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Nº.
1
2
Enunciados de problemas de números.
Hallar un número de 4 cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.
Demostrar que si a, b y c son números racionales arbitrarios, los polinomios:
n3 - 2
y a + b ⋅ n + c ⋅ n2
son primos entre sí.
Probar que el conjunto E de los números reales de la forma:
⎜⎛ 1 ⎞⎟
⎛⎜ 1 ⎞⎟
a + b ⋅ (2)⎜⎝ 3 ⎠⎟⎟ + c ⋅ (4)⎝⎜ 3 ⎠⎟⎟ ;
a, b, c ∈ _.
es un cuerpo
3
Dados los números complejos z = 2 + î, z1 = 3 - î, determinar 3 números complejos:
z2, z3 y z4 tales que tales que los afijos de z1 , z2, z3 y z4 formen un cuadrado de centro el
afijo de z.
2
4
Demostrar que si n es par los números naturales n - 1 y 3 n + 1 son primos entre sí.
5
Dada la ecuación x + 7 x - 8 = 0, hallar:
6
6
3
1)
Sus raíces.
2)
Representar sus afijos en el plano OXY.
Un número tiene 24 divisores, su mitad tiene 18 divisores y su triple 28 divisores. Hallar dicho
número.
7
Hallar un número cuadrado perfecto de 5 cifras, sabiendo que el producto de esas 5 cifras es
1568.
8
Hallar la condición que deben de cumplir los complejos a, b y c para que los afijos de la
2
solución de la ecuación a z + b z + c = 0 formen con el origen un triángulo equilátero
9
2
Dada la ecuación z - 8 i z - (19 - 4 î) = 0 cuyas raíces son z1 y z2 , se pide:
1)
Hallar los complejos z 3, tales que los afijos de z 1, z
2
y z
3
formen un triángulo
rectángulo isósceles, donde el vértice del ángulo recto sea el afijo de la raíz de mayor
componente imaginaria.
⎛ 1 ⎞
2)
Calcular el valor principal de ( z1 )⎜⎝ z2 ⎟⎠ , siendo z
imaginaria.
10
Resolver la ecuación: cos z = 3 , siendo z ∈ ^
11
Probar que no es racional el número
3+3 4
2
el complejo de mayor componente
12
Hallar un número de 5 cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los de 3 cifras que se
pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias de dichas 5 cifras, tomadas de 3 en
3.
13
Un número natural tiene 2 factores primos y 8 divisores naturales. La suma de los divisores es
320. Hallar el número.
14
Hallar dos números naturales sabiendo que su m.c.m. es 1.260 y la suma de sus cuadrados
39.456
15
Escribir en el sistema decimal todos los números naturales que en el sistema de base 7 se
escriben con 3 cifras, y en el de base 9 con las mismas cifras en orden inverso
16
1)
Sea x ∈ _ . ¿Qué condición debe de cumplir x para que existan y sean distintos
1 1
x, − x , , − ?
x x
2)
Sean x , y ∈ _ que cumplen la condición del apartado 1), y además las siguientes
condiciones:
x<y;
1 1
<
x y.
Indicar
qué
números
son
positivos
del
conjunto
⎧
1 1
1 1⎫
= ⎨ x , − x, , − , y − y , , − ⎬ .
x x
y y⎭
⎩
3)
Si además se cumple y = max {H };
1
< x , ordenar de menor a mayor los números del
x
conjunto H ∪ {−1,0,1} .
17
n
Sea n un número natural. Sea An = 2 + 2
2n
+ 23n
1)
Demostrar que ∀ n, An+3 es congruente con An módulo 7.
2)
Encontrar para qué valores de n se verifica que An sea divisible por 7 (utilizar el
resultado del apartado 1)
3)
¿Los números que en base 2 se escriben:
a) 1110;
b) 1010100; c) 1001001000
son divisibles por 7?
