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Estadística
EIAE (UPM)
Ejeriios de
ombinatoria
Estadística– p. 1
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
Formamos números de 4 cifras distintas con los dígitos
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número sea par.
CP:
CF:
C1
C2
C3
C4
7
6
5
4
C1
C2
C3
par
6
5
4
3
7!
=7×6×5×4=
= V7,4
3!
6!
= 3 × 6 × 5 × 4 = 3 × = 3 × V6,3
3!
3×6×5×4
3
P=
=
7×6×5×4
7
Estadística– p. 2
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Formamos números de 4 cifras, no necesariamente distintas,
con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número
sea par.
CP:
CF:
C1
C2
C3
C4
7
7
7
7
C1
C2
C3
par
7
7
7
3
= 74 = V R7,4
= 3 × 73 = 3 × V R7,3
3 × 73
3
P=
=
4
7
7
Estadística– p. 3
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
Formamos números de 4 cifras distintas con los dígitos
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número sea mayor o
igual que 2500.
CP:
CF:
+
C1
C2
C3
C4
7
6
5
4
2
5,6,7
C3
C4
1
3
5
4
>2
C2
C3
C4
5
6
5
4
7!
=7×6×5×4=
= V7,4
3!
=3×5×4
=5×6×5×4
3×5×4+5×6×5×4
11
P=
=
7×6×5×4
14
Estadística– p. 4
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
Formamos números de 4 cifras, no necesariamente distintas,
con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número
sea mayor o igual que 2500.
CP:
CF:
+
C1
C2
C3
C4
7
7
7
7
2
5,6,7
C3
C4
1
3
7
7
>2
C2
C3
C4
5
7
7
7
= 74 = V R7,4
= 3 × 72
= 5 × 73
3 × 72 + 5 × 73
38
P=
=
4
7
49
Estadística– p. 5
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
Sentamos a 6 personas en 6 sillas puestas en fila. Probabilidad
de que Pepe y Juan se sienten juntos.
S1
S2
S3
S4
S5
S6
CP: 6
5
4
3
2
1
CF:
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! = P6
Pepe
Juan
S3
S4
S5
S6
1
1
4
3
2
1
Pepe
Juan
S4
S5
S6
4
1
1
3
..
.
Total = 4! × 5 × 2
2
1
S1
= 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = P4
= 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = P4
1
4×3×2×5×2
=
P=
6×5×4×3×2
3
Estadística– p. 6
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
Sentamos a 6 personas en 6 sillas puestas en fila. Probabilidad
de que Pepe y Juan no se sienten juntos.
S1
S2
S3
S4
S5
S6
CP: 6
5
4
3
2
1
CF:
= 6! = P6
Pepe
No Juan
S3
S4
S5
S6
1
4
4
3
2
1
No Juan
Pepe
No Juan
S4
S5
S6
4
1
3
3
2
1
= 4 × 4!
= 4 × 3 × 3!
Total = (4 × 4!) × 2 + (4 × 3 × 3!) × 4
(4 × 4!) × 2 + (4 × 3 × 3!) × 4
2
=
P=
6!
3
Estadística– p. 7
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
Sentamos a 6 personas en 6 sillas formando un círculo. Probabilidad de que Pepe y Juan se sienten juntos.
A
1
1
5
2
4
3
Juan
1
Pepe
1
1
2
CP = 5!
4
1
3
2
Pepe
1
3
1
Juan
CF = 2 × 4!
4
2 × 4!
2
P=
=
5!
5
Estadística– p. 8
Estadística
Ejercicio 8
EIAE (UPM)
Sentamos a 6 personas en 6 sillas formando un círculo. Probabilidad de que Pepe y Juan no se sienten juntos.
A
1
1
5
2
4
3
No Juan
CP = 5!
Pepe
1
3
4
1
2
No Juan
CF = 3 × 4!
3
3 × 4!
3
P=
=
5!
5
Estadística– p. 9
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
Se lanzan 3 dados. Probabilidad de que salga un dos.
CP:
CF:
D1
D2
D3
6
6
6
2
no 2
1
5
= 63 = V R6,3
no 2
5
= 52 =⇒ (52 ) × 3
3 × 52
P=
63
Estadística– p. 10
Estadística
Ejercicio 10
EIAE (UPM)
Se lanzan 5 dados. Probabilidad de que salgan tres doses.
CP:
CF:
D1
D2
D3
D4
D5
6
6
6
6
6
2
1
2
1
2
1
no 2
5
no 2
5
= 65 = V R6,5
2
2
= 5 =⇒ (5 ) ×
5
P R3,2
5!
=5 ×
3! × 2!
2
10 × 52
P=
65
Estadística– p. 11
Estadística
Ejercicio 11
EIAE (UPM)
En un grupo de r ≤ 365 personas. Probabilidad de que nadie
cumpla años el mismo día.
CP:
CF:
P1
P2
P3
365
365
365
P1
P2
P3
365
364
363
Pr
···
365
= 365r = V R365,r
Pr
···
365 − (r − 1)
365!
=
= V365,r
(365 − r)!
365!/(365 − r)!
P=
365r
Estadística– p. 12
Ejercicio 12
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(a) Probabilidad de que salga el as de oros.
1
39
1
4
39! 5! 35!
5
1
P= =
=
= = 0.125
4! 35! 40!
