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Transcript
B.- EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
1.22.- Trabajo en el campo eléctrico.Consideremos el campo eléctrico
generado por un cuerpo A cargado
positivamente. Denominaremos trabajo, T12
que “realiza el campo eléctrico” para mover
una carga q desde el punto 1 al punto 2
(figura 1.20) a:
2 

 
T12 =  F  d l = q  E  d l
2
1
(1.15)
Fig. 1.20
1
Supongamos ahora que deseamos calcular el trabajo eléctrico a lo largo de un
camino cerrado C (por ejemplo, desde el punto 1 de la figura 1.20, pasando por 2 y 3,
y volviendo al 1). En virtud del teorema de Stokes (Teorema del rotor) resulta que:
 


 Ed l  ( E)d

C
 
pero como  E  0 por las razones expuestas en el párrafo 1.14 se tiene:
 
E
  dl  0
(1.16)
c
para todo camino cerrado C y por lo tanto:
2
  3  1 
T
  F  dl   F  dl   F  dl  0
1231 1
2
3
lo que implica que “el trabajo eléctrico alrededor de cualquier camino cerrado es
cero”.
Las condiciones:


 Ed l  0
 
y  E  0
C
pueden emplearse indistintamente para definir el carácter de conservativo del campo
electrostático y el teorema de Stokes, para mostrar que son equivalentes.
I B 1
1.23.- Energía potencial electrostática.El carácter de conservativo del campo eléctrico determina que el campo de
fuerzas definido por:


Fq E
también sea conservativo. Es decir:


F 
E 0
q
y por lo tanto
 
 F  0
Fig. 1.21
Si hacemos uso de la identidad vectorial que establece que el rotor del
gradiente de un campo escalar cualquiera es cero
(       0 ),
podemos pensar que el campo de “fuerzas coulombiano” deriva de un campo escalar

U  U ( r ) tal que cumple con la condición:

FU
(1.17)
La necesidad de colocar el signo menos la veremos más adelante. A la función
escalar U que depende sólo de la posición la llamamos “energía potencial
electrostática”. Si ahora calculamos el trabajo que realiza el campo para trasladar una
carga puntual q entre las posiciones 1 y 2 ( fig.1.21 ) resulta:
2
2

 
T12   F . d l     U  d l    d U    U2  U1 
2
1
1
(1.18)
1
donde U2 es la energía potencial electrostática de la carga q en el punto 2, y U 1, la del
punto 1. La (1.18) también expresa que “el trabajo realizado por el campo eléctrico es
independiente de la trayectoria seguida para ir desde 1 a 2 y es simplemente la
diferencia de energía potencial U entre los dos puntos” (este resultado también se
puede obtener a partir de lo ya demostrado: el trabajo eléctrico alrededor de cualquier
camino cerrado es cero).
La energía potencial electrostática está completamente definida salvo una
constante, ya que:
I B 2
 U    U  Constante 
Esto es lo que hace pensar que son únicamente las diferencias de energía
potencial electrostática las que tienen significado físico e interés práctico. En general
lo que se hace es analizar las condiciones de contorno del problema y de acuerdo con
ellas fijar la energía potencial de referencia U = 0 (por ejemplo, U = 0 en el infinito).
Luego se establecen los cambios de U con relación a dicha referencia. Esto permite
definir la energía potencial electrostática en un punto.

Para entender el porqué de la aparición del signo menos en F    U,
analicemos la siguiente situación. De la mecánica sabemos que la potencia entregada
a una partícula por el campo de fuerzas F es:

dK  dr
P
 F
dt
dt
(1.19)
donde K es la energía cinética. En el caso más general, la energía potencial U puede
ser una función de la posición y del tiempo (no tendremos en cuenta los casos en los
cuales U puede ser función de la velocidad). Es decir: U = U (x, y, z, t ).
Por lo tanto:
d U U d x U d y U d z U




d t x d t y d t z d t t

dU
d r U
  U 
dt
d t t

Si aceptamos que F    U resulta:

