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ENTRENA
EN
A
AM
Desafío
Un número n, en los enteros positivos, tiene un total de p divisores positivos distintos. Luego,
es correcto afirmar que si
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Propiedades de los números racionales
I)
p = 2, entonces n es un número primo.
II)
p = 3, entonces n es un cuadrado perfecto.
III)
p = 4, entonces n es un cubo perfecto.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo I y II.
solo II y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
Mis observaciones
GUICEN038MT21-A17V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Introducción
El conjunto universo en matemática corresponde
a los números complejos (C). Entre ellos es posible
distinguir los números imaginarios (I) y ...
... los números reales (R). Este último, a su vez
se divide en dos grandes conjuntos:
Los números racionales (Q) son aquellos
que pueden escribirse como una fracción
de números enteros, con denominador
distinto de cero, lo que incluye a...
Los números irracionales (Q*) son
aquellos que NO pueden escribirse como
una fracción de números enteros, lo que
incluye a...
... los números enteros (Z), las fracciones,
los números decimales finitos y los números
decimales infinitos con periodicidad
(periódicos y semiperiódicos).
... los números decimales infinitos sin
periodicidad (por ejemplo, raíces y
logaritmos inexactos, π, etc.).
A los enteros positivos también se les
conoce como conjunto de los naturales
(N). Si a los naturales se agrega el cero,
resulta el conjunto de los cardinales (N0).
2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Características de los enteros
Todos los enteros se clasifican como pares o impares, (el cero es un
número par). Además, todo entero tiene un antecesor y un sucesor.
Cada número par tiene un antecesor par y un sucesor par. Asimismo,
cada número impar tiene un antecesor impar y un sucesor impar.
Divisores (o factores) de un número
entero son los números enteros que
lo dividen en forma exacta.
Múltiplos de un número entero son
todos los números que resultan
al multiplicar dicho número por
cualquier otro número entero.
El máximo común divisor (M.C.D.)
entre dos o más números enteros
positivos, es el mayor de los divisores
que los números tengan en común.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.)
entre dos o más números enteros
positivos, es el menor de los múltiplos
que los números tengan en común.
Un número entero positivo es divisible por...
3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5: si su última cifra es 0 ó 5.
6: si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7: si al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de
las cifras restantes, la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.
10: si su última cifra es 0.
Los números primos son aquellos
números enteros positivos que solo
son divisibles por 1 y por sí mismos.
El 1 no es un número primo.
Si dos números enteros positivos no
tienen factores primos en común, se
dice que son primos relativos entre
sí.
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Ejercicios PSU
A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder
el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas
más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu
profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
1. Sean p un número entero positivo y m el inverso aditivo del sucesor de p. ¿Cuál(es) de las
siguientes operaciones resulta(n) siempre en un número positivo?
I)
II)
III)
El cuociente entre el inverso aditivo de p y el inverso multiplicativo de m.
La diferencia entre la mitad de p y el antecesor de m.
El producto entre el inverso multiplicativo de p y el sucesor de m.
2. A)
B)
C)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
D)
E)
Solo II y III
Ninguna de ellas.
Sean a, b y c tres números enteros distintos de cero y distintos entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
a
I) La expresión b pertenece a los números enteros.
II) a ∙ (b + c) = c ∙ (a + b)
III) a + (b + c) = (a + b) + c
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
3.Sea a · b un número racional, con a, b y c números reales distintos de cero. ¿Cuál(es) de las
c
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)Si a es un número racional, entonces (b · c) es un número racional.
c
es un número racional.
a
a
es un número racional.
III)Si c es un número racional, entonces
b
II)Si b es un número racional, entonces
4
A)
B)
C)
Solo I
Solo II
Solo III
D)
E)
Solo I y II
I, II y III
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
4.Sean a, b y c números enteros positivos distintos entre sí, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) siempre un número racional NO entero?
a–b
I)
a–c
1
1
1
II) +
+
a
b
c
b
c
III) +
c
a
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
5. Sea k un elemento cualquiera del conjunto P = {0, 1, 2} y m un elemento cualquiera del conjunto
Q = {– 2, – 1}. Una operación cuyos resultados están siempre dentro del conjunto P Q es
∩
I)
k+m
II)
k·m
III)
k–m
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Se puede concluir que p es un número positivo, si:
(1)3p es positivo.
(2)(p – 5) es negativo.
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
ninguna de ellas.
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
5
Programa Entrenamiento - Matemática
7.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
La suma de cuatro números enteros consecutivos resulta un número par.
El cuadrado de un número entero es positivo.
La suma entre el antecesor y el sucesor de un número entero es igual al doble de dicho
número.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
8. 3
¿Qué resultado se obtiene si al inverso aditivo de 4 se le resta el sucesor de (– 3)?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
Sean p1, p2, p3, p4,…, pn los n menores números primos, con n mayor que 2. ¿Cuál de los
siguientes números siempre es un número primo?
