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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE UPC 2009-2 Unidad N°2: LA DERIVADA Semana N°: 3 Logro de la Unidad: Al término de la cuarta semana del ciclo, el alumno, calcula derivadas de funciones en sus diferentes formas, empleando las reglas de derivación, simplificando a la mínima expresión los resultados, apoyándose en las herramientas aprendidas en la primera semana y en las de la propia unidad. Habilidades a trabajar: Terminado el proceso de aprendizaje vinculado a la semana 3, los estudiantes deben ser capaces de: Calcular derivadas de funciones trigonométricas, así como las obtenidas mediante operaciones elementales con estas funciones. Determine límites de funciones trigonométricas utilizando el límite fundamental. Calcular la derivada de una función compuesta usando la regla de la cadena. Explicar con sus palabras e ilustrar gráficamente, el concepto de función definida implícitamente. Explicar el carácter local de la definición implícita de una función. Calcular primeras y segundas derivadas de funciones definidas implícitamente. Utilizar la derivación implícita en la resolución de problemas sencillos de carácter geométrico. Calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas. Calcular derivadas en forma paramétrica. Interpretar el significado geométrico y/o físico de las derivadas en forma paramétrica. Calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas. Recursos disponibles en el Aula Virtual UPC: Diapositivas PPTs. Tarea N°3. Tarea N°4. Tarea N°5 Practica Calificada PC2 de ciclos anteriores. 1 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE Clase N° 7: Derivadas de funciones trigonométricas. Límite fundamental. Regla de la cadena. Metodología Habilidad Fase Descripción y materiales Apertura de sesión: Recoja la tarea N° 3. Motive el estudio de las derivadas trigonométricas, por sus aplicaciones en el campo de la ingeniería .Indicar que las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, las ondas, los movimientos elásticos, la corriente alterna, el movimiento armónico simple y otras cantidades que varían de manera periódica. Este tema es fundamentalmente operativo. Declare utilizando un lenguaje sencillo las habilidades que se trabajaran en la clase. 3.3 Derivadas de las Funciones trigonométricas: Recordar que las funciones trigonométricas son continuas en cada punto de su dominio. Muestre una animación en el Derive de la función f(x) = senx y función g(x)= cosx, utilice la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) además muestre la gráfica de f ’(x) y resalte que es la misma que la gráfica de la función coseno. Obtener Para las funciones tangente y secante obtenga sus formulas de derivación como ejercicios. Calcule las derivadas de orden superior, por ejemplo de la función f(x) = cosx observe y obtenga una fórmula para la derivada n-ésima de f(x). Trate de mostrar que la derivada de la función senx es la función cosx usando la definición de derivadas de una función, para ello será necesario probar previamente el límite fundamental trigonométrico, el cual posee interés por sí mismo. UPC 2009-2 Sesión: N° 3.1 Tiempo Observaciones y recomendaciones M 1. Calcular derivadas de funciones trigonométricas, así como las obtenidas mediante operaciones elementales con estas funciones A Observen que para que todas las fórmulas tengan sentido el ángulo debe medirse en radianes. 2 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE A/T 2. Determinar límites de funciones trigonométricas utilizando el límite fundamental. 3. Calcular la derivada de una función compuesta usando la regla de la cadena. T M UPC 2009-2 Desarrolle ejemplos similares a los Ejemplos 1 y 2 de la Pág. 192 y 193 usando el Derive y muestre de manera similar al ejercicio anterior usando la definición de derivada. Analice el caso del movimiento armónico simple, ejemplo 3 de la Pág. 193. Proponga a los estudiantes la realización de los siguientes ejercicios: 4, 5, 10, 13, 15, 19, 20, 25, 35 (pp. 195 a 196). Desarrolle ejemplos similares a los ejercicios 39, 42 y 48 de la Pág. 196. 3.4 Regla de la cadena Motive en el alumno la importancia de la regla de la cadena como una herramienta del cálculo de derivadas de funciones compuestas. Explicar a los alumnos que dada una función h( x) f g ( x) el orden en que actúan las funciones sobre x. Primero actúa la función g y luego la función f . Entonces considerar el orden inverso: de afuera hacia adentro; es decir, para nosotros primero es la función f y luego la g . Usar por ejemplo h( x) x 2 4 . Aquí la primera función es f ( x) x y la segunda es g ( x) x 2 4 . Puede usar más ejemplos. 