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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
Lección 5: Multiplicación
y división de números
racionales
En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números
racionales. Usted ya sabe realizar estas operaciones con
números enteros y decimales, esto fue visto en las lecciones
3 y 10 del curso pasado y en la lección 2 de este curso. Aquí
las repasaremos y veremos también cómo multiplicar y dividir
fracciones.
En el primer año, se estudiaron los procedimientos para la
multiplicación y división de decimales. Realizaremos un breve
repaso de estos algoritmos antes de pasar a estas mismas
operaciones con fracciones.
Multiplicación de números
decimales
Para multiplicar dos números decimales, se multiplican como
si fueran enteros y se cuentan las cifras decimales en ambos
factores; al resultado del producto se le ponen tantos
decimales como la suma de los que tienen los factores.
38
LECCIÓN 5
Ejemplo:
7 3 4 6. 1 8 7
˘
1 5. 6 4
2
4 4
3 6 7
7 3 4
9
0
3
6
3
7
0
1
8
7
9
8
® 3 cifras decimales
® 2 cifras decimales
4 7 4 8
1 2 2
3 5
7
1 1 4 8 9 4 3 6 4 6 8
® 3+2 = 5 cifras decimales
Resuelva las siguientes operaciones:
a) 365.179
˘ 3.84
e) 2000 ˘ 0.0001
b) 3472.7 ˘ 5.61
f) 0.5307 ˘ 0.41
c) 34.7 ˘ 0.55
g) 17.001 ˘ 6.01
d) 34.90 ˘ 6000
División de números decimales
En la división de números decimales se van a ver distintas
situaciones. Para empezar recordemos el significado de una
división de enteros.
39
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MATEMÁTICAS II
Por ejemplo, si pensamos que tenemos
5 bolillos y se han repartido entre dos
personas, el cociente o resultado de la
división nos dice que a cada persona le
tocaron dos bolillos y el residuo nos dice
que en esa repartición sobró uno.
2
2. 5
5. 0
1 0
1
2
2
5
1
Usando decimales podemos continuar la división
para obtener un cociente más exacto. Para ello
hay que considerar el 1, que es una unidad,
como 10 décimos. Se dividen 10 décimos entre
2 y el resultado es 5 décimos. Esto se escribe
como se muestra a la derecha:
Lo que vemos en el cociente es 2 unidades con 5 décimos.
Si pensamos nuevamente en los bolillos, se tiene que al
repartir 5 bolillos entre dos personas, a cada una le tocan
2.5 bolillos, o bien, 2 bolillos y cinco décimos de bolillo,
o bien, 2 5 de bolillo. Pero como 5 es igual a 1 ,
10
10
2
el resultado indica que a cada persona le tocan dos bolillos
y medio. Como el residuo es cero, ya no queda nada que
dividir, es decir, ya no hay nada de bolillos que repartir.
Veamos otro ejemplo de división con enteros.
Si se divide 2 entre 3, como 2 es más chico que
3 el cociente es cero y sobran 2. Al relacionar
esta operación con un problema cotidiano,
podemos imaginar ahora que queremos repartir
40
3
0
2
2
LECCIÓN 5
dos sillas entre 3 personas. Como no se pueden partir las
sillas, entonces no podemos repartirlas equitativamente y
por eso el resultado es 0, y en este caso no tiene sentido
seguir la división.
Pero si no se trata de sillas sino, por ejemplo, de chocolates,
sí podemos partirlos, y entonces hay algo que hacer con ellos
y tiene sentido continuar la operación. Al 2 que aparece en
el residuo, lo podemos convertir en 20
décimos y pensar: ¿cuánto es 20 décimos
entre 3? La respuesta es 6 y décimos sobran
0. 6
2 décimos. Si escribimos con símbolos lo
3 2. 0
que acabamos de decir obtenemos lo que
2 0
se muestra a la derecha. Se puede decir
2
que a cada persona le tocarán 6 décimos
de chocolate y sobran 2 décimos.
3
Como todavía hay residuo, podemos mejorar el
resultado, dividiendo los 2 décimos que sobran
0. 6 6
entre 3; para ello necesitamos transformarlos
2. 0 0
2 0
en centésimos. Resulta que 2 décimos, ó 2 , es
10
2 0
2
equivalente a veinte centésimos, 20 . Podemos
100
pensar ahora, 20 centésimos entre 3 es igual a
6 centésimos y sobran 2 centésimos. Usando la
simbología de la “casita” esto queda escrito como se muestra
a la izquierda.
