Download 3º Año - Escuela Técnica RAGGIO

Escuelas Técnicas Raggio
Índice
Programa de Estudios..…………………………………................
2
Nivelación………….………………………………………................
3
Números irracionales. Radicales ....………………………………..
10
Trigonometría ..…………………………………………………… ……
23
Números complejos .…………………………………………………….
50
Función cuadrática....………………………………………………….
62
Función logarítmica y exponencial………………………………….
79
Apéndice…………………………………………………………………..
101
Bibliografía………………………………………………………………..
102
1
Escuelas Técnicas Raggio
Programa analítico de estudios
(todas las especialidades)
Contenidos:
Unidad 1
Representación en la recta de radicales. Propiedades del conjunto de números reales. Radicales. Propiedades de la
radicación. Extracción e introducción de factores en un radical. Suma, resta, multiplicación y división de radicales.
Racionalización de denominadores. Potencia de exponente fraccionario. Cálculos combinados y ecuaciones
Unidad 2
Trigonometría. Definición. Razones trigonométricas. Signos en los cuatro cuadrantes. Relaciones entre las razones
trigonométricas de un mismo ángulo. Ecuaciones e Identidades. Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.
Funciones trigonométricas. Representación gráfica con variación de parámetros.
Unidad 3
Números complejos. Concepto. Forma de escribir un número complejo: binómica, par ordenado y exponencial.
Complejos conjugados. Operaciones. Representación gráfica. Adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación. Cálculos combinados y ecuaciones.
Unidad 4
Función cuadrática. Gráfica y análisis de la misma. Vértice, intersección con los ejes cartesianos, Imagen. Forma
canónica, polinómica y factorizada. Ecuación polinómica de segundo grado. Ecuación fraccionaria e irracional
reducible a cuadrática. Sistemas mixtos. Propiedad de las raíces. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado por
medio de sus raíces. Ecuación bicuadrada. Problemas.
Unidad 5
Logaritmos: definición, propiedades operatorias. Cambio de base. Uso de la calculadora. Logaritmo decimal y
Logaritmo natural. Función logarítmica. Función exponencial. Ecuaciones. Problemas de aplicación.
2
Escuelas Técnicas Raggio
Nivelación
3
Escuelas Técnicas Raggio
Función lineal, ecuación de la recta, rectas paralelas y perpendiculares.
1. Indicar cuáles de las siguientes funciones son lineales:
a) y = -2x+6
b) m =
1
n4
2
c) y   x 2  3
1
1
x  y 
3
2
1
2. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta y =  x  9 ?
3
e) 2 y  3 x  4
d) y  ( x  1) 2
f) 
¿Qué debes hacer para probarlo sin representar gráficamente?
a. m=( 1;
26
)
3
b. n=(9;0)
c. q = (3;-10)
d. ñ= (0;9)
e. p=(-3;10)
3. Hallar la fórmula de la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos m = (-1;2) y n = (3;-5), analizar su
crecimiento o decrecimiento, indicar su raíz y graficarla.
4. Observar las siguientes gráficas de funciones lineales y completar el cuadro para cada una.
Gráfica
Cero y ord. al Pendiente
origen
5. Indicar cuáles son las funciones lineales asociadas a
perpendiculares:
a(x) = -x + 4
e(x) = 
2
1
x
3
2
Fórmula
rectas paralelas y cuáles son asociadas a rectas
c(x) = 
b(x) = 4x – 2
f(x) = -x
¿Creciente o decreciente?
1
x2
3
g(x) = -0,25x – 6
3
x5
2
1
1
h(x) =  x 
3
2
d(x) =
6. La recta M tiene la siguiente ecuación y = -2x +3
a. hallar la ecuación de la recta T, paralela a M y que pasa por el punto (-1;3).
b. Hallar la ecuación de la recta R, perpendicular a T que pase por el punto (3;-2).
c. Representar las tres rectas en el mismo sistema de ejes cartesianos.
4
Escuelas Técnicas Raggio
7.
Los puntos Q1 =(1;1) Q2 =(5;4) Q3 =(4;6) que forman un triángulo:
a) hallar la ecuación de la recta que es altura del lado Q2 Q3 .
b) Graficar en el mismo sistema de ejes el triángulo y la recta altura.
8. El prospecto de un medicamento indica una dosis de 2,5 mg por kilogramo de peso del paciente. Escribir la
fórmula de la función lineal que vincula ambas variables.
9. Para reparar un piso de madera, un técnico especializado cobra $30 el metro cuadrado, más un cargo fijo de
$20 por viáticos. Consideren la función P(a) que asigna el precio p (en $) correspondiente a la medida a (en
m 2 ) de superficie de piso reparado.
Ecuaciones de 1º grado
10. Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 7.(2 – 3x) = 3.(5x – 1)
b. 4,3 + 3,2x = 5,2x + 7,3
c. 3.(2x - 1) + 4.(2x + 5) = 40
x
5
(  3).2  ( x  55) : 5
4
2
1 x 3
e.

3 x 4
2.( x  4) 3.(5  x)
f.

 2
3
2
3 y  2 3 y  2 11
g.


2
3
4
3z  5 9  2 z z  3
h.


4
3
2
d.
11. Traducir los enunciados de los siguientes problemas a lenguaje simbólico y resolver:
a. En un triángulo isósceles de 24cm de perímetro, la medida del lado desigual es dos tercios de la medida de
cada uno de los lados congruentes. Calculen la medida de los lados del triángulo.
b. Natalia compro un libro de Ciencias Naturales, uno de Matemática y una novela y pagó en total $45. El
libro de Ciencias Naturales le costó el doble de lo que pagó por el de Matemática, y éste le costó los dos
tercios del precio de la novela. ¿Cuánto cuesta cada libro?
c. Ente los alumnos de un curso se inscribieron en un torneo de fútbol un octavo del total menos cuatro
alumnos. El profesor de Educación Física se enojó porque los inscriptos fueron sólo 3 de cada 20
alumnos. Calculen el número de alumnos de ese curso.
Sistemas de ecuaciones
12. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a. Indicar el conjunto solución de cada sistema.
b. Representar gráficamente el sistema y la solución.
c. Indicar si es un sistema compatible determinado (S.C.D.), un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) o
un sistema incompatible (S.I.).
 3x  2y  7
1. 
 2x  5y  12
1

 2  y  4x  3 y
4. 
3 x  y  6 x  y
2
5

x - y  3
2. 
 3x  2 y  4
x  1 2 y
5. 
2 x  4 y  0
5
2 x  y  7
3. 
 6x  21  3y
1
3
x 
y  4