3 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE UPC 2009-2 Ahora presente la regla de la cadena tal como lo hace el texto en la página 197. En esta parte tome, por ejemplo, la función f ( x) sen x y calcule su derivada f ( x) cos x . Ahora haga que los alumnos evalúen esta derivada en otras funciones. Por ejemplo: f ( x 2 ) cos x 2 , f (2 x 1) cos( 2 x 1) , etc. Puede hacer más ejemplos si es necesario. Ilustre el uso de la regla de la cadena, resolviendo ejemplos parecidos a los resueltos 1, 2, 3, 4, 5, 6 de las páginas 198 - 200 No deje de resolver ejercicios de regla de la cadena de funciones exponenciales compuestas, ejemplo 7, 9 de las páginas 200 - 201 u otros similares. Proponer a los alumnos que resuelvan los ejercicios de la sección 3.4 (p. 203): 2, 6, 10, 15, 22, 28, 52, 54, 62, 63. Si el tiempo lo permite seleccione otros ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas. Hacer un resumen resaltando los aspectos más relevantes de la clase. Se orienta la tarea 4. Orientar la Tarea 4. A T E 4 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE Clase N° 8: Derivadas Implícita. Derivada de funciones trigonométricas inversas Metodología Habilidad Fase Descripción y materiales 4. Explicar con sus palabras e ilustrar gráficamente, el concepto de función definida implícitamente M 5. Explicar el carácter local de la definición implícita de una función. M Apertura de la sesión: Recoger la tarea 4. Recuerde el concepto de gráfica de una ecuación (no de una función) que el alumno debe conocer de cursos anteriores. Utilice un ejemplo sencillo (como la circunferencia que muestra el texto) para ilustrar la posibilidad de que una ecuación permita definir una o más funciones de x. Haga notar que en los casos más sencillos estas funciones se pueden hacer explícitas mediante el despeje de una de las variables pero que esto a veces no es posible; otras veces es posible, pero no conviene. 3.5 Derivación implícita: Muestre alguna curva complicada en Power Point para ilustrar la posibilidad de gráficas muy complicadas que pueden definir, en forma local, muchas relaciones funcionales entre dos variables. Como motivación, muestre las gráficas (en Derive) de algunas ecuaciones algebraicas aparentemente sencillas, de modo que el estudiante aprecie cuan complicada puede resultar la relación implícita entre dos variables. Algunos ejemplos interesantes son: (x + 2y)(x2 - xy)(xy + x + y) = 4 UPC 2009-2 Sesión: N° 3.2 Tiempo Observaciones y recomendaciones Discuta las diferencias y similitudes que existen entre la graficación de una ecuación y la de una función. Destaque que en todos estos casos el proceso de despejar es posible porque se trata de ecuaciones de tercero o cuarto grado en y pero que es extraordinariamente complicado. (x2 + x + 4y2 - 3)(4x2 + y2 - 5) = 6 M Muestre, como parte de la motivación, el despeje de y que obtiene Derive en la primera de las ecuaciones, que es la más sencilla. En otros casos es imposible despejar. Por ejemplo: y + xey = xy no se puede despejar y en términos de x. 5 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE 6. Calcular las primeras derivadas de funciones definidas implícitamente. A 7. Calcular las segundas derivadas de funciones definidas implícitamente. 8. Utilizar la derivación implícita en la resolución de problemas sencillos de carácter geométrico. 9. Calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas. A UPC 2009-2 Explique ahora el procedimiento para hallar la derivada de una función definida implícitamente e indique el carácter local de las expresiones que se obtienen, las cuales, por lo general, quedan en términos de ambas variables, no solamente de x. Realice un par de ejemplos que ilustren el procedimiento y destaque el hecho de que, por complicada que sea la ecuación, siempre se puede despejar la derivada en términos de x e y. Proponga a los estudiantes los ejercicios 11, 16 y 29(p. 213). Utilice un ejemplo sencillo para ilustrar la forma en que se halla la segunda derivada en forma implícita e indique como se podrían hallar otras de orden mayor. La complejidad de las fórmulas que se obtienen hace que este tipo de cálculo se utilice muy pocas veces. Proponga a los estudiantes un ejercicio de este tipo donde los cálculos no sean demasiado engorrosos. Defina el concepto de familias de curvas ortogonales y realice el ejercicio 60 (p. 214) mostrando en Derive ambas familias de curvas, para que se aprecie la ortogonalidad. Si el tiempo lo permite seleccione otros ejercicios de derivadas implícitas como los ejercicios 61 y 62. A M Derivación de funciones trigonométricas inversas. Este es un módulo muy breve y sencillo, que debe ser impartido en un tiempo corto. El estudiante ya conoce, de Matemática Básica las definiciones, dominios, rangos y las gráficas de arcsen, arccos y arctan. No obstante, debe hacerse, mediante preguntas dirigidas, que los estudiantes refresquen estos aspectos básicos. Orientar la Tarea 5. 