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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Analicemos el siguiente ejemplo: El encargado de un almacén devuelve tres cascos de seguridad seleccionados aleatoriamente a 3 obreros del taller quienes ya se lo habían probado en forma previa. Supóngase que el orden de los obreros sea S, J, B, y que cada evento simple tiene el mismo peso. Utilicemos una lista para organizar los puntos muéstrales de los posibles ordenes en que los tres obreros reciben un casco y ubicamos los valores x de la variable aleatoria X que representa el numero de asociaciones correctas, es decir la posibilidad de que un obrero reciba el casco que originalmente le correspondía, la organización quedaría como se detalla a continuación: Espacio muestral X SJB 3 SBJ 1 JSB 1 JBS 0 BSJ 0 BJS 1 Como podemos observar la probabilidad de que ningún obrero reciba el casco correcto es igual a 1/3, la probabilidad que uno reciba el casco correcto es de 1/2, y la probabilidad de que los tres reciban el casco correcto es de 1/6. P ( x = 0 ) = 2/6 = 1/3 P ( x = 1 ) = 3/6 = 1/2 P ( x = 3 ) = 1/6 Estas probabilidades pueden enumerarse de varias formas, entre ellas esta utilizar un formato de tabla denominado distribución de probabilidad. Una distribución de probabilidad es una organización de las probabilidades asociadas con cada uno de los valores de la variable aleatoria, dicho arreglo es teórico y se usa para representar poblaciones. Por ejemplo realicemos la distribución de probabilidad del ejemplo en cuestión. x 0 1 3 P ( x ) 2/6 = 0.333 3/6 = 0.500 1/6 = 0.167 Σ 6/6 = 1.000 Note que los valores de x agotan todos los casos posibles y de aquí que las probabilidades sumen 1. Con mucha frecuencia es conveniente representar todas las probabilidades de una variable aleatoria X por medio de una formula, es decir una función de los valores numéricos x, y que se representa por f (x), g(x), r(x) etc. Al conjunto de pares ordenados x, f(x) se le llama función de probabilidad de la variable aleatoria X. Para el caso, cada una de las probabilidades pueden representarse por el valor de x dividido entre 6, es decir cada P ( x ) es igual al valor de x dividido entre 6, donde x = 0, 1, 3. Así, P ( x ) = x / 6 para x = 0, 1, ó 3. Las distribuciones de probabilidad representan poblaciones teóricas, que son la contraparte de las muestras. Para describir estas distribuciones de probabilidad se utilizan los parámetros de la población a saber media aritmética, varianza y desviación estándar, los cuales se representan de la manera siguiente: Parámetro Representación Media aritmética µ Varianza σ ² Desviación estándar σ Si en una distribución de probabilidad la variable aleatoria es discreta se dice que es una distribución discreta de probabilidad; si la variable aleatoria es continua la distribución será distribución continua de probabilidad. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. Parámetros de una distribución discreta de probabilidad. La media aritmética de una variable aleatoria discreta x se encuentra multiplicando cada valor posible de x por su propia probabilidad, para posteriormente sumar todos los productos. μ = Σ [ x ∙ P ( x ) ] Para determinar la varianza de una variable aleatoria discreta x se deben seguir una serie de pasos: primero de eleva al cuadrado cada valor posible de la variable para luego multiplicarlo por su propia probabilidad, enseguida se suman los productos para finalmente restarles la media aritmética elevada al cuadrado. σ² = Σ [ ( x² P ( x ) ] ‐ µ² La desviación estándar se determina calculando la raíz cuadrada positiva de la varianza. σ = √ σ² Ejemplo: Encuentre la media aritmética, varianza y desviación estándar de la siguiente función de probabilidad: P ( x ) = x / 10 , para x = 1, 2, 3, ó 4. Con el fin de facilitar la resolución, organizaremos la información en una tabla de contingencia. X P ( x ) x P ( x ) x² X² P ( x ) 1 1/10 1/10 1 1/10 2 2/10 4/10 4 8/10 3 3/10 9/10 9 27/10 4 4/10 16/10 16 64/10 Totales Σ10/10 Σ30/10 Σ100/10 µ = 30/10 = 3.0 σ² = 100/10 ‐ (30/10)² = 10 ‐ 9 = 1 y σ = 1 Las principales distribuciones discretas de probabilidad son: La binomial, y la Poisson. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad 0 de asumir cualquiera de sus valores exactamente. Consecuentemente su distribución de probabilidad no puede darse en forma tabular, lo que al principio nos puede parecer alarmante pero se vuelve más razonable, cuando se considera un ejemplo en particular. Las alturas de todas las personas mayores de 21 años de edad, quizás tendríamos como rango 163.99 y 164.01 centímetros, hay un numero infinito de alturas entre estos dos valores. Es remota la probabilidad de seleccionar una persona al azar que tenga una altura de exactamente 164 cm. y no alguna otra del infinitamente grande conjunto de alturas tan cercanas a ese valor que posiblemente no se pudiera medir la diferencia, por lo que se asigna una probabilidad de 0 al evento. No obstante este no es el caso si se habla acerca de la probabilidad de seleccionar una persona que al menos mida 163 cm. pero no más de 165. Ahora se esta tratando de un intervalo mas que de un valor puntual de la variable aleatoria. A pesar de que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua no puede presentarse en forma tabular si puede tener una formula, la cual debe ser una función de los valores numéricos de la variable continua X y como tal, debe ser expresada por la notación funcional f (x). Al tratar con variables continuas f (x) es llamada función de densidad de X. Dado que X se define en un espacio muestral continuo, es posible que tenga un numero finito de discontinuidades. Sin embargo la mayoría de las funciones de densidad que tienen aplicaciones prácticas en el análisis de datos estadísticos son continuas y sus gráficas pueden tener diversas formas, estas tienen valores numéricos positivos, la función de densidad debe caer totalmente arriba del eje x. Una función de densidad de probabilidad se construye de tal manera que el área comprendida bajo su curva es igual a 1, cuando se calcula para el rango de X el cual se define f (x) como cero en todos los puntos de las porciones extendidas del intervalo. Ejemplos de distribuciones continuas son la distribución uniforme, la distribución normal y la distribución normal estandarizada.