Download parametrizacion de fases

ENCUENTRO # 41
TEMA: Medidas de dispersión
CONTENIDOS:
1.
2.
3.
4.
5.
Desviación media
Varianza
Desviación típica
Propiedades de la desviación típica
Coeficiente de variabilidad
PARAMETRIZACION DE FASES
FASE
Ejercicio Reto
Retroalimentación
Inducción de Conceptos
Practico
Aplico Realidad
Receso
TIEMPO GRUPO I
8:00 a 8:10
8:10 a 8:20
8:20 a 8:55
8:55 a 9:30
9:30 a 9:50
9:51 a 10:05
TIEMPO GRUPO II
1:00 a 1:10
1:10 a 1:20
1:20 a 1:55
1:55 a 2:30
2:30 a 2:50
2:51 a 3:05
EJERCICIO RETO
1. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.35 se le añaden los números 4.47 y
10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
a) 7.31
b)7.32
c)7.33
d) 7.34
2. De los siguientes datos:
la mediana y la media son,
respectivamente.
a)
b)
c)
d)
RETROALIMENTACIÓN:
1. Considere los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
a) Calcular la media
b) Si todos los datos anteriores se multiplican por 3, ¿Cuál será la nueva media?
Portal de matemática
Página 1
www.portaldematematica.edu.sv
APRENDO
 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son valores numéricos que miden la dispersión o variabilidad
entre los datos.
-
Si los datos están relativamente cerca del promedio, con respecto a la escala
en la cual se midieron, las medidas de dispersión toman valores pequeños.
Si por el contrario, los datos están relativamente lejanos del promedio las
medidas de dispersión toman valores numéricos grandes.
Existen distintas formas de cuantificar la variabilidad, algunas medidas de dispersión: el
rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
1. Desviación Media (DM): es el promedio de los valores absolutos de las
desviaciones.
La desviación de cada dato respecto de la media es la diferencia entre ese
dato y la media. La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media
aritmética es siempre cero.
Datos no agrupados
|
Datos agrupados
|
̅|
̅|
Ejemplos:
1. Calcular la desviación media de la distribución: 9,3,8,8,9,8,9,18
Calcular la media aritmética:
=9
=2.25
DM=
2. Una muestra de camiones que utilizan combustible diesel dio los siguientes
resultados de kilómetros recorridos por galón de combustible consumido.
Calcula la desviación media de los recorridos.
Portal de matemática
Página 2
www.portaldematematica.edu.sv
|
̅|
2. Varianza
La varianza es una medida que pretende establecer la cercanía de cada uno
de los datos con respecto a la media. Para calculara la varianza es necesario
determinar la desviación o distancia de cada uno de los datos y la media.
Datos no agrupados
( )
∑(
Datos agrupados
̅̅̅)
( )
∑
(
̅̅̅)
Ejemplos:
1. El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos
de las bolsas de cereal (en gramos), que empacan en una determinada
presentación. Deciden para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y
pesarlas. Las medidas obtenidas en gramos fueron las siguientes: 490, 500, 510,
515 y 520. Calcula la varianza muestral.
Solución
a) Primero debes calcular la media
Portal de matemática
Página 3
www.portaldematematica.edu.sv
Luego debes utilizar la fórmula para la muestra:
( )
∑(
̅̅̅)
2. Una muestra de camiones que utilizan combustible diesel dio los siguientes
resultados de kilómetros recorridos por galón de combustible consumido.
Calcula la varianza
.
Los valores x corresponden en este caso al punto medio de la clase. El total de
camiones en la muestra es 30.
R/ Se tiene una varianza de 10.41 km2
Portal de matemática
Página 4
www.portaldematematica.edu.sv
3. Desviación Típica o Estándar
La desviación típica o estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Datos no agrupados
∑(
√
Datos agrupados
̅̅̅)
∑
√
(
̅̅̅)
Ejemplos:
1. El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos
de los empaques (en gramos) de uno de sus productos; por lo que opta por
seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen
los siguientes pesos (490,500, 510,515 y 520) gramos respectivamente.
=
=
S=12.04
Por lo que concluimos que el peso promedio de los empaques es de 507
gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en
12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuánto es el
promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da
las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
2. Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por
la siguiente tabla:
Estatura
f
Pm
Pmf
(Pm- )
(Pm- )2
f(xi- )2
158 --- 161
162 – 165
166 – 169
170 -- 173
174 -- 177
25
50
200
175
50
500
159.5
163.5
167.5
171.5
175.5
3987.5
8175.0
33500.0
30012.0
8775.0
84450.0
-9.4
-5.4
-1.4
2.6
6.6
88.36
29.16
1.96
6.76
43.56
2209
1458
392
1183
2178
7420
Portal de matemática
Página 5
www.portaldematematica.edu.sv
a) Calculamos el punto medio
Pm=
=
=
= 159.5
b) Calculamos la media aritmética
=
Pm f / n =
= 168.9
c) Calculamos la varianza
a) Calculamos la desviación típica
V=
=
2=
= 14.84
=
= 3.85
PROPIEDADES DE LA DESVIACION TÍPICA
1. La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica
no varía.