 d r U
dU
F  
dt
d t t
Si se tiene en cuenta (1.19):
U d  U K 
dU
d K U
U d U d K







t
dt
dt
d t t
t d t d t
donde U + K resulta ser la llamada energía total de la partícula. Es interesante
observar que la energía total resultó ser la suma de la energía cinética más la energía
I B 3

potencial a partir del hecho que F    U. Por último si U no es función del tiempo la
energía total se conserva.
1.24.- Diferencia de potencial eléctrico.Se denomina diferencia de potencial electrostático o eléctrico V a:
V 
U
q
(1.20)
que resulta ser una cantidad independiente de la carga q y obviamente es un escalar
que depende de la posición. Físicamente representa “la variación de energía potencial
electrostática por unidad de carga”.
La unidad de diferencia de potencial electrostático en el SIMELA es el volt,
que se simboliza con V, unidad que se puso en honor al físico italiano Volta, que fue
quien inventó la pila eléctrica. Es decir que:
[ V ] = volt = V
y como la unidad de la energía potencial electrostática es:
[  U ] = joule = J
resultará que:
volt =
joule
J
; V =
coul
C
Es interesante observar que:
T12 = -  U = - ( U2 - U1 )
U2 - U1 = q ( V2 - V1 )
Por lo tanto:
V2  V1  
I B 4
T12
q
(1.21)
Es decir, “la diferencia de potencial entre los
puntos 1 y 2 es menos el trabajo por unidad de carga
realizado por el campo eléctrico”.
1.25.- Relación entre el potencial eléctrico y el
vector campo eléctrico.Por analogía con lo hecho en el ítem 1.23, y
teniendo en cuenta las ecuaciones (1.17) y (1.20)
podemos establecer que el campo eléctrico cumple con:

EV
(1.22)
Fig. 1.22
donde V representa el potencial eléctrico.
Si quisiéramos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos
cualesquiera 1 y 2 de un campo eléctrico (figura 1.22) usamos 1.21:
2


 q E .d l
V2  V1  
T12
 1
q
q
2
 
V2  V1    E . d l
(1.23)
1
1.26.- Potencial eléctrico en un punto.La función potencial eléctrico, al igual que la energía potencial electrostática,
se conoce salvo una constante, ya que:
 V    V  Constante 
Lo que sí podemos conocer es la diferencia de potencial V entre dos puntos
y esta cantidad está completamente definida y es totalmente independiente de la
constante C:
V = ( V2 + C ) - ( V1 + C ) = V2 - V1
Sin embargo, en función de las condiciones de contorno del problema se
puede elegir el potencial de referencia V = 0 y se establecen los cambios de V con
relación a dicha referencia. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto.
Por ejemplo, cuando la distribución de carga es localizada (ocupa una región
finita del espacio), la referencia V = 0 se elige en el infinito, y cuando la distribución
I B 5
de carga no esta localizada (ocupa una región infinita del espacio) se debe fijar V = 0
en un punto determinado. Este punto es el denominado “tierra” del problema en
cuestión y por lo tanto una conexión a tierra equivale a hacer el potencial cero.
Es decir, “cuando se habla del potencial de un punto se quiere expresar la
diferencia de potencial entre dicho punto y otro de referencia o tierra”.
Se puede obtener fácilmente una expresión para calcular el potencial eléctrico
en un punto a partir de la expresión (1.23). Por ejemplo, si la distribución de carga es
localizada, elegimos el punto 1 en el infinito y ahí el potencial lo hacemos V = 0:
P
VP  


 E .d l
(1.24)

