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Moisés Villena Muñoz
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Funciones Trigonométricas
ÁNGULO
FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
FUNCIÓN TANGENTE
VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Existen expresiones algebraicas que contienen funciones
trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus
propiedades, identidades y valores conocidos.
1
Funciones Trigonométricas
Moisés Villena Muñoz
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
ƒ Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
ƒ Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones
trigonométricas dadas son identidades o no.
ƒ Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2
semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:
Se lo puede denotar de
la siguiente manera
También se suele emplear
letras del alfabeto griego
1.1 PATRÓN DE MEDIDA
La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las
manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo
medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
¾ GRADOS (patrón referencial); y/o
¾ RADIANES (patrón de números reales)
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
180 D = π
2
Radianes
Funciones Trigonométricas
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A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia
tenemos:
GRADOS
RADIANES
D
π
D
π
D
π
D
π
D
5π
6
30
6
45
4
60
3
90
2
150
180D
π
210D
7π
6
270D
3π
2
300D
5π
3
330D
11π
6
360D
2π
135
D
120D
Completar
225D
315D
2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es f ( x ) = sen x , y
para la función coseno f ( x ) = cos x , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Note que aquí
la variable
independiente “ x ” representa a un
ángulo
En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO y la ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿POR QUÉ?
3
Funciones Trigonométricas
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Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos
(posición) estratégicos tenemos:
x
0
sen x
0 = sen 0
⎛π ⎞
1 = sen⎜ ⎟
⎝2⎠
0 = sen π
⎛ 3π ⎞
− 1 = sen⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
0 = sen 2π
π
2
π
3π
2
2π
x
cos x
0
1 = cos 0
⎛π ⎞
0 = cos⎜ ⎟
⎝2⎠
− 1 = cos π
⎛ 3π ⎞
0 = cos⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
1 = cos 2π
π
2
π
3π
2
2π
CONCLUSIONES:
¾
Dom (sen x ) = Dom (cos x ) = IR
¾ Las gráficas son
ONDAS SENOIDALES.
¾ Sus gráficas presentan
SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto sen(− x ) = − sen x
El coseno es una función par. Por tanto cos(− x ) = cos x
¾ Son
FUNCIONES PERIÓDICAS,
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si
con período T = 2π .
f ( x ± T ) = f ( x)
Por tanto sen( x ± T ) = sen( x ) y cos( x ± T ) = cos( x )
¾ Son FUNCIONES ACOTADAS.
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si ∀x[n ≤ f ( x ) ≤ m ]
[
]
Note que rg = (sen x ) = rg cos x = − 1,1 , es decir:
−1 ≤ sen x ≤ 1 ∧ −1 ≤ cos x ≤ 1
4
Funciones Trigonométricas
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OPCIONAL
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense
cuales serían las características de las gráficas de:
¾
y = 2 sen x .
Generalice
¾
y = A sen x donde A ≡ amplitud
y = sen( x − 6 ) .
π
Generalice para
¾
y = sen( x ± Φ)
donde
Φ ≡ desfase
y = sen(2 x ) .
Generalice para
y = sen ω x
donde
ω ≡ frecuenci a angular
Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno
pueden ser generalizadas de la siguiente forma:
y = A sen(ω ( x ± Φ )) donde
ω=
y = A cos(ω ( x ± Φ ))
2π
2π entonces
T=
ω
T
Ejercicios Propuestos 1
GRAFIQUE:
1. y = − sen(x)
2. y = sen(− x)
3. y = sen(x)
4.
y = sen x
5.
y = 2sen( x − π ) + 1
3
3 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como y =
sen x
= tg x
cos x
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en cos x = 0 . Es
decir en
x = ±(2n − 1)
π
2
; n = 0,1,2,...
5
Funciones Trigonométricas
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CONCLUSIONES:
π
⎧
⎫
Dom (tg x ) = IR − ⎨± (2n − 1)
; n = 0,1,2,...⎬
2
⎩
⎭
¾ rg (tg x ) = IR . Por tanto, no es una función acotada
¾
¾ Es una función periódica, con período T = π . Entonces
ω=
π
T
tg(− x ) = − tg x
¾ En general, la regla de correspondencia sería y = A tg(ω ( x ± Φ ))
¾ Es una función impar. Por tanto
OPCIONAL:
GRAFICAR:
1.
2.
3.
4.
Ejercicio Propuesto 2
y = −tg (x)
y = tg (− x)
y = tg x
y = tg (x)
5. y = tg x
6.
y = tg ( x − π )
3
4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
ÁNGULOS CONOCIDOS
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias
básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no
nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una
calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente
para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también
para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.
