Download Continuidad y convergencia

Espacios métricos
Espacios topológicos
Continuidad y convergencia
Diego Acosta Álvarez
Universidad de Antioquia
Licenciatura en Matemáticas y Física
Abril 17 de 2008
Diego Acosta Álvarez
Continuidad y convergencia
Espacios métricos
Espacios topológicos
1
Espacios métricos
Abiertos y cerrados
Convergencia
Continuidad
2
Espacios topológicos
Continuidad
Filtros
Convergencia
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Espacios métricos
Espacios topológicos
Abiertos y cerrados
Convergencia
Continuidad
Espacios métricos
Definición (Espacio Métrico). Sea M , ∅ un conjunto. Si existe una
función d : M × M → R que satisface las siguientes propiedades:
1
d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 si y solo si x = y (Positividad)
2
d(x, y) = d(y, x) (Simetría)
3
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Desigualdad triangular)
Decimos que el par (M, d) es un espacio métrico.
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Abiertos y cerrados
Convergencia
Continuidad
Espacios métricos
Espacios topológicos
Espacios métricos
Ejemplos
1
En Rn podemos definir d : Rn × Rn → R de las siguientes
formas:
1/2
 n

X
2
d(x, y) =  (xi − yi ) 
i=1
d∞ (x, y) = máx1≤i≤n {|xi − yi |}
n
X
d1 (x, y) =
|xi − yi |
i=1
2
Sea M = B(X, R) = { f : X → R : f es acotada}. La métrica
d : M × M → R se define por:
d( f, g) = sup {| f (x) − g(x)|}
x∈X
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Continuidad
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Ejemplos
1
En Rn podemos definir d : Rn × Rn → R de las siguientes
formas:
1/2
 n

X
2
d(x, y) =  (xi − yi ) 
i=1
d∞ (x, y) = máx1≤i≤n {|xi − yi |}
n
X
d1 (x, y) =
|xi − yi |
i=1
2
Sea M = B(X, R) = { f : X → R : f es acotada}. La métrica
d : M × M → R se define por:
d( f, g) = sup {| f (x) − g(x)|}
x∈X
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Abiertos y cerrados
Convergencia
Continuidad
Abiertos y cerrados
Definición (Bola abierta y bola cerrada). Sea r > 0. Los conjuntos
B(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} y B[a, r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} se
denominan respectivamente bola abierta y bola cerrada de centro a y
radio r.
Definición (Conjuntos abiertos y cerrados). Sea X ⊆ M, con (M, d)
un espacio métrico.
1
X es llamado abierto si y solo si ∀x ∈ X∃r > 0 : B(x, r) ⊂ X.
2
X es cerrado si y solo si su complemento M − X es abierto.
Teorema (Caracterización de abiertos). Llamemos τ la colección de
los conjuntos abiertos de (M, d). Es decir,
τ = {A ⊆ M : A es abierto en M}. Entonces:
1
2
3
∅, M ∈ τ
S
Para una colección (Aλ )λ∈Λ ⊂ τ, se tiene que A = λ∈Λ Aλ ∈ τ.
T
Si A1 , ..., Ak ∈ τ, entonces ki=1 Ai ∈ τ.
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Convergencia
Continuidad
Abiertos y cerrados
Definición (Bola abierta y bola cerrada). Sea r > 0. Los conjuntos
B(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} y B[a, r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} se
denominan respectivamente bola abierta y bola cerrada de centro a y
radio r.
Definición (Conjuntos abiertos y cerrados). Sea X ⊆ M, con (M, d)
un espacio métrico.
1
X es llamado abierto si y solo si ∀x ∈ X∃r > 0 : B(x, r) ⊂ X.
2
X es cerrado si y solo si su complemento M − X es abierto.
Teorema (Caracterización de abiertos). Llamemos τ la colección de
los conjuntos abiertos de (M, d). Es decir,
τ = {A ⊆ M : A es abierto en M}. Entonces:
1
2
3
∅, M ∈ τ
S
Para una colección (Aλ )λ∈Λ ⊂ τ, se tiene que A = λ∈Λ Aλ ∈ τ.