18
Determinar 3 números complejos a, b, c tales que para todo elemento c ∈ ^ , se
1)
tenga:
z3 + z2 ( 5î – 6 ) + z ( 9 – 24 î ) + 13 î + 18 = ( z + î ) ( a z2 + b z + c )
2)
Resolver en ^ la ecuación:
z3 + z2 ( 5i – 6 ) + z ( 9 – 24 î ) + 13 î + 18 = 0
3)
Representar en el plano complejo los puntos A, B y C, imágenes de las soluciones de
la ecuación anterior.
4)
19
Considerando A, B, y C como vértices de un triángulo, ¿de qué tipo es?.
Dados los números complejos:
12
z = x + y î , z1 = z + 3, z2 = z1 î, z3 = z ; x , y ∈ \ .
2
Indicar las transformaciones geométricas que permitan pasar de cada uno de ellos al
siguiente, determinar y construir los lugares geométricos de los afijos de z1, z2 y z3 cuando
los valores de z son tales que |z| = 1.
20
21
Si un número natural es cuadrado perfecto, demostrar:
1)
Si la cifra de las unidades es 6, la de las decenas es impar.
2)
Si la cifra de las unidades es 1, la de las decenas es par.
3)
Si la cifra de las unidades es 5, la de las decenas es 2.
Determinar el menor número en base 11 cuyo producto por 9 se escribe en dicho sistema de
numeración usando únicamente la cifra 5.
22
Para cada una de las relaciones que se dan, determinar el lugar geométrico del afijo de los
complejos z que las verifican, haciendo una representación gráfica del lugar.
23
1)
| z | ≤ 2.
2)
Re (z2) = k .
3)
Im (z2) = k.
4)
( z − 3)
( z + 3)
5)
⎛ z −1 ⎞
Arg ⎜
⎟=k.
⎝ z −2⎠
= 2.
n 5 − 5 ⋅ n 3 +4 ⋅ n
Demostrar que la expresión
n +2
con
n ∈ ] siempre es divisible por 24.
24
25
Demostrar que el número 1367631(n es un cubo perfecto en cualquier sistema de numeración
26
27
28
29
Hallar dos números sabiendo que su m.c.d. es 120 y la diferencia de sus cuadrados 345 600.
30
Hallar los números naturales tales que, divididos por 2, 3, 4, 5 y 6 den como resto 1, 2, 3, 4 y 5
Averiguar si
3
45+29 2 + 3 45 − 29 2 es un número entero
Hallar dos números naturales sabiendo que su producto es 3 024 y su m.c.m. 504.
Hallar dos naturales sabiendo que su m.c.d. es 8 y el m.c.m. 504.
Demostrar que ∀n ∈ `,
an = 33n +3 − 26 ⋅ n − 27 es múltiplo de 169.
respectivamente.
An = n 3 − n es divisible por 24.
31
Demostrar que ∀n ∈ `, impar
32
Demostrar que ∀n ∈ `,
33
Demostrar que ∀n ∈ `, impar
34
Hallar el menor número natural A tal que, dividido por 2 da de resto 1, dividido por 3 da de
2
An = (2 ⋅ n + 1) − 1 es divisible por 8.
An = n 4 − 1 ∀ es divisible por 16.
resto 2, por 4 el resto es 3, por 5 el resto es 4, por 6 el resto es 5, por 7 el resto es 6, por 8 el
resto es 7 y por 9 el resto es 8.
35
Demostrar que
∀n ∈ `, impar
An = n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) + 1
es un cuadrado
perfecto.
36
37
38
Hallar un número capicúa de 4 cifras que sea múltiplo de 45.
Con las cifras 6, 7, 8 y 9
1)
¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar?.
2)
Hallar la suma de todos ellos.
3)
Hallar la suma de los que acaban en 6.
¿Cuántos números de 5 cifras sin que se repita ninguna de ellas, se pueden formar con las
cifras 0, 1, 2, 3, 4 ?. Calcular su suma.