6
x
sen x
cos x
tg x
0
π
= 30 D
6
π
= 45D
4
π
= 60 D
3
π
= 90 D
2
π = 180 D
3π
= 270 D
2
2π = 360 D
0
1
2
1
3
2
2
2
1
2
0
0
∞
0
−1
−1
0
∞
0
1
0
2
2
3
2
1
0
3
3
1
3
Funciones Trigonométricas
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La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para
obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°
podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es
de mucha ayuda.
4.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo (triángulo que
tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual a la suma
del cuadrado de las longitudes sus catetos.
Es decir: c 2 = a 2 + b 2
4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo
Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
Lado opuesto
sen x =
6
Hipotenusa
Lado adyacente
cos x =
6
Hipotenusa
Lado opuesto
tg x =
6
Lado adyacente
a
c
b
cos x =
c
a
tg x =
b
sen x =
También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:
c
1
COSECANTE : csc x =
=
sen x a
SECANTE:
COTANGENTE:
sec x =
c
1
=
cos x b
cot x =
b
1
=
tg x a
7
Funciones Trigonométricas
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4.3 Funciones trigonométricas para 45 D , 30 D y 60 D .
Para 45 D empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.
Digamos a = b = 1 , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos
que c = 12 + 12 = 2
sen 45D =
cos 45 D =
1
2
1
2
ó sen 45 D =
2
2
ó cos 45 D =
2
2
tg 45 D =
sen 45°
=1
cos 45°
Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de
igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos l = 2
sen 30 D =
1
2
3
2
cos 30 D =
⇒
3
2
1
cos 60 D =
2
sen 60 D =
tg 30 D =
1
tg 30 D
(
3
=
3
3
tg 60 D = 3
Ejercicio resuelto
La operación
sen 2 60 D + 2
csc 60
como resultado:
a) 9
4
SOLUCIÓN:
b) − 9
D
− 4 tg 45 D − sen 30 D + sen 45 D cos 45 D
c) 1
4
d) 0
)
da
e) -1
Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:
⎛ 3 ⎞
2
⎟ ⎛
⎜
⎛
⎞⎛
⎛ 3⎞
⎜
⎟ + 2⎜ 3 ⎟ − 4⎜1 − 1 + ⎜ 2 ⎟⎜ 2
⎜ 2 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟⎜ 2
⎝
⎠⎝
⎝
⎠
⎟ ⎝
⎜
⎝ 3 ⎠
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ 1 ⎟⎟
3 1 ⎜ ⎜ 3/ ⎟ ⎟
3
3 − 12
9
−4 = −3=
=−
= + 2/ ⎜
⎜ 6/ ⎟ ⎟
4
4
4
4
⎜⎜ ⎜ 2/ ⎟ ⎟⎟
1
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛
⎞⎞ 3
⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎟ = + 2⎜ 3 ⋅ 3 ⎟ − 4⎜1 − 1 +
⎜ 3
⎟⎟ 4
2 ⎟⎠ ⎜ 2
⎠⎠
⎝
⎝
1⎞
2/ ⎟
⎟=
4/ ⎟
2⎠
RESPUESTA: Opción "b"
Para ÁNGULOS MAYORES
considerar lo siguiente:
8
A
90°
Y
MENORES
A
360°, podemos
Funciones Trigonométricas
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1. Regla del cuadrante:
Cuadrante
x
I
0 < x < π2
π
II
2
< x <π
π < x < 3 π2
3 π2 < x < 2π
III
IV
f ( x) = f ( x)
Donde
f = sen, cos, tg
f ( x ) = ± f (π − x )
= csc, sec, c tg
f ( x) = ± f ( x − π )
f ( x ) = ± f (2π − x )
El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:
2. Regla de los signos
Cuadrante
x
0< x<
I
π
II
2
π
2
< x <π
π < x < 3 π2
3 π2 < x < 2π
III
IV
sen x , csc x
+
+
-
cos x , sec x
+
-
tg x , c tg x
+
-
+
+
-
-
Entonces las funciones trigonométricas
respectivos cuadrantes son:
POSITIVAS
-
en los
Ejemplo 1
Para calcular sen 135 D , debemos considerar que:
1. En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. sen 135 D = sen(180° − 135°) = sen 45 D =
2
2
Ejemplo 2
Para calcular cos 210 D , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2.
cos 210 D = − cos(210° − 180°) = − cos(30 D ) = −
3
2
9
Funciones Trigonométricas
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Ejemplo 3
Para calcular tg 300° , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.
2.
tg 300 D = − tg(360° − 300°) = − tg(60 D ) = − 3
Ejercicios Propuestos 3
Calcular:
1. cos 120°
2. tg150°
3. sen 225°
4. tg 240°
5. cos 315°
Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la
función periódica, es decir: f ( x ) = f ( x − n2π ) . Donde " n " es un
número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre
0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores.
