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PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN MEDIA
EJE: NÚMEROS Y OPERACIONES
I. NÚMEROS ENTEROS
Conocimientos Previos
Conocer el concepto de sucesor y antecesor en los naturales y el orden de dichos números
en la recta numérica.
Operatoria básica de números naturales (IN)
a) Orden y representación en la recta numérica
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
El conjunto de los números enteros incluye los enteros positivos, los enteros negativos y el
cero.
Los números que están a la izquierda del cero se llaman enteros negativos y los que están
a la derecha del cero se llaman enteros positivos. El cero no es positivo ni negativo.
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
Orden
Un número entero a es menor que el entero b, si a está a la izquierda de b en la recta
numérica. Esto se simboliza: a < b.
Un número entero c es mayor que el entero d, si c está a la derecha de d en la recta
numérica. Esto se simboliza: c > d.
NOTA
Todo número negativo es menor que cualquier número positivo.
Todo número negativo es menor que cero.
Todo número positivo es mayor que cero.
Ejemplos
1. –5 < –3, porque –5 está a la izquierda de –3 en la recta numérica.
2. –3 > –5, porque –3 está a la derecha de –5 en la recta numérica.
b) Resumen del uso de enteros y del orden
1.
¿Qué significa que hay una temperatura de  22º ?
2.
¿Qué significa que el buzo está a  15 metros?
3.
¿Cómo puede indicar con un número entero que en este momento hay 11º C bajo
cero?
4.
¿Cómo indica con un número entero que en la Antártica hay 5 grados Celsius bajo
cero?
5.
¿Cómo escribe con un entero que el mar hay un submarino que está a 1300 metros
de la superficie?
6.
Alejandro Magno gobernó Macedonia des e año 336 antes de Cristo, escriba el año
con números enteros.
7.
Ordena los siguientes números de menor a mayor:
a) - 3, 7, - 9, 6, 17, - 4 y 3.
b) 0, 3, - 25, - 7, 127 y - 201.
c) -17, - 27, -120, - 1000, 0 y 120.
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A.
2< 5
B.
–3 < 5
C.
–3 < –4
D.
–3 < 0
9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A.
– 6 es sucesor de – 4
B.
– 6 es antecesor de – 4
C.
– 6 es sucesor de – 5
D.
– 6 es antecesor de – 5
Respuestas
1. Que hay 22 º bajo cero.
2. Que está a 15 metros de profundidad, bajo el nivel del mar?
3. – 11 º C
4. – 5 º C
5. – 1300 metros
6. año – 336.
7. Ordena los siguientes números de menor a mayor:
a) – 9 < – 4 < – 3 < 3 < 6 < 7 < 17
b) – 201 < – 25 < – 7 < 0 < 3 < 127
c) – 1000 < – 120 < v 27 < – 17 < 0 < 120.
8. C
9. D
c) Operatoria con números enteros.
Previamente recordaremos lo que es el valor absoluto de un entero.
Valor absoluto
Geométricamente el valor absoluto de un número corresponde a la distancia que hay
entre el número y el cero en la recta numérica.
Notación
El valor absoluto del número a se denota a .
Observa la recta numérica:
Los números  3 y 3, ambos, están a tres unidades del cero.
Por lo tanto,
3  3  3
Ejercicios 1
Calcule los siguientes valores absolutos:
1.
17 
2.
173 
3.
0 
4.
173 
5.
1017 
6.
 17  25 
Respuestas
1. 17
2. 173
3. 0
4. 173
5. 1017
6. 17+25
Reglas para la adición de números enteros.
 Para sumar dos números enteros de igual signo se suman los valores absolutos de
dichos números y se conserva el signo.
Ejemplos:
1) 2  3 
Como 2  2 y 3  3 , se suma como en los naturales y el resultado es 5.
2)  2  ( 3 ) 
Como  2  2 y 3  3 , se suma 2  3 y se le coloca el signo menos, porque se
están sumando dos enteros negativos.
 Para sumar dos enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de dichos
números y la suma tiene el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
1. 12  ( 3 ) 
Como 12  12 y  3  3 , se resta 12  3 , el resultado es 9 y es positivo porque
el número de mayor absoluto es 12.
Por lo tanto, 12  ( 3 )  9 .
2.  12  3 
Como  12  12 y 3  3 , se resta 12  3 , el resultado es 9 y es negativo,
porque el número de mayor absoluto es  12.
Por lo tanto, 12  ( 3 )  9 .
