Download GuÃa Nº 5 - Facultad de Ciencias Económicas

Mgter. Fernando García
Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Económicas
Cátedra: Estadística III
Guía de actividades Nº 5
1. Obtener la Función Característica y luego calcular la esperanza y varianza de las
siguientes variables aleatorias:
a) X ~ N(0,1)
b) X ~ Γ(α , β)
c) X ~ Exponencial (λ)
1

P
1
2. Sea X n    n ,  . Pruebe que X n 
n

3. (Ley Débil de los Grandes Números) Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de v.a.i.i.d
con media μ y varianza finita σ2 y sea Sn  X1 + X2 + X3  ...  Xn , n  1. Pruebe
S
P

que n 
n
4. Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de variables aleatorias independientes tales que
1
1
P
1
P  X n  1  1 
y P  X n  n   , n  1. Pruebe que X n 
n
n
5. Resuelva la actividad 2 a través de la Convergencia vía transformaciones (utilice la
Función Característica).
6. Resuelva la actividad 4 a través de la Convergencia vía transformaciones (utilice la
Función Característica).


d
 Po( ) a través de la
7. Suponga que X n  Bin  n ,  . Pruebe que X n 
n


Convergencia vía transformaciones (utilice la Función Generadora de Momentos).
8. Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de variables aleatorias independientes distribuidas
U(0,1). Pruebe que:
n
X
i 1
n
X
i 1
i
2
i
P


3
2
9. Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de v.a.i.i.d con media μ. Demuestre
P
X n 
 
que
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10.
Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de variables aleatorias independientes
distribuidas N (0,1). Demuestre que:
X1
d

 N(0,1)
n
X
i 1
2
i
n
11.
Sean Zn ~ N (0,1) y Zn ~  2 n  variables aleatorias independientes. Demuestre
que:
Zn
d

 N(0,1)
Vn
n
12.
Sean X1 , X2 , X3.... una sucesión de v.a.i.i.d con media μ y varianza finita σ2 .
Demuestre que:
n (X n  ) d

 N(0,1)
Sn