6.  2
4
 4x  8y  40
Escuelas Técnicas Raggio
13. Consideren el siguiente sistema de ecuaciones.
 3 x  2 y  2

 mx  ny  p
Indicar los valores de m, n y p en cada uno para que cada sistema resulte:
a. Compatible determinado.
b. Incompatible.
c. Compatible indeterminado.
14. Resolver los siguientes problemas, elaborar primero el sistema de ecuaciones correspondiente a cada problema:
a. Se sabe que el doble de un número más otro es 8 y que el promedio es
b. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que tiene área
9
. ¿De qué números hablamos?
4
3
y perímetro 5?
2
c. Un agricultor siembra cebada y trigo. La cosecha total alcanza 12 toneladas. Al pesar cada una de las
cosechas se da cuenta que la de trigo es el doble que la de cebada. ¿Cuánto trigo y cuánta cebada sembró?
d. Juan y Pedro fueron a comprar lo que necesitaban para salir de campamento, llevando entre los dos $60.
Juan gastó el 90 % de los que tenía y Pedro el 80 % de lo suyo, y les quedaron $7. ¿Cuánto dinero tenía
cada uno?
Propiedades de la potenciación y radicación en 
Definición:
n : exponente
a b 
a : base
b : potencia enésima
Propiedades de la potenciación:
n
a0 = 1  a  0
1) 7 0 = 1
Potencia de exponente cero.
2) 23 · 24 · 2-2 = 2 3 + 4 + ( -2 ) = 25
Producto de Potencias de igual base. a n .a m  a n  m
1) 56 : 5 –8 : 59 = 56 – ( -8 ) – 9 = 55
Cociente de Potencias de igual base. a n : a m  a n  m
2) ((52)-2)6 = 52 · (-2 ) · 6 = 5 –24
Potencia de otra Potencia.
( a n ) m  a n.m
3) ( 2· 6 )2 = 22 · 62 = 4 · 36 = 144
Distributividad de la potencia respecto
(a.b) n  a n .b n
del producto.
4) ( 8: 4 )3 = 83 : 43 = 512 : 64 = 8 Distributividad de la potencia respecto
del cociente.
( a : b) n  a n : b n
7) 6  2 
1
62
Potencia de exponente negativo.
8) ¿son verdaderas estas igualdades?
(3+5) 2 = 3 2  5 2
(7  3) 3  7 3  33
Compruébalo...
La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
( a  b) n  a n  b n
( a  b) n  a n  b n
6
a n 
1
an
Escuelas Técnicas Raggio
Propiedades de la radicación:
n
a se indica raíz enésima de a
a es un número racional
n es un número natural mayor o igual a 2
La radicación se la puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:
1
n
a  an
1) Distributividad de la radicación respecto del producto:
2) Distributividad de la radicación respecto del cociente:
n m
3) Raíz de otra raíz:
n
a.b  n a .n b
n
a:b  n a :n b
a  n.m a
4) Simplificación de radicales:
n
a
m
n
r
m
 ar r 0
5) ¿son verdaderas estas igualdades?
16  9  16  9
3
27  8  3 27  3 8
Compruébalo...
La radicación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
n
ab  n a n b
n
ab  n a n b
15. Resolver :
a.
25  ..........
d. 0,0049  ..........
16. Indicar V o F. Justificar :
a.
b.
c.
d.
25
 ..........
9
f.  4 16  ..........
b.  64  ..........
e.
5
c.
 32  ..........
8.3  8. 3 .................................................................................................
9  16  9  16 .......................................................................................
3
25 : 8  3 25 : 3 8
.........................................................................................
100  36  100  36 ...............................................................................
3
27 
e.


3
27 ................................................................................................
f. 6 3 2  9 2 .......................................................................................................
17. Decide, en cada caso, si las igualdades dadas son correctas. Justifica.
a.
b.
n
ab  n a n b
a.b 
n
am 
..........................................................................................
 a .b ...................................................................................................
n
n
 a  ; a  0 .........................................................................................
m
c.
n
d.
a  b 2  a 2  b 2 .............................................................................................
e.
a n .a m  a n  m ....................................................................................................
n
m
a m  a n ..........................................................................................................
. a  b   a 2  b 2 ....................................................................................
g. a  b 
ab a
  1 ...................................................................................................
h.
b
b
f.
n
7
Escuelas Técnicas Raggio
18. Aplicando las propiedades correspondientes, hallar :
a.
125 : 5 
2 . 10 . 5 
b.
c.
26 
90 : 5. 2 
d.
e.
f.
64 
3
3


3
27 3
=
2
81 3 =
g.
5
h.
100000 : ( - 32 ) =
19. Encontrar el valor de a en cada igualdad utilizando las propiedades de la radicación:
a.
b.
7  18 7
a 3
5 a5
3 a
c. a a a 8  8 8
20. Aplicar propiedades de la radicación para reducir las siguientes expresiones:
a3 a a 4 
a.
b.
9
x12

y 15
c.
6
x 4 9 x 6 15 x 10 
d.
3
x2 z5 3 x7 z 
e.
3 3
f.
4 3
y 4 .9 y 5 a 18 x 9 
m 3 n 14 .
6
m5n 2 
21. Calcula el área del cuadrado cuya diagonal tiene por medida a
2.
22. Calcula el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la medida de su altura es
8
3
2.
2
Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1. a, b, e y f
2. m; ñ; p
3. y = 
7
1
1
x  . Es decreciente pues la pendiente es negativa. La raíz está en x 
4
4
7
4.
Gráfica Cero ord. al origen Pendiente
a)
-2
1
1
2
b)
c)
d)
e)
1
0
0
2
1
0
0
2
-1
-1
1
-1
Fórmula
y
1
x 1
2
y = -x+1
y = -x
y=x
y = -x+2
¿Creciente o decreciente?
Creciente
Decreciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
5. a(x) // f(x) ; c(x) // h(x)
b(x)  g(x) ; a(x)  e(x)
6. T: y = -2x+1 ;
7. y =
R: y =
1 7
x2 2
1
1
x+
2
2
8. x: peso
y: dosis
y = 2,5 x
9. P(a) = 30a + 20
17
3
23
17
13
10. a) x =
b) x = 
c) x =
d) x = -17 e) x = 5 f) x =
g) y =
h) z= 3
36
2
14
13
6
11. Miden 9cm los lados congruentes y 6cm el otro lado. b) Novela $15 ; Matemática $10 ; Cs. Naturales $20
c) 36 alumnos.
12. 1. S = (1;2)
S.C.D.
2. S = (2;-1)
S.C.D.
3. S: y = 2x - 7 S.C.I.
4. S = (
3 3
; ) S.C.D.
7 7
5. S = Ø
6. S = (2;4)
S.I.
S.C.D.
13.
14. a) Los números son
7
3
y 1 b) Los lados miden 1 y
2
2
d) Juan tenia $50 y Pedro tenía $10
15. a) 5
b) -8
c)
5
3
d) 0,07
e) -2
f) -2
16. a) V b) F c) V d) F e) V f) F
17. a) F b) V c) V d) F
e)V
f) V g) V h) V
18. a) 2 b) 5 c) 10 d) 8 e) 3 f) 3 2 g)27 h) 19. a) a = 6
b) a = 3
20. a) a 4 b) 3
5
16
c) a = 2
4
x
c) x 2 d) x 3 z 2 e) y a 2 x 1 f) n -1 3 m 2
5
y
21. Área = 1
22.
6
9
c) Trigo: 8 toneladas ; Cebada: 4 toneladas
Escuelas Técnicas Raggio
UNIDAD 1:
Números
Irracionales
10
Escuelas Técnicas Raggio
Introducción
En el pueblo “Las plazoletas”, para llegar desde un edificio público a otro, siempre hay que atravesar alguna plaza o
plazoleta. Marcelo tiene que hacer algunos trámites en la Municipalidad, en el banco y en la oficina de la AFIP. Para
poder ubicarse usa un plano del centro del pueblo como el de la figura.
a. ¿En qué orden debe hacer el recorrido para que el trayecto sea mínimo? Márquenlo en el mapa.
b. Calculen la longitud exacta de cada posible trayecto recorrido por Marcelo.
Los números Irracionales I, son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción, ya que su expresión
decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Por ejemplo, son números irracionales:
a. Raíces de números naturales no exactos:
5
2 ; 3 5 ; 4 6 ….
  3,1415...
b. Números especiales: e  2,7182...