En este ejemplo, la división no va a terminar nunca, porque
vemos que cada vez que convertimos el residuo a la unidad
decimal que sigue, el cociente es 6 y el residuo es 2.
Cuando en un número decimal aparece una cifra, o varias,
que se repiten y se repiten, a la cifra o grupo de cifras que
se repiten, le llamamos período. Y como no podemos escribirlo
todo, pues nunca acabaríamos, lo que se acostumbra es
poner una curvita encima de la cifra o cifras que abarcan
41
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el período, o repetir varias veces el período y escribir puntos
suspensivos.
En nuestro ejemplo, esto se escribe así:
2 ÷ 3 = 0.6 = 0.666.....
Ahora veremos qué hacer cuando el dividendo tiene cifras
decimales y el divisor es un entero. En este caso, se realiza
la división como si se tratara de dos enteros y el punto
decimal se pone exactamente arriba del lugar en el que
aparece dentro de la “casita”.
Por ejemplo, si se quiere
dividir 53.48 entre 15,
3 5 6
3. 5 6
realizamos la división
15 5 3 4 8
1 5 5 3. 4 8
como si fueran dos números
8 4
8 4
enteros, sin tomar en
9 8
9 8
consideración el punto
8
8
decimal, como se muestra
a la izquierda. Después,
para encontrar el resultado
de dividir 53.48 escribimos la división anterior, sólo que
ahora colocamos el punto decimal del dividendo, y el del
cociente lo ubicamos exactamente arriba, como se muestra
a la derecha.
En este ejemplo, vemos que el residuo
no es cero. Podríamos entonces seguir
aumentando cifras decimales hasta
obtener residuo cero o una aproximación
que nos resulte útil, o bien encontrar el
período. En nuestro ejemplo, la división
queda como se muestra a la derecha, el
residuo ya siempre es 5, en el cociente
se empieza a repetir el 3. Podemos
entonces escribir este resultado así:
53.48 ÷ 15 = 3.5653
42
15
3 5 6 5 3 3
5 3 4 8
8 4
9 8
8 0
5 0
5 0
5
LECCIÓN 5
Por último, recordaremos cómo hacer la división cuando
el divisor es un número decimal. Por ejemplo, pensemos
en la división 63.726 ÷ 7.23: aquí el divisor, 7.23, tiene dos
cifras decimales. Buscaremos convertir esta operación en
una división como las anteriores, es decir una en la que el
divisor sea un número entero. La división se puede escribir
también así: 63.726 , y podemos multiplicar el numerador
7.23
y el denominador por 100:
63.726 = 63.726 ˘ 100 = 6372.6
7.23
7.23 ˘ 100
723
Con esta transformación tenemos una nueva división, cuyo
resultado es igual al de la primera, pero en la que el divisor,
723, es un número entero. Para hacer la transformación
hemos recorrido el punto decimal dos lugares a la derecha en
el divisor, 7.23, y en el dividendo, 63.726. El divisor queda
como 723 y el dividendo como 6372.6. La transformación
también se puede hacer directamente en la “casita”:
7. 2 3
dos cifras
decimales
6 3. 7 2 6
7 2 3
6 3 7 2. 6
dos cifras
decimales
El procedimiento se puede expresar como sigue: cuando el
divisor es un número decimal, se cuentan sus cifras decimales
y se tacha el punto decimal; en el dividendo, se corre el
punto decimal tantos lugares como cifras decimales había
en el divisor.
Así, la división 63.726 ÷ 7.23 de
nuestro ejemplo queda como se
ilustra a la derecha:
8
7 2 3 6 3 7 2.
5 8 8
1 0
8
6
6
2
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Como en los caso anteriores podemos seguir obteniendo más
cifras decimales hasta que el residuo sea cero, hasta encontrar
una aproximación útil o hasta encontrar un período.
Este procedimiento también se puede realizar cuando el
dividendo es un número entero o cuando es un número
decimal con menos cifras decimales que el divisor. En estos
casos se debe completar con ceros los lugares que quedan
a la izquierda de la nueva posición del punto decimal. Por
ejemplo, veamos cómo hacer la división 45 ÷ 6.023:
6. 0 2 3 4 5
6. 0 2 3 4 5. 0 0 0
tres cifras
decimales
6023 45000
tres cifras
decimales
Así, la división 45 ÷ 6.023 queda como
se muestra a la derecha. Aquí hemos
elegido continuar la división hasta
los centésimos, aunque hubiéramos
podido quedarnos en un cociente de
7 con un residuo de 2839; también
podríamos seguir obteniendo más
cifras decimales.