( )
13
4
16
3
10
3
–
11
4
5
4
A)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 5
B)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 3
C)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 2
D)
E)
p1 · p2 · p3 · … · pn + 1
p1 · p2 · p3 · … · pn + 3
10. Considerando los números enteros, se obtiene un número par siempre que se
6
I)
II)
III)
suman dos números pares y luego se le resta un número impar.
resta un número par del producto entre un número impar y un número par.
multiplica un número impar por la suma entre dos números impares.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo II.
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
11. Sea p un número real tal que su inverso aditivo es un número racional positivo NO entero. Un
valor posible para el inverso multiplicativo de p es
A) – 0,333…
B)
2
C) –1,5
D) – 0,5
E)
1,333…
12. Se puede determinar que el número entero p es par, si:
(1)
(2)
El cuádruple de p es par.
El quíntuple de p es par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
13. Se define D como el conjunto de los divisores de 78. ¿Qué fracción del conjunto D corresponde a
números primos?
1 D)
1
A)
3
2
3 E)
4
B)
8
7
3
C)
7
4
1
. ¿Cuál(es) de las siguientes
14. Sean k y m dos números enteros positivos, tales que
=
m
k
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
k es divisor de 4.
II)5m es múltiplo de 10.
III)(m – k) es divisor de 6m.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
7
Programa Entrenamiento - Matemática
15.
La suma entre todos los números primos mayores que 7 y menores que 23 es divisible por
I)
6
II)10
III)15
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I y II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
16. Si m es un número par positivo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)(6m + 12) es un número divisible por 4.
(
)
7m + 2
es un número entero.
B)
2
C)3(m + 1) es un número impar.
D)
(5 – 3m) es un número negativo.
E)2(2m + 2) es un número divisible por 6.
17.Sea n un número entero positivo de tal manera que 6n es un número divisible por 15. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
n es un número divisible por 3.
II)2n es un número divisible por 10.
III)3n es un número divisible por 6.
A)
B)
C)
Solo I
Solo II
Solo II y III
D)
E)
I, II y III
Ninguna de ellas.
18.Sean a, b y c tres números primos tales que b > a y a + b = c. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
a = 2.
II)(b – c) es un número par.
III)(b · c) es un número impar.
8
A)
B)
C)
Solo I
Solo III
Solo I y III
D)
E)
Solo II y III
I, II y III
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
19. Sean a y b dos números primos tales que a + b = 50, con a < b. ¿Cuál de los siguientes valores
de b produce el menor valor para la expresión (b – 40)·(9 – a)?
20. A)
B)
C)
D)
E)
31
41
47
37
43
Sean a y b dos números enteros positivos. Se puede determinar el máximo común divisor entre
ellos, si:
(1)
a y b son números pares consecutivos.
(2) La suma entre a y b es 30.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
21. Sean p y m dos números enteros tales que 1 < m < p. Se puede afirmar que p es un múltiplo de
m, si:
(1)
(2)
El doble de p es un múltiplo de 6m.
(p + m) es un múltiplo de m.
A) B) C) D) E) (1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Estrategia de síntesis
Completa cada una de las oraciones presentadas a continuación con alguno de los
siguientes conceptos: enteros positivos, racionales, inverso aditivo, inverso
multiplicativo, múltiplo divisor, par e impar.
i)
ii)
12 es_____________ de 72, ya que el cociente entre 72 y 12 es 6.
El _______________ de 0,2 es 5, debido al valor que se obtiene a partir del
producto entre estos números.
iii)Si n es un número entero, entonces (4n + 3) es siempre un número _________.
iv) El conjunto de los números naturales se conoce también como el conjunto de los
______________.
9
Programa Entrenamiento - Matemática
22. Sean a, b y c números reales positivos. Si el recíproco de a es mayor que el recíproco de b y el
opuesto de b es mayor que el opuesto de c, el orden correcto es
A)
a > b > cD)
b>c>a
B)
a > c > bE)
c>b>a
C)
b>a>c
23. ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?
5 < 5
12 11
II)0,11 < 1
9
III) 0,24 < 0,24
I)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
24. Si a = 3, b = – 5 y c = 4, ¿cuál de las siguientes desigualdades es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
c
a
a
b
c
b
b
c
b
a
< a
c
b
<
c
< b
c
b
<
a
a
<
b
25. El conjunto de todos los números que están a lo más a 3 unidades de 2 y a lo más a 4 unidades
de – 3 es
]– ∞, – 7]
[1, 5]
]– ∞, – 1]
[– 7, 5]
[– 1, 1]
[5, + ∞[
∩
10
A)
B)
C)
D)
E)
∩
[1, + ∞[
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
26. El sueldo mensual que recibe una persona varía entre $ a y $ b, con a < b. El gasto mensual de
la persona varía entre $ p y $ q, con p < q < a. Si la persona ahorra todo el dinero que no gasta,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
Si en enero obtuvo el sueldo máximo, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [b – q, b – p].
II) Si en marzo tuvo los mayores gastos, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [a – q, b – q].