1 5
número de oro
2
La unión del conjunto Q, de los números racionales, con el conjunto I, de los números irracionales, forman el conjunto
R de los números Reales.
Representación de irracionales en la recta numérica
Para ubicar en la recta numérica un número irracional cuya expresión exacta es un radical, se utiliza el Teorema de
Pitágoras.
Recordamos…
A2  B 2  C 2
B 2  C 2  A2 Según el triángulo ab̂c, ¿cuál de las tres expresiones expresa el teorema de Pitágoras?
A2  C 2  B 2 ¿es válida para cualquier tipo de triángulo?
¿Cómo podemos representar en la recta real a los números radicales utilizando el teorema de Pitágoras?
Todo número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para representar ese punto sobre la recta numérica,
procedemos de la siguiente manera:
a. Representamos, por ejemplo, el irracional 2 .
Construimos, apoyado sobre la recta, un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1. Según sus lados, ¿qué tipo
de triángulo es? ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Con el compás transportamos la medida de la hipotenusa sobre la recta.
2.
Así queda representado sobre la recta real el radical
b. Si queremos representar el radical 3 tenemos que elegir
convenientemente el valor de los catetos del triángulo rectángulo.
Utilizando el valor de 2 representado como cateto y el otro
cateto de valor 1, el valor de la hipotenusa es :
 2
2
11
 12  3
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 1: Representen sobre la recta real, eligiendo convenientemente el valor de los catetos, los
siguientes radicales:
a. 5
b. 7
c. 11
d. 21
Radicales
La expresión n a se lee raíz enésima de a, y en ella:


a es el radicando y es un número racional
n es el índice y es un número natural mayor o igual que 2
2
Ejemplos:
3
 15
5
32
3
5
8
Cuando un radical es un número irracional no lo consideramos una operación por resolver sino la expresión exacta de
ese número.
Vamos a estudiar algunos recursos algebraicos que, en determinados casos, nos permitirán reducir expresiones con
radicales a otras equivalentes más sencillas.
Extracción e introducción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o igual que el
índice de la raíz. Para ello debemos factorizar los coeficientes numéricos y aplicar las propiedades de la potenciación y
radicación.
Regla práctica: Se divide el exponente por el índice de la raíz, el cociente de dicha división representa el exponente
dicho factor que sale; y el resto representa el exponente que queda dentro de la raíz de dicho factor.
16 x 7  3 2 4  x 7  2  x 2  3 21  x 1  2 x 2  3 2 x
a.
3
b.
5
128 5 5 2 7 5 2 5 2 2 0 2 5
y 
y  y 0 y  y 4
243
3
3
35
3
Para introducir factores dentro del radical se realiza la operación inversa a la que efectuamos anteriormente.
Por ejemplo…
3ab 3 c  3 2  a 2  b 6  c  9a 2 b 6 c
Ejercicio 2: Extraer todos los factores posibles de cada uno de los siguientes radicales:
a.
8 
b.
0,27 
h.
10.000 
i.
4
32x 10

81 y 20
x 21 
j.
3
0,064a 8 b 10

c 21
c.
3
d.
4
e. 16x 3 
f.
9a 2 b 6 c 
g.
 8x 6 y 5 
3
81m 11 n 16

125
3
k.
l.
75x 3 y 4 z 
8x 2

y3
Ejercicio 3: Introduzcan todos los factores posibles dentro del radical:
a. 4 a 2 x10 2 x 
c. 5 x (x - 2) 
b.
27x 4 3 2
3x 
m5
d. (x - 7) x  7 
12
Escuelas Técnicas Raggio
Adición y sustracción de radicales
Radicales semejantes.
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
 Términos con radicales semejantes:
3
y 5 3
23 2 y 43 2
3 4 x3 y - 8 4 x3

Términos con radicales no semejantes:
3 7
y 2 7
5 x
y 7 y
 4 4 3m y 9 4 4m
Adición y sustracción de radicales.
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
Por ejemplo…
 Agrupamos y sumamos o restamos los radicales semejantes:
a. 75 6  5 6  25 6  5 6 (7  1  2)  65 6
b. 3 2  5 3 3  2 2  3 3  (3 2  2 2 )  (5 3 3  3 3 )  2  6 3 3

Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión:
a. 2 2  3 8  32  2 2  3 2 3  2 5
 2 2  3 2 2.2  2 4.2
 2 2  3 22 . 2  24 . 2
 2 2  3.2 2  4 2
 2 2  3.2 2  4 2
2 2 6 2 4 2
4 2
b. 4 3  64 25  8 27  20  4 3  64 5 2  8 3 2.3  2 2.5
 4 3  6 5  8.3 3  2 5
 3 (4  24)  5 (6  2)
 20 3  4 5
Ejercicio 4: Resolver las siguientes sumas y restas de radicales:
a. a  2 b  a  b 
9 x  25 x  49 x 
b.
c. 3 18  11 2  2 50 
d.
4
9 y 8  6 27 y 12 
e.
3 3 16 5 3
2