Ejercicios 2
Calcule las siguientes sumas:
1. ( 22 )  ( 8 ) 
2. 22  ( 8 ) 
3. ( 17 )  ( 8 ) 
4. ( 17 )  78 
5. ( 17 )  78  ( 61 ) 
6. ( 171 )  78  ( 77 )  49 
7. La temperatura inicial fue de – 7° C y descendió 17°, ¿cuál fue la temperatura final?
8. Si tres números enteros consecutivos suman cero. ¿Cuáles son los números?
9. ¿Cuál es el promedio entre el antecesor de –16 y el sucesor de –16?
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? Explique.
A. – 3 y 3 son números opuestos.
B. Si se suman dos números negativos el resultado es un número negativo.
C. La distancia de – 5 al 0 es mayor que la distancia del 2 al 0.
D. Al sumar un número positivo con un número negativo el resultado es siempre
negativo.
11. Un frigorífico tiene una temperatura de 30º C bajo cero. Debido a un corte de luz, la
temperatura subió 35º C. y, luego de una pronta solución al problema, se pudo bajar
provisoriamente en 17º C.
a) ¿Cuál es la temperatura después del corte de luz?
b) ¿Cuál es la temperatura después de la solución al problema del corte de luz?
12. Si un minero trabaja a – 27 metros, en el interior de una mina, ¿cuántos metros
deberá subir para llegar a la entrada de la mina que está a nivel del mar?
13. Dos mineros descendieron al interior de una mina. Uno trabaja en el primer corredor
subterráneo que está a –19 metros, es decir, a 19 metros de profundidad y el otro minero
trabaja en el segundo corredor subterráneo que está 15 metros más abajo que el primer
corredor. ¿A qué profundidad trabaja el segundo minero?
Respuestas
1. – 30
10. D
2. 14
3. – 25
4. 61
11. a) 5º C b) – 12º C
5. 0
6. – 121
12. 27 metros
7. – 24
8. – 1, 0 y 1
9. – 16
13. – 34 metros
La sustracción de números enteros
La sustracción de los entero b menos c, b  c , es igual a a b más el inverso aditivo de c.
Esto es:
b  c  b  ( c )
Por lo tanto, la sustracción b-c es una notación para la suma de b más su inverso aditivo.
Ejemplos:
1) 2  ( 3 )  2  3 , porque el inverso aditivo de  3 es 3.
2)  225  7  225  ( 7 ) , porque el inverso aditivo de 7 es  7 .
3)  317  ( 17 )  317`17 , porque el inverso aditivo de  17 es 17.
NOTA:
Para calcular el resultado se aplican las reglas de la adición.
1) 3  3  5
2)  225  ( 7 )   ( 225  7 )
3)  317`17   ( 317 17 )
Ejercicios 3
Realiza las siguientes sustracciones:
1.  1  ( 3 ) 
2. 12 11 
3. 13  ( 11 ) 
4.  15  77  .
5.  31  ( 17 ) 
6. 530  ( 11 ) 
7. 0  ( 11 ) 
8. 0 111 
Respuestas
1. 2
2. 1
3. 24
4. – 92
5. – 14
6. 541
7. 11
8. – 111
La multiplicación y la división de números enteros
Regla de los signos para la multiplicación y para la división de números enteros
Multiplicación
Signo del producto
(resultado)
Signo del factor
Signo del factor
+
+
+
+
–
–
–
+
–
–
–
+
Ejemplo
2 3  6
2  ( 3 )  6
( 2 )  3  6
( 2 )  ( 3 )  6
División
Signo del
dividendo
Signo del divisor
Signo del cociente
(resultado)
Ejemplo
+
+
+
6 :3  2
+
–
–
6 : ( 3 )  2
–
+
–
( 6 ) : 3  2
–
–
+
( 6 )  ( 3 )  2
Ejercicios 4
Calcule:
1) ( 4 )  5 
2) 67  ( 4 ) 
3) ( 9 )  ( 3 ) 
4)  15  ( 75 )
5) ( 15 ) : 5 
6) ( 15 ) : ( 5 ) 
7) – 15 : 3 =
8) 12  ( 13 ) 
10) 15 : ( 15 ) 
9) 15  ( 15 ) 
11) ( 175 ) : ( 5 ) 
12) 516 : ( 4 ) 
13) 525 : ( 1 ) 
14) 0 : ( 15 ) 
Respuestas
1. – 20
8. – 156
2. – 268
9. 225
3. 27
10. 1
4. 1125
11. 35
5. – 3
12. – 129
6. 3
13. –525
7. – 5
14. 0
Ejercicios combinados
Nota importante:
Antes de resolver el ejercicio coloque paréntesis para indicar la prioridad de la operación
multiplicación o división, según se muestra en el ejercicio siguiente:
Ejemplo
Calcule:
12  7  3  24 : ( 4 )  12  ( 7  3 )  ( 24 : ( 4 ) )
Solución:
12  7  3  24 : ( 4 )  12  ( 7  3 )  ( 24 : ( 4 ) )
 12  21  ( 6 )
 12  ( 21 )  6
9 6
 3
Nota:
Siempre se realizan primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.
Ejercicios 5
Resuelva:
1. 15  7  ( 3 ) 
2. 15  7  ( 3 )  9 
3. 15  67  ( 3 ) 
4. 15  6  18 : ( 3 ) 
5. 15  3  7  ( 3 )  6 
6. 4   ( 30 ) : ( 6 )  3 )   ( 2 )  3 
7.
 ( 30 )  2 ( 6  3  ( 5 )  7 
8.
 ( 30 ) 3  3 ( 6  3  5  ( 5 ) 7 
Respuestas
1. 36
2. 27
3. – 186
4. 15
5. 30
6. 14
7. – 182
8. – 336
.
d) Problemas con números enteros
1. Marcela y Matías se entretienen con un juego que ellos inventaron y en el cual hay
dos posibilidades cada vez que tiran el par de dados: o bien, obtener 12 puntos a
favor, o bien, 3 puntos en contra, esto es: –3 puntos. Si Marcela obtuvo: 12, –3, 12
y 12 puntos y Matías obtuvo:
–3, 12, –3 y 12 puntos, ¿quién obtuvo mayor
puntuación?
2. En la Antártica, en la mañana se registró una temperatura de –9º C. Si durante la
tarde, la temperatura aumentó 10 grados y ésa fue la máxima del día, ¿cuál fue la
temperatura máxima ese día?
3. Margarita rindió un prueba de matemáticas y contestó 19 preguntas bien y 11
preguntas en forma incorrecta. ¿Qué puntaje obtuvo Margarita, si a cada pregunta
buena se le asignaron 10 puntos y a cada pregunta mala, –3 puntos?
4. Un edificio de consultas médicas tiene tres niveles de estacionamientos
subterráneos: subterráneos –1, –2 y –3; 11 pisos para consultas médicas, pisos
del 1 al 11 y, además, del piso de la recepción que está al nivel de la calle. Si José
estacionó su vehículo en el subterráneos –3 y el médico que lo atendería tenía su
oficina en el piso 10, ¿cuántos pisos debió subir José para llegar a la consulta?
5. Claudio tiene en su cuenta bancaria un saldo negativo de $270.000, esto es, tiene
–$270.000. Si esta deuda debe pagarla en 9 cuotas y sin intereses, ¿cuál será el
monto de cada cuota?
Respuestas
1. Marcela
2. 1º C
3. 157 puntos
4. 13 pisos
5. $30.000 .
II. NÚMEROS DECIMALES
a) Orden y representación en la recta numérica
-2
-1,5
- 1 - 2/3
0
0,5
7/4 2
1
Los números decimales, finitos o infinitos periódicos, es otra representación de los
números racionales.
Los decimales negativos están a la izquierda del cero, en la recta numérica, y los
decimales positivos están a la derecha del cero.
Los números racionales son los números de la forma
a
con a número entero y b número
b
entero distinto de cero.
Ejemplos
1)
1
 0 ,5
2
2)
3
 0 ,75
4
3)
1
 0 ,333333 ....
3
4) 
7
 1,75
4
Orden
Un número decimal a, es menor que el número decimal b, si a está a la izquierda de b en
la recta numérica. Esto se simboliza: a < b
Un número decimal c es mayor que el número decimal d, si c está a la derecha de d en la
recta numérica. Esto se simboliza: c > d
NOTAS
- Todo número decimal negativo es menor que cualquier número positivo.
- Todo número decimal negativo es menor que cero.
- Todo número decimal positivo es mayor que cero.
- Los decimales negativos están a la izquierda del cero, en la recta numérica, y los
decimales positivos están a la derecha del cero.
Ejemplos
1. 0,45 > 0, porque está a la derecha del cero en la recta numérica
2. – 17,25 < - 16,233, porque – 17,25 está a la izquierda de - 16,233 en la recta numérica.
Ejercicios del uso de decimales y del orden
1. En la Antártica tuvieron las siguientes temperaturas mínimas en los últimos cinco días:
- 3º C, – 7º C, – 4º C, – 6º C y –3º C. ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas
mínimas?
2. Andrea pasó a la tienda de productos naturales y compró
1
kilo de nueces, 0, 2 kilos de
4
almendras y 0,75 kilos de maní. Ordena los productos que compró de acuerdo con la
cantidad que compró.
3. Ordena las siguientes números de menor a mayor:
a) – 0,23
b) 13,57
c) 0,25
– 0,025, 0
2,75
– 0,10
0
– 0,01
0,27
– 2,05
–3
– 13,57
– 2,75
– 0, 025
– 0,05
– 3,27
4. Dos amigos comparan sus alturas, uno de ellos, Alberto, mide 1,63 m mientras que el
otro mide 1,57 m ¿Quién de los dos es más alto?
5. María y Carolina, salieron en bicicleta. Carolina recorrió 3,25 kilómetros y María, 3,17
kilómetros. ¿Quién recorrió menos kilómetros?
6. Ayer quería comprar mandarinas y tenía $1500, pasé por dos locales en que vendían
mandarinas, en el primero me daban 1,7 kilos por los $1500 y en el segundo, me daban
1,45 kilos por los $1500. ¿Dónde me conviene comprar y por qué?
Respuestas
1. – 3,4 º C
2. almendras, nueces y maní. 3. a) – 3,27 < – 2,05 < – 0,23 < – 0,025 < 0 < 0,27
3. b) – 13,57 < – 2,75 < 0 < 2,75 < 13,57
3.c ) – 0,1 < – 0,0 5 < – 0, 025 < – 0,01 < 0,25
4. Alberto
6. En el primer local, porque recibirá más kilos. .
5. María
b) Operatoria con números decimales
Ejercicios 1
Realiza las siguientes adiciones:
1. 3,3  4,5 
2. 1,05  ( 0,5 ) 
4. 0,5  ( 1,2 )  ( 3,65 ) 
3.
5.  0,25  2221,25  ( 2345 ,75 ) 
Respuestas
1. 7,8
2. 0,35
3. 13
4. 4,35
5. – 124,75
6. – 0,018
Ejercicios 2
Realiza las siguientes sustracciones:
1.
19,43  7 ,93 
2.
15 ,6 19,98 
3.
17 ,77  3,57 
4.
233 ,95  ( 27 ,45 17 ,55 ) 
5.
( 2,73  37 ,25 )  3 
Respuestas
1. 11,5
2. – 4,38
3. 14,2
4. 224,05
5. – 42,98
Ejercicios 3
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones
1.
17 ,25 7 
2.
17 ,25  7 ,22 
3.
9,85 ( 5 ,01 ) 
4.
3,975 : 3 
5.
18 : 0,03 
6.
18 ,36 : 0,03 
7.
18 ,36 : ( 0,03 ) 
8.
( 18 ,36 ) : ( 0,03 ) 
9.
( 18 ,36 ) : 0,03 
5 ,2  7 ,8 
6.  0,02  0,002 
Respuestas
1. 120,75
2. 124,545 3. – 49,3485
4. 1,325 5. 600
6. 612
7. –612
8. 612
9. –612
Ejercicios 4
Realiza las siguientes operaciones indicadas a la izquierda y a la derecha de los puntos
y, después, coloca < , o, > , según corresponda:
1.
( 3,5  2,3 ) : 0,02 .......... ..( 2,5  3 )  2
2.
17 ,5  3,2  0,3 .......... 13 ,1  2,2 ( 3,2  2 )
3.
0,06 : 0,2  3  0,3 .......... 0,6 ( 2  0,03 )
4.
 2,03  5 ,1  2  ( 3,3 ).........2,7  ( 1,3 )  0,37
5.
(2,03)  (2,1)  2  (3,3).........[ (2,7)  (11,3) ]:3  0,23  3
Respuestas
1. 60 > 5,5
2. 16,54 > 8,26
3. – 0, 6 < 1,82
4. – 3,753 < – 3,14
5. 10,863 > 10.860
c) Problemas
1. Carlos averiguó que para retapizar los asientos de su automóvil necesita 2,7 metros
de tela para cada asiento delantero y 5,4 metros para el asiento trasero. Si el metro
de tapiz de lana le cuesta $35.000 y el de tela sintética le cuesta $14.500, cuál es la
diferencia total en el precio del tapiz de lana con respecto al sintético.
2. El automóvil de Francisca da, en la ciudad, 12,5 kilómetros por litro de bencina y el
litro de bencina que su auto necesita vale $845. Si el automóvil de Francisca,
durante la semana, recorrió 75 kilómetros, ¿cuántos litros de bencina consumió?
¿Cuál fue el gasto en dinero por esa bencina?