T
Si A1 , ..., Ak ∈ τ, entonces ki=1 Ai ∈ τ.
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Definición (Bola abierta y bola cerrada). Sea r > 0. Los conjuntos
B(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} y B[a, r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} se
denominan respectivamente bola abierta y bola cerrada de centro a y
radio r.
Definición (Conjuntos abiertos y cerrados). Sea X ⊆ M, con (M, d)
un espacio métrico.
1
X es llamado abierto si y solo si ∀x ∈ X∃r > 0 : B(x, r) ⊂ X.
2
X es cerrado si y solo si su complemento M − X es abierto.
Teorema (Caracterización de abiertos). Llamemos τ la colección de
los conjuntos abiertos de (M, d). Es decir,
τ = {A ⊆ M : A es abierto en M}. Entonces:
1
2
3
∅, M ∈ τ
S
Para una colección (Aλ )λ∈Λ ⊂ τ, se tiene que A = λ∈Λ Aλ ∈ τ.
T
Si A1 , ..., Ak ∈ τ, entonces ki=1 Ai ∈ τ.
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Convergencia
Continuidad
Convergencia
Definición (Sucesión). Sea (M, d) un espacio métrico. Una sucesión
es una función x : N → M tal que x(n) = xn ∈ M.
Definición (Límite de una sucesión). El límite de una sucesión, es un
elemento a ∈ M para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 se cumple d(xn , a) < ε. En este caso se
escribe lı́mn→∞ xn = a
Proposición (Convergencia y abiertos). Un conjunto A ⊂ M es
abierto si y solo si para toda sucesión convergente en M con
lı́mn→∞ xn ∈ A, existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , xn ⊂ A
Proposición (Convergencia y cerrados). Un conjunto A ⊂ M es
cerrado si y solo si toda sucesión (xn )n∈N ⊂ A convergente en M es
convergente en A.
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Convergencia
Continuidad
Convergencia
Definición (Sucesión). Sea (M, d) un espacio métrico. Una sucesión
es una función x : N → M tal que x(n) = xn ∈ M.
Definición (Límite de una sucesión). El límite de una sucesión, es un
elemento a ∈ M para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 se cumple d(xn , a) < ε. En este caso se
escribe lı́mn→∞ xn = a
Proposición (Convergencia y abiertos). Un conjunto A ⊂ M es
abierto si y solo si para toda sucesión convergente en M con
lı́mn→∞ xn ∈ A, existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , xn ⊂ A
Proposición (Convergencia y cerrados). Un conjunto A ⊂ M es
cerrado si y solo si toda sucesión (xn )n∈N ⊂ A convergente en M es
convergente en A.
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Convergencia
Continuidad
Convergencia
Definición (Sucesión). Sea (M, d) un espacio métrico. Una sucesión
es una función x : N → M tal que x(n) = xn ∈ M.
Definición (Límite de una sucesión). El límite de una sucesión, es un
elemento a ∈ M para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 se cumple d(xn , a) < ε. En este caso se
escribe lı́mn→∞ xn = a
Proposición (Convergencia y abiertos). Un conjunto A ⊂ M es
abierto si y solo si para toda sucesión convergente en M con
lı́mn→∞ xn ∈ A, existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , xn ⊂ A
Proposición (Convergencia y cerrados). Un conjunto A ⊂ M es
cerrado si y solo si toda sucesión (xn )n∈N ⊂ A convergente en M es
convergente en A.
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Convergencia
Definición (Sucesión). Sea (M, d) un espacio métrico. Una sucesión
es una función x : N → M tal que x(n) = xn ∈ M.
