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Prof. ADRIANA PAPICH
MATEMÁTICA
CONCEPTOS PREVIOS:
MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado un ángulo AÔM , siendo dO, A   dO, M , diremos que AÔM  α ,

siendo α la longitud del arco AM , medido en una unidad apropiada
SISTEMAS DE MEDIDAS: Podemos considerar tres unidades distintas para medir ángulos, que
originan tres sistemas de medición:
1.- sistema sexagesimal
2.- sistema circular
3.- sistema centesimal
1.- se basa en dividir una circunferencia en 360 partes congruentes. A la medida del ángulo central
correspondiente a cada parte se le denomina GRADO SEXAGESIMAL, y su notación será 1  , por lo
tanto, la medida de la circunferencia será de 360  .
Las unidades inmediatas inferiores serán:
1
 60’ (minutos)
1’
 60’’ (segundos)
Nota: en la calculadora científica, el sistema sexagesimal está representado por la sigla DEG, la
cual deriva de la palabra inglesa DEGREE.
2.-la unidad en este sistema es el RADIAN, que se define como el ángulo central que subtiende un
arco de la misma longitud que el radio de la circunferencia considerada y su notación será “rad”
( idem, en la calculadora).
No tiene unidades inmediatas inferiores.
Como recordaremos, la longitud de la circunferencia es de
2 π r , por lo cual en este sistema, la circunferencia, medirá 2 π RADIANES.
Nota: en la calculadora, el sistema CIRCULAR está representado por la sigla RAD, la cuál deriva de la
palabra inglesa RADIAN, cuyo significado es radio.
3.-la unidad en este sistema es el GRADO CENTESIMAL, se basa en dividir una circunferencia en 400
partes congruentes, entonces:
1g.  100 m (minutos)
1m.  100 s. (segundos)
Nota: en la calculadora científica, el sistema CENTESIMAL, está representado por la sigla GRA, la cual
deriva de la palabra inglesa GRADE.
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EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS PARA ALGUNOS ÁNGULOS PARTICULARES:
MEDIDA EN GRADOS SEXAG.
360 
180 
MEDIDA EN RADIANES
2π
π
90 
π
2
60 
π
3
45 
π
4
2
30 
π
6
DEBEMOS RECORDAR QUE:
1.- LOS ÁNGULOS POSITIVOS, son los considerados en sentido ANTIHORARIO.
2.- LOS ÁNGULOS NEGATIVOS, son los considerados en sentido HORARIO.
3.- Para usar calculadora científica, es necesario elegir primero el sistema a usar,
pues:
sen 15 = 0,258819, si son 15 
sen 15 = 0,2334454 , si son 15 g.
sen 15 = 0,6502878, si son 15 rad.
4.- La parte fraccionaria de un grado sexagesimal, se puede expresar como fracción o
como decimal, en este último caso, se habla de GRADOS DECIMALES:
Ejemplo:
12  30’ 
12,5 grados decimales
Nota: para pasar de grados decimales a grados sexagesimales con la calculadora
debemos usar la FUNCIÓN INVERSA (SHIFT) y la tecla

‘ ‘’
(en algunas calculadoras aparece como DMS)
TRIGONOMETRÍA:
La palabra trigonometría, deriva del Griego, ya que fueron ellos los que iniciaron su estudio, su
significado es medición de triángulos, pues en sus comienzos esa era su aplicación.
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL:
Denominaremos SISTEMA CARTESIANO
ORTOGONAL en el plano π , a todo sistema cartesiano
del plano, tal que sus ejes sean perpendiculares entre sí.
CÍCULO TRIGONOMÉTRICO:
Llamaremos así, a una circunferencia, cuyo centro coincide
con el origen de un Sistemas Cartesiano Ortogonal, y su radio
mide 1 unidad
x
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TEOREMA:
3
 
Dado un ángulo orientado cualquiera ( PQ̂ , PR ), y elegida una unidad de medida (grado sexagesimal,
centesimal o radianes), sea x, el número real correspondiente a la misma, podemos encontrar un
 