39
40
¿Cuántos números mayores que un millón se pueden escribir con las cifras 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4?.
Si consideramos escritas en orden alfabético todas las permutaciones posibles de las letras A,
B, C, D y E. ¿Qué permutación ocupa el lugar 73?. Qué lugar ocupa la permutación CDABE?.
41
Demostrar:
2
2
2
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛ n ⎞ ⎛ 2.n ⎞
1) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝n⎠ ⎝ n ⎠
2)
2
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛ n⎞
n −1
+
+
+
+
n
2.
...
1
(
)
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = 2 ( n + 2) .
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ n⎠
42
¿Cuántas quinielas pueden hacerse en las que aparezcan sólo dos signos distintos?.
43
Las calles de una ciudad forman una cuadricula. si se designa por 1,2,3, ..., las que van de N a
S y por A, B, C, ... , que van de W a E ¿cuántos caminos distintos de longitud mínima pueden
seguirse para ir del cruce de las calles A-1 al cruce de las calles D-7?.
44
Hallar el término general de las sucesiones:
⎛5⎞
⎛ 13 ⎞
⎛ 23 ⎞
⎛ 35 ⎞
1) 4 ⋅ log ⎜ ⎟ ,5 ⋅ log ⎜ ⎟ ,6 ⋅ log ⎜ ⎟ ,7 ⋅ log ⎜ ⎟ ,"
⎝1⎠
⎝3⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 13 ⎠
8 15 24 35
2) 3, , , , ,"
4 11 22 37
3) 3,7,13, 21,31, 43,"
3 8 15 24
3) 0, , , ,
,"
9 29 67 129
45
Hallar la suma de los 25 primeros términos de la sucesión:
an = n 4 + 2 ⋅ n + 1;
n ≥1
46
4
2
Resolverla ecuación: Vx =20 ⋅ Vx .
47
2
7
Hallar el coeficiente M del término x11 del desarrollo de (2 x − x) .
48
Un número natural N descompuesto en producto de factores primos es de la forma
N = a x ⋅ by ⋅ c z ;
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 .
El número de divisores de N, N2 y N3 es, respectivamente 60, 315 y 910; el m.c.d. de todos los
posibles valores de N es 900. Hallar todos los valores que puede tomar N.
49
Resolver en el cuerpo de los números complejos la ecuación:
⎛ 3 ⎞
5 ⋅ tan z = 2 ⋅ sen ( 2 z ) + ⎜
2 ⎟
⎝ cos z ⎠
50
Escribir los divisores de 1001. Si
N = a0 + a1 t + ...+ an tn
y
S = a0 - a1 + a2 - ... + (-1)n an,
donde t = 1000 y cada coeficiente ap es entero. Demostrar que N y S son congruentes respecto
al módulo 1001. Deducir de ello un criterio de divisibilidad por 7, 11, ó 13 y aplicarlo al
número 312 879 645.
51
Una bomba A trabaja de una de la madrugada a 6 de la tarde con un caudal de 120 metros
cúbicos por hora, para alimentar un depósito de planta rectangular que mide 20 x 12,50
metros y 480 centímetros de altura. De este depósito toman agua 2 bombas B y C, cuyos
caudales por minuto son 1250 litros y 3750 litros, respectivamente. La bomba B,
automáticamente, empieza a trabajar cuando el agua alcanza la altura de 3,60 metros, y se
para cuando su nivel desciende de la citada altura. La bomba C se pone en marcha a las diez y
cuarto de la mañana y termina cuando el nivel del agua baja en el depósito hasta los 60
centímetros. Determinar a qué hora dejan de trabajar las bombas B y C.
52
Deducir si 3 15+13 2 + 3 15 − 13 2 es un número entero.
53
Dados 3 números complejos z1, z2 y z3 tales que:
|z1| = |z2 | = |z3| = 1 ; z1+ z2 + z3 = 0.
Demostrar que sus afijos son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia de radio 1.
