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3º ESO. matemáticas
ejercicio de evaluación 8: Conjuntos de números
nombre:
IES Montevil
curso 2010/2011
apellidos:
Las potencias de 10 y los números enormes
¿Cuál es el número más grande de todos?, ¿y cuál es el número más grande en
el que podemos pensar?. La primera pregunta tiene una respuesta fácil aunque quizá
insatisfactoria: no existe tal número; es decir, no hay un número más grande que
cualquier otro, ningún número es el “último”.
Fijémonos en la siguiente característica esencial de los números naturales para
tratar de comprender este hecho: 1 es un número natural y el “siguiente” del 1, el 2,
también es un número natural; el “siguiente” del 2, el 3, es un número natural, al igual
que el “siguiente” del 3, el 4. Esto le ocurre a cualquier número; por tanto no puede
haber un “último” número porque siempre tendríamos el “siguiente”, el que va a
continuación, que también es un número y que es mayor que ese que debía ser el
“último”1.
Pero los matemáticos no quedaron satisfechos con esto de que los números no
tuvieran fin y se inventaron un “objeto matemático”, que no es un número2, que
representa la cantidad que es mayor que cualquier número. La llamaron infinito y la
denotaron por . (El primero en usar este símbolo fue el destacado matemático inglés
del siglo XVII John Wallis.)
En cuanto a la segunda pregunta, vamos a considerar algunos grandes
números:
45 000 000
(45 millones)
100 000 000
(100 millones)
longitud de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, en
kilómetros
1 000 000 000
(1000 millones)
edad de la Tierra, en años
4 600 000 000
(4 600 millones)
edad del Sol, en años
5 000 000 000
(5 000 millones)
nº de habitantes de la Tierra
6 500 000 000
(6 500 millones)
13 000 000 000
(13 000 millones)
nº de habitantes de España
nº de microbios en una cucharadita de tierra
edad del Universo, en años
nº de galaxias en el Universo
100 000 000 000 (100 000 millones)
nº de estrellas en la Vía Láctea
400 000 000 000 (400 000 millones)
gastos militares anuales mundiales, en euros
1 200 000 000 000
(1’2 billones)
deuda de los países en vías de desarrollo, en euros
2 300 000 000 000
(2`3 billones)
40 000 000 000 000
(40 billones)
100 000 000 000 000
(100 billones)
distancia del Sol a la estrella más cercana, AlfaCentauri, en km
peso de una montaña, en kilos
1
Si a es un número, a+1 también lo es, y mayor que el anterior
No es un número de ninguno de los tipos que conocen, pero sí hay una aritmética para el infinito. No pertenece a
los números y no se opera como tal.
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El desconcierto entre millones, billones y trillones es habitual en la vida cotidiana;
es rara la semana en que no se comete en equivocación en las noticias de televisión,
por lo general entre millones y billones. Así que vamos a precisar las diferencias entre
unos y otros:
Un millón es un millar de millares, 1 000 000 (mil veces mil)
Un billón3 es un millón de millones, 1 000 000 000 000.
Un trillón es un millón de billones, 1 000 000 000 000 000 000
Una manera segura de saber de qué número estamos hablando consiste
sencillamente en contar cuántos ceros siguen al uno. Sin embargo, cuando los ceros
son muchos, la tarea puede resultar un tanto tediosa y por eso agrupamos los ceros
en tríadas, lo que facilita el recuento. Pero todo sería más fácil si al denotar un número
grande, indicásemos directamente cuántos ceros hay después del uno.
Esto es lo que han hecho los científicos y los matemáticos, que son gente
práctica. Es lo que se llama notación exponencial o potencias de 10. Se escribe el 10 y
luego, a la derecha y arriba, un número pequeño llamado exponente, que indica
cuántos ceros hay después del uno (o también cuántas veces hay que multiplicar 10
por sí mismo para obtener el número que queremos representar).
El siguiente cuadro es una lista de los nombres y el valor de los primeros
grandes números, así como una estimación del tiempo que se tardaría en contar
desde cero hasta el número, a razón de un número por segundo, día y noche.
NÚMEROS GRANDES
nombre
número
uno
1
mil
millón
notación
exponencial
1 000
1 000 000
tiempo que llevaría contar desde
cero hasta el número
(a razón de una cifra por
segundo, día y noche)
10
0
1 segundo
10
3
17 minutos
10
6
12 días
9
32 años
mil millones
1 000 000 000
10
billón
1 000 000 000 000
10
12
mil billones
1 000 000 000 000 000
10
15
trillón
1 000 000 000 000 000 000
10
18
32 000 años
(tiempo superior a la existencia de
civilización en la Tierra)
32 millones de años
(tiempo superior al de la presencia
de seres humanos en la Tierra)
32 000 millones de años
(más que la edad del Universo)
Los números mayores reciben los nombres de cuatrillón (1024), quintillón (1030),
sextillón (1036), septillón (1042), octillón (1048), nonillón (1054) y decillón (1060), aunque
estos nombres rara vez se utilizan.
