular sen(α + β):
− (α + β))
sen(α + β) = cos( π
2
= cos(( π
− α) − β)
2
− α)cos(β) + sen( π
− α)sen(β)
= cos( π
2
2
= sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α)
seno y coseno de la suma y resta de ángulos
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Para calcular sen(α − β):
sen(α − β) = sen(α + (−β)) = sen(α)cos(−β) + sen(−β)cos(α)
= sen(α)cos(β) − sen(β)cos(α)
sen(α − β) = sen(α)cos(β) − sen(β)cos(α)
Definición Tangente
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tan(t) =
sen(t)
cos(t)
Domtan = R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z}
Características y Gráfica de Tangente
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Función impar
Función periódica con periodo π:
sen(t+π)
sen(t)cos(π)+sen(π)cos(t)
sen(t)
cos(t+π) = cos(t)cos(π)−sen(t)sen(π) = cos(t)
Definición secante, cosecante y Cotangente
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sec(t) =
1
cos(t)
sec(t + 2π) =
1
cos(t+2π)
=
1
cos(t)
= sec(t)
El periodo de sec es 2π
Domsec = R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z}
csc(t) =
1
sen(t)
csc(t + 2π) =
1
sen(t+2π)
=
1
sen(t)
= csc(t)
El periodo de csc es 2π
Domcsc = R − {kπ : k ∈ Z}
cot(t) =
cos(t)
sen(t)
cot(t + π) =
1
tan(t+π)
=
1
tan(t)
= cot(t)
El periodo de cot es π
Domcot = R − {kπ : k ∈ Z}
Gráficas de secante y cosecante
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y(x) = sec(x)
y(x) = csc(x)
Gráfica de Cotangente
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y(x) = cot(x)
Líneas Trigonométricas en el círculo
unitario
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Identidad Pitagórica
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De la ecuación de
una
circunferencia
centrada en el
origen de radio 1
se tiene que
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x2 + y 2 = 1
por lo tanto
Circunferencia
unitaria centrada
en el origen.
cos2 (t) + sen2 (t) = 1
para todo valor
de t
Identidad Pitagórica
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A partir de
sen2 (t) + cos2 (t) = 1
se obtiene:
dividiendo la primera ecuación por cos2 (t)
1 + tan2 (t) = sec2 (t)
dividiendo la primera ecuación por sen2 (t)
1 + cot2 (t) = csc2 (t)
Identidades Trigonométricas
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Una identidad trigonométrica es una igualdad entre
expresiones que contienen funciones trigonométricas, que es
verdadera para todos los valores de los ángulos para los
cuales están definidas dichas expresiones.
De la teoría anterior se tiene las siguientes relaciones
fundamentales
tan(t) =
sen2 (t) + cos2 (t) = 1
1 + tan2 (t) = sec2 (t)
1 + cot2 (t) = csc2 (t)
sec(t) =
csc(t) =
cot(t) =
sen(t)
cos(t)
1
cos(t)
1
sen(t)
1
tan(t)
Ejemplo de Identidades Trigonométricas
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Demostrar que
tan(2x) =
2 tan(x)
1−tan2 (x)
.
Solución:
tan(2x) =
sen(2x)
cos(2x)
=
sen(x+x)
cos(x+x)
=
sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x)
cos(x)cos(x)−sen(x)sen(x)
=
2sen(x)cos(x)
cos2 (x)−sen2 (x)
=
2sen(x)cos(x)
cos2 (x)
cos2 (x)−sen2 (x)
cos2 (x)
=
2sen(x)cos(x)
cos2 (x)
cos2 (x) sen2 (x)
cos2 (x) − cos2 (x)
=
2sen(x)
cos(x)
sen2 (x)
1− cos2 (x)
=
2tan(x)
1−tan2 (x)
Ejemplo de Identidades Trigonométricas
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Demostrar que
1 + tan(2x)tan(x) = sec(2x)
.
Solución:
1 + tan(2x)tan(x) = 1 +
2tan2 (x)
1−tan2 (x)
=
=
=
=
1+tan2 (x)
1−tan2 (x)
sen2 (x)
1+ cos2 (x)
sen2 (x)
1− cos2 (x)
sen2 (x)+cos2 (x)
cos2 (x)−sen2 (x)
1
cos(2x)
= sec(2x)
Ejercicio: Demostrar que tan(x) − tan(y) =
sen(x−y)
cos(x)cos(y)
Ecuaciones Trigonométricas
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Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones
que contienen funciones trigonométricas, que es verdadera para
algunos valores de los ángulos para los cuales están definidas
dichas expresiones.
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores del
ángulo que satisface la ecuación dada
Ecuaciones Trigonométricas
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Ejemplo Resolver la ecuación para valores entre 0 y 2π
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cos(2x)csc(x) + csc(x) + cot(x) = 0
Solución: Como cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x), csc(x) =
cot(x) =
cos(x)
sen(x) ,
sustituyendo se obtiene:
cos2 (x)−sen2 (x)
1
+ sen(x)
sen(x)
2
2
+
cos(x)
sen(x)
=0
cos (x) − sen (x) + 1 + cos(x) = 0
2cos2 (x) + cos(x) = 0
cos(x)(2cos(x) + 1) = 0
De aqui cos(x) = 0 o cos(x) = − 12 :
Por lo tanto x = π/2, 2π/3, 4π/3, 3π/2
1
sen(x)
y