54  5 3

2 27 3
125
f.
81a 3  9a 3  25a 3 
13
Escuelas Técnicas Raggio
Multiplicación y división de radicales
Para multiplicar y dividir radicales se aplican las propiedades de la potenciación y radicación.
Ejemplos…
Si los radicales ya tienen el mismo índice procedemos de la siguiente forma…
2 ( 2  8 )  2 2  2 8  2.2  2.8  4  16  2  4  6
a.
b. ( 75  27 ) : 3  75 : 3  27 : 3  75 : 3  27 : 3  25  9  5  3  2
c. ( 3  5 ) 2  ( 3 ) 2  2 3 5  ( 5 ) 2  3  2 15  5  8  2 15
d. ( 8  3 )( 8  3 )  ( 8 ) 2  ( 3 ) 2  8  3  5
Si los radicales tienen distinto índice se aplican las propiedades de la radicación y la potenciación de esta manera…
1
1 1

2
1
5
a.
3
3. 3  3 3 .3 2  3 3
b.
3
x 2 4 x 3  x 3 .x 4  x 3
4
m3
5
m2
2
3
c.

m4
m
2
5
3
3 2

5
 m4
 3 6  6 35
2 3

4
17
 x 12  12 x 17  12 x 12 .x 5  x.12 x 5
7
 m 20  20 m 7
Otra forma de multiplicar y dividir radicales con distinto índice es hallando el mínimo común índice de los radicales.
Procedemos así:
a. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
b. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
exponentes correspondientes.
c. Luego, multiplicamos aplicando las propiedades de la potencia y la radicación.
Por ejemplo:
a.
b.
Ejercicio 5: Resuelvan las siguientes operaciones con radicales:
14
Escuelas Técnicas Raggio
Racionalización de denominadores
Racionalizar el denominador consiste en transformar una expresión que contiene radicales en su
denominador en otra equivalente, cuyo denominador sea racional.

Primer caso: en el denominador hay un único radical. Vamos a multiplicar numerador y denominador
por un radical que tenga el mismo índice y su radicando esté elevado a la diferencia ente índice y
exponente del radical que queremos racionalizar. Por ejemplo…
1
3
a. Racionalizar
b. Racionalizar 3
2
5
1
2
1

2
.
2
2
2

22
4


x3 .y 2
2
4
3
3

5
3
3
5
.
3
52
3
52

33 5 2
3
5.5 2

33 25
3
53

33 25
5
2
c. Racionalizar
2
2
2

.
x 3 .y 2
4
x3. y 2
4
x. y 2
4
x. y 2

24 x. y 2
4
x 3 . y 2 .x. y 2

24 x. y 2

xy
x 4 .y 4
24 x. y 2
4
Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar la diferencia de cuadrados…
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
Vamos a multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. Por ejemplo….
4
a. Racionalizar
5 3
4
5 3


4
.
5 3
4 6


5 3

4( 5  3 )
( 5  3 )( 5  3 )

4( 5  3 )
( 5 ) 2  ( 3) 2

4( 5  3 ) 4( 5  3 )

 2( 5  3 )  2 5  2 3
53
2
b. Racionalizar:
2
5 3
2
.
2
4 6
4 6
4 6 4 6

2 (4  6 )
4  ( 6)
2
2

4 2  2 6 4 2  12


16  6
10
4 2 2 3 4 2 2 3 2 2
3




10
10
10
5
5
15
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 6: Racionalizar los siguientes radicales:
1
2

1) 3 
8)
3
2 3
7
1


9)
2) 3
5 3
25
3)
4)
2 3
18
5

10)

11)
2 2
2

35 4
2
6) 4 
2
2
7)

3 7
5)
2
3 2
2
4
2
12)
8a 3 b 4
x
13)
14)
2x 2 y 3



x 1  x 1
3 2 2 3
3 22 3


Potencia de exponente racional
Para cualquier número natural n mayor que 1 y a mayor o igual que 0, se cumple que:
k
n
a  n ak
Las potencias de exponente racional cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.
Para operar, en algunos casos, conviene expresar los radicales como potencias y trabajar con éstas aplicando sus
propiedades.
Ejemplo:
1
1
1 1

3
5
5  3 5  52  53  52
 5 6  6 55
Ejercicio 7: Escriban como potencias de exponente fraccionario:
a. 2 
d. 3 5 
b.
3
24 
e.
a 
f.
3
1

3
4
c.
4
m
  
n
5
Ejercicio 8: Expresar en forma de radical las siguientes potencias:
1
a. 4 3 
b. 7

3
5

d. 0,4 

1
3
 3
e.   
 4


4
3

1
 1 4
c.   
2
16
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 9: Utilizando las propiedades de la radicación y la potenciación, resuelvan las operaciones y expresen el
resultado como un radical, cuando sea posible:
2 2
3
a.
5
2

e.
6 3
16  5
5 5
3
5

1
4
5 5
1
3

3 12
1


    
 3   3 
b. 
1
 16
  
  3
c.
2
3
6
5
5
1
2
2
5

1



 



 1
4
m   m 2  m 4 


f.

m 1
4
3
1

2
g.

3
1
1
 3
d. 5 5    5 25 
5

Ecuaciones con radicales
3
h.

6  4 12  18 
6  12
4

3
1
2
 18 
Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.
Por ejemplo:
Resolución de ecuaciones con radicales:
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de
también radicales.
los términos, aunque tengan
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al
cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se
obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. A estas soluciones que no verifican la ecuación
original las llamamos soluciones extrañas.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.
Resolvemos la siguiente ecuación:

Aislamos el radical:

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

Resolvemos la ecuación:

( la ecuación tiene solución doble )
Verificamos:
La ecuación tiene por solución x = 2.
17
Escuelas Técnicas Raggio
Otro ejemplo:
4 x4 0
x4 0
( x  4)2  0
x-4=0
x=4
Verificación:
Como x = 4 verifica la ecuación, entonces es solución.
Ejercicio 10: Resuelvan las siguientes ecuaciones con radicales, comprueben si aparecen soluciones extrañas:
a.
8  x2  x
b.
2 x 3 5 6  
c.

x
3
3 2


6
2
6 3

6


d. x  2 10  x  2 10  3 36
Problemas Geométricos
1. Hallar el perímetro (en cm) de cada una de las siguientes figuras, en forma exacta:
a
3 5
b
e
5
f
15
c
3
d
g
h
2. Hallar el área (en cm2) de cada una de las siguientes figuras, en forma exacta:
b
a
18
ac  5
bd  45
7
c
2
d
3. Hallar el valor exacto del perímetro y área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
6 5 cm y 8 5 cm .
18
Escuelas Técnicas Raggio
Para Recordar
Propiedades de la potenciación:
a0 = 1  a  0
1) Potencia de exponente cero.
2) Producto de Potencias de igual base. a n .a m  a n  m
3) Cociente de Potencias de igual base. a n : a m  a n  m
4) Potencia de otra Potencia.
( a n ) m  a n.m
(a.b) n  a n .b n
( a : b) n  a n : b n
5) Distributividad de la potencia respecto del producto.
6) Distributividad de la potencia respecto del cociente.
7) Potencia de exponente negativo.
8) Potencia de exponente racional.
a n 
a
m
n
1
an
 n am
9) Potencia de exponente racional y negativo. a

m
n

1
n
am
Propiedades de la radicación:
1) Distributividad de la radicación respecto del producto:
2) Distributividad de la radicación respecto del cociente:
n
a.b  n a .n b
n
a:b  n a :n b
a  a
3) Raíz de otra raíz:
4) La radicación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
n m
n.m
Factorización de polinomios
Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Cuatrinomio cubo perfecto
x 4  2 x 3  x 2  x 2 ( x 2  2 x  1)
a 2  b 2  (a  b)(a  b)
x 2  2ax  a 2  ( x  a) 2
x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3  ( x  a ) 3
19
Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1. a. Los catetos miden 2 sobre el eje x y 1 sobre el eje y.
b. Los catetos miden 6 sobre el eje x y 1 sobre el eje y.
10 sobre el eje x y 1 sobre el eje y.
d. Los catetos miden 20 sobre el eje x y 1 sobre el eje y.
c. Los catetos miden
2.
a. 2
2
b.
h.
3 3 5
m n
5
3.
a.
32a 4 x 21
4.
a .2 a  3 b
5. 1. 97
4
3
3m 2 n
b. 3
9
3
7. a. 2
i.
2x 2
3y5
4
10

2
3
1
3x 2
12
12
4.
3
9. a.
30
e.
4
3
5
5
b. 2
219
1
12
5
3
9
3.
4.
15 2
cm
2
3. P= 24 5cm
f. 3ab
2
3xz
3
c
l.
g. - 2x
2x
y
2
y
 x  7 2   x  7 
10
f .7a a
6.
1
x
12
1
2
11. 5 2a (1  a ) 12. 4 2
2
3
c. a
1
16
d. 5
4
1
3
8
3
5.
8x 2 y
xy
12.
1
 
7
1
b.
9
3
f. m
3 24
1
c.
5
c.
m
11
b. 
4
90
d.
2
2 23
2a
2a 2 b 2
7. 3  7
13.
5
2
b.
3
 4
 
 3
4
d. 530 5 7
1 1
g. 12   
4 3
9
3
2
8
2
1
3
4
 m 5
f.  
n
1
e.
6.
9
c. 186
h. 64 6
1
d. x1 = 7 ; x 2 = -7
2
Problemas Geométricos.
2. a. A=
k. 5xy
e.  33 2
5.
10. 2m
5 2
4
10. 2  6 11.
10. a. x1 = 2 ; x 2 = -2
1. a. P= 8 5cm
a 2b
x
14. x(3  2 2 )
2.
b.
3
d.
211
33
8. a.
e. 4x
x
2a 2 b 3
5c 7
d .2 y 2 3
b
a
5
9.
j.
5 4
25x 3  50 x 2
c.
c. 8 2
3.
d. x
2
2x
310 x 14
m 15
8. b15 a 11b 4
7
7
5
3
9.
2
2
1
2
3
c. 10
b.5 x
13. 5 6  12
3
3
2. a 4 4b 2
7. x10 37 x
6. 1.
3
10
b. P= 6 3cm
b. A= 2 14cm 2
A=120 cm 2
20
8.  2 2  2 3
x ( x  1  x  1)
14. 5  2 6
2
2
y
3
y2
Escuelas Técnicas Raggio
Tp 1: Radicales
1. Resolver las siguientes sumas y restas con radicales.
1
1
d.
a.
a
a 3 a
2 x 3  8x 
16 x 
3
2
4 3
2 3
1 3
3 3
b. 3 2 
e.
2
108 
32 
500  3 24 
5
3
4
5
2
3
27  5 3  300 
c.
125a 3  3 20a  2 5a 5  4 180a 
f.
a
a
2. Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a. 3 2 x 2 y . 5 8 x 4 y 4 
c.
3a 2
b. 3

4a . 3 2a
d.
8a 9 b 21
5
5
6
2
2ab 4
x5 y 4 z 2
3
x 2 yz


3. Racionalizar el divisor de las siguientes expresiones:
3a
3
1

e.
a.


i.
3
5
6
2 5
a
1
3
2x 2 y 2


j.
b.
f.

18
2 3
6
x5 y8
a 1
5

k.
c. 3 
ab

g.
4
1
a

3
a 2b
x
7 3

d.
l.

1
h.
=
3 2x
7 3
2
4. Realizar las siguientes operaciones decidiendo con anterioridad si conviene trabajar con exponente
fraccionario o en forma radical:
1
 4 2
a. 6    
 25 
1
5
b.
1
5
3 .9
1
5
d.

1
3
 9  2.5 0 
1
1
a2 . 2
a

3
2
2 4
a
. 3 
a 
c. 3
2
 15
3  
 3
2
3
 
5. Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar si existen soluciones extrañas:
1
1
7
a. x  2 x  1  1  x
g,.

x2
5
10 10
3
5
x
2
2
b.
3x  1  1  x
h. x 
c.
x 1  5  8
i. x  3 11x 3  28
4x  1  5  10
j. 2x  - 13x - 10
9  x  10  14
k.
d.
3
e.
f.
4
5x  1  2  4
1
x  x6
5
2
l.
x  24 x  128
3
21
Escuelas Técnicas Raggio
Un poco de historia
La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos
descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción,
al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también,
familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números
negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.
Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los
números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin
representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación.
A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque
sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.
Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado
hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los
que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e
irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.
22
Escuelas Técnicas Raggio
UNIDAD 2:
Trigonometría
23
Escuelas Técnicas Raggio
Sistemas de medición de ángulos
Para medir ángulos se puede usar distintos sistemas de medición:

Sistema sexagesimal: la unidad de medida de este sistema es el grado sexagesimal ( 1° ), que se obtiene de
dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.
Cada grado se divide en 60 minutos
1° --------------- 60´
Cada minuto se divide en 60 segundos 1´ --------------- 60´´  1° --------3600´´
el ángulo recto mide 90°
el ángulo llano mide 180°
el ángulo de un giro mide 360°
Ejemplo: ¿ A cuántos grados, minutos y segundos equivale un ángulo que mide 62,37°?
Ya sabemos que el ángulo mide 62°, para conocer el valor de los minutos utilizamos “regla de tres” y calculamos:
1° ________ 60´
0,37° ________ x´
Entonces,
x=
0,37.60´
1
 x  22,2´
Hasta ahora podemos afirmar que el ángulo mide 62° 22´ y nuevamente utilizando regla de tres calculamos a cuántos
segundos equivalen 0,2´ :
1´_________ 60´´
0,2´ _________ x´´
Entonces,
x=
0,2´.60´´
1´
 x  12´´
De esta manera sabemos que el ángulo mide 62,37° o bien 62° 22´ 12´´.
 Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián.
Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.
a
r  ob

arco ab  ob
ˆ  1 radián
ˆ 
o
b
b
arco ab
ob
El valor de un ángulo de un giro es de 2 radianes.
El valor de un ángulo llano es de  radianes.
El valor de un ángulo recto es de

2
radianes.
Relación entre los dos sistemas de medición de un ángulo:
Ángulo nulo
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de un giro
Sistema Sexagesimal (grado)
0°
90°
Sistema circular (radián)
0 rad

2
rad
 rad
2 rad
180°
360°
24
Escuelas Técnicas Raggio
Al utilizar la calculadora se puede trabajar con los dos sistemas de medidas, se presentan como modo:
 En modo DEGREE (DEG) la calculadora utiliza el sistema sexagesimal.
 En modo RADIAN (RAD) la calculadora utiliza el sistema circular.
Ejercicio 1: Utilizando los datos del cuadro responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es al ángulo, medido en sistema sexagesimal, que en sistema circular mide 1,7 radianes?
2. ¿Cuál es al ángulo, medido en sistema circular, que en sistema sexagesimal mide 30°?
3. Determinar cuál es el ángulo t, medido en sistema sexagesimal, si en el sistema circular mide
16
rad?
3
Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo

3
rad. ¿Y
Problema inicial
Se necesita conocer el ancho de un río a fin de colocar adecuadamente los instrumentos que registran su altura y caudal
diario. Desde la posición P1 , exactamente al frente del punto O donde se colocarán los instrumentos, se miden en línea
recta paralela a la corriente del río 16m y se marca la posición P2 . Con un teodolito, se mide el ángulo P1 Pˆ2 O que
resulta ser de 40°. ¿Cuál es el ancho del río en la zona donde se colocarán los instrumentos de medida?
Para resolver situaciones como éstas se utilizan las relaciones trigonométricas. Antes de ver cómo podemos resolver
este problema tenemos que conocer cuáles son…
a
r
t
b
c
Las relaciones trigonométricas relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos del
mismo.
Entre las medidas de los lados de este triángulo rectángulo pueden establecerse seis cocientes: las razones
trigonométricas.
Cada razón recibe un nombre en particular:
seno (sen), coseno (cos), tangente (tg), secante (sec), cosecante (cosec) y cotangente (cotg).
ab es la hipotenusa
ac y cb son los catetos
Sabemos que en el triángulo abc: 
ac es el cateto opuesto
ac es el cateto adyacente
y para el ángulo r̂ 
cb es el cateto adyacente
cb es el cateto opuesto
Para el ángulo tˆ 
25
Escuelas Técnicas Raggio
medida hipotenusa
medida
cateto
opuesto
Sen tˆ =
Cosec tˆ =
medida hipotenusa
medida cateto opuesto
medida cateto adyacente
medida hipotenusa
Cos tˆ =
Sec tˆ =
medida cateto adyacente
medida hipotenusa
medida cateto opuesto
medida cateto adyacente
Tg tˆ =
Cotg tˆ =
medida cateto adyacente
medida cateto opuesto
Como las razones trigonométricas dependen de la amplitud del ángulo y no de la medida de los lados, para cada ángulo
hay un único valor de las razones trigonométricas.
ac
ab
cb
Cos tˆ =
ab
ac
Tg tˆ =
cb
ab
ac
ab
Sec tˆ =
cb
cb
Cotg tˆ =
ac
Sen tˆ =
Cosec tˆ =
Ejercicio 2: El ángulo r̂ tiene sus propias razones trigonométricas. Calculen las razones trigonométricas de r̂ .
Para hallar los valores de las razones trigonométricas puede usarse la calculadora. El ángulo puede expresarse en
sistema sexagesimal o sistema circular. En el siguiente ejemplo usaremos el sistema sexagesimal:
 Para calcular Seno 68° 43´ 15´´
Se fija la calculadora en modo DEG y se oprimen las siguientes teclas…
Sin 68 °´´´ 43 °´´´ 15 °´´´ =
Sigan la secuencia y digan ¿qué número muestra el visor?
Si siguieron la secuencia correctamente en el visor apareció el número 0,931823247
Ejercicio 3: Calcular el valor de las siguientes relaciones trigonométricas.
a. Sen 30° =
b. Cos 40° 20´ =
c. Tg 125° 15´ 16´´
Si conocemos el valor de la relación trigonométrica y queremos saber a qué ángulo corresponde procedemos de la
siguiente forma…
 Para calcular el valor del ángulo ̂ cuyo coseno vale 0,5
Se fija la calculadora en modo DEG y se oprimen las siguientes teclas…
Shift cos 0,5 = ° ´ ´´
Sigan la secuencia y digan ¿qué ángulo muestra el visor?
Si siguieron la secuencia correctamente en el visor apareció el ángulo 60°.
Ejercicio 4: Calcular el ángulo x̂ de cada una de las siguientes razones trigonométricas.
a. Sen x̂ = 0,25
b. Cos x̂ = - 0,478
c. Tg x̂ = 1,457
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa hallar las medidas desconocidas de sus lados y ángulos, a partir de
determinados datos.
Ejemplo 1: Resolver el triángulo rectángulo abc, conociendo la medida de un cateto y de la hipotenusa.
Resolución: Para hallar la medida del lado ab se puede proceder así:
Datos
ac = 5cm
cb = 10cm
â  90
Incógnitas
ab 
ĉ 
b̂ 
26
Escuelas Técnicas Raggio
Se aplica el teorema de Pitágoras
10 2  5 2  ab
Se resuelven las potencias
100 - 25 = ab
Se resuelve la resta y se extrae raíz cuadrada en ambos
miembros, que son positivos por tratarse de medidas.
2
2
75  ab
Para hallar la medida del ángulo b̂ se puede proceder así:
Se busca la relación trigonométrica que vincula los datos con el b̂
En este caso es el Sen b̂
Se reemplaza cada lado por su medida
Sen b̂ =
ab
cb
5
Sen bˆ =
10
5
b̂ = 30°
Se halla el ArcSen
( o de 0,5), usando la calculadora
10
Como los ángulos son complementarios, es decir cˆ  bˆ  90 , para hallar la medida del ĉ es suficiente con realizar la
resta 90°- 30°. Se obtiene, así, ĉ = 60° y el triángulo queda resuelto.
Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo abc, conociendo la medida de un ángulo y la hipotenusa.
Datos
cb = 12cm
ĉ  40°
â  90
Incógnitas
ca 
ab 
b̂ 
Resolución: Para calcular la medida de los catetos se puede aplicar las relaciones trigonométricas.
ab
ca
Cos ĉ 
cb
cb
ab
ca
Sen 40° =
Cos 40° =
12cm
12cm
Sen 40° . 12 cm = ab
Cos 40° . 12 cm = ca
ab = 7,71 cm
ca = 9,19 cm
Como el ángulo b̂ , es complementario del ángulo ĉ , su medida se calcula:
b̂  90° - 40°