Definición (Límite de una sucesión). El límite de una sucesión, es un
elemento a ∈ M para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 se cumple d(xn , a) < ε. En este caso se
escribe lı́mn→∞ xn = a
Proposición (Convergencia y abiertos). Un conjunto A ⊂ M es
abierto si y solo si para toda sucesión convergente en M con
lı́mn→∞ xn ∈ A, existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , xn ⊂ A
Proposición (Convergencia y cerrados). Un conjunto A ⊂ M es
cerrado si y solo si toda sucesión (xn )n∈N ⊂ A convergente en M es
convergente en A.
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Convergencia
Continuidad
Continuidad
Definición (Función continua). Sean (M, d) y (N, ρ) espacios
métricos. Una función f : M → N se dice continua en el punto a ∈ M
si y solo si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ M con d(x, a) < δ se tiene
ρ( f (x), f (a)) < ε. Una función es continua en A ⊂ M si lo es en cada
punto de A.
Proposición (Funciones continuas y conjuntos abiertos). Sean
(M, d) y (N, ρ) espacios métricos y f : M → N una función. f es
continua si y solo si para cada A ⊂ N abierto en N se tiene
f −1 (A) ⊂ M es abierto en M.
Proposición (Funciones continuas y sucesiones). Una función
f : M → N es continua en a ∈ M si y solo si para toda sucesión
(xn )n∈N , tal que xn → a en M, se sigue f (xn ) → f (a) en N.
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Convergencia
Continuidad
Continuidad
Definición (Función continua). Sean (M, d) y (N, ρ) espacios
métricos. Una función f : M → N se dice continua en el punto a ∈ M
si y solo si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ M con d(x, a) < δ se tiene
ρ( f (x), f (a)) < ε. Una función es continua en A ⊂ M si lo es en cada
punto de A.
Proposición (Funciones continuas y conjuntos abiertos). Sean
(M, d) y (N, ρ) espacios métricos y f : M → N una función. f es
continua si y solo si para cada A ⊂ N abierto en N se tiene
f −1 (A) ⊂ M es abierto en M.
Proposición (Funciones continuas y sucesiones). Una función
f : M → N es continua en a ∈ M si y solo si para toda sucesión
(xn )n∈N , tal que xn → a en M, se sigue f (xn ) → f (a) en N.
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Convergencia
Continuidad
Continuidad
Definición (Función continua). Sean (M, d) y (N, ρ) espacios
métricos. Una función f : M → N se dice continua en el punto a ∈ M
si y solo si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ M con d(x, a) < δ se tiene
ρ( f (x), f (a)) < ε. Una función es continua en A ⊂ M si lo es en cada
punto de A.
Proposición (Funciones continuas y conjuntos abiertos). Sean
(M, d) y (N, ρ) espacios métricos y f : M → N una función. f es
continua si y solo si para cada A ⊂ N abierto en N se tiene
f −1 (A) ⊂ M es abierto en M.
Proposición (Funciones continuas y sucesiones). Una función
f : M → N es continua en a ∈ M si y solo si para toda sucesión
(xn )n∈N , tal que xn → a en M, se sigue f (xn ) → f (a) en N.
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Continuidad
Filtros
Convergencia
Topología
Definición (Topología). Sea X un conjunto. Una topología o
estructura topológica en X es una familia τ de subconjuntos de X, es
decir, τ ∈ P(X) = {A : A ⊂ X}, que satisface:
1
Cada unión arbitraria de elementos de τ es un elemento de τ.
2
Cada intersección finita de elementos de τ es un elemento de τ.
3
∅, X ∈ τ.
El par (X, τ) donde X es un conjunto y τ una topología en X es
llamado un espacio topológico. Los elementos de X son llamados
puntos y cada U ∈ τ abierto del espacio topológico (X, τ).
Una vecindad de x ∈ X es un conjunto V (x) ⊂ X tal que
V (x) ⊃ U 3 x, para algún U ∈ τ.
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Convergencia
Topología
Definición (Topología). Sea X un conjunto. Una topología o
estructura topológica en X es una familia τ de subconjuntos de X, es
decir, τ ∈ P(X) = {A : A ⊂ X}, que satisface:
1
Cada unión arbitraria de elementos de τ es un elemento de τ.