Por último, es conveniente tener presente que las expresiones (1.16) - (1.17) (1.18) - (1.20) - (1.21) - (1.22) y (1.23) tienen en común el hecho que “el campo
eléctrico es conservativo” y por lo tanto son todas equivalentes.
1.27.- Potencial eléctrico creado por distintas distribuciones de carga.Para obtener las expresiones que permiten calcular el potencial eléctrico
creado por una carga puntual, un conjunto de cargas puntuales o una distribución
continua de cargas debemos tener en cuenta la expresión:
 1 
     
 r  r 
 
r  r
  3
r  r
donde el gradiente se calcula con relación a las coordenadas no primadas.
a) Carga puntual.
Apliquemos este resultado al campo eléctrico creado por una carga puntual:
 
 1 

 
q r  ri 
q 
E  r   k   3   k q       k   
r  ri
 r  ri 
 r  ri 

Si tenemos en cuenta que E    V , resulta que:
q

V r   k  
r  ri
(1.25)

que es el potencial en un punto r creado por una carga puntual. El potencial es
positivo o negativo según la carga q sea positiva o negativa respectivamente.
I B 6
b) Grupo de cargas puntuales.
Si utilizamos la expresión que permite calcular el campo eléctrico creado por
un conjunto de cargas puntuales obtenemos:
 
E r  = k

N
i 1
 

q i  r  ri 

  3    k
r  ri


N
i 1

qi 
  
r  ri 
Por lo tanto el potencial creado por un conjunto de cargas puntuales es:

V r  = k

N
i 1
qi
 
r  ri
(1.26)
donde hay que tener en cuenta el signo de las cargas para realizar la suma.
c) Distribución continua de cargas.
Por analogía con lo anterior si trabajamos con la expresión (1.11) obtenemos:
 
E r   k

L
  

  r  r  r 

  3 d l     k
r  r


L


  r 
  d l 
r  r

donde hay que tener presente que en
 1 
     
 r  r 
 
r  r
  3
r  r
el gradiente opera sobre las coordenadas no primadas y la integración se realiza sobre
las coordenadas primadas. Por lo tanto para la distribución continua de carga lineal
tenemos:

V r   k

L

  r 
  d l
r  r
(1.27)
Para la distribución continua de carga superficial se procede de igual forma y
se tiene:
I B 7

V r   k



 r 
  d 
r  r
(1.28)
y para la distribución continua de carga volumétrica :

V r   k



 r 
  d 
r  r
(1.29)
En base a lo ya analizado, en las expresiones (1.25) - (1.26) - (1.27) - (1.28) y
(1.29) se puede sumar una constante C sin que se afecte el campo eléctrico pero
también por motivos ya explicados, la hemos considerado cero. Las figuras (1.19.a)
(1.19.b) y (1.19.c) se pueden utilizar para estas tres expresiones (1.27), (1.28) y (1.29)
respectivamente, y los potenciales se calculan en los puntos P de cada una de ellas.
1.28.- Campo eléctrico y potencial eléctrico en los conductores en equilibrio
electrostático.a) El campo eléctrico es normal a la superficie del conductor.
Para ver cuál es la dirección del campo eléctrico justo sobre la superficie de
los conductores, como por ejemplo el conductor esférico de la figura 1.23,