b̂  50°
Sen ĉ =
Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado al comienzo…
Se necesita conocer el ancho del río a fin de colocar adecuadamente los instrumentos que registran su altura y caudal
diario. Desde la posición P1 , exactamente al frente del punto O, donde se colocarán los instrumentos se miden en
línea recta, paralela a la corriente del río, 16 m y se marca la posición P2 . Con un teodolito, se mide el
ángulo P1 Pˆ2 O que resulta ser de 40°. ¿Cuál es el ancho del río en la zona donde se colocarán los instrumentos de
medida?
La situación planteada se puede representar con el triángulo rectángulo:
Datos
 Ángulo agudo 40°
 Cateto adyacente al ángulo de 40° = 16 m
Incógnita:
 a=ancho (cateto opuesto al ángulo de 40º
27
Escuelas Técnicas Raggio
Resolución: Usando las relaciones entre ángulos de un triángulo y la relación trigonométrica que relaciona los
datos e incógnita del problema, expresamos:
Tg 40° =
a
16m
Tg 40°.16 m = a

a = 13,43 m
Aún sin poder cruzar la cinta métrica sobre el río, podemos conocer que el ancho del mismo es de 13,43 m
(aproximadamente).
Ejercicio 5: Resuelvan los siguientes triángulos rectángulos.
st  13cm
 ŷ  53 20´
tˆ  3720´
1. 
2. 
3. 
tm  20 cm
sr  5cm
 yz  33cm
Ejercicio 6: Responder:
a. ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 40 cm de perímetro?
b. ¿Cuál es el área de un triangulo isósceles, cuya base mide 18 cm y el ángulo opuesto a ella mide 34° 50´?
Ejercicio 7: Resolver los siguientes problemas.
1. Pablo debe colocarle a una pequeña palmera que se encuentra en un parque, una cuerda desde el punto donde
termina el tronco y el suelo a fin de protegerla del viento.
Como es un día soleado, la palmera está proyectando una sombra cuya longitud se puede medir sobre el verde
del parque. Pablo midió la altura del tronco (desde el suelo hasta el punto donde se ramifica) y obtuvo como
resultado 1,32 m, por otra parte midió la longitud de la sombra del mismo que es de 2 m.
a. ¿cuál es el ángulo que forma el rayo de sol que pasa justamente por el punto donde termina el tronco
(comienza el follaje) y la superficie de césped?
b. ¿Qué relación trigonométrica permite vincular la altura del tronco de la palmera con la medida de su
sombra? A partir de esa relación: ¿cuál es la longitud de la cuerda que se debe atar a la palmera (desde el
punto donde termina el tronco y el punto donde termina la sombra) para que la misma no sufra los embates
del viento?
2. El edificio Empire State es el más alto de Nueva York, situado al sur del barrio de Manhattan, en la Quinta
Avenida. Fue inaugurado en mayo de 1931 y tiene 381 m de altura hasta el último piso, y si se incluyen los
62m del pináculo, su altura total es de 443 m. Cuenta con 102 pisos, 6.500 ventanas, 75 ascensores y su
superficie es de 204.385 m 2 . Desde la caída de las Torres Gemelas es nuevamente el edificio más alto Nueva
York.
Si Agustín, cuya altura es de 1,70 m, observa el último piso con un ángulo de elevación de 14° (sus ojos se
encuentran a una altura de 1,60 m del piso). (ver anexo)
a. ¿Qué relación trigonométrica permite vincular el ángulo de elevación de la visión de Agustín y el último
piso?
b. ¿A cuántos metros del Empire State se encuentra ubicado?
c. Si desde la terraza del edificio que se encuentra a 390 m se lanza Agustín en parapente con un ángulo de
depresión de 67°, ¿cuál es la distancia que hay entre la base del edificio y el punto donde caerá Agustín?
¿Qué distancia, desde la terraza del edificio, recorrerá Agustín?
3. Virginia y julia observan un globo aerostático. La distancia ente ellas es de 4 km, pero mientras Virginia
observa el globo con un ángulo de elevación de 46°, Julia lo hace con un ángulo de elevación de 52°.
a. ¿Cuál es la altura del globo aerostático en el momento de la observación?
b. ¿Qué distancia hay desde el globo al punto sobre la superficie de la tierra donde se encuentra ubicada
Virginia? ¿Y dónde se encuentra Julia?
28
Escuelas Técnicas Raggio
Teorema del seno y del coseno
Si queremos resolver situaciones en las que están incluidos triángulos no rectángulos, debemos utilizar los siguientes
teoremas que relacionan los lados de cualquier triángulo con sus ángulos interiores.
Por ejemplo, queremos resolver la siguiente situación…
Se necesita conocer el costo que insumirá el transporte de gaseosas de una empresa, desde su establecimiento hasta la
ciudad de Charata en Chaco. Por los datos obtenidos con el GPS y viajes anteriores, se conoce la siguiente
información:
El costo por km recorrido de transporte es de $1,30.
El viaje se realizará por la ruta que une ambos destinos en forma directa, sin pasar por el punto M de intersección de
rutas.
El GPS nos indica el siguiente gráfico:
¿Cuál es el costo de cada viaje?
Notemos que el triángulo que determina el problema no es rectángulo, ya que los
ángulos conocidos no son rectos y la suma de los mismos supera 90°. Entonces,
para hallar la solución debemos completar el estudio de las relaciones
trigonométricas con los siguientes teoremas…
Teorema del seno
“En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”
ab
ac
bc


ˆ
sen cˆ sen b sen â
Ejemplo:
Dado el siguiente triángulo calcular los lados que faltan:
37cm
ab
 ab  28,78cm
sen30
37cm
cb

 cb  10cm
sen 140 sen10
Para calcular los lados ab y cb se aplica el teorema del seno: sen 140

