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Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario
.
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra.
Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
Variable aleatoria binomial
Para un experimento que sigue el modelo binomial se define la variable aleatoria X que expresa el número
de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. A esa variable se la denomina variable aleatoria
binomial.
La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,
4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo:Lanzamos una moneda 10 veces. El experimento se ajusta al modelo binomial. La variable aleatoria
“número de caras” es una variable aleaoria binomial que puede tomar los valores 0,1,2,3,4,….,10.
Distribución binomial
Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p), donde n es el número de
pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito).La probabilidad de
1− p, y la representamos por q.
es
Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución
de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas.
de fracaso.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad
Ejemplo:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores
ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
X= “nº de personas que lee la novela”;
n=4
p = 0.8
q = 0.2
=>
X~B(4, 0.2)
2.¿Y como máximo 2?
Media y varianza de la distribución binomial
Media:
;
Varianza:
; Desviación típica :
Ejemplo :La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió
un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos
defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Ejemplo :Supongamos el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de cuatro monedas trucadas
con triple de probabilidad de obtener cara que cruz.
Consideramos el suceso A= {obtener cara} con el siguiente espacio muestral.
1
ªm
o
n
e
d
a2
ªm
o
n
e
d
a
3
ªm
o
n
e
d
a
4
ªm
o
n
e
d
a
R
e
s
u
lta
d
o
n
ªc
a
ra
s
C
C
C
C
C
4c
x
c
c
c
c
x
c
c
x
c
3c
3c
x
c
c
x
x
2c
c
c
x
c
c
3c
x
c
x
c
x
2c
c
c
x
x
c
2c
x
c
c
x
x
x
x
c
c
c
1c
3c
x
c
x
c
c
x
x
c
x
c
2c
2c
x
c
x
c
x
x
x
x
c
c
1c
2c
x
c
x
x
c
x
x
x
x
c
1c
1c
x
x
x
x
x
0c
c
c
x
c
c
x
x
c
c
x
x
c
x
x
Definimos la variable X = nº de caras obtenido en cada lanzamiento.
El lanzamiento de cuatro monedas:
- El experimento consiste en cuatro lanzamientos iguales n= 4
-
Cada lanzamiento sólo tiene dos resultados posibles: A= obtener cara y Ac= no obtener cara = obtener
cruz.
-
La probabilidad p de obtener cara no varía de una moneda a otra: p= 0,75, y por tanto q = 1-p= 0,25
tampoco.
-
El resultado de cada lanzamiento es independiente de los resultados obtenidos en los lanzamientos
anteriores.
Por tanto, se trata de un experimento binomial y X es una V. a. discreta que sigue una distribución B(4, 0,75)
4


x
4

x


x
)

P
(
X

x
)

.
0
,
75
.
0
,
25
y por lo tanto su función de probabilidad es f(
con X= 0, 1, 2 , 3 y 4 viene dada


x

en la tabla:
xi
0
f(xi)=pi
4
0
4

0
0,75 0,25

1
2
3
4
4
1
3

1
0,750,25

4
2
2

2
0,75 0,25

4
3
1

3
0,75 0,25

4
4
0

4
0,75 0,25

El número de caras que por término medio esperamos obtener es:

[
X
]


npq

4
.
0
,
75
.
0
,
25

0
,
866
E[X] = µ = n . p = 4 . 0,75 = 3 caras con una desviación de v
Ejercicios de distribución binomial
En cada uno de los siguientes ejercicios indica porqué el experimento descrito sigue
el modelo binomial y resuelve la cuestión que se plantea.
1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud.
Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3.
Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es
la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad
de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una
ocasión?
5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el
proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.
Considera las siguientes situaciones.
A.-En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0 y 5 bolas con el
número -1. Extraemos tres bolas al azar sin reemplazamiento y contamos el número de bolas con signo
positivo.
B.-2 de los 12 jugadores de un equipo de baloncesto han tomado sustancias prohibidas. Al finalizar el
encuentro se seleccionan a tres al azar para hacer un control antidopaje.
¿Por qué no siguen el modelo binomial?