Ejemplo 1
Para calcular sen 405° , debemos considerar que:
(
)
sen 405 D = sen 405 D − 360 D = sen 45 D ⇒ sen 405 D = sen 45 D
sen 405 D =
2
2
Ejemplo 2
Para calcular tg 1125° , debemos considerar que:
tg 1125 D = tg(1125° − 3(360°)) = tg 45 D ⇒ tg 1125 D = 1
10
Funciones Trigonométricas
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Ejemplo 3
Para calcular cos 480° , debemos considerar que:
1. cos(480° − 360°) = cos 120° .
2.
cos 120° = − cos(180° − 120°) = − cos 60° = − 12
Ejercicios propuestos 4
Calcular:
1.
2.
3.
Si el
métodos:
cos 1080°
tg 495°
sen 1050°
ÁNGULO ES NEGATIVO
se puede emplear uno de los siguientes
1. El criterio de simetría, es decir sen(− x ) = − sen( x ) ,
cos(− x ) = cos x y tg( − x) = − tg x . Y el resto de manera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, f (− x ) = f (− x + n2π )
Ejemplo
Para calcular sen(−30) , podemos considerar que:
¾ sen(−30°) = − sen 30° = − 12 ;
¾
o considerar que,
sen(−30°) = sen(−30° + 360°) = sen 330° = − 12
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Existen expresiones
cualquier valor de x .
trigonométricas
que
son
válidas
para
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y
2
2
a la función coseno, tenemos que: sen x + cos x = 1 (JUSTIFÍQUELO)
De aquí, al despejar tenemos que: sen 2 x = 1 − cos 2 x
cos 2 x = 1 − sen 2 x
Además se puede demostrar que:
sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y
cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
cos( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y
11
Funciones Trigonométricas
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De aquí se deriva que:
tg( x + y ) =
sen( x + y ) tg x + tg y
=
cos( x + y ) 1 − tg x tg y
tg( x − y ) =
tg x − tg y
1 + tg x tg y
Si hacemos y = x en las identidades para la suma de seno y
coseno, resulta:
sen 2 x = 2 sen x cos x
⎧cos 2 x − sen 2 x
⎪
cos 2 x = ⎨2 cos 2 x − 1
⎪1 − 2 sen 2 x
⎩
Si hacemos
x=
x
2
en cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 y en cos 2 x = 1 − 2 sen 2 x ; y luego
despejamos, entonces resulta que:
1 + cos x
x
=±
2
2
1 − cos x
x
sen = ±
2
2
cos
Ejercicio resuelto 1
Calcular sen(75 D )
SOLUCIÓN:
Una opción sería emplear la identidad sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen(75D ) = sen(45D + 30D ) = sen 45D cos 30D + cos 45D sen 30D
=
=
2 3
2 2
2
(
+
)
2 1
2 2
3 +1
4
Ejercicio resuelto 2
1 + sen x − cos 2 x
se obtiene:
cos x(1 + sen x )
b) cos x
c) tg x
d) 1
Al simplificar la expresión:
a) sen x
12
e) 0
Funciones Trigonométricas
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SOLUCIÓN
:
2
2
Reemplazando la identidad 1 = sen x + cos x en la expresión dada, tenemos:
1 + sen x − cos 2 x sen 2 x + cos 2 x + sen x − cos 2 x
=
cos x (1 + sen x )
cos x (1 + sen x )
sen x (sen x + 1)
=
cos x (1 + sen x )
sen x
=
cos x
= tg x
RESPUESTA: opción "c"
Ejercicio resuelto 3
¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ",
cos A
cos A
2
se convierta en una identidad?
+
=
1 + sen A 1 − sen A x
a) csc A
c) sen A
e) cos A
b) sen A cos A
d) tg A
SOLUCIÓN:
Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:
cos A
cos A
2
+
=
1 + sen A 1 − sen A x
cos A(1 − sen A) + cos A(1 + sen A) 2
=
(1 + sen A)(1 − sen A)
x
cos A − cos A sen A + cos A + sen A cos A 2
=
(1 + sen A)(1 − sen A)
x
2/ cos A
2/
=
(1 + sen A)(1 − sen A) x
para
que:
1 − sen 2 A
cos A
cos 2 A
x=
cos A
x = cos A
x=
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 5
1.
