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MECÁNICA ESTADÍSTICA
Trabajo Práctico Nº 2: El conjunto Canónico
1. Demostrar que:
S = -F/T
2. Demostrar que la presión P de un sistema en equilibrio con un reservorio
térmico es :
P = -1 (ln Z / V)
3. Mostrar que el calor específico de un sistema en equilibrio térmico con un
reservorio se puede escribir como:
Cv = N-1kB2 (2lnZ / 2 2 )
4. Suponga una aleación binaria compuesta por NA átomos de tipo A y NB
átomos del tipo B. Los A pueden estar en el estado fundamental o en el
primer estado excitado que tiene energía E. Los B pueden estar en el estado
fundamental o en el primer estado excitado que tiene energía 2E. En ambos
casos los demás estados energéticos están muy altos y son despreciables a
temperatura ambiente. Encuentre el potencial de Helmholtz y a partir de ahí
el calor específico del sistema.
5. Una sal paramagnética contiene 1 mol de iones no interactuantes de
momento magnético igual a 1 magnetón de Bohr B (B = 9.274 *10-24
J/Tesla). Un campo magnético H es aplicado en una cierta dirección, los
estados permitidos de cada momento magnético son paralelo o antiparalelo
al campo.
a. Si el sistema es mantenido a T = 4K y H es aumentado desde 1 Tesla
a 10 Tesla, ¿cuál es el calor transferido desde el reservorio térmico?
b. Si el sistema se aisla ahora térmicamente y H es disminuido desde 10
Tesla a 1 Tesla, ¿cuál es la temperatura final del sistema?.Este
proceso se conoce como “enfriamiento por desmagnetización
adiabática”.
6. Se tiene un átomo con niveles de energía 0,E1,E2,E3,etc. con degeneración
1,2,2,1,.. La probabilidad de ocupación de niveles superiores es despreciable
a temperaturas ordinarias.
Se supone que el átomo está en un campo de radiación a temperatura T.
Encuéntrela dispersión en la energía del átomo y la probabilidad de
ocupación de cada nivel a temperatura ambiente(T = 300K), si las energías
valen: E1 /kB = 200 K, E2/kB = 200K, E3/kB = 400K.
7. Considere un átomo de hidrógeno en equilibrio con el campo de radiación a
temperatura T. El átomo puede estar en el estado fundamental 1s que es
doble o en el estado p que es óctuple. Suponiendo que la probabilidad de
estar en los demás estados es despreciable, encuentre la probabilidad de que
el átomo se encuentre en un estado p.
8. Considere el modelo del polímero discutido en el capítulo 1. Calcule la
función de partición de un monómero y a partir de ahí obtenga la energía
libre de Helmholtz. Obtenga la probabilidad de que un monómero esté en la
dirección positiva; encuentre también la longitud media de la cadena y su
energía media. Verifique que los resultados coinciden con los hallados en el
caso del microcanónico.
9. Obtenga la ecuación (II.5.2) para la densidad de modos y discutir su
generalidad.
10. Calcular la energía media de un sólido cristalino en el modelo de Debye y
de allí obtener la ecuación (II.5.7).
11. Mostrar que la densidad de energía(energía por unidad de volumen) de la
radiación electromagnética en el rango de frecuencias (,  + d) obedece a
la “Ley de radiación de Plank”
(U /V) d= (ħ3/2C3)exp(ħ) - 1-1d
y que a alta temperatura(kBT>>ħ) ésta se reduce a la “ley de
Rayleigh-Jeans”
(U /V) d= (2/2C3) kBT d
12. Considerando que el número de fotones por unidad de volumen en el rango
de frecuencias (,  + d) es (N / V)d = (U / V)(d/ħ). Calcular el
número total de fotones por unidad de volumen.
Mostrar que la energía media por fotón es  2.2 kBT
13.
a. Demostrar que la función de partición de un electrón de un gas de
electrones colocado en un campo magnético H es:
Z = 2 cosh (B H/ kBT)
Siendo B el magnetón de Bohr.
b. Calcular la energía magnética de un gas de electrones en dicho
campo magnético.
Mostrar luego que dichos electrones dan origen a una magnetización
que viene dada por:
M = ntgh(B H/ kBT)
Siendo n el número de electrones por unidad de volumen.
c. Hallar los límites de la función de partición y de la magnetización
para temperaturas muy altas y muy bajas.
14. Una muestra de petróleo se coloca en un campo magnético H. Recordar que
los protones tienen spin ½ y momento magnético . Se aplica un campo de
radio frecuencia y ese campo puede inducir transiciones entre los dos estados
posibles de polarización de los protones si la frecuencia  cumple con la
relación de Bohr: h = 2H. La potencia absorbida del campo de radiación
es entonces proporcional a la diferencia entre el número de núcleos entre un
estado y el otro. Suponiendo que los protones están en equilibrio térmico a
temperatura T, indique cuál es la dependencia de la potencia absorbida con
T.
15. Considere una partícula de masa m en un volumen cúbico V. Mostrar que la
separación de niveles sucesivos de energía es
E  ħ2/2mV2/3
Evaluar E para átomos de He en un volumen V = 1 m3 .
Mostrar que pasa a T > 10-8K la suma cuántica en la función de partición
puede ser aproximada por una integral.
16. Dado un gas ideal calcular la energía más probable y la velocidad más
probable. Muestre que esta última conduce a una energía que es diferente de
la más probable. Discuta el resultado.
17.
a. Demostrar que la longitud de onda de de Broglie de una partícula de
masa m que se mueve con la velocidad más probable de una
distribución maxwelliana es:
 = h/2m kBT1/2
b. Calcular la longitud de onda de de Broglie para un neutrón que se
mueve con la velocidad más probable a 20º C.
c. Comparar el valor anterior con la distancia interatómica típica en un
sólido. Discutir.
18.
a. Mostrar que la condición de validez del tratamiento clásico de un gas
ideal, R >> , donde R es la separación media entre partículas,
equivale a la condición:
(V/N)1/3 >> h/(2m kBT)1/2
b. Mostrar que la condición R >> es una consecuencia del principio
de incerteza de Heisenberg.
19. Obtener la ecuación de estado de un gas ideal:
PV = N kBT
20. Considere un gas ideal de moléculas diatómicas heteronucleares. Cada
molécula posee un momento dipolar eléctrico . Si el gas está inmerso en un
campo eléctrico uniforme Ē = z, cada molécula tendrá, adicionalmente a la
energía debida a los demás grados de libertad, una energía potencial
V= -cos ( = orientación del dipolo respecto a z).
a. Obtener la función de partición del gas, F y U.¿ Cuál es la
contribución a U del momento magnético?
b. Obtener la constante dieléctrica del gas.