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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
UPC 2009-2
Unidad N°2: LA DERIVADA
Semana N°: 3
Logro de la Unidad: Al término de la cuarta semana del ciclo, el alumno, calcula derivadas de funciones en sus diferentes formas,
empleando las reglas de derivación, simplificando a la mínima expresión los resultados, apoyándose en las herramientas aprendidas
en la primera semana y en las de la propia unidad.
Habilidades a trabajar: Terminado el proceso de aprendizaje vinculado a la semana 3, los estudiantes deben ser capaces de:
 Calcular derivadas de funciones trigonométricas, así como las obtenidas mediante operaciones elementales con estas funciones.
 Determine límites de funciones trigonométricas utilizando el límite fundamental.
 Calcular la derivada de una función compuesta usando la regla de la cadena.
 Explicar con sus palabras e ilustrar gráficamente, el concepto de función definida implícitamente.
 Explicar el carácter local de la definición implícita de una función.
 Calcular primeras y segundas derivadas de funciones definidas implícitamente.
 Utilizar la derivación implícita en la resolución de problemas sencillos de carácter geométrico.
 Calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas.
 Calcular derivadas en forma paramétrica.
 Interpretar el significado geométrico y/o físico de las derivadas en forma paramétrica.
 Calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Recursos disponibles en el Aula Virtual UPC:
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Diapositivas PPTs.
Tarea N°3.
Tarea N°4.
Tarea N°5
Practica Calificada PC2 de ciclos anteriores.
1
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
Clase N° 7: Derivadas de funciones trigonométricas. Límite fundamental. Regla de la cadena.
Metodología
Habilidad
Fase
Descripción y materiales
Apertura de sesión:
Recoja la tarea N° 3.
Motive el estudio de las derivadas trigonométricas, por sus
aplicaciones en el campo de la ingeniería .Indicar que las funciones
trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos
del mundo real. En particular, las vibraciones, las ondas, los
movimientos elásticos, la corriente alterna, el movimiento armónico
simple y otras cantidades que varían de manera periódica. Este tema es
fundamentalmente operativo.
 Declare utilizando un lenguaje sencillo las habilidades que se
trabajaran en la clase.
3.3 Derivadas de las Funciones trigonométricas:
 Recordar que las funciones trigonométricas son continuas en cada
punto de su dominio. Muestre una animación en el Derive de la
función f(x) = senx y función g(x)= cosx,
 utilice la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta
tangente a la curva f(x) además muestre la gráfica de f ’(x) y resalte
que es la misma que la gráfica de la función coseno.
 Obtener Para las funciones tangente y secante obtenga sus formulas de
derivación como ejercicios. Calcule las derivadas de orden superior,
por ejemplo de la función f(x) = cosx observe y obtenga una fórmula
para la derivada n-ésima de f(x).
 Trate de mostrar que la derivada de la función senx es la función cosx
usando la definición de derivadas de una función, para ello será
necesario probar previamente el límite fundamental trigonométrico, el
cual posee interés por sí mismo.
UPC 2009-2
Sesión: N° 3.1
Tiempo
Observaciones y
recomendaciones


M
1. Calcular derivadas
de funciones
trigonométricas, así
como las obtenidas
mediante
operaciones
elementales con
estas funciones
A
Observen que para
que todas las
fórmulas tengan
sentido el ángulo
debe medirse en
radianes.
2
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE

A/T


2. Determinar
límites de
funciones
trigonométricas
utilizando el límite
fundamental.
3. Calcular la
derivada de una
función compuesta
usando la regla de
la cadena.

T
M
UPC 2009-2
Desarrolle ejemplos similares a los Ejemplos 1 y 2 de la Pág. 192 y
193 usando el Derive y muestre de manera similar al ejercicio anterior
usando la definición de derivada.
Analice el caso del movimiento armónico simple, ejemplo 3 de la Pág.
193.
Proponga a los estudiantes la realización de los siguientes ejercicios:
4, 5, 10, 13, 15, 19, 20, 25, 35 (pp. 195 a 196).
Desarrolle ejemplos similares a los ejercicios 39, 42 y 48 de la Pág.
196.
3.4 Regla de la cadena
 Motive en el alumno la importancia de la regla de la cadena como una
herramienta del cálculo de derivadas de funciones compuestas.
 Explicar a los alumnos que dada una función h( x)  f g ( x) el orden
en que actúan las funciones sobre x. Primero actúa la función g y
luego la función f . Entonces considerar el orden inverso: de afuera
hacia adentro; es decir, para nosotros primero es la función f y luego
la g . Usar por ejemplo h( x)  x 2  4 . Aquí la primera función es
f ( x)  x y la segunda es g ( x)  x 2  4 . Puede usar más ejemplos.
3
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE


UPC 2009-2
Ahora presente la regla de la cadena tal como lo hace el texto en la
página 197.
En esta parte tome, por ejemplo, la función f ( x)  sen x y calcule su
derivada f ( x)  cos x . Ahora haga que los alumnos evalúen esta
derivada en otras funciones. Por ejemplo: f ( x 2 )  cos x 2 ,
f (2 x  1)  cos( 2 x  1) , etc. Puede hacer más ejemplos si es
necesario.
Ilustre el uso de la regla de la cadena, resolviendo ejemplos parecidos
a los resueltos 1, 2, 3, 4, 5, 6 de las páginas 198 - 200
No deje de resolver ejercicios de regla de la cadena de funciones
exponenciales compuestas, ejemplo 7, 9 de las páginas 200 - 201 u
otros similares.
Proponer a los alumnos que resuelvan los ejercicios de la sección 3.4
(p. 203): 2, 6, 10, 15, 22, 28, 52, 54, 62, 63.
Si el tiempo lo permite seleccione otros ejercicios de derivadas de
funciones trigonométricas.
Hacer un resumen resaltando los aspectos más relevantes de la clase.
Se orienta la tarea 4.
Orientar la
Tarea 4.
 
A



T

E

4
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
Clase N° 8: Derivadas Implícita. Derivada de funciones trigonométricas inversas
Metodología
Habilidad
Fase
Descripción y materiales
4. Explicar con sus
palabras e ilustrar
gráficamente, el
concepto de
función definida
implícitamente
M
5. Explicar el
carácter local de la
definición implícita
de una función.
M
Apertura de la sesión:
 Recoger la tarea 4.
 Recuerde el concepto de gráfica de una ecuación (no de una función)
que el alumno debe conocer de cursos anteriores.

Utilice un ejemplo sencillo (como la circunferencia que muestra el
texto) para ilustrar la posibilidad de que una ecuación permita definir
una o más funciones de x. Haga notar que en los casos más sencillos
estas funciones se pueden hacer explícitas mediante el despeje de una
de las variables pero que esto a veces no es posible; otras veces es
posible, pero no conviene.
3.5 Derivación implícita:
 Muestre alguna curva complicada en Power Point para ilustrar la
posibilidad de gráficas muy complicadas que pueden definir, en
forma local, muchas relaciones funcionales entre dos variables. Como
motivación, muestre las gráficas (en Derive) de algunas ecuaciones
algebraicas aparentemente sencillas, de modo que el estudiante
aprecie cuan complicada puede resultar la relación implícita entre dos
variables. Algunos ejemplos interesantes son:
(x + 2y)(x2 - xy)(xy + x + y) = 4
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Sesión: N° 3.2
Tiempo
Observaciones y
recomendaciones
Discuta las
diferencias y
similitudes que
existen entre la
graficación de una
ecuación y la de
una función.
Destaque que en
todos estos casos el
proceso de despejar
es posible porque se
trata de ecuaciones
de tercero o cuarto
grado en y pero que
es
extraordinariamente
complicado.
(x2 + x + 4y2 - 3)(4x2 + y2 - 5) = 6

M
Muestre, como parte de la motivación, el despeje de y que obtiene
Derive en la primera de las ecuaciones, que es la más sencilla. En
otros casos es imposible despejar. Por ejemplo:
y + xey = xy
no se puede despejar y en términos de x.
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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
6. Calcular las
primeras derivadas
de funciones
definidas
implícitamente.

A


7. Calcular las
segundas derivadas
de funciones
definidas
implícitamente.
8. Utilizar la
derivación
implícita en la
resolución de
problemas
sencillos de
carácter
geométrico.
9. Calcular derivadas
de funciones
trigonométricas
inversas.
A


UPC 2009-2
Explique ahora el procedimiento para hallar la derivada de una
función definida implícitamente e indique el carácter local de las
expresiones que se obtienen, las cuales, por lo general, quedan en
términos de ambas variables, no solamente de x. Realice un par de
ejemplos que ilustren el procedimiento y destaque el hecho de que,
por complicada que sea la ecuación, siempre se puede despejar la
derivada en términos de x e y.
Proponga a los estudiantes los ejercicios 11, 16 y 29(p. 213).
Utilice un ejemplo sencillo para ilustrar la forma en que se halla la
segunda derivada en forma implícita e indique como se podrían hallar
otras de orden mayor. La complejidad de las fórmulas que se obtienen
hace que este tipo de cálculo se utilice muy pocas veces. Proponga a
los estudiantes un ejercicio de este tipo donde los cálculos no sean
demasiado engorrosos.
Defina el concepto de familias de curvas ortogonales y realice el
ejercicio 60 (p. 214) mostrando en Derive ambas familias de curvas,
para que se aprecie la ortogonalidad.
Si el tiempo lo permite seleccione otros ejercicios de derivadas
implícitas como los ejercicios 61 y 62.
A

M
Derivación de funciones trigonométricas inversas.

Este es un módulo muy breve y sencillo, que debe ser impartido en un
tiempo corto. El estudiante ya conoce, de Matemática Básica las
definiciones, dominios, rangos y las gráficas de arcsen, arccos y
arctan. No obstante, debe hacerse, mediante preguntas dirigidas, que
los estudiantes refresquen estos aspectos básicos.
Orientar la
Tarea 5.
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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE

A/T


E

UPC 2009-2
Deduzca la fórmula de la derivada de la función seno inverso,
siguiendo al libro (p. 212). La justificación de que la derivada de seno
inverso es positiva, es preferible realizarla a partir de la gráfica de la
función.
Muestre las fórmulas de las derivadas del coseno y la tangente inversa
sin hacer la deducción. Realice uno o dos ejemplos similares al
número 5 de la p. 212 y proponga los ejercicios 46, 50 y 54 de la
página 214.
Hacer un resumen resaltando los aspectos más relevantes de la clase.
Se orienta la tarea 4.
Si el tiempo lo permite proponga a los estudiantes los ejercicios 55 y
56 de la misma página.
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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
Clase N° 9: Curvas paramétricas y derivación paramétricas.
Metodología
Habilidad
Fase
Descripción y materiales
Apertura de sesión:
Motivar en el alumno la importancia que posee el estudio de las
curvas paramétricas por ser el fundamento matemático de muchas
aplicaciones físicas e ingenieriles que serán objeto de estudio en
cursos posteriores.

Mediante preguntas dirigidas a revisar los conceptos básicos:
ecuaciones paramétricas, parámetro, curva paramétrica,
reconocimiento de la forma paramétrica de curvas simples como la
recta y la circunferencia, eliminación del parámetro, etc.
 Todo lo anterior puede hacerse a partir de un ejemplo simple: la
circunferencia. Aclarar que no necesariamente el parámetro es el
tiempo, aunque en la descripción de movimiento cualquier parámetro
puede relacionarse con el tiempo.
10.1Curvas definidas por ecuaciones parametricas:
 Como motivación puede utilizarse la cicloide, (figura 13, página 625)
que modela la trayectoria del movimiento de un punto del borde de un
disco que rueda sin resbalar por una superficie plana. En la siguiente
dirección hay un applet muy sencillo que ilustra perfectamente lo
anterior.
UPC 2009-2
Sesión: N° 3.3
Tiempo
Observaciones y
recomendaciones


M
10. Interpretar el
significado
geométrico y/o
físico de las
derivadas en forma
paramétrica.
M/A

Es importante
comenzar el
módulo
haciendo una
exploración de
conocimientos
previos sobre las
ecuaciones
paramétricas que
fueron
estudiadas en
Matemática
Básica.
Utilizar Derive
para obtener la
curva.
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.
htm
 Destacar la diferencia entre la curva obtenida cuando se grafica una
circunferencia y la trayectoria de una partícula que se mueve con un
movimiento circular en el cual la trayectoria sigue un determinado
sentido.
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MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
10.2 Derivación parametrica:
A continuación demuestre la expresión para obtener la derivada F`(x)
con el tratamiento de la página 630 obteniendo la expresión 1. Utilice
la notación de Leibniz para obtener la expresión en el recuadro 2.
 Haga un análisis de la expresión obtenida, destacando los siguientes
aspectos:
 Su significado geométrico
 Las posibilidades de tangente horizontal y de tangente vertical
 Su significado físico.
 En este caso las dos derivadas temporales dx/dt y dy/dt representan
las componentes Vx y Vy de la velocidad de la partícula que
describe esa trayectoria en el plano XY y dy/dx da la dirección del
vector velocidad (que es siempre tangente a la trayectoria).
 Ilustrar los dos primeros aspectos con un ejemplo similar al 1 página
631, excepto el inciso c). Retomar la cicloide tal como se hace en el
ejemplo 2 página 632.
UPC 2009-2

A
A

A
Para ilustrar el tercer aspecto considere el siguiente ejemplo.
La posición de una partícula en el plano XY está definida por las
siguientes ecuaciones paramétricas x = 12 cos (π t/2)
y = 8sen (π t/2) donde x está en metros y t en segundos.
 Obtener la expresión de la segunda derivada, página 631.

T
E



En ambos
ejemplos mostrar
la gráfica con
Derive.
 Calcular las
componentes
rectangulares y la
dirección de su
vector velocidad
en t =1 s
Se proponen los siguientes ejercicios para resolver por los alumnos en
el aula: 2, 4, 6, 10, 18 página 636
Si el tiempo lo permite resolver los ejercicios 19, 20, 29 (p. 636).
Recordar a los alumnos resolver los ejercicios de la tara Nº5 de
derivación parametrica
9