La expresión
a)
b)
c)
d)
e)
2.
tg x + c tg x
, es idéntica a:
c tg x − tg x
csc 2 x
sec 2 x
sen 2 x
cos 2 x
tg 2 x
Una expresión idéntica a
sen 2 x sen x + cos 2 x − 1
1 − cos 2 x
es:
a) sen x + cos x
b) 2 sen x
c) 1 − cos 2 x
13
Funciones Trigonométricas
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d) 2 cos x − 1
e) sen 2 x − cos x
3.
La expresión
sen x
1 + cos x
+
es equivalente a:
1 + cos x
sen x
1
sec x
2
b) 3 tg x
c) 2 csc x
d) cos x
e) 4 c tg x
a)
4.
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
a)
2(cos x − sen x )
π⎞
⎛
8 cos⎜ x + ⎟ ?
4⎠
⎝
b) 2(sen x − cos x )
c) 2(1 + sen x )
d) 2(sen x + cos x )
e) 2(1 − cos x )
5.
La expresión:
⎛ 1 − c tg α ⎞
2 cos α sen α + ⎜
⎟
⎝ csc α ⎠
2
es idéntica a:
a) 2 tg α
b) -1
c) 2 c tg α
d) 1
e) tg α
6.
Una expresión idéntica a
a) sen x + cos x
sen 2 x cos x + sen 2 x − 1
1 − sen 2 x
b) 1− sen 2 x
c) 2 sen x
d) sen 2 x − cos x
e) 2 sen x − 1
7.
¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
⎛x⎞
a) cos 2 x − sen 2 x = cos⎜ ⎟
⎝2⎠
b) tg 2 x = 1 − sec2 x
⎛x⎞
c) 1 + cos x = 2 cos 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
d) 2 sen 2 x = sen x cos x
π⎞
⎛
e) sen x = cos⎜ x + ⎟
2⎠
⎝
Misceláneos
1.
14
Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a)
cos 5π = 1
b)
tg 7 π = 3
6
3
c)
cos 0 = cos 8π
d)
sen π = cos π
3
3
2
6
es:
Funciones Trigonométricas
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∀x[cos x (tg x + cot g x ) = cos x ]
e)
2.
La expresión
1 + sen 2 x + cos 2 x
1 + sen 2 x − cos 2 x
es IDÉNTICA a:
a) sen x
b) cos x
c) sec x
d) cot x
e) tg x
3.
Sean “ x ” y “
y”
números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) Sen(x + y ) = SenxCosy − CosySenx
4.
SenxCosy
2
b)
Sen2 x =
c)
Cos 2 x = 1 + Sen 2 x
d)
Sen
e)
Cos 2 x = Cos 2 x − Sen 2 x
1 + cos 2 x
x
=
2
x
El valor de
Δ
para que la expresión
Δ + tg x
= cos x sea una IDENTIDAD es:
1
1 − sen x
a) cos x
b) sec x
c) sen x
d) cos 2 x
e)1
5.
La expresión
1 + sen 2 x + cos 2 x
es idéntica a:
1 + sen 2 x − cos 2 x
a) sen x
b) cos x
c) tg x
d) cot gx
e) sec x
6.
π
π ⎞⎛
π
π⎞
⎛
⎜ sen − cos ⎟⎜ sen + cos ⎟
6
4 ⎠⎝
6
4⎠
⎝
es:
El valor de la expresión:
−1
2
⎡ ⎛
⎤
⎢1 + ⎜ cot π ⎞⎟ ⎥
3⎠ ⎥
⎢ ⎝
⎣
⎦
a) −
7.
1
3
b) −12
SIMPLIFICANDO
a) sen x + cos x
b) 1− 2 cos x
c) 2 sen x + 1
3 cos x − 4 cos 3 x
sen 2 x − cos x
c) −3
d) −
3
12
e)
3
12
, se obtiene:
d) 2 − sen x
e) cos x − sen x
8.
La expresión
⎛ tg x + 1 ⎞
⎟
⎜
⎜ sen x + cos x ⎟ cos x es idéntica a:
⎠
⎝
a) tg x
b) tg x +1
c) ctgx
d)ctgx - 1
e)1
15
Funciones Trigonométricas
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9.
⎛ sec x + csc x ⎞
⎟⎟
La expresión ⎜⎜
⎝ 1 + tg x ⎠
2
es IDÉNTICA a:
a) cot 2 x
b) sec 2 x
c) csc 2 x
d) sen 2 x
e) cos 2 x
10. La expresión
a) − sen x
b) csc x
c) − csc x
d) sen x
e) − cos x
11.
El VALOR de
a) 6
b)
c)
2 3
3
7
3
d) 2 3
e)
1
3
16
[(1 − cos x )(csc x + cot x )]
sen 45 D. tg 60 D. sec 30 D
tg 45 D. cot 60 D
, es:
es IDÉNTICA a: