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Electrónica de dispositivos
Dr. C. Reig 05/06
Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos
Cap. 3: K. Kano
–
–
–
–
Introducción
Densidad de Estados (DeE)
Función de distribución de Fermi-Dirac
Densidad de portadores en semiconductores intrínsecos.
Nivel de Fermi
– Semiconductores extrínsecos: tipo p y tipo n
– Densidad de portadores en semiconductores extrínsecos
– Nivel de Fermi en semiconductores extrínsecos
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Introducción
Objetivo
Calcular la densidad de portadores en semiconductores puros y poco dopados
Motivo
Poder determinaran los comportamientos característicos tensión/corriente de los dispositivos
Esquema
⎫
⎪
×
⎬ ⇒ Densidad de portadores
Probabilidad de ocupación ⎪⎭
Densidad de estados
Concepto: Equilibrio térmico
Es el estado en que un proceso es acompañado por otro, igual y opuesto (estado dinámico),
mientras que el sistema se mantiene a la misma temperatura, sin intercambios de energía
con el exterior.
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Densidad de estados
Definición
La densidad de estados es el número de
estados electrónicos posibles por unidad
de volumen y por unidad de energía.
En un metal (los electrones son libres):
N (E ) =
π ⎛ 8m ⎞
⎜
⎟
2 ⎝ h2 ⎠
3
2
E
[1]
Apéndice C
K. Kano
Puede considerarse como una función continua en E
Está expresión también será válida para un semiconductor
cristalino (electrones quasi-libres, ligados a un potencial periódico)
Para adaptarla, hemos de introducir EC, EV y m*
Nn (E ) =
π ⎛ 8m ⎞
3
N p (E ) =
π ⎛⎜ 8m ⎞⎟
3
∗
n
⎜⎜ 2 ⎟⎟
2⎝ h ⎠
∗
p
2 ⎜⎝ h 2 ⎠⎟
2
E − EC para E > EC
[2]
EV − E para E < EV
[3]
2
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Función de distribución de Fermi-Dirac
Los electrones son fermiones, i. e., partículas que cumplen
el principio de exclusión de Pauli
Así, vendrán gobernados por la estadística de Fermi:
1
f (E ) =
e
E − EF
kT
+1
[4]
f(E) es la probabilidad que un estado de energía E esté
ocupado, EF es el nivel de Fermi, k es la constante de
Boltzmann y T es la temperatura absoluta.
http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education/semicon/fermi/functionAndStates/functionAndStates.html
Comentarios
Un estado con energía E>EF tendrá mas posibilidades de ser ocupado a mayor temperatura.
A una temperatura T, la probabilidad de ocupación disminuye si aumenta la energía
Para cualquier T, la probabilidad de encontrar un electrón con una energía EF es 1/2.
A T=0, la probabilidad de encontrar un electrón con E>EF es 0 y con E<EF es 1
Si la probabilidad de encontrar un electrón es f(E), la probabilidad de no encontrarlo es 1-f(E)
Aproximación de Boltzmann (facilitará los cálculos posteriores)
≅ exp[− (E − EF ) kT ] para (E − EF ) > 3kT
[5]
fV (E ) = 1 − f (E ) ≅ exp[− (EF − E ) kT ] para (EF − E ) > 3kT
[6]
electrones → fC (E ) = f (E )
huecos →
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Densidad de portadores
⎛ 2πm kT ⎞
⎛ E − EF ⎞
⎟⎟
⎜⎜
n = ∫ Nn (E ) ×fC (E ) dE = ... = NC exp⎜ − C
N
con
2
=
⎟
C
EC
kT ⎠
⎝
⎠
⎝ h
∗
n
2
∞
3
2
[7]
Densidad efectiva de estados
de la banda de conducción
⎛ 2πm kT ⎞
⎛ EF − EV ⎞
⎟
p = ∫ N p (E ) ×fV (E )dE = ... = NV exp⎜ −
con NV = 2⎜⎜
⎟
⎟
−∞
kT ⎠
⎝
⎝ h
⎠
∗
p
2
EV
3
2
[8]
Densidad efectiva de estados
de la banda de valencia
semiconductor
Si
Ge
GaAs
N C (cm -3)
N V (cm -3)
3.22×10 19
1.03×10 19
4.21×10 17
1.83×10 19
5.35×10 18
9.52×10 18
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E g (eV)
1.12
0.66
1.42
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Densidad de portadores (cont.)