Respuestas
1.- $166.050
2.- $5.070
PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN MEDIA
EJE: DATOS Y PROBABILIDADES
III. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN.
Cuando se tiene un gran conjunto de datos es preciso ordenarlos y clasificarlos para
poder obtener información de ellos.
Para ordenar y presentar datos de una variable se usan tablas y gráficos. Tablas de
frecuencias: son tablas donde se colocan los diferentes valores que puede tomar una
variable y las frecuencias con que aparecen dichos valores en el conjunto de datos.
Tablas de doble entrada: son tablas donde se clasifican según dos criterios los elementos
de una muestra.
Ejemplo 1:
En un curso de 42 alumnos, 20 son hombres y 22 son mujeres. En la prueba de
matemáticas, 13 hombres y 16 mujeres sacaron nota 4 o más; 5 hombres y 4 mujeres
obtuvieron nota inferior a 4 y 2 hombres y 2 mujeres no asistieron a la prueba.
Estos datos los podemos presentar en la siguiente tabla de doble entrada, donde los
alumnos del curso se clasifican según los criterios sexo y nota:
Hombres Mujeres
Nota 4 o más
13
16
Nota inferior a 4
5
4
Ausentes
2
2
Para facilitar algunos cálculos podemos agregar una columna a la izquierda de la tabla
con los totales de alumnos que estuvieron en cada categoría de notas. Bajo la tabla
podemos agregar una fila con los totales de hombres y mujeres en el curso:
Hombres Mujeres Total
Nota 4 o más
13
16
29
Nota inferior a 4
5
4
9
Ausentes
2
2
4
Total
20
22
42
Ahora podemos responder algunas preguntas:
a) ¿Cuántas personas obtuvieron nota 4 o más? ¿A qué porcentaje corresponde?
29 de las 42 personas obtuvieron nota 4 o más, lo que corresponde a un 69,05% de los
alumnos.
b) ¿Qué porcentaje de las mujeres obtuvo nota inferior a 4?
Debemos calcular qué porcentaje es 4 de 22. Luego, un 18,18% de las mujeres obtuvo
nota inferior a 4.
c) ¿Qué porcentaje de los alumnos que tuvieron nota 4 o más son mujeres?
De las 29 personas que obtuvieron nota 4 o más, 16 son mujeres, lo que corresponde a
un 55,17%.
Gráficos de barras múltiples: cuando queremos presentar gráficamente datos que están
clasificados según dos criterios, podemos usar un gráfico de barras múltiples.
Ejemplo 2:
Podemos presentar los datos del ejercicio anterior en el siguiente gráfico:
O también en el siguiente gráfico:
En el primer gráfico podemos observar cómo se distribuyen las notas de los hombres y
cómo se distribuyen las notas de las mujeres.
En el segundo gráfico podemos ver cuántos hombres y cuántas mujeres hay en cada
categoría de notas.
Gráficos circulares: estos gráficos resultan especialmente apropiados para presentar
datos de variables cualitativas. Para construir un gráfico circular (mal llamado a veces,
gráfico de torta), se divide el círculo en sectores. El ángulo del centro del sector que
representa a cada categoría debe ser proporcional a la frecuencia de la categoría. Se
acostumbra presentar en este gráfico las frecuencias porcentuales de cada categoría.
Ejemplo 3:
Se le pidió a un grupo de 50 personas que fueron a ver la película El Primer Tren, que la
calificaran como mala, buena o muy buena. Los resultados fueron:
Frecuencia
Frecuencia
Porcentual
Mala
10
20%
Buena
25
50%
Muy buena
15
30%
Total
50
100%
Categoría
Como se ve en el gráfico, el sector correspondiente a la categoría “”Buena” ocupa un 50%
del círculo, el sector de la categoría “Muy buena” ocupa un 30% del círculo y el sector de
“Mala”, ocupa el 20%.
IV. INDICADORES ESTADÍSTICOS
También, es conveniente, cuando se tiene una gran conjunto de datos, resumirlos
mediante alguna medida o indicador que los represente. En esta ocasión estudiaremos
algunos de los indicadores llamados de tendencia central y de posición. Entre ellos
nombraremos a la moda, la media, la mediana, los deciles y los percentiles.
La moda de un conjunto de datos es aquel valor que aparece con mayor frecuencia (que
más se repite). En un conjunto de datos puede haber una moda, dos modas (si son dos
los valores con mayor frecuencia) o puede no haber moda.
La media o promedio o media aritmética de un conjunto de datos (numéricos) se obtiene
sumando los datos y dividiendo la suma por el número total de datos. El símbolo usado
habitualmente para representar a la media es X (X barra).
Si los datos aparecen en una tabla de frecuencias, la media se obtiene multiplicando cada
valor de la variable por su frecuencia para luego sumar estos productos y dividir la suma
por n.
La mediana de un conjunto de datos es aquel valor que queda en el centro una
vez ordenados los datos de menor a mayor.
 Si el número de datos, n, es impar, la mediana es el dato que ocupa el lugar
n 1
una vez ordenados los datos de menor a mayor.
2

Si el número de datos, n, es par, la mediana será el promedio entre los datos que
ocupan los lugares
n n
y  1 una vez ordenados los datos de menor a mayor.
2 2
Los percentiles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de
menor a mayor) en 100 grupos, todos con igual cantidad de datos.
Hay 99 percentiles que llamamos P1, P2, …, P99. En el conjunto de datos ordenados,
bajo P1 queda el 1% de los datos, bajo P2 queda un 2% de los datos,…,bajo P99 queda
el 99% de los datos
Los deciles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de
menor a mayor) en 10 grupos, todos con igual cantidad de datos. Los deciles son nueve y
corresponden a los percentiles P10, P20, … , P90.
Ejemplo 4:
Los siguientes datos corresponden a la respuesta a la pregunta ¿Cuánto dinero gastó su
familia ayer en pan? Esta pregunta se realizó a 50 jefes de hogar de familias formadas por
cuatro personas. Las respuestas se dan en $.
650
735
480
1050
825
770
0
540
650
735
1250
1000
240
950
990
470
585
890
965
1570
720
1690
1040
1355
920
1530
370
680
695
840
315
770
890
1650
430
955
670
1120
850
900
640
680
0
345
980
1030
180
895
375
1140

La media de estos datos, es decir, el gasto promedio diario en pan de estas
familias, es:
X 
650  735  ....  375  1140 40.000

 800 O sea, en promedio las familias
50
50
gastaron $800 en pan al día.

Si queremos calcular la mediana, seguimos los siguientes pasos:
i)
Ordenamos los datos de menor a mayor:
0
0
180
240
315
345
370
375
430
470
480
540
585
640
650
650
670
680
680
695
720
735
735
770
770
825
840
850
890
890
895
900
920
950
955
965
980
990
1000
1030
1040
1050
1120
1140
1250
1355
1530
1570
1650
1690
ii) Como el número de datos es par, la mediana será el promedio entre los datos que
50
 25 y
2
50
 1  26 que corresponden a 770 y 825
2
~ 770  825
respectivamente, luego, la mediana es X 
 797,5
2
están en los lugares
Esto significa que un 50% de las familias gastó en pan menos de $797,5 y el otro
50% gastó más de $797,5.

Para calcular los deciles, observemos que por ser 50 datos los que queremos
separar en 10 grupos todos con igual cantidad de datos, cada grupo contendrá 5
datos. Así, el primer decil debe ubicarse entre los datos de los lugares 5 y 6, los
cuales promediamos y obtenemos:
Primer decil =
315  345
 330 , esto quiere decir que el 10% de las familias gastó
2
menos de $330.
El segundo decil se ubica entre los datos 10 y 11, así,
Segundo decil =
470  480
 475 lo que significa que otro 10% de las familias
22
gastó en pan entre $330 y $475.
Continuando de la misma forma….
El noveno decil se ubica entre los datos de los lugares 45 y 46, o sea,
Noveno decil =
1250  1355
 1302,5 lo que significa que el 90% de las familias
22
gastó en pan menos de $1302,5 y sólo un 10% de las familias gastó sobre esa
cantidad.
Nota: Se dice que una familia pertenece al primer decil de gasto, si el gasto de
esa familia está dentro del 10% de menor gasto, es decir si su gasto es menor
a $330; se dice que una familia pertenece al segundo decil, si su gasto
pertenece al “segundo 10%” de gasto, es decir si su gasto está entre $330 y
$475; …por último una familia pertenece al decil superior, si su gasto está
dentro del 10% superior, es decir si su gasto es mayor a $1302,5.