40
8
40
5
Estadística– p. 13
Ejercicio 12
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(b) Probabilidad de que salga un as.
4
36
1
4
4! 36! 5! 35!
6545
=
≃ 0.358
P= =
1! 3! 4! 32! 40!
18278
40
5
Estadística– p. 14
Estadística
Ejercicio 12
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(c) Probabilidad de que no salga ningún as.
36
5
36! 5! 35!
5236
P= =
=
≃ 0.573
5! 31! 40!
9139
40
5
Estadística– p. 15
Ejercicio 12
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(d) Probabilidad de que salga al menos un as.
5236
P = 1 − P(no salga ningún as) = 1 −
≃ 0.427
9139
Estadística– p. 16
Estadística
Ejercicio 13
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(a) Probabilidad de que salgan 2 bastos y 3 espadas.
P=
10
2
40
5
10
3
Estadística– p. 17
Estadística
Ejercicio 13
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(b) Probabilidad de que salgan dos bastos.
P=
10
2
40
5
30
3
Estadística– p. 18
Estadística
Ejercicio 13
EIAE (UPM)
De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.
(c) Probabilidad de que salga 1 as, 2 sotas y 2 caballos.
4
4
4
1
2
2
P=
40
5
Estadística– p. 19
Estadística
Ejercicio 14
EIAE (UPM)
Colocamos 5 bolas en 7 cajas.
(a) Probabilidad de que todas las bolas estén en la misma caja.
CP:
CF:
B1
B2
B3
B4
B5
7
7
7
7
7
= 75
B1
B2
B3
B4
B5
1
1
1
1
1
= 1 =⇒ 1 × 7
1
7
1
P= 5 = 4
7
7
Estadística– p. 20
Estadística
Ejercicio 14
EIAE (UPM)
Colocamos 5 bolas en 7 cajas.
(b) Probabilidad de que 3 bolas caigan en una caja determinada.
CP:
CF:
B1
B2
B3
B4
B5
7
7
7
7
7
B1
B2
B3
B4
B5
1
1
1
6
6
P=
62 × 5
3
75
= 75
= 62
−→ 62 × 5
3
360
=
16807
Estadística– p. 21
Estadística
Ejercicio 15
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten todas entre 4
jugadores. Probabilidad de que cada jugador tenga un as.
CP
52
P R13,13,13,13
CF
48
P R12,12,12,12
52!
=
13! 13! 13! 13!
4! =
48!
|12! 12!{z12! 12!}
4!
Reparto los no-as
Estadística– p. 22
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(a) Probabilidad de que los 5 números sean distintos.
Un as + un dos + un tres + un cuatro + un cinco
4
× 4 × 4 × 4 × 4
1
1
1
1
1
Elijo 5 números para hacer la combinación
45 × 13
P=
52
5
5
13
5
1317888
≃ 0.507
=
2598960
Estadística– p. 23
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(b) Probabilidad de obtener una pareja.
Pareja de ases + un dos + un tres + un cuatro
4
× 4 × 4 × 4
2
1
1
1
Elijo un número para la pareja y tres para las otras cartas.
13
1
× 12
3
4
12
3
4 × 13 × ×
×
2
3
1098240
P=
=
≃ 0.422
2598960
52
5
Estadística– p. 24
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(c) Probabilidad de obtener dobles parejas.
Pareja de ases + pareja de doses + un tres
4
× 4 × 4
2
2
1
Elijo dos números para las parejas y uno para la otra
carta.
13
2
× 11
1
4 × 11 × 4 × 4 × 13
2
2
2
123552
=
P=
≃ 0.0475
2598960
52
5
Estadística– p. 25
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(d) Probabilidad de obtener un trío.
Trío de ases + un dos + un tres
4
× 4 × 4
3
1
1
Elijo un número para el trío y dos para las otras cartas.
13
1
× 12
2
42 × 13 × 4 × 12
3
2
54912
P=
=
≃ 0.0211
2598960
52
5
Estadística– p. 26
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(e) Probabilidad de obtener full (trío + pareja)
Trío de ases y pareja de damas.
4
× 4
3
2
Elijo un número para el trío y otro para la pareja.
13
1
× 12
1
4
4
13 × 12 ×
×
3
2
3744
P=
=
≃ 0.00144
2598960
52
5
Estadística– p. 27
Estadística
Ejercicio 16
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.
(f) Probabilidad de obtener póquer (4 cartas del mismo
número).
Póquer de ases + un dos
4
× 4
4
1
Elijo un número para el póquer y otra para la otra carta.
P=
4 × 13 × 12
52
5
13
1
× 12
1
624
=
≃ 0.000240
2598960
Estadística– p. 28
Ejercicio 17
Estadística
EIAE (UPM)
En una apuesta de la lotería primitiva.
(a) Probabilidad acertar los 6 números.
6
6
1
P= =
≃ 7.15 × 10−8
13983816
49
6
Estadística– p. 29
Ejercicio 17
Estadística
EIAE (UPM)
En una apuesta de la lotería primitiva.
(b) Probabilidad acertar 5 números y el complementario.
6
× 1
5
1
6
−7
=
P=
≃
4.29
×
10
13983816
49
6
(c) Probabilidad acertar sólo 5 números.
6
× 42
5
1
252
−5
P=
=
≃
1.80
×
10
13983816
49
6
Estadística– p. 30