único punto M del círculo trigonométrico tal que el ángulo central orientado ( OÂ, OM ) sea de
medida x.
TEOREMA:
Todo real x, está asociado a un solo punto M del círculo trigonométrico. Debemos recordar que la
unidad angular elegida ambiguamente 30 grados sexagesimales, 30 grados centesimales o 30 radianes,
NO DETERMINAN EL MISMO PUNTO M DEL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO, TANGENTE y COTANGENTE:
Sea M, un punto del círculo trigonométrico
determinado por un ángulo central orientado de
amplitud x , designaremos con:
C, a la proyección ortogonal de M sobre Ox,
por lo cuál, la distancia OC , es el valor absoluto de
la abscisa de M.
S, a la proyección ortogonal de M sobre Oy,
entonces, la distancia OS es el valor absoluto de la
ordenada de M.
T, a la intersección de la recta OM con la recta
tangente al círculo por A
FUNCIÓN SENO:
La función seno, se notará “sen”, y se define:
sen :    1,1
siendo OS , la ordenada del punto M.
x  sen x  OS


Hemos definido así, una función cuyo dominio es el intervalo real 0 o ,360 o y cuyo codominio es el
intervalo, también real  1,1 .
Ahora, generalizaremos dicha definición para que el dominio sea todo  , para lo cuál debemos
considerar que sen x  2πk   sen x k, k  Z .
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA
00
4
180 0
La curva representada, es una SINUSOIDE, fue estudiada por primera vez por Roberval (1602-1675).
FUNCIÓN COSENO:
La función coseno, se notará como “ cos “, y se define :
cos :    1,1
, siendo OC , la abscisa del punto M.
x  cos x  OC


Luego generalizaremos el dominio de la función cos , 0 0  360 0 , para que sea todo 
 cos x  2kπ  cos x, k, k  Z.
Después de estas definiciones, podemos concluir que, las coordenadas del punto M, serán
Mcos x, sen x  .
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Para realizar la representación gráfica de la función coseno, le aplicaremos al círculo
trigonométrico, una rotación de centro O, y 90o antihorario. La gráfica, es también una SINUSOIDE,
que resulta de la aplicación de una traslación de vector
90o, a la sinusoide representación de la función seno.
-
00
180 0
π

 x, x    cos x  sen x  
2

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DEBEMOS RECORDAR QUE:
TEOREMA DE THALES: Dadas dos rectas secantes en O y
AA' BB'
AA’//BB’ 

OA OB



CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dados A B C , A'B' C' , con A B C es semejante al

A'B' C'  tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido respectivo congruente


OA' OB'

 A' ÔA c B' ÔB
ABC 
A'B' C' 
OA OB
FUNCIÓN TANGENTE:
La función tangente se notará tg y se define como:
Si tgx 
tg :   
x  tgx
senx
cosx
con cosx  0
siendo tgx 
senx  OS 
senx
OS
 como
  tgx 
cos x
cos x  OC
OC
Y además MC // AT
MÔC  c TÔA  x
TO  AO  O

MC AT 




OC OA  OS AT
MO C T O A

 

 OC OA
MC  OS 
AT 

tgx  AT
OA  

y como OA  r  OA  1

En la definición anterior, aclaramos que cosx  0 para que la función tangente estuviera definida,
esto tiene dos fundamentos, uno geométrico y otro algebraico:
i) geométricamente, si cos x= 0,  si consideramos el intervalo 0  ,360    x = 90º o x = 270º
 OM tg A   , pues  T , ya que OM // tg A .
 por prop.transitiva  tgx 

ii) algebraicamente si cos x = 0  tgx 
π


 D(tgx)     x   kππk  Z 
2


o
OS
y no existe el cociente.
0
D(tgx)  x  /cosx  0
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Admitiremos que la representación gráfica de la función tangente es:
Nota: a las rectas de ecuación x 
π
 kπ
2
con k  Z se les denomina ASÍNTOTAS DE LA
FUNCIÓN.
TEOREMA DE PITÁGORAS APLICADO AL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO:
H) Dado CÔM  x (ángulo central orientado)
T) cos2 x  sen 2 x  1; x, x  
Demostración:
OS  senx
Por definiciones previas :
y
OC  cosx
Además
OS  MC
2
2
2

