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PROBLEMAS DE ÁLGEBRA – NIVEL INTRODUCTORIO
Problema 6, fase local 1999
Sean a, b y c números reales no nulos (con suma no nula) tales que:
1 1 1
1
.
+ + =
a b c a+b+c
Prueba que también se verifica:
1
1999
a
+
1
1999
b
+
1
1999
c
=
1
1999
a
+b
1999
+ c1999
.
Problema 4, fase local 2003 (sábado)
Prueba que si los números logax, logbx y logcx (con x distinto de 1) están en progresión
aritmética, entonces
c 2 = ( ac )
log a b
Problema 1, fase nacional 2004
Tenemos un conjunto de 221 números reales cuya suma es 110721. Los disponemos
formando una tabla rectangular de modo que todas las filas y la primera y última
columnas son progresiones aritméticas de más de un elemento. Probar que la suma de
los elementos de las cuatro esquinas vale 2004.
Problema 1, fase local 2005 (sábado)
Sean x1, x2 las raíces del polinomio P(x)=3x2+3mx+m2−1, siendo m un número real.
Probar que P(x13)=P(x23).
Problema 2, fase local 2006 (grupo 2º)
Determinar todos los enteros n tales que
25
625
25
625
+
−n +
−
−n
2
4
2
4
es entero.
Problema 1, fase local 2006 (grupo 3º)
Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad
Problemas de Álgebra – nivel introductorio
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a 2b 2
= 1.
a 4 − 2b 4
Encontrar, razonadamente, todos los valores tomados por la expresión
a 2 − b2
.
a 2 + b2
Problema 4, fase local 2006 (grupo 3º)
Determinar todas las ternas de números reales (a,b,c) con a≠b, a≠0, b≠0, tales que las
parábolas y=ax2+bx+c, y=bx2+cx+a tienen el mismo vértice.
Problema 2, fase local 2007 (viernes)
Resolver, en el conjunto de los números reales, el sistema de ecuaciones
y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0 ⎫
⎪
z 3 − 6 y 2 + 12 y − 8 = 0 ⎬
x 3 − 6 z 2 + 12 z − 8 = 0 ⎪⎭
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