2
Cada intersección finita de elementos de τ es un elemento de τ.
3
∅, X ∈ τ.
El par (X, τ) donde X es un conjunto y τ una topología en X es
llamado un espacio topológico. Los elementos de X son llamados
puntos y cada U ∈ τ abierto del espacio topológico (X, τ).
Una vecindad de x ∈ X es un conjunto V (x) ⊂ X tal que
V (x) ⊃ U 3 x, para algún U ∈ τ.
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Continuidad
Filtros
Convergencia
Continuidad
Definición (Función continua). Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios
topológicos. Una función f : X → Y es llamada continua, si la
imagen inversa de cada abierto en Y es abierto en X.
Definición (Función secuencialmente continua). Una función
f : X → Y con X y Y espacios topológicos es llamada
secuencialmente continua en a ∈ X si satisface:
∀(xn )n∈N ⊂ X : xn → a, se tiene f (xn ) → f (a)
Teorema. Sea X un espacio topológico 1-contable y Y un espacio
topológico. f : X → Y es continua en a ∈ X si y solo si f es
secuencialmente continua en a ∈ X.
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Continuidad
Definición (Función continua). Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios
topológicos. Una función f : X → Y es llamada continua, si la
imagen inversa de cada abierto en Y es abierto en X.
Definición (Función secuencialmente continua). Una función
f : X → Y con X y Y espacios topológicos es llamada
secuencialmente continua en a ∈ X si satisface:
∀(xn )n∈N ⊂ X : xn → a, se tiene f (xn ) → f (a)
Teorema. Sea X un espacio topológico 1-contable y Y un espacio
topológico. f : X → Y es continua en a ∈ X si y solo si f es
secuencialmente continua en a ∈ X.
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Continuidad
Definición (Función continua). Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios
topológicos. Una función f : X → Y es llamada continua, si la
imagen inversa de cada abierto en Y es abierto en X.
Definición (Función secuencialmente continua). Una función
f : X → Y con X y Y espacios topológicos es llamada
secuencialmente continua en a ∈ X si satisface:
∀(xn )n∈N ⊂ X : xn → a, se tiene f (xn ) → f (a)
Teorema. Sea X un espacio topológico 1-contable y Y un espacio
topológico. f : X → Y es continua en a ∈ X si y solo si f es
secuencialmente continua en a ∈ X.
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Continuidad
Filtros
Convergencia
Filtros
Definición (Filtro). Dado un conjunto X, un filtro F para X es una
colección no vacía, de subconjuntos no vacíos de X tal que:
1
Si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F .
2
Si F ∈ F y G ⊃ F, entonces G ∈ F .
Ejemplo. Dado un espacio topológico (X, τ) y x ∈ X, el conjunto
V (x) de todas las vecindades de x es un filtro para X, llamado filtro de
vecindades de x.
Definición (Base de filtro). Dado un filtro F , decimos que B ⊆ F
es una base de filtro para F si y solo si, dado F ∈ F existe B ∈ B tal
que B ⊆ F.
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Filtros
Definición (Filtro). Dado un conjunto X, un filtro F para X es una
colección no vacía, de subconjuntos no vacíos de X tal que:
1
Si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F .
2
Si F ∈ F y G ⊃ F, entonces G ∈ F .
Ejemplo. Dado un espacio topológico (X, τ) y x ∈ X, el conjunto
V (x) de todas las vecindades de x es un filtro para X, llamado filtro de
vecindades de x.
Definición (Base de filtro). Dado un filtro F , decimos que B ⊆ F
es una base de filtro para F si y solo si, dado F ∈ F existe B ∈ B tal
que B ⊆ F.
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Filtros
Definición (Filtro). Dado un conjunto X, un filtro F para X es una
colección no vacía, de subconjuntos no vacíos de X tal que:
1
Si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F .
2
Si F ∈ F y G ⊃ F, entonces G ∈ F .