OC  MC  OM
por T. de Pitágoras

y como OM 1 por ser radio del círculo
sen 2 x  cos2 x  1
sustituyendo
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TEOREMA DEL SENO (aplicación a triángulos NO RECTÁNGULOS)
H) triángulo no rectángulo
a
b 

b
c
sen senB̂ 
T)


a
c  senB̂ senĈ

sen senĈ 
c
b
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a
Demostración:
Dado un triángulo cualquiera, consideraremos en él los triángulos


rectángulos determinados por la altura del vértice B, A HB y B H C .

En B H C
h


a
  h  senĈ  a
con h  BH y H, pie de altura

 senĈ 
 sen  c  senĈ  a

En A H B
 sen 
h
 h  sen  c
c

c
a

sen Ĉ sen Â
Procediendo de la misma manera con las otras dos alturas del triángulo, quedarían demostradas las
otras dos proposiciones de la tesis:
a
b

sen senB̂
y aplicando propiedad transitiva de la igualdad,
b
c
 sen B̂  sen Ĉ
con lo cuál quedaría probado que LA MEDIDA DE LOS LADOS EN TODO TRIÁNGULO NO
RECTÁNGULO SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS.
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TEOREMA DEL COSENO: ( TAMBIÉN CON APLICACIÓN A TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS)

H) A B C triángulo no rectángulo
a2  b 2  c 2  2bc.cosÂ
T) b 2  a2  c 2  2ac.cosB̂
c 2  a2  b 2  2ab.cosĈ
Demostración: Dado un triángulo cualquiera, consideraremos
en él los triángulos rectángulos determinados por la altura del


vértice B, A HB y B H C .
2
 por T.Pitágoras  a2  h 2  HC 
2

2
2
En B H C
  h  a  HC

con h  BH y H, pie de altura



2
En A HB  por T.Pitágoras  c 2  h 2  AH  h 2  c 2  AH
2
2
2

2
2
 a2  HC  c 2  AH  a2  c 2  AH  HC 


2
2
y como HC  AC  AH  HC  AC  AH  
  sustituyendo en  
2
2
2

HC  AC  2 AC  AH  AH
2
2
2
2
a2  c 2  AH  AC  2AC  AH  AH  a2  c 2  AC  2AC  AH
y AC  b  a2  c 2  b 2  2b  AH  

En A HB , se cumple además que cos 
AH
 AH  c  cos  sustituyendo en   
c
a2  c 2  b 2  2bc  cosÂ
Procediendo de la misma manera con las otras dos alturas del triángulo, quedarían demostradas las
otras dos proposiciones de la tesis:
b 2  a2  c 2  2ac.cosB̂
c 2  a2  b 2  2ab.cosĈ
con lo cuál quedaría probado que:
EL CUADRADO DE LA MEDIDA DE UN LADO DE TODO TRIÁNGULO NO RECTÁNGULO ES
IGUAL, A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS MEDIDAS DE LOS OTROS DOS, MENOS EL
DOBLE PRODUCTO DE LAS MEDIDAS DE LOS MISMOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO QUE
ELLOS DETERMINAN.
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FICHA PRÁCTICA:
1.- Encuentra el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando las respuestas:
i)sen x  1,03
iii)tgx  1,38
v)tgx  2525
ii)cos x  0,87
vi)cosx  1,002
iv)senx  0,99
2.-Completar sin la calculadora la siguiente tabla:
MEDIDA DE LOS
ÁNGULOS EN
RADIANES
π
6
π
4
π
3
2
π
3
3
π
4
5
π
6
-
π
6
-
π
4
-
π
3
2
- π
3
3
- π
4
sen
cos
tg
3.-Considerando x   , determinar los cuadrantes en que puede encontrarse M ( x ), si se cumple:
v)senx  0 y cosx  0
i)senx  0
iii)tg(x)  0
vi)cosx  0 y tgx  0
ii)senx  0
iv)cosx  0

