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Gravitatorio PAU Andalucía
AND 01. Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces
el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética.
a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?
b) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llega a la superficie terrestre.
A esa altura, la gravedad es:
gG
MT
(R T  h)2
G
MT
(7R T )2
 6,67·10 11
5,98·1024
 0,2m·s2 y el peso P  mg  200N
(7·6,37·106 )2
y la energía total es igual a la potencial: EP  G
MT m
5,98·1024 1000
 6,67·10 11
 8,95·109 J
6
RT  h
7·6,37·10
Si cae sobre la Tierra, la diferencia de energías potenciales se convierte en energía cinética:
EP SUP  G
MT
5,98·1024
 6,67·10 11
 6,26·1010 J
RT
6,37·106
1
EC  EP  5,365·1010 J  1000·v 2
2
 v  10358,6m·s1
AND 02. Dos masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2) y P2(1,0) respectivamente.
a) Dibujar y calcular el campo gravitatorio en el punto O(0,0) y en el punto P(1,2).
b) Calcular el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al punto
P.
y
P1
a) El campo gravitatorio es:
P
en el punto P, gP  G
2
5
2
5
i  G 2 j y en el punto O, gO  G 2 i  G 2 j
2
1
2
2
1
o bien,
O
gP  1,57·10 10 N·kg 1 , formando un ángulo de 32º con la parte negativa del eje X
P2
x
gO  3,35·10 10 N·kg 1 , formando un ángulo de 84,29º con el eje X
b) Necesitamos saber el potencial gravitatorio en cada punto:
2
5
 G  3,00·10 10 J·kg 1
1
2
2
5
VO  G  G  4,00·10 10 J·kg 1
2
1
VP  G



11
 WO P  mMOVIL (VP  VO )  1·10 J



AND 03. Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km
sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. Calcular:
a) la masa de la Luna.
b) la energía potencial del satélite cuando se encuentra en órbita.
Dato: RL = 1740 km
a) La fuerza Luna-satélite es la centrípeta y el radio de la órbita es R O  R L  h
G
ML mSAT
R O2
ML 
 mSAT
4 2 R O3
G T2
M
M
4 2
v2
 G 2L  2R O  G 2L  2 R O
RO
RO
RO
T

4 2 (1,860·106 )3
 7,34·1022 kg
6,67·10 11 (2·3600)2
Fco Javier Corral 2014-2015
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b) EP  G
ML m
7,34·10 22 ·500
 6,67·10 11
 1,316·10 9 J
RO
1,860·106
AND 04. Suponer que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la
Luna. Calcular:
a) la relación entre los tiempos de caída.
b) la altura que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente en la Luna con una velocidad de 40 ms - 1
Datos: MT=81 ML
RT=(11/3) RL
g=10 m·s
–2
a) La relación entre gravedades es:
g T M T ·R L2


gL M L ·R 2T
81M L ·R L2
2
11
M L ·  R L2
3
 6,025  gL  1,63m·s 2
1
En caída libre y sin velocidad inicial, h  g t2  t 
2
t
2h
 L 
g
tT
gT
 2,45
gL
b) cuando se para v F  0  v 0  gL t  t  24,54 s
1
1
y el espacio recorrido en ese tiempo es h  v 0 t  gL t2  40·24,54  1,63·24,54 2  490,80m
2
2
AND 05. Suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular de radio 1,5·10 11 m.
a) Calcular razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa del Sol.
b) Si el radio orbital disminuyera en un 20%, ¿cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad
orbital de la Tierra?
La velocidad en la órbita es v 
2  R O 2 1,5·1011

 29885,8m·s1
T
365·86400
La fuerza de atracción es la centrípeta:
FA  FCP  G
MS M T
R
2
O
 MT
4 2 R O3
4 2
4 2 (1,5·1011)3
v2
 M T 2R O  M T 2 R O  M S 

 2,01·10 30 kg
2
RO
T
GT
6,67·10 11 (365·86400)2
Si el radio disminuye, utilizando la última expresión:
MS 
4 2 R 3O
G T2
 T
4 2 R 3O

G MS
4 2 (0,80·1,5·1011)3
 2,26·107 s
6,67·10 11 ·2,01·1030
y la nueva velocidad orbital sería v 
2  ·0,8·1,5·1011
 33362,0m·s1
2,26·107
AND 06. Un satélite de 200 kg en una órbita alrededor de la Tierra tiene una energía cinética de 5,3·10 9 J.
Calcular:
a) el radio de la órbita y la energía mecánica del satélite.
b) la velocidad de escape del satélite desde su posición orbital.
La velocidad del satélite es v 
2EC
2·5,3·109

 7280,1m·s1 y como su velocidad orbital es:
m
200
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v
G MT
RO
 RO 
G MT
v2
6,67·10 11 5,98·10 24
 7,53·106 m
7280,12

La energía total es ET  EC  EP  5,3·109  6,67·10 11
La velocidad de escape desde esa órbita es v ESC 
2G M T

RO
5,98·1024 ·200
 5,29·109 J
7,53·106
2·6,67·10 11 5,98·10 24
 10292,7 m·s1
7,53·106
AND 07. Se lanza un cohete de 600 kg desde el nivel del mar hasta una altura de 1200 km sobre la
superficie de la Tierra. Calcular:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del cohete.
b) Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que escapara a la acción del campo
gravitatorio terrestre desde esa altura.
Calculamos la energía potencial en la superficie y en ese punto:



9
 EP  EPF  EPO  6·10 J
24
M m
5,98·10 600
 G T  6,67·10 11
 3,16·1010 J 

RT  h
7,57·10 6

EP O  G
EPF
M Tm
5,98·10 24 600
 6,67·10 11
 3,76·1010 J
RT
6,37·10 6
La energía que hay que comunicarle es la cinética correspondiente a la velocidad de escape desde esa
altura:
v ESC 
2G M T
2·6,67·10 11 ·5,98·10 24
1
2

 10265,5m·s1  EC  mv ESC
 3,16·1010 J
RT  h
2
7,57·106
AND 08. El planeta Júpiter tiene varios satélites. El más próximo es Io, que gira en una órbita de radio
421600 km con un periodo de 1,53·10 5 s, y el siguiente satélite es Europa, que gira a 670000 km del
centro de Júpiter. Calcular:
a) la masa de Júpiter y el periodo de rotación de Europa.
b) la velocidad de escape de Júpiter.
Dato: RJ = 71500 km
a) Si aplicamos la tercera ley de Kepler:
TIo2
RIo3

2
TEuropa
 TEuropa  TIo2
3
REuropa
3
REuropa
RIo3
 (1,53·105 )2
6700003
 3,065·105 s
4216003
Con los datos de Io, la fuerza de atracción Júpiter-Io es la fuerza centrípeta:
G
M J MIo
RIo2
MJ 
 MIo
4 2 RIo3
G TIo2
vIo2
M
M
4 2
 G 2J  Io2 RIo  G 2J  2 RIo
RIo
RIo
RIo
TIo

4 2 (4,216·108 )3
 1,892·10 27 kg
6,67·10 11 (1,53·105 )2
b) La velocidad de escape es:
v ESC 
2G M J

RJ
2·6,67·10 11 ·1,892·1027
 59413,54 m·s1
7,15·107
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