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Deber 2
Álgebra Lineal
Prof. Dr. Joseph Páez Chávez
II Término 2009–2010
Problema 1. Determine cuáles de los siguientes conjuntos constituyen un subespacio de V :



2r + s


3


3r − 5s
(i) V = R , W =
: r, s ∈ R . Encuentre un conjunto generador de W .


7r + 4s
(ii) V = P2 , H = {(r − s)t2 + (2r)t + (r2 + s2 ) : r, s ∈ R}.
(iii) Sea V el espacio vectorial definido en el Literal (ii) del Problema 1 del Deber 1.
W = {(a, b, c) ∈ V : a + b + c = 0}, D = {(a, b, c) ∈ V : 2a − ln (b3 ) − 4c = 4}.
©
ª
(iv) V = M3×3 , H = A ∈ M3×3 : AT + A = 0 , W = {A ∈ M3×3 : A es invertible}. Encuentre un conjunto generador de H.
(v) V = Rn . Sean A ∈ Mn×n , B ∈ Rn fijos. W = {x ∈ Rn : Ax = B}1 , H = {x ∈ Rn : Ax
6= 0}.
ª
©
¡ ¢
(vi) Sea2 V = C[0, 1]. H = f ∈ V : f 12 = −3f (1) , W = {f ∈ V : f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0, 1]}.
©
ª
(vii) V = R2 , H = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| + 1 = 0 .

Problema 2. Sea V = M3×2 . Escriba, de ser posible, al vector 

2
4


0 −5
una combinación lineal de los vectores del conjunto: C =

−10
0

 

10
4
0 0 
 1 −1  ,  −6 2  . Determine explı́citamente gen(C).

−3
2
1 4
1

1 −1
4
0  como
−8
  5

−7 3
, 2 1 ,
0 0
Considere dos casos: B = 0 y B 6= 0.
Funciones f : [0, 1] → R continuas en [0, 1], con las operaciones usuales de suma de funciones y de
multiplicación por escalar.
2
1
Problema 3.Sea V elespacio vectorial del Literal (iii) del Problema 1.Escriba,
 de
 ser posi
18
−1
4
ble, al vector  16  como una combinación lineal de los vectores:  1  ,  2 .
−14
3
−1
Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(i) Sea V = P2 . Entonces, dos polinomios en P2 no pueden generar P2 .
(ii) Sea v 6= 0V un vector cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces
∀α ∈ R, α 6= 0 : gen(v) = gen(αv).
(iii) Sean v1 , v2 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces, si v1 = αv2 ,
α ∈ R, tenemos que gen(v1 , v2 ) = gen(v1 ).
(iv) El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = C, A ∈
Mn×n , C ∈ Rn es siempre un subespacio de V = Rn .

 
 

x2
x3 
 x1
(v) Sea V = R3 . Sea S ⊂ V , tal que S =  y1  ,  y2  ,  y3  . Entonces, si


z1
z2
z3


x1 x2 x3

y1 y2 y3  6= 0, tenemos que gen(S) = R3 .
det
z1 z2 z3




1
−2
Problema 5. Sea V = R3 . Encuentre explı́citamente gen  −2 , gen  4 
3
−6


3
y gen  −6 . Qué diferencia encuentra usted entre los tres espacios generados? En9
cuentra usted en este hecho alguna relación con el Literal (ii) del Problema 4? Explique.
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