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Escuela de Primavera en Didáctica de la matemática
Universidad Nacional de San Martín
Noviembre 2009
La probabilidad en la enseñanza de la estadística
Pablo Carranza ([email protected]) Universidad Nacional de Río Negro
Introducción
En el nivel secundario, solemos enseñar la noción de probabilidad. Es común en estos
casos que le dediquemos una atención importante a elementos relacionados con su
cálculo. De esta manera, introducimos, por ejemplo, nociones de combinatoria o de
teoría de conjuntos para determinar la cantidad de casos favorables y posibles. En
general, muchos docentes centramos nuestra atención en estos aspectos de la
probabilidad, que llamaremos operatorios o calculatorios. Sin embargo, en estadística,
la probabilidad es algo más que un número, ella representa dos posibles significados:
uno denominado frecuentista, el otro bayesiano. En este encuentro nos ocuparemos de
los aspectos tanto calculatorios como interpretativos o semánticos.
Nos interesaremos entonces a las diferencias entre estas dos interpretaciones de la
probabilidad pero también a sus puntos en común. Luego analizaremos algunas
implicaciones didácticas de estas cuestiones para finalmente ocuparnos de la presencia
de esta dualidad en manuales
del secundario; esperando así comprender el
funcionamiento de esta dualidad en la enseñanza de la estadística.
Comenzaremos identificando dos dimensiones de la probabilidad, una llamada
operatoria, la otra semántica
Dimensiones semántica y operatoria de la probabilidad
En efecto, si nos ubicamos en estadística, será necesario que consideremos que el valor
calculado de la probabilidad significa “algo”. Ese algo en estadística es, a grosso modo,
sea una medida de certeza, sea la frecuencia de aparición de un fenómeno dado.
Hablaremos entonces de dimensión semántica cuando nos referimos al significado
atribuido al cálculo de una probabilidad; y de dimensión operatoria cuando nos
ocupamos de cuestiones ligadas a la determinación del valor numérico de la
probabilidad.
Si bien las dos probabilidades se diferencian claramente en la dimensión semántica, no
ocurre lo mismo con la operatoria, donde las dos interpretaciones utilizan a veces, los
mismos criterios para cuantificar una probabilidad.
Este espacio en común para las dos interpretaciones dado por la dimensión calculatoria
compartida, es fuente de confusiones. En efecto, debido a que es posible que utilicemos
los mismos criterios para evaluar cuanto creemos en algo o cuan frecuentemente
aparece un fenómeno, solemos perder de vista el significado que se le está atribuyendo
al valor de la probabilidad. Veremos esto en nuestro encuentro con más detalle.
Creemos que la dimensión calculatoria es la más conocida por todos nosotros, por lo
que nos detendremos con más tiempo en la semántica. Veamos algunos ejemplos de las
dos interpretaciones de la probabilidad, comenzando con la bayesiana, que es el nombre
con el que corrientemente se designa a la probabilidad como una medida de certeza.
Probabilidad bayesiana
Para este enfoque, cuando calculamos un valor de probabilidad, es porque estamos
queriendo indicar una medida de cuánto creemos en la veracidad de una proposición.
Por ejemplo, cuando decimos que la probabilidad de que el gobierno Brasileño le
compre aviones de combate Rafale a Francia es del 0,80, estamos queriendo representar
una medida de cuánto creemos que ese hecho se hará realidad. En ese caso, no estamos
hablando de cuán frecuentemente Brasil le compra aviones Rafale a Francia sino en una
medida de certeza de la ocurrencia de ese acontecimiento.
Es de esperarse que no todos nosotros le asignemos el mismo valor de probabilidad a la
veracidad de una proposición. En efecto, un ciudadano alejado de los detalles de la
operación de venta de estos aviones, podría atribuir un valor diferente que el que
atribuiría un miembro de la comisión de negociación. Es por ello que la probabilidad
bayesiana es conocida también como subjetiva, dado que su valor puede diferir de un
observador a otro.
Veamos rápidamente los principios de la probabilidad frecuentista. En la comparación,
seguramente encontraremos más elementos para poder reconocer ambas nociones.
Probabilidad frecuentista
Esta probabilidad se refiere a la frecuencia con la que ocurre un fenómeno dado si se lo
reprodujese un número infinito de veces bajo las mismas condiciones. Un ejemplo
sencillo podría ser el de un investigador que se interesa a la supervivencia de patos
colbert machos respecto a las hembras. En efecto, a causa de su colorido plumaje, los
primeros suelen llamar más la atención que los segundos a predadores y cazadores,
aumentando de esta manera, la frecuencia con la que los machos mueren respecto de las
hembras. En este caso, nos interesaríamos entonces a la frecuencia de muerte de los
patos colbert machos en estado salvaje en una región dada; la probabilidad es, en este
caso, frecuentista.
Suele decirse que la probabilidad frecuentista es objetiva, pues, definido un evento, dos
o más observadores darían el mismo valor de probabilidad a la frecuencia de aparición.
Esto es porque la probabilidad frecuentista es una característica del sistema en cuestión
y no del observador como lo es la bayesiana.
Sin embargo, las cosas no son tan sencillas como los ejemplos presentados aquí arriba.
En efecto, las dos interpretaciones de la probabilidad se “mezclan”, se confunden en
algunos casos y esto por diversas razones. A este fenómeno lo hemos denominado
imbricación de interpretaciones. Con este término intentamos describir la inseparable
relación que une las dos interpretaciones. Veamos de qué manera estas dos
interpretaciones se relacionan.
Imbricación de significados
Las dos interpretaciones de la probabilidad no son tan sencillas de diferenciar, a veces
ocurre que no sabemos claramente qué significado se le está atribuyendo cuando se
habla de una probabilidad. Veamos porqué esto ocurre y algunas estrategias para
diferenciar las dos nociones de la probabilidad.
Una de las causas de esta confusión reside en que tanto la interpretación frecuentista
como la bayesiana comparten el mismo término (probabilidad), el mismo símbolo
((PA)) e incluso, un mismo criterio de evaluación (casos favorables sobre casos
posibles). En efecto, cuando alguien utiliza el término “probabilidad”, nada podemos
inferir de su significado. Lo mismo ocurre cuando pasamos al registro simbólico: al
escribir P(A) es imposible que podamos asegurar a qué probabilidad está haciendo
mención el emisor del mensaje.
Para saber qué se está queriendo decir cuando escribimos “probabilidad” o “P(A)” hay
dos posibilidades, sea se recurre a expresiones sinonímicas para así precisar el
significado, sea recurrimos a algunas características del contexto del problema al cual
nos estamos refiriendo.
En nuestro encuentro trataremos con más detalle estas dos posibilidades y algunas
implicaciones didácticas que de ello se desprenden. Compartiremos además algunas
conclusiones, fruto de experimentaciones llevadas a cabo sobre este tema. Luego
intentaremos constatar que en los manuales de uso corriente ambas interpretaciones
están presentes y por último, intentaremos concluir sobre la posibilidad de tratar ambas
interpretaciones en clase.