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Curso de Matemáticas para Física
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
por: Rafael Cautivo Sánchez
Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
Física I, vi@ Internet
Y
O
X
Funciones Trigonométrícas
Física I, vi@ Internet
Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Sea una circunferencia en un Sistema de Ejes Cartesianos:
Y
O
X
Funciones Trigonométrícas
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Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Sea una circunferencia en un Sistema de Ejes Cartesianos:
Sea dicha circunferencia de
radio unitario y P un punto
cualquiera de ella; entonces:
Y
P
OP
OP == 11
O
X
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Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
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Curso de Matemáticas para Física
Definición:
Y
Sea α el ángulo que forma
OP con el eje X.
P
α > 0 sentido contrario al del
α
O
X
movimiento de un reloj.
α < 0 el mismo sentido del
movimiento de un reloj.
OP
OP == 11
-∞ < α <+∞
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Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
sen(α) = y
Y
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Curso de Matemáticas para Física
Definición:
cos(α) = x
P
y
tg(α) = y/x
X
α
O
¿Coincide esto con las
definiciones anteriores?
x
c
a
α
OP
OP == 11
b
sen(α) = a/c
cos(α) = b/c
tg(α) = a/b
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Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Definición:
sen(α) = y
Y
P
y
cos(α) = x
tg(α) = y/x
α
O
X
x
OP
OP == 11
Así las cosas, las funciones
trigonométricas tienen sentido
para cualquier ángulo:
-∞ < α <+∞
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Curso de Matemáticas para Física
Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
Ejemplo ¿Cuáles son los valores de las fc trigonométricas para
el ángulo de 120º?
:: Notar la semejanza con el
ángulo do 60º
Y
Y
P
y
y
α
x
P
O
X
X
β
O
x
¿Qué relación existe entre las Fc. Trig, para estos ángulos?
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Funciones trigonométricas (en la circunferencia)
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Y
P
Y
y
y
α
x
P
X
X
β
O
O
x
Verifique que...
sen α = sen β
sen 120º = sen 60º
cos α = - cos β
tg α = - tg β
cos 120º = - cos 60º tg 120º = - tg 60º
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Gráficos de las Funciones trigonométricas
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
• sen(α)
Y
y = sen (α)
P
y
1
α
X
O
x
0º
90º
180º
270º 360º 450º
-1
OP
OP == 11
-1
-1 << sen(
sen(αα)) << 11
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Gráficos de las Funciones trigonométricas
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
• sen(α)
1,0
0,5
0,0
0
90
-0,5
18
0
27
0
36
0
45
0
α
-1,0
Graficado con Excel
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Gráficos de las Funciones trigonométricas
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Curso de Matemáticas para Física
• cos(α)
Y
y = cos (α)
P
y
1
α
X
O
x
0º
90º
180º
270º 360º 450º
-1
OP
OP == 11
-1
-1 << cos(
cos(αα)) << 11
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Gráficos de las Funciones trigonométricas
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• tg(α)
Y
y = tg(α)
P
y
α
X
O
x
OP
OP == 11
0º
90º
180º
270º 360º 450º
-- ∞∞ ≤≤ << tg(
tg(αα)) ≤≤ ∞∞
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Aplicación de las Funciones trigonométricas
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•
Una de las principales aplicaciones se encuentran en la
descripción de fenómenos periódicos.
– Oscilaciones
• Péndulos
• Resortes
– Ondas
• Mecánicas
• Electromagnéticas
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Otras Funciones trigonométricas
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Curso de Matemáticas para Física
Y
1
cosec α =
y
P
y
X
O
sec α =
1
x
cot α =
x
y
x
OP
OP == 11
1
cosec(α ) =
sen(α )
1
sec(α ) =
cos(α )
1
cot(α ) =
tg(α )
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¿Cómo determinar el valor de las funciones trigonométricas?
Veamos el caso de algunos ángulos notables.
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α(°)
0
30
45
60
sen(α)
0
cos(α)
1
tg(α)
0
Y
y
y
O
OP
OP == 11
P
x
X
90
Funciones Trigonométrícas
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¿Cómo determinar el valor de las funciones trigonométricas?
Veamos el caso de algunos ángulos notables.
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
α(°)
sen(α)
0 0
cos(α)
1
tg(α)
0
Y
y
P
30
O
45
OP
OP == 11
60
90 1
0
x
X
∞
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Física I, vi@ Internet
¿Cómo determinar el valor de las funciones trigonométricas?
Veamos el caso de algunos ángulos notables.
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Curso de Matemáticas para Física
α(°)
sen(α)
cos(α)
0
1
0
tg(α)
0
2
30
45
2
2
2
2
1
60
90 1
1
45°
1
0
∞
1
2
sen 45° = cos 45° =
=
2
2
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¿Cómo determinar el valor de las funciones trigonométricas?
Veamos el caso de algunos ángulos notables.
0
sen(α)
cos(α)
tg(α)
0
1
0
1
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Curso de Matemáticas para Física
α(°)
30
60°
45
2
2
2
2
1
60
3
2
1
2
2 3
2
90
1
0
∞
3
2
1
1
2
Funciones Trigonométrícas
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¿Cómo determinar el valor de las funciones trigonométricas?
Veamos el caso de algunos ángulos notables.
sen(α)
cos(α)
tg(α)
0
0
1
0
30
1
2
3
2
3
3
45
2
2
2
2
1
60
3
2
1
2
2 3
2
90
1
0
∞
30° 3
2
1
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α(°)
1
1
2
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Curso de Matemáticas para Física
¿Se podrá decir que sen α ≈ tg α?
tg α
1,0000
0,8000
sen α
0,6000
0,4000
0,2000
0,0000
0
10
20
30
40
α°
La aproximación resulta razonable para
ángulos pequeños, entre 0° y 20°.
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Funciones trigonométricas inversas
•
Cuando preguntamos cuál es el valor del seno de 37º estamos
hablando del valor de la función trigonométrica; es decir:
sen 37º =........
•
Elresultado
resultadoes
esun
unnúmero
númerosin
sin
El
unidades!!!!!
unidades!!!!!
Cuando preguntamos cuál es el ángulo cuyo seno es 0,0105,
estamos preguntando por la función inversa y se anota:
arc sen 0,0105= ........
Elresultado
resultadoes
esun
unÁNGULO;
ÁNGULO;es
es
El
decir,número
númeroCON
CON
decir,
unidades!!!!!
unidades!!!!!
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Funciones trigonométricas inversas
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arc sen 0,8 = ?
53,1°
y = sen(α)
1
0,8
126,9°
α
0º
90º
180º
270º 360º 450º
443,1°
– 53,1°
–1
Etc...
Notarque
quehay
hayinfinitas
infinitasrespuestas
respuestas
Notar
¿Cuálde
deellas
ellasproporcionan
proporcionanlas
lascalculadoras?
calculadoras?
¿Cuál
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