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En EE.UU. 1 billón = mil millones
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De este modo, usando potencias de 10 podemos representar, de manera muy
cómoda y compacta, números enormes que difícilmente podemos imaginar, pero sí
podemos escribir y operar. Por ejemplo: La masa de la Tierra es 6 000 000 000 000
000 000 000 000 kilogramos, 6 cuatrillones de kilos. Con la notación exponencial este
número se puede escribir como 6·1024 kilos. Y aún pueden representarse números
mayores. Número de átomos del cuerpo humano, 1028. Número de seres vivos en la
Tierra, 1029. Número de átomos en la biosfera, 1041. Número de núcleos atómicos en
el Sol, 1057. Número de partículas elementales (protones, neutrones y electrones) en
todo el Universo, 1082.
En cierta ocasión el matemático estadounidense Edward Kasner pidió a su
sobrino de nueve años que inventara un nombre para un número gigantesco, 10
elevado a 100, 10100, un uno seguido de cien ceros. El niño lo llamó googol [léase
gúgol]4. Si este número nos parece grande (y realmente lo es, ya que es un trillón de
veces más grande que el número de partículas elementales en el Universo)
consideremos un uno seguido de un googol de ceros, lo que el sobrino de Kasner
bautizó como googolplex [gúgolplex]. Una hoja de papel lo suficientemente grande
para poder escribir en ella con todas sus cifras un googolplex, no se podría meter
dentro del universo conocido. Afortunadamente contamos con las potencias de 10
para poder representar un googolplex de una manera simple y sencilla
¿Cuál de todos estos números que hemos ido mencionando es el que más cerca
está de
?. La respuesta más razonable es el googolplex, ya que es, con gran
diferencia, el mayor de los números comentados. Pero no por razonable es cierta; de
hecho es falsa. La respuesta correcta es que todos están a la misma distancia de .
Y esta es una de las propiedades más importantes y sorprendentes de los números
naturales. Desde otro punto de vista esta propiedad se puede interpretar como que,
por mucho que avancemos en la serie de los números naturales, siempre estaremos a
la misma distancia del final, de ; o que el conjunto de los números naturales es una
especie de cuerno de la fortuna, del que se podía extraer dinero constantemente y
nunca se vaciaba, ya que por muchos números que le quitemos al conjunto (siempre
en cantidad finita) seguirá teniendo infinitos elementos.
Llegar a esta conclusión y descubrir la verdadera naturaleza y significado de
le llevó a la humanidad unos 2 400 años, desde que allá por el 450 a. C. Zenón de
Elea planteara las primeras paradojas con el infinito, hasta que, a finales del siglo XIX
el matemático alemán de origen ruso Georg Cantor, diese una respuesta satisfactoria
a la cuestión de qué es y cómo manejar el infinito.
BIBLIOGRAFÍA
Historia de la matemática. Carl B. Boyer. Alianza Universidad Textos, 1992.
Miles de millones. Carl Sagan. Ediciones B, 1998.
Cosmos. Carl Sagan. Editorial Planeta, 1982.
El nombre del famoso buscador de internet Google hace referencia a este número. Los inventores de Google
quisieron bautizar su buscador con el nombre que le había dado el sobrino de Kasner a 10100, pero se equivocaron
al deletrearlo. Así nació Google cuando debería haber nacido Googol.
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ACTIVIDADES
En el texto se afirma que 1 trillón de segundos es más tiempo que la edad de
nuestro Universo. Supongamos que los universos se hacen mayores de edad al
cumplir 1 trillón de segundos. Actualmente los científicos estiman que la edad de
nuestro Universo es de 13000 millones de años.
I.
Entonces, ¿qué edad humana tiene nuestro Universo?
Seguimos contando. ¿Cuántos segundos han pasado desde el momento de tu
nacimiento hasta ahora mismo? (En tu respuesta deberás precisar el momento de tu
II.
nacimiento y qué momento consideras “ahora mismo”)
Como dice el texto un googolplex es un uno seguido de un buen montón de ceros.
Queremos escribir ese número con todas sus cifras. Escribimos muy pequeño y cada
cifra ocupa 1 mm de longitud. ¿Cuánto mide la hoja de papel que necesitaríamos?
III.
Expresa el resultado en años-luz y aproxímalo a las milésimas.
IV. Busca información sobre Zenón de Elea y explica una de sus famosas paradojas
V.
Redacta un comentario con tus impresiones y opiniones sobre el texto.
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