Densidad intrínseca de portadores: ley de acción de masas
n ⋅ p = NC NV e
E −E
− C V
kT
Eg
=n ⇒ n⋅p =n
2
i
2
i
[9]
⎛ 2πkT ⎞
ni = 2⎜ 2 ⎟
⎝ h ⎠
3
2
(m m )
∗
n
∗
p
3
4
⎛ E ⎞
exp⎜⎜ − g ⎟⎟ [10]
⎝ 2kT ⎠
Posición del nivel de Fermi
De ecuaciones anteriores:
EF =
EC + EV kT ⎛ NV ⎞
⎟⎟
ln⎜⎜
+
2
2 ⎝ NC ⎠
[11]
Si usamos la relación
3
3
∗ − 2
2
∗
⎛
⎞
⎛
⎞
m
NV ⎜ mn ⎟
[12]
= ⎜ ∗ ⎟ = ⎜⎜ p∗ ⎟⎟
NC ⎝ mp ⎠
m
⎝ n⎠
Entonces
⎛ mn∗ ⎞
⎛ mp∗ ⎞ EC + EV 3
EC + EV 3
+ kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ =
− kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ [13]
EF =
m
2
4
2
4
⎝ n⎠
⎝ mp ⎠
Para un semiconductor intrínseco:
⎛ mn∗ ⎞
3
− kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟
E i = EF = EV +
2 4
⎝ mp ⎠
Eg
ni(Si,300K)=1.45×1010cm-3
EC
E F=E i
[14]
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Eg
EV
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Semiconductores extrínsecos
Los semiconductores extrínsecos se forman añadiendo pequeñas cantidades de impurezas
a los semiconductores puros. El objetivo es modificar su comportamiento eléctrico al alterar la
densidad de portadores de carga libres.
Estas impurezas se llaman dopantes. Así, podemos hablar de semiconductores dopados.
En función del tipo de dopante, obtendremos semiconductores dopados tipo p o tipo n.
Para el silicio, son dopantes de tipo n los elementos de la columna V, y tipo p los de la III
II
III IV V VI
p
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n
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Semiconductores tipo n y tipo p
Tipo n
En general, los elementos de la columna V convierten al Si en
tipo n. Estos elementos tienen cinco electrones de valencia en
su última capa y se les llama impurezas dadoras.
electrones
¡no generan
huecos!
estados localizados
(cargas fijas)
ionización completa
Tipo p
En general, los elementos de la columna III convierten al Si en
tipo p. Estos elementos tienen tres electrones de valencia en
su última capa y se les llama impurezas aceptoras.
estados localizados
(cargas fijas)
ionización completa
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huecos
¡no generan
electrones!
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Densidad de portadores en semiconductores extrínsecos
En los semiconductores tipo n, los electrones son los portadores mayoritarios.
En los semiconductores tipo p, los huecos son los portadores mayoritarios.
La ley de acción de masas se cumple para semiconductores extrínsecos, en equilibrio térmico
Nc, Nv = ctes.