6 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE A/T E UPC 2009-2 Deduzca la fórmula de la derivada de la función seno inverso, siguiendo al libro (p. 212). La justificación de que la derivada de seno inverso es positiva, es preferible realizarla a partir de la gráfica de la función. Muestre las fórmulas de las derivadas del coseno y la tangente inversa sin hacer la deducción. Realice uno o dos ejemplos similares al número 5 de la p. 212 y proponga los ejercicios 46, 50 y 54 de la página 214. Hacer un resumen resaltando los aspectos más relevantes de la clase. Se orienta la tarea 4. Si el tiempo lo permite proponga a los estudiantes los ejercicios 55 y 56 de la misma página. 7 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE Clase N° 9: Curvas paramétricas y derivación paramétricas. Metodología Habilidad Fase Descripción y materiales Apertura de sesión: Motivar en el alumno la importancia que posee el estudio de las curvas paramétricas por ser el fundamento matemático de muchas aplicaciones físicas e ingenieriles que serán objeto de estudio en cursos posteriores. Mediante preguntas dirigidas a revisar los conceptos básicos: ecuaciones paramétricas, parámetro, curva paramétrica, reconocimiento de la forma paramétrica de curvas simples como la recta y la circunferencia, eliminación del parámetro, etc. Todo lo anterior puede hacerse a partir de un ejemplo simple: la circunferencia. Aclarar que no necesariamente el parámetro es el tiempo, aunque en la descripción de movimiento cualquier parámetro puede relacionarse con el tiempo. 10.1Curvas definidas por ecuaciones parametricas: Como motivación puede utilizarse la cicloide, (figura 13, página 625) que modela la trayectoria del movimiento de un punto del borde de un disco que rueda sin resbalar por una superficie plana. En la siguiente dirección hay un applet muy sencillo que ilustra perfectamente lo anterior. UPC 2009-2 Sesión: N° 3.3 Tiempo Observaciones y recomendaciones M 10. Interpretar el significado geométrico y/o físico de las derivadas en forma paramétrica. M/A Es importante comenzar el módulo haciendo una exploración de conocimientos previos sobre las ecuaciones paramétricas que fueron estudiadas en Matemática Básica. Utilizar Derive para obtener la curva. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion. htm Destacar la diferencia entre la curva obtenida cuando se grafica una circunferencia y la trayectoria de una partícula que se mueve con un movimiento circular en el cual la trayectoria sigue un determinado sentido. 8 MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE 10.2 Derivación parametrica: A continuación demuestre la expresión para obtener la derivada F`(x) con el tratamiento de la página 630 obteniendo la expresión 1. Utilice la notación de Leibniz para obtener la expresión en el recuadro 2. Haga un análisis de la expresión obtenida, destacando los siguientes aspectos: Su significado geométrico Las posibilidades de tangente horizontal y de tangente vertical Su significado físico. En este caso las dos derivadas temporales dx/dt y dy/dt representan las componentes Vx y Vy de la velocidad de la partícula que describe esa trayectoria en el plano XY y dy/dx da la dirección del vector velocidad (que es siempre tangente a la trayectoria). Ilustrar los dos primeros aspectos con un ejemplo similar al 1 página 631, excepto el inciso c). Retomar la cicloide tal como se hace en el ejemplo 2 página 632. UPC 2009-2 A A A Para ilustrar el tercer aspecto considere el siguiente ejemplo. La posición de una partícula en el plano XY está definida por las siguientes ecuaciones paramétricas x = 12 cos (π t/2) y = 8sen (π t/2) donde x está en metros y t en segundos. Obtener la expresión de la segunda derivada, página 631. T E En ambos ejemplos mostrar la gráfica con Derive. Calcular las componentes rectangulares y la dirección de su vector velocidad en t =1 s Se proponen los siguientes ejercicios para resolver por los alumnos en el aula: 2, 4, 6, 10, 18 página 636 Si el tiempo lo permite resolver los ejercicios 19, 20, 29 (p. 636). Recordar a los alumnos resolver los ejercicios de la tara Nº5 de derivación parametrica 9