7.
6 0 2 3 4 5 0 0 0.
2 8 3 9
4 2 9
8
Resuelva las siguientes operaciones:
44
a) 8 ÷ 9
d) 172.15 ÷ 26
g) 19 ÷ 8.2
b) 15 ÷ 63
e) 0.25 ÷ 0.3
h) 176.543 ÷ 2.1111
c) 89.4 ÷ 93
f) 13462.987 ÷ 222.22
4 7
0
8 0
1 9
LECCIÓN 5
Multiplicación de fracciones
En esta lección se están estudiando los algoritmos para
multiplicar y dividir racionales. Ya vimos que los racionales
se pueden representar con fracciones o con decimales. En los
apartados anteriores tratamos los casos en que los números
se representan con decimales. Ahora vamos a presentar la
manera en que se multiplican dos fracciones.
Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción.
Entonces, para efectuar la multiplicación necesitamos saber
cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. La
regla es la siguiente:
• El numerador del producto de dos fracciones es el
producto de los numeradores, y el denominador es
el producto de los denominadores, de las fracciones
que se están multiplicando.
Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones 2 y 7 .
5 4
Obtenemos el resultado 14 . Pero como 14 y 20 tienen
20
divisores comunes, podemos simplificar el resultado,
encontrando una fracción equivalente que tenga un
denominador más pequeño:
dividiendo arriba y abajo
2 ˘ 7 = 2 ˘ 7 = 14 = 7
7
5
4
5˘4
20
10
entre 2 se obtiene
.
10
Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden
expresar como fracciones poniéndoles como denominador
el 1. Así podemos realizar
multiplicaciones como la
2 ˘ 7 = 2 ˘ 7 = 2 ˘ 7 = 14
que se muestra a la
5
5
1
5˘1
5
derecha.
45
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Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible
simplifique el resultado:
a) 8 ˘ 35
15
18
b) 2 ˘ 9
3
16
c) 8 ˘ 5
9
7
d) 4 ˘ 15
6
25
e) 5 ˘ 3
8
f) 5 ˘ 8
25
División de fracciones
Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas
propiedades de la multiplicación de números racionales, que
son importantes para la división de fracciones.
La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo,
propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los
enteros:
• Al multiplicar por 1 cualquier número racional,
el resultado es ese mismo número.
Por ejemplo: 3 ˘ 1 = 3 ; - 5 ˘ 1 = - 5 ;
8
8
7
7
0.748 ˘ 1 = 0.748; -1999 ˘ 1 = -1999.
La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo:
• Para todo número racional distinto de cero, se puede
encontrar otro número racional que multiplicado por
el primero dé como resultado 1. El número encontrado
es el inverso multiplicativo del primero.
46
LECCIÓN 5
Por ejemplo,
el inverso multiplicativo de
3 es 4
4
3
porque 3 ˘ 4 = 1
4
3
el inverso multiplicativo de
2 es 1
2
porque 2 ˘ 1 = 1
2
el inverso multiplicativo de
1 es 7
7
porque 1 ˘ 7 = 1
7
el inverso multiplicativo de
-5 es - 1
5
porque -5 ˘ - 1 = 1
5
También podemos decir que el inverso multiplicativo de
4 es 3 , el inverso multiplicativo de 1 es 2, el inverso
3
4
2
multiplicativo de 7 es 1 y el inverso multiplicativo de
7
- 1 es -5.
5
En general, para fracciones podemos decir que el inverso
multiplicativo de una fracción es otra fracción que tiene por
numerador el denominador de la primera, y por denominador
el numerador de la primera. Si estos números son a y b, el
inverso multiplicativo de la fracción a es la fracción b , ya
b
a
que al multiplicar las dos, siempre se obtiene una fracción
que tiene como numerador y denominador el mismo número,
por lo que es una fracción equivalente al entero 1.
a ˘ b = a˘b = b˘a =1
b
a
b˘a
a˘b
47
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MATEMÁTICAS II
Otra propiedad que debemos recordar es que la división y
la multiplicación son operaciones inversas, esto es, que el
efecto de una queda anulado por el de la otra. Por ejemplo:
328 ˘ 271 ÷ 271 = 328
1672 ÷ 19 ˘ 19 = 1672
El efecto de multiplicar por 271 se “deshace” al dividir entre
271. El efecto de dividir entre 19 se “deshace” al multiplicar
por 19. Usted puede convencerse de este hecho, usando una
calculadora. Pruebe con varios ejemplos y varios números,
sólo asegúrese de que multiplica y divide siempre por el
mismo número.
Al relacionar estos hechos con el inverso multiplicativo
podemos notar que:
49 ˘ 28 ÷ 28 = 49 = 49 ˘ 1 = 49 ˘ 28 ˘ 1
28
También
1672 ÷ 19 ˘ 19 = 1672 = 1672 ˘ 1 = 1672 ˘
1 ˘ 19
19
Con esto lo que se quiere decir es que es lo mismo dividir
entre 28 que multiplicar por 1 . Y que es lo mismo dividir
28
entre 19 que multiplicar por 1 . En general:
19
• Es lo mismo dividir un número entre una fracción que
multiplicarlo por el inverso multiplicativo del divisor.
Estas ideas nos permiten efectuar una división de fracciones,
una vez que se sabe cómo multiplicarlas. Porque se puede
transformar una división en multiplicación, usando el inverso
multiplicativo.
48
LECCIÓN 5
Por ejemplo, si queremos hacer la división 5 ÷ 7 , en lugar
3 4
de dividir 5 entre 7 se multiplica por su inverso multiplicativo,
3
4
o sea, por 4 :
7
5 ÷ 7 = 5 ˘ 4 = 20
3 4 3 7 21
Podemos simplificar todo esto con el siguiente procedimiento
para dividir fracciones:
1. Se multiplica el numerador de la primera, por el
denominador de la segunda. El resultado es el numerador
del cociente.
2. Se multiplica el denominador del primero por el
numerador del segundo. El resultado es el denominador
del cociente.
Ejemplos:
5 ÷ 7 = 5 ˘ 4 = 20
3 4 3˘7
21
2 ÷ 3 = 8
5 4 15
Con este mismo procedimiento podemos dividir una
fracción entre un entero, o un entero entre una fracción,
ya que podemos expresar el entero como una fracción con
denominador igual a 1. Por ejemplo:
3 ÷5= 3 ÷ 5 = 3˘1 = 3
7
7 1 7˘5
35
5 ÷ 3 = 5 ÷ 3 = 5 ˘ 7 = 35
7 1 7 1˘3
3
49
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Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números:
a) 1
8
b) -9
c) 11
4
e) 6
f) 1
9
g) - 2
3
d) 7
2
Resuelva las siguientes divisiones y si es posible simplifique
el resultado:
a) 6 ÷ 2
7 8
d) 5 ÷ 4
12
6
b) 15 ÷ 4
3
11
e) 12 ÷ 7
17
c) 10 ÷ 22
9
12
f) 8 ÷ 4
6
Multiplicación y división con
números racionales negativos
En esta lección se vieron todos los casos para multiplicar
y dividir racionales pero no se ha hablado de racionales
negativos. Para estos números los algoritmos se realizan
considerando los valores positivos de los racionales con los
que se está operando, el único cuidado extra que hay que
tener es colocar el signo al resultado de acuerdo a la regla
de los signos que es la misma que para los números enteros:
• al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo,
el resultado es positivo;
• al multiplicar o dividir dos números con signos distintos,
el resultado es negativo.
50
LECCIÓN 5
Veamos unos ejemplos:
-2.1 ˘ 8.6 = -18.06
-5.4 ÷ (-1.16) = 4.655
5 ˘ - 3 = 15 = 15 - 5
9
7
63
63 21
- 12 ÷ 2 = - 36 = 6
15
3
30
5
Resuelva las siguientes operaciones:
a) 1.5 ˘ (- 2.12)
b) - 1 ˘ 5
7 4
c) (-4.38) ˘ (-1.11)
d) 16 ˘ - 1
28
3
e) -12.4 ÷ 3.1
g) -0.5 ÷ (-1.125)
f) - 5 ÷ - 11
9
6
h) - 3 ÷ 2
7
21
Simplificación de fracciones
Frecuentemente tenemos fracciones que se pueden simplificar
para obtener otras con un denominador más chico. Estas
fracciones pueden presentarse o bien solas o bien como
resultado de operaciones realizadas con otras fracciones.
