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Estadística Descriptiva
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Sesión No. 12
Nombre: Medidas de dispersión
Contextualización
En la sesión anterior se explicaron los temas relacionados con la desviación
estándar, la cual es una medida para analizar la incertidumbre de los datos de
una muestra, además de la manera correcta de llevar a cabo su cálculo para
conjuntos agrupados y no agrupados.
Ahora es necesario conocer la última de las medidas de dispersión conocida
como varianza y los temas relacionados con esta medida.
Al terminar esta sesión habrás comprendido el concepto de varianza y calcular e
interpretar la varianza para datos agrupados y no agrupados.
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Introducción al Tema
En la sesión anterior se estudió la desviación estándar como una medida de
dispersión que se emplea para variables de razón y de intervalo. La desviación
estándar se considera una medida cuadrática que representa el promedio de las
desviaciones (distancias) de los datos muestrales respecto de su media
aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
En la presente sesión revisarás el concepto de varianza, medida que guarda una
estrecha relación con la desviación estándar.
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Explicación
IV.3 Varianza
La varianza es una medida de dispersión que guarda relación con la desviación
típica o estándar ya que es el cuadrado de la misma, razón por la cual se
representa como s2.
La fórmula para calcular la varianza de datos no agrupados está dada por la
expresión:
Dónde:
n = Numero de datos o elementos de la muestra.
i = Indice de la suma que toma los valores 1,2,3...n.
xi = Valor del i-ésimo dato de la muestra.
= Media aritmética de la muestra.
Al igual que en el caso de la desviación estándar, en la práctica es más común el
uso de la fórmula que aplica la corrección de Bessel:
Calculemos la varianza para el siguiente conjunto de datos no agrupados:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
De este conjunto se desprende que:
n=5
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 6
x4 = 8
x5 = 10
Con estos datos, procedemos a calcular la media aritmética del conjunto:
Y a continuación se sustituyen los valores anteriores en la fórmula:
Tal como se muestra a continuación:
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
La fórmula para calcular la varianza de datos agrupados está dada por la
siguiente expresión:
Dónde:
k=
Número de intervalos de clase en la distribución de frecuencias.
n=
Número de datos o elementos de la muestra.
i=
Índice de la suma que toma los valores 1,2,3...k.
fi =
Frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.
xi =
Marca de clase del i-ésimo intervalo de la muestra.
Media aritmética de la muestra.
Para calcular la varianza en un conjunto de datos agrupados, también
empleamos la versión que incorpora la corrección de Bessel. Como puede
observarse, cada elemento de la fórmula se toma directamente de la tabla de
datos agrupados. Considerando el caso práctico de una bebida, se toma de la
tabla de datos agrupados las columnas referentes a las frecuencias de clase (fi)
y a las marcas de clase (xi).
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De esta tabla se obtienen los siguientes valores para las frecuencias de clase:
f1 = 5
f2 = 10
f3 = 30
f4 = 40
f5 = 15
x3 = 17.5
x4 = 22.5
x5 = 27.5
Y para las marcas de clase:
x1 = 7.5
x2 = 12.5
Asimismo, dado que hay cinco intervalos de clase y la muestra tiene 100
elementos, los valores de k y n respectivamente son:
k=5
n = 100
Y como ya se determinó en ejercicios anteriores:
= 20
Al sustituir estos valores en la respectiva fórmula tenemos que:
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Conclusión
Las medidas de dispersión describen la variabilidad o dispersión de los datos
obtenidos mediante una muestra, además, ofrecen información sobre hasta qué
punto las medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la
información.
Y por último, cuantifican la separación, dispersión y variabilidad de los datos que
se obtienen a partir de las medidas de centralización.
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Actividad de Aprendizaje
Para fortalecer los conocimientos obtenidos en esta sesión, deberás realizar la
siguiente actividad.
Instrucciones
Calcula la varianza para el siguiente conjunto de datos no agrupados:
A= {3, 6, 9, 12, 15}
Sube el documento a la plataforma en el lugar indicado; recuerda que esta
actividad equivale al 5% de tu calificación final.
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Referencias
Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y
estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana.
Mendenhall, W. y T. Sincich (1997). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. Cuarta edición. México: Prentice Hall.
Spiegel, M. y L. Stephens (2001). Estadística. México: McGraw Hill.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación.
México: UNAM.
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