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Matemática Preuniversitaria 2013
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE
TRABAJO PRÁCTICO 5
Módulo 4. Trigonometría.
a) Triángulos rectángulos. Relaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Algunas identidades
trigonométricas. Teorema del seno y del coseno.
b) Funciones trigonométricas: definiciones, signos de las funciones trigonométricas, reducción al primer
cuadrante, relaciones entre las funciones trigonométricas. Sistemas de medición de ángulos (radianes).
Representación gráfica.
1) Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m de su pie (el del poste)
y ve al poste bajo un ángulo de 53º20’15’’. ¿Cuál es la altura del poste?
2) La longitud de la diagonal de un rectángulo es igual a 5 cm y el ángulo que forma con uno de
los lados es de 36º. Calcular el área del rectángulo.
3) ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol
se ha elevado 20º sobre el horizonte?
4) Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud. Encontrar el
ángulo de elevación del sol.
5) Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de
30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.
6) ¿Cuál es la pendiente de un alambre carril de 253 m que une dos puntos cuyas altitudes sobre
el nivel del mar son, respectivamente, de 846 m y 905 m?
7) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que del pie de la
escalera al edificio hay doce unidades. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior
de la escalera, y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo?
8) Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior crece desde
20º hasta 40º cuando un observador avanza 75 m hacia el pie del árbol.
9) Un alambre carril recto de 320m une dos puntos A y B y tiene una pendiente de 0,532.
Calcular la diferencia de alturas entre A y B.
10) Calcular la longitud de un trozo recto de vía, que tiene una pendiente igual a tg 10º8’ en una
distancia de 3km.
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11) En las orillas opuestas de un río se sitúan dos puntos a y b. En la orilla donde está situado el
punto a se determina un segmento de recta
ac = 275 m y se miden los ángulos
caˆb = 125º 40' y acˆb = 48º50' . Encontrar la longitud de ab .
12) Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 m de altura.
Desde el extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla
opuesta es de 28o40’ y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo punto es de
18o20’. Encontrar el ancho del río y la altura del peñasco.
13) Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas de 17,5kg y 22,5kg. Si las direcciones de las fuerzas
forman un ángulo de 50º10’, encontrar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma
con la fuerza mayor.
14) Una torre de 150 pies de altura está situada en lo alto de una colina. En un punto, en la falda
de la colina, situado a 650 pies de la cima se observa que el ángulo formado por la ladera de la
colina y la visual dirigida al extremo superior de la torre es de 12º30’. Encontrar la inclinación
de la ladera de la colina respecto a un plano horizontal.
15) Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 8 cm. El ángulo que
forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de 32º. Calcula lo que
mide el otro lado y el área del trapecio.
16) Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que
distan entre sí 50 Km. Desde cada estación se miden los ángulos A y C que miden 46º y 53º. ¿A
qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
17) Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. ¿Cuánto
dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está el globo?
18) Una escalera de 2 m de longitud, está apoyada en una pared formando un ángulo de 60o con
el suelo.
a) ¿A qué altura llega en la pared?
b) Si acercamos la escalera a la pared de forma que la distancia a ésta sea 40 cm. ¿Qué
ángulo formará con el suelo y qué altura alcanzará?
19) Hallar el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia de 20 cm de radio.
a) ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos lados consecutivos?
b) Calcular la longitud de una diagonal de ese pentágono.
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20) Si los brazos de un compás forman un ángulo de 75º y miden 12 cm. ¿Cuál será la distancia
entre sus puntas?
21) En una circunferencia de 7 cm de radio, trazamos una cuerda de 10 cm de longitud. ¿Cuánto
mide el ángulo central que abarca esa cuerda?
22) Para hallar la altura de una montaña, medimos el ángulo que forma la horizontal con una
visual a su cima, obteniendo 65º. Nos alejamos 100 m, medimos de nuevo y obtenemos 58º.
¿Cuál es la altura de esa montaña?
23) En el cuadrado ABCD se une el vértice A con M, punto medio del lado BC, y con N, punto
medio de CD. Calcula los lados y los ángulos de AMN, sabiendo que el lado del cuadrado mide
4 cm.
24) Demostrar las siguientes relaciones:
a ) sen 2θ + cos 2 θ = 1
b) 1 + tg 2θ = sec 2 θ
c) 1 + cot g 2θ = cos ec 2θ
25) Verificar las siguientes identidades:
senθ
1 + cos θ
+
1 + cos θ
senθ
tgθ − senθ
secθ
b)
=
3
sen θ
1 + cos θ
a ) 2 cos ecθ =
26) Completar las siguientes tablas:
a)
0 30 45 60 90 120
grados
radianes
b)
grados
5
radianes 3π
2π
π
150
2
5
π
3
180
210
5
π
4
240
π
270
π/2
300
330
π/3
360
π/4
385
400
π/8
27) Las razones trigonométricas de 25º son:
sen 25º=0,423
cos 25º=0,906
tg 25º =0,466
Calcula las razones trigonométricas de 65º, 115º, 155º y 205º.
28) ¿Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones de 342º, 516º,
718º, 2373º y 4321º?
29) Usando la identidad trigonométrica sen 2α + cos 2 α = 1 , calcular los valores de las
funciones trigonométricas restantes (sólo senα , cos α ó tgα ).
a ) cos α = −0,4 y α ∈ II cuadrante
b) senα = −0,54 y α ∈ IV cuadrante
c) tgα = 3 y α ∈ III cuadrante
4
d ) senα = 1 y α ∈ I cuadrante
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30) Encontrar el sen ω , si el cos ω = −
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y la tg ω es positiva.
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31) Utilizar la calculadora para hallar el ángulo α en los siguientes casos:
a) sen α = 0,87; 90º < α < 180º
b) cos α = -0,37; sen α >0
c) cos α = 0,15; sen α < 0
d) sen α = - 0,6; 270º< α < 360º
e) sen α = -0,48; cos α < 0
f) tg α = 2; 180º < α < 270º
g) tg α = -3,5; sen α>0
h) cos α = -0,9; tg α >0
32) Sabemos que sen x = -2/3. Calcular, sin hallar x, el valor de:
a) sen(π - x)
b) cos(π + x)
c) sen(π/2 + x)
d) cos(π/2 – x)
e) sen(-x)
f) cos(x + 4)
33) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas con 0 ≤ x < 360° :
a) 4.sen 2 ( x ) − 1 = 0
b) 2 cos 2 ( x) − 3 cos( x ) − 2 = 0
c) senx + 1 = 2 ⋅ cos 2 x
d) 3 tg x = 2 cos x
34) Sabiendo que sen ψ =
2
, calcular cos (ψ + 8π ) . Determinar a qué cuadrantes puede
3
pertenecer ψ .
35) Representar las siguientes funciones en el intervalo [-2π , 2π] y analizar:
a) Dominio
b) Imagen
c) Continuidad
d) Crecimiento
e) Máximos y mínimos
f) Raíces
g) Periodicidad
i ) y = − sen x
ii ) y = cos(π + x )
v) y = cos(2 x )
vi ) y = 1 + sen x
iii ) y = 1 sen x
2
1 
vii ) y = tg  x 
2 
36) Determinar qué gráfica corresponde a cada función:
1
a) y = 2sen x − π
b) y = sen x
c) y = 2sen( x − π )
2
2
(
e) y = − sen x
)
(
f ) y = −2sen x + π
4
)
g ) y = − 4sen x
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iv ) y = 2 cos x
( 2)
h) y = 4sen(x + π )
2
d ) y = sen x + π
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