razonaremos por el absurdo. Supongamos que E no
fuera perpendicular a la superficie de los
conductores. En ese caso, habría cargas en
movimiento, pues habría una componente del campo
en la dirección tangencial a la superficie del
conductor y esto implicaría que habría fuerzas
tangenciales responsables del movimiento de las
cargas. Ello no sucede, pues no se verifican
movimientos de cargas, ya que el campo es
electrostático. Por ello el vector E es perpendicular a
la superficie de los conductores.
Fig. 1.23
b) El campo eléctrico en el interior de un
conductor es cero (esto fue discutido en el ítem 1.7).
c) El interior de un conductor es un volumen equipotencial.
d) La superficie de un conductor es una equipotencial.
I B 8
1.29.- Líneas de fuerza.Consideremos el campo eléctrico, generado por dos cargas puntuales, una
positiva y otra negativa, del mismo valor, separadas por una distancia dada. Es
posible trazar líneas de campo
eléctrico,
que
indiquen
la
dirección del campo resultante en
cualquier punto.
El vector campo eléctrico
resultante en cada punto es
tangente a la línea. Las líneas del
campo eléctrico son también
llamadas líneas de fuerza ya que,
en cada punto, indican la dirección
de la fuerza ejercida por el campo
eléctrico sobre una carga de prueba.
Fig. 1.24 a
A partir de sencillas reglas se pueden dibujar las líneas de fuerza de diversas
configuraciones de carga:
 Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas
negativas.
 El número de líneas de fuerza que sale de una carga positiva o entra en una carga
negativa, es proporcional a la carga.
 El número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie unitaria, normal a
ellas, en un punto es proporcional al módulo del vector campo eléctrico en dicho
punto.
 Las líneas de fuerza no pueden cortarse, ya que el campo eléctrico tiene una
dirección única en cualquier punto del espacio; si las líneas se cortasen, existiría
más de una dirección del campo eléctrico en el punto de corte ( excepción a esto
son los puntos de campo eléctrico nulo ).
La fig. 1.24.a muestra un ejemplo de líneas de fuerza, y si bien está hecha en
un plano en este caso, por razones de simetría se puede considerar de revolución.
Si se tiene en cuenta que las líneas de fuerza son tangentes en todo punto al
vector campo eléctrico, se pueden obtener las ecuaciones diferenciales que describen
dichas líneas, ya que:




dl  dx i  dy j  dzk
I B 9
que representa un elemento de longitud sobre la línea que cumple con:


E  Cdl
donde C es un número. Por lo tanto:
Ex = C dx
Ey = C dy Ez = C dz
de donde:
dx dy dz
 
Ex Ey Ez
1.30.- Superficies equipotenciales.Se definen como superficies
equipotenciales a aquellas en las cuales
a una carga en movimiento no se le
realiza trabajo alguno. Es decir, son
superficies que unen puntos de igual
potencial. Estas superficies, también
llamadas superficies de nivel del
potencial eléctrico, serán siempre
perpendiculares al campo E . Es fácil
deducir que así debe ser, ya que si no
Fig. 1.24 b
lo fueran, habría una diferencia de
potencial, y por lo tanto trabajo. En la
fig. 1.24.b se pueden ver este tipo de superficies. La figura está hecha en un plano,
pero debe ser tomada como si fuera de revolución.
1.31.- El dipolo eléctrico. Campo eléctrico y potencial eléctrico creado por un
dipolo.Se denomina dipolo eléctrico a dos cargas puntuales + q y -q, separadas por
una distancia L, tal como se ve en la figura 1.25a. Se define el momento dipolar
eléctrico como:


pq L
I B 10
(1.30)

El vector momento del dipolo eléctrico p va
desde la carga negativa
hacia la positiva, al igual que el

vector distancia L . Esta definición resultará de gran
interés en el futuro.
Para calcular el campo eléctrico creado por un
dipolo tenemos en cuenta (1.9):
 

E  Eq  Eq
Fig. 1.25 a
y de la figura 1.25b:
  
 
  q ( r  ( r L ) ) q ( r  r) 
E  k    3    3 
 r  ( r  L )
r  r  
(1.31)
 
Si se cumple que L  r  r  , resulta
después de algún cálculo que:
 3/ 2
 2 ( r  r ). L

   3   3
r  r   L  r  r   1   2 
r  r


y si se realiza el desarrollo en serie del binomio del
corchete se tiene:
Fig. 1.25 b
  
r  r  L
3
 
 r  r
3

 3( r  r ). L

 1   2 


r  r


donde se tuvieron en cuenta los primeros dos términos de la serie ya
 que se han
suprimido los términos en los que aparece L2 y potencias mayores de L . Finalmente
reemplazando en (1.31):

    
  q 3 ( r  r  ). L ( r  r  )
qL
E  k
  
  5

r  r
r  r


3

Esta expresión también puede escribirse:
    


