Download Dα - Departamento de Matemáticas, UPR

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO
RECINTO DE RIO PIEDRAS
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Examen Graduado de Aprovechamiento
Fecha: 12 de abril de 1999
Area: Topología.
* * * Escoja exactamente tres de los siguientes problemas * * *
(I). Sea (X, τ) un espacio topológico. Si A ⊆ X , el borde de A es el conjunto
denotado por Bd A definido a continuación:
_
_____
Bd A = A ∩ (X - A)
(a) Demuestre que Int A (el interior de A) y Bd A son disjuntos y
que
_
A = Int A ∪ Bd A .
(b) Demuestre que Bd A = ∅ ⇔ A es abierto y cerrado a la vez .
_
(c) Demuestre que U es abierto ⇔ Bd U = U - U .
(II). Una colección { D α } de subconjuntos cerrados del espacio topológico (X,
τ) satisface la propiedad de intersecciones finitas, si para toda subcolección
finita { Dα , . . . , Dα } de { D α } tenemos que
1
Dα
1
n
∩ . . . ∩ Dα ≠ ∅ .
n
Demuestre : X es compacto
⇔ para toda colección
{ D α } de
subconjuntos cerrados de X que satisfaga la propiedad de intersecciones
finitas , ∩ Dα ≠ ∅ .
(III).
G son cerrados en (X, τX) y (Y, τY)
respectivamente, entonces F × G es cerrado en X × Y (dotado de la topología
producto) .
_____
_
_
(b) Demuestre : A × B = A × B . (Ayuda: Use la parte (a) .).
(a) Demuestre : Si
F y
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(IV). Sea f : (M, τM) → (N, τN) una función.(en este problema
int(G)
es el
interior de G ).
Demuestre :
" f es continua ⇔ ∀ B ⊆ N , f -1(int B) ⊆ int (f -1(B)) ."
(V). Sea g : (X, τX) → (Y, τY) una función continua , inyectiva y suprayectiva.
Demuestre : Si (X, τX) es compacto y (Y, τY) Hausdorff , entonces g es
un homeomorfismo.