54
Sean z1, z2, z3 y z cuatro números complejos que verifican las siguientes condiciones:
a)
Los afijos de z1, z2, z3 son puntos del plano complejo que coinciden con los vértices
de un triángulo equilátero.
b)
Re ( z1 + z2 + z3 ) =12
c)
|z| = 1;
z.z1 = -1 + √3 î ;
z.z2 = - 1 + 3.√3 î.
Calcular z1, z2, z3.
55
3
2
Sea la ecuación z + ( 2 î – 9 ) z + ( 23 - l3 î ) z + 6 ( î – 5 ) = 0 que admite una raíz real.
Los afijos de las raíces son 3 vértices de un paralelogramo.
Encontrar el complejo correspondiente al cuarto vértice.
an = 3(2⋅n +3) − 40 ⋅ n − 27 es divisible por 64.
56
Demostrar que ∀n ∈ `,
57
Demostrar que no existe ningún número natural que resulte ser la mitad del número que se
obtiene cuando su cifra inicial se pasa al final.
58
Calcular la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador 5 comprendidas entre
73 y 219.
59
60
a)
Probar que: mcd.(a,b) = mcd ( a+b , mcm (a,b) ).
b)
Encontrar dos enteros positivos cuya suma es 310 y su mcm es 12012.
3
2
Resolver la ecuación: z - ( 8 + î ) z + ( 24 + 4 î ) z - ( 24 – 6 î ) = 0 sabiendo que una
raíz está situada en la bisectriz del primer cuadrante.
61
4
3
2
Dada la ecuación: z - ( 9 + 14 î ) z + a2 z + a3 z + a4 = 0, se sabe que los afijos de las
raíces de dicha ecuación son cuatro de los vértices de un pentágono regular cuyo quinto
vértice es el afijo del plano complejo 1 + î. Se pide:
62
a)
Afijo del centro de dicho pentágono.
b)
Determinar los coeficientes a2, a3 y a4.
Calcular la suma de todos los números de 4 cifras diferentes que se pueden formar con las
cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
63
Resolver la ecuación:
z4 - 24 z3 + 227 z2 - 986 z + 1682 = 0,
sabiendo que todas sus raíces son de la forma a+ b î con a y b números enteros.
64
Sea z1 un complejo dado. Determinar el conjunto Γ formado por los afijos de los números
complejos z2 que verifican la condición
z1 − z1 ⋅ z 2
1 − z1
=a ∈ \.
65
Resolver en el cuerpo de los números complejos la ecuación: sen z = 4
66
Demostrar que si
sen ( b + c - a ), sen ( c + a – b ), sen ( a + b – c )
están en progresión aritmética, ocurre lo mismo con
tan a, tan b, tan c.
n
103 − 1 es divisible por 3n+2.
67
Probar que para ∀n ∈ `,
68
Calcular en forma de fracción continua:
69
a)
√5.
b)
Log 3 2.
Sabiendo que x es un de las raíces séptimas imaginarias de la unidad, encontrar el valor de la
expresión:
E=
x
x2
x3
+
+
1 + x2 1 + x4 1 + x6
70
Hallar un número natural, sabiendo que es múltiplo de 30 y que la suma de sus 16 divisores es
igual a 1.440.
71
Sea z un número complejo. Determinar los posibles valores de z en cada uno de los casos
siguientes:
72
3
3
a)
z es la solución de la ecuación (z+1) + î.(z–1) = 0.
b)
Los afijos, de 1, z, 1 + z están alineados.
c)
z es la solución de la ecuación: Ch z - 3 Sh z + 1 = 0.
2
Hallar en base 9 un número formado por 3 cifras significativas, tal que al expresarlo en el
sistema de base 13 se escriba con las mismas cifras.
73
Hallar los números de 6 cifras que sean el cuadrado del número formado por sus tres últimas
cifras (en base 10).
74
En el sistema de numeración de base x los números
121 (x 152 (x y 213 (x
son tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente.
1)
Deducir los criterios de divisibilidad por 4 y por 5 en dicho sistema de numeración.
2)
Considerando en este sistema los números capicúas de 4 cifras, demuestra que
cualquiera de ellos es múltiplo de 4 y hallar la suma de aquellos que son además
múltiplos de 5.
75
Demostrar que todas las combinaciones posibles de:
a
b
c
- d e f
________
g
h
i
siendo a, b, c, ... , i las nueve cifras significativas distintas, verifican que a + b + c =18.
76
Hallar el número de permutaciones de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 en las cuales las 3 primeras
conservan siempre el orden relativo.
77
Calcular cuántos números de 7 cifras se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3. Hallar
la suma de todos ellos. Si se ordenasen dichos números de menor a mayor, hallar el lugar que
ocuparía el no 2321033.
78
Sean k y n dos enteros mayores que cero. Pruébese la identidad:
n
k
⎛n − 1⎞⎟
j⎛ ⎞
⎟⎟ = ∑ (−1) ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝⎜ j ⎟⎠
⎝ k ⎠⎟⎟ j =0
(−1) ⋅ ⎜⎜⎜⎜
k
79
80
Sean p y n dos enteros mayores que cero. Pruébese las identidades:
1)
⎛n⎞
⎛ n −1 ⎞
p⎜ ⎟ = n⎜
⎟
⎝ p⎠
⎝ p − 1⎠
2)
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
n
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝n⎠
¿Cuántas soluciones naturales tiene la ecuación x1 + x2 + …. + x6 = 10?. ¿Cuántas tiene la
inecuación x1 + x 2 + …. + x6 < 10?.
81
1
Sumar todos los números de la forma a a " a cuyos denominadores son los productos de
1 2
k
todos los elementos de cada uno de los subconjuntos no vacíos del conjunto {1, 2, 3, ... , n}.
82
Probar que el producto de 4 número naturales consecutivos no puede ser el cuadrado de un
entero.
83
84
Demostrar que 437 es divisor de 16 99 - 1 y de 18! + 1.
85
En un triángulo rectángulo cuyos lados son números naturales, probar que el producto de los
+
Probar que ∀n ∈ ] el número ∀n ∈ `,
5n + 2.3n -1 +1 es múltiplo de 8
catetos es:
86
1)
Múltiplo de 3.
2)
Múltiplo de 4.
Demostrar que si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son todos números
enteros, uno de ellos debe ser forzosamente un múltiplo de 5.
87
3
Demostrar que la expresión ( n – n ).( 5
8n+4
+ 34
n +2
) siendo n un número entero no
negativo, es un múltiplo de 3804.
88
Demostrar que ∀n ∈ `,
An = 2 ⋅ n 3 + 3 ⋅ n 2 + n es múltiplo de 6.
89
1)
En una batalla en la que participaron entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron
muertos
2)
90
91
23
35
y
heridos del total. Hallar cuántos resultaron ilesos.
165
43
Hallar el número 2n - 5n sabiendo que la suma de todos sus divisores es 961.
Encontrar un número de 4 cifras abcd, tal que abcd = 11 ( a + b + c + d ) 2
Encontrar los números de 4 cifras de la forma abab que disminuidos en 1 unidad sean
cuadrados perfectos.
92
1)
Hallar un número de 5 cifras diferentes que sea igual a la suma de todas las variaciones
sin repetición de orden 3 que se puedan formar con estas 5 cifras.
2)
Halla un número con 15 divisores, tal que la suma de todos estos divisores sea igual a
1767.
93
94
Demostrar que n4 + 4 con n ∈ N, sólo es primo cuando n = 1.
Hallar los n ∈ ` tales que 2n - 1 es divisible por 7. Demostrar que no hay ningún n ∈ ` tal
que 2n + 1 sea divisible por 7.
95
Demostrar las siguientes afirmaciones:
1. La suma de dos números naturales consecutivos no es divisible por 2.
2. La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por 3.
3. Encontrar el caso general de estas afirmaciones y demostrarlo o poner un contraejemplo.
96
En una sucesión finita de números reales, la suma de 7 términos consecutivos cualesquiera es
negativa, y la 11 términos consecutivos cualesquiera es positiva. Determinar el número
máximo de términos que puede tener la sucesión.
97 Sea α = 2 + √2 y β = 2 - √2. Probar que:
98
1)
α n + β n ∈ N, ∀ n ∈ N.
2)
α n + β n = E[αn] + 1
3)
lim n Æ∞ ( α n + β n ) = 1.
Si a, b, y c son respectivamente, los términos p-ésimo, q-ésimo, r-ésimo de una progresión
aritmética y de una progresión geométrica, demostrar que se verifica
ab-c . bc-a . ca-b = 1.
99
Siendo a un número complejo fijo, determinar en función de a, los posibles números
complejos z ∈ ] tales que las imágenes en el plano complejo de los afijos a2.z, a.z2, z3 son
vértices de un triángulo equilatero.
100 Calcular los productos:
n-1
∏e
2⋅k ⋅π
n
n-1
k =1
k =1
101
⎛ k ⋅π
n
∏ sen ⎜⎝
−1
⎞
⎟.
⎠
Hallar la parte imaginaria del número complejo (a+b.î)n, siendo n la base del sistema de
numeración en el que los números 125(n, 150(n y 174(n en progresión aritmética; a es el valor
del límite:
lim
n →∞
(
n 2 + 4n − 3 − n
)
b es el valor de la pendiente de la tangente a la curva
y=
2
3⋅ 3⋅ x - 5
en el punto de abcisa x = 2.
102 Resolver la siguiente ecuación:
e
z +1
z
= î −1
103 Dada la ecuación
z4 + ( 23.71 + 32.95 î ) z3 + a2 z2 + a1 z + a0 = 0 ,
se sabe que los afijos de las raíces de dicha ecuación ( z1 ,z2, z3 ,z4 ) son los vértices de un
pentágono irregular cuyo quinto vértice es el afijo del complejo z5 = 1 + î, El pentágono es
simétrico respecto a la recta que pasa por los afijos de los complejos z0 y z5. Los radios del
pentágono trazados desde z0 a los afijos de z5, z1 y z2 forman una progresión geométrica de
razón 2. El afijo de z0 es interior al pentágono. Los ángulos entre radios consecutivos son
iguales. Se pide calcular z0.
104 Calcular el lugar geométrico descrito por el afijo de
w=
z +î
z −î
2
2
si z describe la circunferencia x + y = 64.
105 Dado el complejo z1 = 1 + î , calcular el lugar geométrico del afijo B de otro complejo z2 , tal
que el producto z1 z2 tenga su afijo sobre la recta que determinan los afijos de z1 y z2 .
(Determinar la ecuación cartesiana y determinar sus elementos).
106 Hallar todas las raíces de la ecuación:
z3 - ( 8 + î ) z 2 + ( 24 + 4 î ) z - ( 24 - 6 î ) = 0
teniendo en cuenta que el producto de dos de ellas es 15 + 9 î .
107 Sabiendo que
z +
1
= 2 ⋅ cos t ; z ∈ ^
z
hallar el valor de
⎛ 1 ⎞
zn + ⎜ n ⎟
⎝z ⎠
lo más simplificado posible.
108 Demostrar que en cualquier sistema de numeración los números
10101, 101010101, 1010101010101, ...
No son primos.
109 Sean m, y n números enteros positivos.
a) Hallar para que valores de n existe m impar tal que
m+n
m2 + 4 ⋅ n
b) Hallar todos los valores de m que verifique la condición anterior en los casos n = 6 y n = 89
110 Sea la expresión:
x= a + a + a + ... ; a ∈ `
a) Calcular el valor de x.
b) Hallar la relación tal que a cada natural le corresponda un valor de a de forma que x sea
un número racional.
c) Demostrar que para cualquier a (natural) se verifica x = a +1.