III) Si en agosto tuvo un sueldo $ c, con a < c < b, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [c – q, c – p].
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
27. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es correcta?
22 > 1, > 14
4
3
6
A)
B) 22 > 4,6 > 13
9
6
14
C) 13 >
> 3,6
3
9
D) 4,6 >
E) 13 > 22 > 14
6
9
3
22 13
>
6
9
28. Según la recta numérica figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
ac < bd
II)|a – d| > |b – c|
III)(d – b) • (c – a) > 0
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
–1
a
b
0
c
a
b
d
1
11
Programa Entrenamiento - Matemática
29.Si a < 0 y b > 0, con a ≠ – b, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre positiva?
A)
a2 – b2
a2 – b2
B)a + b
a2 – b2
C)a – b
D)
b2 – a2
E)
b2 – a2
a+b
30. Si d y e son números reales, tales que (d + 2) < e, ¿cuál(es) de los siguientes intervalos se
encuentra(n) completamente contenido(s) en el intervalo [d, e]?
I) [d + 2, e]
II) [d –1, e]
III) [d, e – 2]
A) B) C) D) E) Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguno de ellos.
12
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Torpedo Números
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y
estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Conjuntos numéricos
Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…}
Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Racionales (ℚ): son aquellos
escribirse como fracción.
que
pueden
Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden
escribirse como fracción.
Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*.
Imaginarios (𝕀): son de la forma bi, con b un
número real e i la unidad imaginaria.
Complejos (ℂ): son de la forma a + bi, con a y b
números reales e i la unidad imaginaria.
Conceptos claves
Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m.
es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos
corresponde al menor de los múltiplos que
inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0.
tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y
Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un 12 es 24, ya que 8 • 3 = 24 y 12 • 2 = 24.
número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Divisores de un entero: son aquellos números
b
a
Ejemplo: el opuesto multiplicativo de
, ya enteros que dividen exactamente a un cierto
es
a
b
entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los
b
a
•
que
= 1 , con a y b distintos de cero.
a
b
divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Números pares: son de la forma 2n, con n un
Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D.
número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}).
de dos o más números enteros positivos
Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un corresponde al mayor de los divisores que
número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}).
tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12
Múltiplos de un entero: son aquellos que se y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3.
obtienen al multiplicar un cierto número entero por Números primos: son aquellos números
otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, enteros positivos que solo tienen dos divisores:
20, 24, 28, 32, …}.
el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, …}.
13
Programa Entrenamiento - Matemática
Regla de los signos
Adición: al sumar dos números con igual signo,
se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto
signo, se calcula la diferencia entre los números
y se mantiene el signo del que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones.
Sustracción: la diferencia entre dos números es
igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores.
aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b).
2º Potencias.
Ojo: a – (– b) = a + b.
Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 3º Multiplicación y división, de izquierda a
derecha.
Multiplicación y división: se calcula el producto
o cociente entre los números. El resultado será 4º Adición y sustracción, de izquierda a
positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado derecha.
será negativo si ambos tienen distinto signo.
Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4
Amplificación y simplificación de fracciones
Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos:
denominador por el mismo número, sin
15 : 5
5
5•3
15 15
3
=
= • =
;
=
alterar el valor de la fracción.
20 : 5
9
9 3
27 20
4
Operaciones en los racionales
Suma y resta de fracciones: si dos Ejemplos:
fracciones tienen igual denominador,
7–5
7
5
2
=
–
=
los numeradores se suman o se restan
13
13
13
13
dependiendo de la operación. En el caso
contrario, se amplifican de modo que
4•2
4
5
5•3
8
15
23
8 + 15
+ • =
+
=
+
=
=
•
tengan igual denominador.
9 2
9
6
6 3
18
18
18
18
Multiplicación
de
fracciones:
se Ejemplo:
multiplican ambos numeradores y ambos
–3
denominadores.
8
•
– 3 • 4 – 12 – 12 : 12 – 1
4
=
=
=
= •
8 15 120
15
10
120 : 12
División de fracciones: se obtiene Ejemplo:
invirtiendo el divisor, para así obtener un 10
10
5
:
=
producto de fracciones.
9
9
12
14
•
12
8
10 • 12
120 120 : 15
=
=
=
=
5
3
9•5
45 : 15
45
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Tabla de corrección
Ítem
Habilidad
Dificultad Estimada
1
Comprensión
Media
2
Comprensión
ASE
ASE
ASE
Comprensión
Aplicación
ASE
ASE
ASE
ASE
Comprensión
Aplicación
ASE
ASE
ASE
ASE
Comprensión
Comprensión
Aplicación
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
Fácil
Media
Media
Media
Fácil
Fácil
Difícil
Media
Media
Media
Media
Media
Media
Difícil
Media
Media
Fácil
Media
Media
Media
Fácil
Difícil
Media
Media
Fácil
Media
Fácil
Media
Fácil
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Clave
15
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora Académica
Paulina Núñez Lagos
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Pamela Martínez Fuentes
Vania Muñoz Díaz
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones
a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.