4.-Completar las siguientes equivalencias, considerando 0  ,360  
i)cos81 23' 

iii)sen210 

iv)cos210 
ii)tg115 
5.-Expresar como funciones de un ángulo agudo positivo:
iii)sen(100  ) 
i)sen140  
iv)tg 290   
ii)tg315 
6.-Determinar los valores positivos de x , tales que:
i)cosx  0,89879404
2
iv)senx  
ii)cosx  1
2
iii)cosx  0,70710678
v)tgx   3
7.-Encontrar todos los valores de x comprendidos entre 0 y 2π que satisfacen cada una de las
siguientes ecuaciones:
1
i)senx 
1
2
iv)cosx  
ii)tgx  1
2
v)senx  2
2
iii)senx 
2
8.-Determinar todos los valores de sen x , cos x y tg x en las condiciones indicadas:
5
2
i)senx  , x  0,90º 
iii)senx  , x  0º ,90º 
13
3
4
1
ii)cosx   , x  180º ,270º 
iv)tgx 
y senx  0
5
2
9.-Encontrar las determinaciones principales (en grados sexagesimales y radianes) de las ángulos tales
que:
9
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1
i)senx 
4
1
1
ii)cosx 
iii)tgx 
4
4
10.- Resuelve en  las ecuaciones siguientes:
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10
i)cos x  3sen x
ii)cos x  sen x
iii)cos x  sen 2x
11.- En los siguientes ejercicios x, designa la medida en radianes de un ángulo orientado, realiza una
resolución gráfica, indica el número de soluciones entre 0,4π  , y efectúa las verificaciones
analíticamente:
2
i)senx 
3
π
3

ii)tgx  3
v)sen x   
2 3

iii)tg2x  π
vi)cosx  tgx  0
3
iv)cosx  
2
12.-Resolver en  , dando el o los valores de x en radianes, utilizando π :
x 1
i)cos 
5
2 2
iv)cosx  sen 2 x 
ii)1  2cos2x  0
4
v)cotgx  2cosx
iii)senx1  2cosx   0
13.- Resolver en  ,dando el o los valores de x en grados sexagesimales:
i)2sen 2 x  3cos2 x  2sen 4 x
ii)cos2 x  2senxcosx  1
iii)2sen 2 x  cos2x  tgx
iv)sec 2 x  2tgx

14.-Aplicando el Teorema del seno, resolver los A B C no rectángulos:
lado a lado b lado c
i)
ii)
iii)
iv)
10
0,8
2,4
4
Â
Ĉ
B̂
30º
45º
20º10’
36º
30º10’ 50º12’
34º
70º10’

15.- Aplicando el Teorema del seno, resolver los A B C no rectángulos:
lado a lado b lado c
i)
ii)
iii)
iv)
5
8
3
4
3
6
6
7
Â
B̂
36º
30º19’
Ĉ
35º15’
46º20’
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
16.- Aplicando el Teorema del coseno, resolver los A B C no rectángulos:
lado a lado b lado c
Â
5
3
8
7
35º
54º10’
35º12’
38º15’
i)
ii)
iii)
iv)
8
6
5
9
B̂
Ĉ

17.- Aplicando el Teorema del coseno, resolver los A B C no rectángulos:
lado a lado b lado c
i)
ii)
iii)
iv)
5
3
8
4
8
7
7,5
8
Â
B̂
Ĉ
6
9
4,3
7
18.-Los tres lados de un triángulo miden 12, 18 y 20. Calcular:
i) la medida de las medianas
ii) la medida de los segmentos determinados en los lados por las bisectrices.
iii) las medidas de las bisectrices.
19.-Un agrimensor tiene que medir una distancia entre dos mojones A y B separados por un río.
Toma un punto C, a 1000m del mismo lado del río que el mojón B. Con un teodolito mide
AB̂C  65º y BĈA  40º . Hallar la distancia que separa los mojones A y B.
20.-Sobre un punto de un cuerpo, se aplican dos fuerzas de 25,6N y 18,3N cada una, que forman
entre sí un ángulo de 39º24’. Hallar la magnitud de la resultante y el ángulo que forma ésta con la
fuerza mayor.
11