111 Determinar los vértices de un cuadrado, sabiendo que:
(a) Su centro es el punto (2,3)
(b) Si se traslada al origen, se gira un ángulo de 60º en sentido positivo y se reducen sus lados
a la mitad, los vértices del nuevo cuadrado son los afijos de un polinomio de cuarto grado
con coeficientes reales que tienen la raíz x1 = 1.
112 Se consideran los números naturales escritos en modo usual en base 10. Se pide:
a)
Encontrar el menor número tal que al suprimirle la primera cifra quede reducido a su
quinta parte.
b)
Demostrar que no existe ningún número que al suprimirle su primera cifra de la
izquierda quede reducido a su doceava parte.
c)
Formular un criterio general que permita afirmar cuando hay un número que quede
reducido k veces al suprimirle la primera cifra.
113 En el conjunto C de los números complejos se considera la ecuación:
z3 – ( 6 + 4.î ) z2 + ( 8 + 14.î ) z – 12.î = 0
Se pide:
a)
Probar que la ecuación tiene una solución única real.
b)
Sean b y c son las soluciones complejas y real, siendo |b| < |c|. Obtener b y c.
114 Demostrar que √3 + √2 no es un número racional.
115 a)
Determinar todos los números complejos a, b, c tales que para todo elemento z del
cuerpo de los números complejos, se tenga:
z3 – 3.( 2 + 3.î ) z2 - ( 3 + 45.î ) z + 2.î + 94 = ( z + 1 - 2.î ).( a.z2 + b.z + c )
b)
Resolver en el cuerpo C la ecuación:
z3 – 3.( 2 + 3.î ) z2 - ( 3 + 45.î ) z + 2.î + 94 = 0.
c)
Representar los puntos a, b y c, afijos de las soluciones de la ecuación anterior en el
plano complejo y, considerándolos como vértices de un triángulo, razonar de que tipo
es.
116 La suma de dos números naturales es de 5264, y su mínimo común múltiplo es de 200340.
¿Cuáles son estos números?.
117 Demostrar que un número x es racional si y solo si la sucesión
x, x+1, x+2, ... , x+n, ...
contiene, al menos, tres términos en progresión geométrica.
118 Sean p, q y r tres números naturales tales que la suma:
p3 + q3 + r3 es un múltiplo de 9.
Demostrar que al menos uno de los tres números p, q, r es múltiplo de 3.
119 Se forman los números 49, 4489, 444889, 44448889, .... intercalando cada vez 48 en el
centro del número anterior. Demostrar que todos ellos son cuadrados perfectos y hallar la
raíz cuadrada del que consta de 2.n cifras.
120 En el parlamento de Poldavia hay 2 000 diputados. Un periodista observó que los presentes en
una sesión el 12,121212... eran mujeres y el 23,423,423423... Pertenecían al partido popular. Se
pide el número de diputados que faltaron a dicha sesión.
121 En el parlamento de español hay 350 diputados y para la aprobación de una ley es necesario
un quórum de los 2/3. En la sesión para la aprobación de los Presupuestos Generales del
Estado, un periodista observa que únicamente 11,1111... de los presentes son mujeres y el
45,454545... son mayores de 45 años. Se pide el número de diputados ausentes en la reunión.
122 Si los términos de una progresión aritmética 1, 5, 9, 13, 17, .... , se colocan así:
1
5
9
13
17
21
25
29
33
...............................................
a)
Hallar la fila enésima.
b)
Calcular la suma de cada fila.
123 Sea C un capital prestado a interés compuesto, que se amortizará en n periodo, a un rédito
por periodo r. Determinar el valor de las cuotas periódicas
progresión geométrica de razón q.
124
Demostrar que
3
2+
10
10
+ 3 2−
es un entero.
3 3
3 3
c i, de manera que formen una