Ejemplo. Dado un espacio topológico (X, τ) y x ∈ X, el conjunto
V (x) de todas las vecindades de x es un filtro para X, llamado filtro de
vecindades de x.
Definición (Base de filtro). Dado un filtro F , decimos que B ⊆ F
es una base de filtro para F si y solo si, dado F ∈ F existe B ∈ B tal
que B ⊆ F.
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Filtros
Convergencia
Convergencia
Definición (Convergencia de filtros). Sea F un filtro en un espacio
topológico (X, τ). Decimos que F converge al punto x ∈ X, si y solo
si, V (x) ⊂ F . Lo notamos escribiendo: F → x.
Definición (Filtro asociado a una sucesión). Sea (xn )n∈N una
sucesión en el espacio X. Para cada n ∈ N sea Xn = {xm : m ≥ n} la
cola n-ésima de la sucesión. Definimos un filtro F , el filtro asociado
a la sucesión como
F = A ⊂ X : A ⊃ Xn para algún n ∈ N
Teorema. Sea (xn )n∈N una sucesión en X. xn → x, si y solo si, el filtro
asociado a la sucesión converge a x.
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Convergencia
Definición (Convergencia de filtros). Sea F un filtro en un espacio
topológico (X, τ). Decimos que F converge al punto x ∈ X, si y solo
si, V (x) ⊂ F . Lo notamos escribiendo: F → x.
Definición (Filtro asociado a una sucesión). Sea (xn )n∈N una
sucesión en el espacio X. Para cada n ∈ N sea Xn = {xm : m ≥ n} la
cola n-ésima de la sucesión. Definimos un filtro F , el filtro asociado
a la sucesión como
F = A ⊂ X : A ⊃ Xn para algún n ∈ N
Teorema. Sea (xn )n∈N una sucesión en X. xn → x, si y solo si, el filtro
asociado a la sucesión converge a x.
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Definición (Convergencia de filtros). Sea F un filtro en un espacio
topológico (X, τ). Decimos que F converge al punto x ∈ X, si y solo
si, V (x) ⊂ F . Lo notamos escribiendo: F → x.
Definición (Filtro asociado a una sucesión). Sea (xn )n∈N una
sucesión en el espacio X. Para cada n ∈ N sea Xn = {xm : m ≥ n} la
cola n-ésima de la sucesión. Definimos un filtro F , el filtro asociado
a la sucesión como
F = A ⊂ X : A ⊃ Xn para algún n ∈ N
Teorema. Sea (xn )n∈N una sucesión en X. xn → x, si y solo si, el filtro
asociado a la sucesión converge a x.
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Continuidad y convergencia
Proposición. Sea f : X → Y una función. Dado un filtro F en X, la
colección
f (F ) = { f (F) : F ∈ F }
es una base para un filtro en Y, denotado como h f (F )i. Si f es
sobreyectiva, entonces f (F ) es un filtro.
Teorema. Sean (X, τX ), (Y, τY ) espacios topológicos. Una función
f : X → Y es continua en el punto x ∈ X, si y solo si, para cada filtro
F de X tal que F → x, se tiene que el filtro h f (F )i converge a
f (x) ∈ Y.
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Proposición. Sea f : X → Y una función. Dado un filtro F en X, la
colección
f (F ) = { f (F) : F ∈ F }
es una base para un filtro en Y, denotado como h f (F )i. Si f es
sobreyectiva, entonces f (F ) es un filtro.
Teorema. Sean (X, τX ), (Y, τY ) espacios topológicos. Una función
f : X → Y es continua en el punto x ∈ X, si y solo si, para cada filtro
F de X tal que F → x, se tiene que el filtro h f (F )i converge a
f (x) ∈ Y.
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Bibliografía
Munkres, J.R. (2000)
Topology. Prentice-Hall Inc.
Rubiano, Gustavo. (2005).
Topología general. Bogotá: Universidad Nacional.
Lima, Élon. (1958)
Topologia dos espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA.
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