3.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
típica queda multiplicada por dicho número.
4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
Portal de matemática
Página 6
www.portaldematematica.edu.sv
4. Coeficiente de variabilidad
Para poder realizar comparaciones entre distribuciones, se requiere de una
medida que establezca la diferencia en la variabilidad o dispersión de dos o
más variables. Esta medida es el coeficiente de variación.
Coeficiente de variabilidad
̅
Ejemplos:
1. Una distribución tiene =140 y =28.28 y otra =150 y =24. ¿Cuál de las dos presenta
mayor dispersión?
C.V.1= 20.2%
C.V.2=16%
R/La primera distribución presenta mayor dispersión.
2. El profesor de educación física tomó las medidas en metros de la estatura de dos
secciones de segundo ciclo y obtuvo los siguientes resultados:
= 1.4 m
= 0.08m y
= 1.5 m
= 0.025 m
¿Cuál de las dos secciones presenta mayor dispersión?
C.V. =
= 5.71%
C.V =
=1.67%
R/La primera sección muestra una mayor dispersión
PRACTICO
1. Los siguientes datos representan el número de horas extras trabajadas en el mes
por una persona, (9, 7, 4, 8, 10, 10, 6, 6, 5, 7). Calcula:
a) El número de horas promedio trabajado
b) El valor de la desviación media
c) La varianza y la desviación típica
d) Qué valor tiene el coeficiente de variabilidad?
Portal de matemática
Página 7
www.portaldematematica.edu.sv
2. Cinco libras de arroz en bolsas contenían 16.2, 15.9, 15.8, 15.7 15.5 onzas.
Calcular
3. a) Amplitud
4. b) La media aritmética
5. c) Desviación media.
6. d) La desviación típica
APLICO
1. La desviación estándar del sueldo mensual actual de las empleadas de una
maquila es de $4.00. Para el próximo mes, se aplicará un aumento salarial de
$30.00 mensuales a cada empleada. A partir del siguiente mes, ¿Cuál será el
valor de la varianza de los sueldos mensuales?
A. 2.00
B. 46.00
C. 34.00
D.16.00
2. Una enfermera tomo diariamente y durante 8 días la presión arterial sistólica y
diastólica de un paciente. Los datos registrados se resumen para la presión
sistólica en una media aritmética de 105 mm Hg con una desviación estándar
de 6 mm Hg. Para la presión diastólica, la media fue de 72 mm Hg y desviación
estándar de 6 mm Hg. ¿Cuál de las presiones sanguíneas del paciente presenta
mayor dispersión relativa?
A. La presión sistólica
B. La presión diastólica
C. Iguales
D. No se puede determinar
3. A todos los empleados de una estación de servicio se les aplica un incremento
del 8% a su salario mensual. Entonces se puede afirmar que para la distribución
de los nuevos salarios.
A. La desviación típica no se modifica, se mantiene igual a la de antes del
aumento
B. La varianza se incrementa en un 8%
C. No es posible determinar lo que sucede a las medidas de dispersión
D. La desviación típica queda multiplicada por 1.08
Portal de matemática
Página 8
www.portaldematematica.edu.sv
4. Si a cada valor de una serie de datos poblacionales se le suma una constante
positiva de valor igual a k, entonces ocurre que la varianza de la nueva serie de
datos.
A. Aumenta su valor en esa constante k
B. No cambia de valor
C. Toma un valor igual a k
D. Queda multiplicada por esa constante k
5. Si los salarios de cinco empleados de una empresa son: $20, $25, $30, $35, $40,
¿Qué sucederá con la nueva desviación típica, si el salario de cada uno de los
empleados se aumenta en $2?
A. Se mantiene
B. Se duplica
C. Varia en $2
D. Aumenta en $2
6. Las estaturas, en metros, de 5 estudiantes de 2 año de bachillerato son: 1.68,
1.68, 1.68, 1.68, 1.68. ¿Cuál de las siguientes propiedades de la desviación típica
es cierta para la distribución de estaturas?
A. La desviación típica de la distribución de estaturas es cero
B. La desviación típica quedara aumentada en 0.05, si todas las medidas de
estaturas se incrementan en 0.05 m
C. La desviación típica quedara reducida en un 10%, si todas las medidas de
estaturas se reducen en un 10%.
D. La desviación típica de la distribución de estaturas es 1.68
Portal de matemática
Página 9
www.portaldematematica.edu.sv