Eg ≠ f(n)
n0 ⋅ p0 = ni2
[15]
Dependencia
de la
concentración
de portadores
con la
temperatura
Para cumplir la neutralidad de la carga:
q (n0 + N A− ) = q (p0 + ND+ )
De ambas:
⎤
ND − N A ⎡⎛ ND − N A ⎞
2
+ ⎢⎜
⎟ + ni ⎥
2
2
⎠
⎦⎥
⎣⎢⎝
2
n0 =
Condición de ionización completa
[16]
1
2
[17]
Para un semiconductor tipo n, ND>>NA, y ND>>ni :
n0 ≅ N D
y
p0 ≅
ni2
ND
[18]
Para un semiconductor tipo p, NA>>ND, y NA>>ni :
tipo n
n0 ≅ ND
T~300K
tipo p
p0 ≅ NA
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p0 ≅ N A
y
n0 ≅
ni2
NA
[19]
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Nivel de Fermi en semiconductores extrínsecos
Nivel de Fermi
y
densidad de portadores
De las ecuaciones [7] y [8]:
⎛ E − Ei
n = ni exp⎜ F
⎝ kT
⎞
⎟ = n0 [20]
⎠
⎛ E − EF
p = ni exp⎜ i
⎝ kT
⎞
⎟ = p0 [21]
⎠
cambiando: n, p ↔ ni
EF ↔ Ei
semiconduc tor tipo n [22]
n
N
EF − Ei = kT ln 0 ≅ kT ln D
ni
ni
EC
EF
Ei
semiconduc tor tipo p [23]
p
N
E i − EF = kT ln 0 ≅ kT ln A
ni
ni
EC
E F-E i
Eg
EV
Ei
EF
EV
Eg
E i-E
http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education/semicon/fermi/bandAndLevel/fermi.html
desde otro punto
de vista ...
http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education
/semicon/fermi/levelAndDOS/index.html
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Ejemplo
Sea una muestra de silicio a 300K.
a) Calcule la densidad de portadores intrínsecos.
b) Calcule la densidad de electrones y huecos si se dopa con fósforo en una
concentración de 1017 cm-3.
c) Calcule la posición de los niveles de Fermi intrínseco y extrínseco.
a) Utilizando la ecuación [9]:
ni2 = NC NV e
−
Eg
kT
= 3.22 ⋅ 1019 cm − 3 × 1.83 ⋅ 1019 cm − 3 × e
−
1.12 eV
86.2 ⋅10
−6
µeV ⋅K -1 × 300K
→ ni ≅ 1010 cm − 3
b) El P dopa el Si tipo n. A 300 K, habrá ionización completa → se da: ND>>ni (1017>>1010).
n0 ≅ ND = 10 cm
17
-3
;
2
n
i
p0 ≅
ND
= (10
10
cm − 3 )
c) El nivel de Fermi intrínseco se localizará en el
centro de la banda prohibida. El extrínseco:
n
N
EF − Ei = kT ln 0 ≅ kT ln D
ni
ni
1017
−1
= 86.2 µeV ⋅ K × 300 K × ln 10
10
17
10
= 0.025 eV × ln 10 = 0.403 eV
10
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2
17
10 cm
−3
= 10 3 cm − 3
EC
EF
Ei
EV
0.403 eV
E g= 1.12eV
E g/2 = 0.56 eV
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Hoja de datos 2.1
En semiconductores intrínsecos:
En fermiones:
1
f (E ) =
e
E − EF
kT
⎛ mn∗ ⎞
3
− kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟
E i = EV +
2 4
⎝ mp ⎠
Eg
+1
n ⋅ p = ni2
Densidades efectivas de estado
semiconductor
Si
Ge
GaAs
N C (cm -3)
N V (cm -3)
3.22×10 19
1.03×10 19
4.21×10 17
1.83×10 19
5.35×10 18
9.52×10 18
E g (eV)
1.12
0.66
1.42
ni(Si,300K)=1.45×1010cm-3
En semiconductores extrínsecos:
n0 ⋅ p0 = ni2
semiconduc tor tipo n
n
N
EF − E i = kT ln 0 ≅ kT ln D
ni
ni
ni2
n0 ≅ ND y p0 ≅
ND
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semiconduc tor tipo p
p
N
E i − EF = kT ln 0 ≅ kT ln A
ni
ni
ni2
p0 ≅ N A y n0 ≅
NA
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Tema 3: Técnicas de dopado
Bibliografía diversa
Varias técnicas:
– Durante el crecimiento
– Difusión
– Implantación iónica
Estudiaremos:
–
–
–
–
Aplicaciones
Sistemas/métodos/tecnologías
Teoría
Ejemplos
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