1  3( r  r  ). p ( r  r  )
p

E
  
  5
4 0 
r  r
r  r


3

donde se ha utilizado la definición del momento dipolar eléctrico del dipolo.
I B 11
(1.32)
El potencial eléctrico creado por un dipolo también es importante. Para
calcularlo tenemos en cuenta la expresión (1.26):

q
q 
V  k       
r  r 
 r  r L
(1.33)
 
Si L  r  r 
  
r  r L
1
 
 r  r
1
 1/ 2
 2 ( r  r ). L

 1   2 


r  r


y si se realiza el desarrollo en serie del binomio del corchete se tiene:
  
r  r  L
1
 
 r  r
1

 ( r  r ). L

 1   2 


r  r 

donde nuevamente sólo se tuvieron en cuenta los primeros
2 dos términos de la serie
 ya
que se han suprimido los términos en los que aparece L y potencias mayores de L .
Finalmente reemplazando en (1.33):
  
p . r  r  
V k   3
r  r
(1.34)
1.32.- El dipolo eléctrico en un campo eléctrico.Supongamos que colocamos un dipolo eléctrico, tal como se lo definió en el
párrafo anterior, en un campo eléctrico uniforme, como se ve en la figura 1.26 (no
interesa el campo eléctrico del propio dipolo). Lafuerza
 resultante sobre el dipolo es
nula, ya que sobre la carga positiva la fuerza es: F  q E y sobre la carga negativa es:


F   q E , sin embargo, aparecerá una cupla. El momento de la cupla se puede
calcular tomando como centro de momentos el origen O de la figura
 
 

 
   
T0  r  q E  L q E  r   (  q E )  q L E  p  E
El momento de la cupla es independiente del centro de momentos elegido y
tiende a alinear el dipolo con el campo eléctrico externo, por lo tanto:
  
Te =pE
I B 12
(1.35)
Es fácil ver que si a la carga q se la saca del momento del dipolo y se la
multiplica por el vector campo eléctrico se obtiene:

 
Te  L  F
que es el momento de una cupla.
Las condiciones de equilibrio de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico
externo uniforme son:
 
   
F  0 y Te  0  p / / E
Fig. 1.26 a
Fig. 1.26 b
Hemos de aplicar esta definición al estudio del comportamiento de los
dieléctricos en un campo eléctrico. Debemos distinguir entre los dieléctricos, aquellos
que tienen moléculas polares y los que no las tienen. Se denominan moléculas polares
a las que tienen momento dipolar permanente, y no polares, a las que no lo tienen en
forma permanente. La carga involucrada en este tipo de dipolos se denomina carga
ligada. Siempre que haya una carga positiva estará la negativa presente y ligada a la
otra.
Ambos tipos de moléculas son eléctricamente neutras, pero las polares tienen
los centros de las cargas positivas y negativas desplazados. Como ejemplo podemos
citar al HCl. La conformación eléctrica de esta molécula hace que un extremo esté
cargado más negativamente (Cl-), y el otro más positivamente (H+).
En la figura 1.26.b podemos ver las moléculas donde no hay campo eléctrico
aplicado, y donde lo hay. En este último caso, las moléculas tienen sus dipolos
alineados con el campo. Por otro lado las moléculas no polares no tienen momento
dipolar eléctrico en ausencia de campo aplicado, pero un campo externo las polariza
en la dirección del vector campo eléctrico.
I B 13
Es interesante remarcar que hay otro tipo adicional de dieléctricos. Son
aquellos que tienen polarización permanente, aún en ausencia de campo eléctrico
externo aplicado. Son similares a los imanes permanentes. Inicialmente este
fenómeno fue descubierto en ciertas ceras que al fundirse se las colocaba en un
campo eléctrico, y una vez enfriadas y alejadas del campo, mantenían la polarización.
También se presenta en materiales denominados ferroeléctricos, por debajo de cierta
temperatura. Se los suele utilizar como detectores de radiación y también se
denominan electretos (ver párrafo 3.11).
I B 14
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