Ejercicios Propuestos:
1.- En un estudio sobre consumo de frutas y verduras, se preguntó en 40 hogares, dónde
las compraban. A continuación aparecen los datos obtenidos:
Hogar
Sexo del
jefe de
hogar
Lugar donde
compran
Hogar
Sexo del
jefe de
hogar
Lugar donde
compran
1
Mujer
Feria
21
Hombre
Supermercado
2
Hombre
Supermercado
22
Hombre
Supermercado
3
Hombre
Feria
23
Hombre
Feria
4
Mujer
Verdulería
24
Mujer
Feria
5
Hombre
Verdulería
25
Hombre
Supermercado
6
Mujer
Supermercado
26
Mujer
Verdulería
7
Hombre
Feria
27
Hombre
Supermercado
8
Hombre
Feria
28
Hombre
Verdulería
9
Hombre
Supermercado
29
Hombre
Feria
10
Mujer
Supermercado
30
Hombre
Supermercado
11
Mujer
Verdulería
31
Hombre
Feria
12
Hombre
Feria
32
Mujer
Feria
13
Hombre
Verdulería
33
Hombre
Verdulería
14
Hombre
Verdulería
34
Hombre
Supermercado
15
Hombre
Feria
35
Mujer
Supermercado
16
Mujer
Supermercado
36
Mujer
Feria
17
Hombre
Supermercado
37
Hombre
Feria
18
Mujer
Feria
38
Hombre
Verdulería
19
Hombre
Verdulería
39
Hombre
Feria
20
Mujer
Feria
40
Mujer
Supermercado
a) Con los datos anteriores completa la siguiente tabla de doble entrada:
Lugar donde compran
Jefe de hogar
Supermercado
Feria
Verdulería
Total
Hombre
Mujer
Total
Observe la tabla que usted completó para responder las siguientes preguntas:
b) ¿Cuántos hogares tienen un hombre como jefe de hogar? ¿Cuántos tienen mujer?
c) ¿Qué porcentaje de los hogares tiene un hombre como jefe de hogar? ¿Qué porcentaje
de los hogares tiene mujer como jefe de hogar?
d) Indique en cuántos hogares se compran las frutas y verduras en el supermercado. ¿A
qué porcentaje del total corresponde este valor?
e) ¿En qué porcentaje del total de hogares no se compra en la feria?
f) ¿En cuántos de los hogares que tienen mujer como jefe de hogar, compran las frutas y
verduras en la feria?
g) ¿Cuántos hogares más compran en feria que en verdulería?
h) Usando los datos de la tabla, complete el siguiente gráfico con las barras
correspondientes.
i) Observando el gráfico anterior, responda:
-- ¿Cuál es el lugar donde se compra con mayor frecuencia?
-- ¿Cuántos hogares con jefe de hogar mujer compran en verdulería?
-- De los hogares que compran en el supermercado, ¿cuántos más corresponden a jefe
de hogar hombre que a jefe de hogar mujer?
j) Con los datos de la tabla, complete el siguiente gráfico con las barras correspondientes:
k) Sólo observando el gráfico anterior que usted completó, responda:
-- ¿Cuántos hogares tienen una mujer como jefe de hogar?
-- ¿Cuántos hogares con jefe de hogar hombre compran en verdulería?
-- En los hogares con jefe de hogar hombre, ¿en dónde es más frecuente que se
compre?
2.- A un grupo de hombres y mujeres se les hizo la pregunta: ¿Votará usted en las
próximas elecciones?
Los siguientes gráficos muestran la forma en que respondieron:
a) Lea cada una de las siguientes afirmaciones e indique si son verdaderas o falsas:
-- Hay un mayor porcentaje de mujeres que de hombres que sí votarán en las
siguientes elecciones.
-- Hay un mayor porcentaje de hombres que de mujeres que no saben si votarán en las
próximas elecciones.
b) Se sabe que fueron 150 hombres y 200 mujeres quienes respondieron a esta
pregunta. Entonces,
-- ¿Cuántas mujeres dijeron que no votarán?
-- ¿Cuántos hombres dijeron que no votarán?
-- En total, cuántas personas (entre hombres y mujeres) sí quieren votar?
3.- Las siguientes son las edades (en años) de de los 11 alumnos de un curso de primer
ciclo de enseñanza media de adultos:
25
19
37
22
31
48
26
a) ¿Cuál es la edad promedio de los alumnos?
b) ¿Cuál es la edad mediana de los alumnos del curso?
c) Explique el significado de su respuesta en b).
29
41
23
42
4.- Se tienen los datos de los ingresos de 200 personas.
a) ¿Cuántas personas pertenecen al primer decil de ingresos? ¿Cuántas pertenecen al
segundo decil?
b) Si en el decil superior están aquellas personas que ganan más de $600.000
mensuales, ¿cuántas personas ganan menos de $600.000? ¿Qué porcentaje de las
personas del grupo gana más de $600.000?
Autoevaluación:
1.- Se realizó una encuesta a un grupo de personas en la que se les
practicaban algún deporte. En la siguiente tabla se presentan los resultados
preguntó si
Edad
Realiza deporte
Joven
Adulto
Adulto mayor
Nunca
8
9
12
A veces
13
9
6
Frecuentemente
17
6
1
Con los datos de esta tabla responda las preguntas 1 a 5.
1) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A)
B)
C)
D)
Hay 17 personas que hacen deporte frecuentemente
Hay 29 personas que nunca hacen deporte
Hay 18 adultos que hacen deporte frecuentemente
Hay 12 adultos mayores que realizan deporte
2.- Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
A) En el grupo que respondió la encuesta hay 40 personas que son adultos o adultos
mayores
B) En el grupo que respondió la encuesta hay menos jóvenes que adultos mayores
C) Entre las personas que nunca hacen deporte hay menos adultos que jóvenes
D) Menos de la mitad de los jóvenes respondió que nunca hacen deporte.
3.- Del total de jóvenes, aproximadamente ¿qué porcentaje nunca hace deporte?
A) 21%
B) 27%
C) 10%
D) 8%
4.- De las personas que realizan frecuentemente deporte, aproximadamente ¿qué
porcentaje son jóvenes?
A)
B)
C)
D)
50%
60%
70%
80%
5.- En cuál de los siguientes gráficos se presentan en forma correcta los datos de la tabla?
A)
B)
C)
D)
Observe el siguiente gráfico donde se presentan datos de las 34 mujeres que trabajan en
una empresa de aseo y responda las preguntas 6 a 10
6.- ¿Cuántas mujeres casadas trabajan en esta empresa?
A) 14
B) 16
C) 7
D) 8
7.- ¿Cuántas trabajadoras de esta empresa tienen hijos?
A) 10
B) 11
C) 20
D) 23
8.- ¿Aproximadamente qué porcentaje de las trabajadoras de esta empresa son viudas?
A) 4%
B) 6%
C) 8%
D) 12%
9.- ¿Aproximadamente qué porcentaje de las trabajadoras de esta empresa son casadas
y tienen hijos?
A) 57 %
B) 41%
C) 35%
D) 23%
10.- ¿Cuál de los siguientes gráficos entrega la misma información que el gráfico anterior,
acerca de las trabajadoras de la empresa de aseo?
A)
B)
C)
D)
Los siguientes datos corresponden al número de personas que viven en cada una de las
15 casas de un pasaje:
3
5
4
6
4
7
5
4
4
6
Con estos datos responda las preguntas 11 a 13
11.- El número promedio de personas por casa de este pasaje es:
A)
B)
C)
D)
4
4,6
5
5,8
12.- La mediana del número de habitantes por casa del pasaje es:
A)
B)
C)
D)
2
3
4
5
13.- La moda del número de habitantes por casa del pasaje es:
A)
B)
C)
D)
6
5
4
3
8
2
4
3
4
14.- El noveno decil de un gran conjunto de datos es 46. Esto significa que:
A)
B)
C)
D)
Un 10 % de los datos es menor que 46
El 90% de los datos es menor que 46
El 9% de los datos es mayor que 46
El 9% de los datos es mayor que 46
Respuestas a los ejercicios propuestos:
1.- a)
Lugar donde compran
Jefe de hogar
Supermercado
Feria
Verdulería
Total
Hombre
9
10
7
26
Mujer
5
6
3
14
Total
14
16
10
40
b) 26
c) 65%; 35%
h)
i) feria; 3; 4
d) 14; 35%
e) 60%
f) 6
g) 6
j)
k) 14; 7; feria
2.- a) V; F
3.-
b) 48; 45; 218
a) 31,18 años
b) 29
c) hay igual número de alumnos menores que mayores de 29 años
4.-
a) 20; 20
b) 180; 20%
Respuestas de la Autoevaluación.
Ítem
Clave
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
B
D
A
C
A
B
D
D
B
A
B
C
C
B
Glosario:
Población: conjunto de objetos o individuos que se quiere estudiar.
Muestra: es una parte de la población, está constituida por aquellos
objetos o individuos que efectivamente se estudian. Toda muestra
debe ser representativa de la población.
Variable: cualquier característica de los elementos de la población.
Variable cuantitativa: variable que se mide con números (ej. edad, nº
de hijos, altura, puntaje en una prueba, etc.)
Variable cualitativa: variable que no se mide con números, se mide en
categorías (ej. sexo, lugar de residencia, profesión u ocupación, etc)
Datos: valores que resultan al medir una variable.
Frecuencia de un valor de variable es la cantidad de veces que
aparece dicho valor en el conjunto de datos.
Frecuencia porcentual de un valor de variable es el porcentaje de
veces que aparece dicho valor en el conjunto de datos.