Por ejemplo, la fracción 30 puede expresar que una unidad
36
se parte en 36 porciones de las que se toman 30, o puede ser
el resultado de una operación, como alguna de las siguientes:
• 3 + 2 = 12 + 18 = 12 + 18 = 30
9
4
36
36
36
36
51
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• 5 ˘ 6 = 5 ˘ 6 = 30
12
3
12 ˘ 3
36
• 3 ÷ 9 = 3 ˘ 10 = 30
4 10
4˘9
36
Hemos mencionado que en esos casos conviene encontrar una
fracción equivalente más sencilla. ¿Cómo hacer eso? Ahora
veremos cómo:
Lo primero que se hace es descomponer el numerador y el
denominador de la fracción en factores primos, como usted
vio en la lección 4 del curso anterior. En nuestro ejemplo,
tenemos:
30 2
15 3
5 5
1
36
18
9
3
1
30 = 2 ˘ 3 ˘ 5
2
2
3
3
36 = 2 ˘ 2 ˘ 3 ˘ 3
Después expresamos la fracción poniendo en el numerador y
en el denominador esta descomposición en factores primos:
30 = 2 ˘ 3 ˘ 5
36
2˘2˘3˘3
Esto significa, en nuestro ejemplo, que si dividimos tanto el
numerador como el denominador entre 2 ó entre 3, seguiremos encontrando números enteros en cada parte:
30 = 2 ˘ 3 ˘ 5 = 2 ˘ 3 ˘ 5 ÷ 2 ÷ 3 = 5 = 5
36
2˘2˘3˘3
2˘2˘3˘3÷2÷3
2˘3
6
52
LECCIÓN 5
Esto lo podemos hacer porque el 2 y 3 son factores comunes
a 30 y a 36. No podríamos dividir entre 5, porque aunque es
factor de 30 no lo es de 36, ni podríamos dividir entre 3 ˘ 3,
o sea entre 9, porque 9 no es factor de 30 aunque sí lo sea
de 36.
Una manera usual de hacer estas divisiones de los factores
comunes es tachando, en la descomposición en factores
primos del numerador y del numerador, los factores comunes
a los dos, y luego multiplicando los números restantes, así:
30 = 2 ˘ 3 ˘ 5 = 5 = 5
36
2˘2˘3˘3
2˘3
6
La fracción resultante, que en este caso es 5 , es una
6
fracción equivalente a la primera, y lo más simplificada
que es posible, ya no se puede dividir el numerador y el
denominador entre otro número.
Veamos otro ejemplo: simplifiquemos la fracción 15 . Primero
90
descomponemos en factores primos el 15 y el 90:
15 3
5 5
1
90
45
15
5
1
15 = 3 ˘ 5
2
3
3
5
90 = 2 ˘ 3 ˘ 3 ˘ 5
Después expresamos la fracción utilizando estas
descomposiciones:
15 =
3˘5
90
2˘3˘3˘5
53
GUÍA
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Después tachamos arriba y abajo los factores comunes:
15 =
3˘5
90
2˘3˘3˘5
Y finalmente multiplicamos los factores que quedan:
15 =
3˘5
= 1 = 1
90
2˘3˘3˘5 2˘3
6
Observe que en este caso quedaron tachados todos los
factores del numerador, y que lo que queda es 1: esto es
porque la expresión tachada es equivalente a
3 ˘ 5 = (3 ÷ 3) ˘ (5 ÷ 5) = 1 ˘ 1 = 1
Simplifique las siguientes fracciones:
a) 14
20
b) 72
120
c) 240
225
e) - 42
385
f) - 105
30
g) 840
4900
d) 63
252
a) Por cada peso que se queda a deber en una tarjeta de
crédito, el banco cobra $0.0625 de intereses. Si Olivia
quedó a deber $1584.50 en su tarjeta de crédito; ¿cuánto
debe pagar de intereses?
54
LECCIÓN 5
b) ¿Cuántos metros cuadrados mide el área de un terreno
rectangular que tiene 14.5 m de ancho y 72.7 m de largo?
c) ¿Cuántos vasos de 1 de
5
litro se pueden llenar con
una botella de refresco
de 3 de litro?
2
d) Una jarra llena de agua
se reparte en vasos de 1
6
de litro. Se logran llenar
2 1 vasos. ¿Cuánto le cabía
2
a la jarra? (Sugerencia: transforme la fracción
mixta 2 1 en una fracción impropia).
2
55