Teorema del coseno
“El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el
doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman”
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A  C  B  2 . C . B. cosâ
B  A  C  2 . A . C . cosb̂
C  A  B  2 . A . B. cosĉ
Ejemplo: Dado el siguiente triángulo calcular el lado que falta.
M
M
M
2
 S  R  2 . S . R . cos m̂
2
2
2
 25 cm 2  49 cm 2 - 2 . 5cm . 7 cm . 0,67
2
 27,1 cm 2  M  5,21 cm
29
Escuelas Técnicas Raggio
Curiosidad matemática: El teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno.
2
2
2
2
2
2
A  C  B  2 . C . B . cos â
A  C  B  2 . C . B . cos 90
( como, cos 90  0)
2
2
A C B
2
Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado al comienzo…
Utilizando el teorema de seno relacionamos los datos que nos informa el GPS en el triángulo, con la distancia que
queremos averiguar.
105km dis tan cia
105km . sen 55

 distancia 
 distancia  133,81 km
sen 40
sen 55
sen 40
Para responder la pregunta tenemos que calcular el costo de cada viaje,
Costo total = 133,81 km . $1,30  Costo total = $173,96
A la empresa le cuesta cada viaje $ 173,96.
Ejercicio 8: Calcular el valor de x en cada una de las figuras.
Resolución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, y resolverlo es hallar el valor de sus
tres ángulos y sus tres lados. Para ello hay que aplicar el teorema del seno, del coseno y la propiedad de la suma de sus
ángulos interiores, que es 180°.
Siempre que sea posible se deben utilizar los datos, en lugar de los resultados obtenidos.
Casos en que se aplica el Teorema del Seno:
1. Cuando se conocen dos ángulos y un lado.
Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo.
Resolución:
1. Se busca el ángulo c:
30


cˆ  180   aˆ  bˆ
cˆ  180   30  96
cˆ  54
Escuelas Técnicas Raggio
2. Hallamos el lado A:
3. Hallamos el lado B:
A
C

sen aˆ
sen cˆ
A
14 cm

sen 30 
sen 54 
A
14 cm

0 .5
0 . 81
14 cm  0 . 5
A
 864 cm
0 . 81
B
C
senbˆ sencˆ
B
14cm

sen96 sen54
B
14cm

0,99 0,81
14cm  0,99
B
 17,11m
0,81

2. Cuando se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejemplo:
Resolución:
2. Se busca el ángulo c:
B
:

A
B

senaˆ senbˆ
3m
2m

senaˆ sen 40
3m
2m

senaˆ 0,64
3m  0,64  2m  senaˆ
aˆ  arcsen 0,96  734423
1. Se busca el ángulo a:
3. Hallamos el lado C

C
sencˆ

cˆ  180   aˆ  bˆ
cˆ  180   734423  40
cˆ  661537 
sen bˆ
2m
C

sen 40 sen 661537 
2m
C

0,.64 0,91
2m  0,91  C  0,64
1,82 m
 2,84 m
C
0,64
Casos en que se aplica el Teorema del Coseno:
1. Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo.
Resolución: 1. Hallamos el lado M:
M
M
M
2. Se busca el ángulo r:
(se puede recurrir al T. Seno)
R
M

senrˆ senmˆ
7cm 5,21cm

senrˆ sen 48
7cm 5,21cm

senrˆ
0,74
rˆ  arcsen 0,99  815325
31
2
 S  R  2 . S . R . cos m̂
2
2
2
 25 cm 2  49 cm 2 - 2 . 5cm . 7 cm . 0,67
2
 27,1 cm 2  M  5,21 cm
3. Se busca el ángulo s:
sˆ  180   mˆ  rˆ 
sˆ  180   48  815325
sˆ  50635
Escuelas Técnicas Raggio
2. Cuando se conocen los tres lados.
Ejemplo:
Resolución:
2
1. Se busca el ángulo a:
2
2
A  B  C  2 . B . C . cos â
81 cm 2  144 cm 2  225 cm 2 - 2 . 12 cm . 15 cm .cos â
81 cm 2  369 cm 2   360 cm 2  cos aˆ
 288 cm 2
 cos aˆ
 360 cm 2
aˆ  arccos 0 ,8  36  5 2 1 1
2. Se busca el ángulo b:
2
2
3. Se busca el ángulo c:
2
B  A  C  2 . A . C . cos b̂


cˆ  180   aˆ  bˆ
cˆ  180   365211  537 48
cˆ  901
144 cm 2  81 cm 2  225 cm 2 - 2 . 9 cm . 15 cm .cos b̂
1 44 cm 2  306 cm 2   270 cm 2  cos bˆ
 162 cm 2
 cos bˆ
 270 cm 2
bˆ  arccos 0 , 6  53  7 4 8 
Ejercicio 9: Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos.
a.
b.
Ejercicio 10:
a. Calcular el valor de la diagonal ac del trapecio isósceles abcd.
b. Calcular el perímetro del romboide abcd.
Ejercicio 11: Plantear y resolver los siguientes problemas.
a. Un árbol está situado a la orilla de un río. El extremo superior del árbol, desde un cierto punto (ubicado en la
otra margen del río), determina un ángulo de elevación de 17°. Si a 25 m de dicho punto en dirección del árbol,
el ángulo es de 35°, ¿Cuál es la altura del mismo?
b. Dos automóviles se encuentran transitando una misma autopista, en un punto la autopista se bifurca en dos
caminos que forman entre sí un ángulo de 32° y cada automóvil sigue por un camino diferente. Si el primer
automovilista continúa por uno de los caminos a una velocidad constante de 75km por hora y el otro
automovilista lo hace a 90km por hora, ¿a qué distancia, entre sí, se encuentran los automóviles una hora
después que se separaron?
32
Escuelas Técnicas Raggio
c. En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60m, 75m y 50m. ¿Qué ángulos se forman en las
esquinas de la misma?
Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades en las cuales aparecen razones trigonométricas y resultan verdaderas
para cualquier valor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
Para resolver una identidad trigonométrica se desarrollan uno o ambos miembros de la misma, tratando de obtener
expresiones equivalentes. Para ello se utilizan las relaciones que se establecen entre las razones trigonométricas de un
mismo ángulo.
Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo
Relación pitagórica
En todos los triángulos rectángulos se cumple la siguiente relación entre el seno y el coseno de cada uno de los ángulos
agudos:
b
2
2
cateto opuesto
 bc   ac 
sen tˆ  cos tˆ      
 ab   ab 
c
bc  ac
sen tˆ  cos 2 tˆ 
y por el t.de Pitágoras
2
ab
2
Hipotenusa
2
2
2
2
a t
cateto
adyacente
2
ab
sen tˆ  cos 2 tˆ  2
ab
2
sen 2 ˆ  cos
2
 sen 2 tˆ  cos 2 tˆ  1
ˆ  1
Relaciones recíprocas
Entre las razones trigonométricas tres de ellas se relacionan recíprocamente respecto de las otras tres:
Senˆ 
1
Co sec ˆ
Cosˆ 
1
1
Tgˆ 
Secˆ
Cotgˆ
Relación entre la tangente, el seno y el coseno
El cociente entre el seno y el coseno de un mismo ángulo, expresados ambos como razones es:
bc
Sen tˆ bc
Sen tˆ ab

simplificamos y nos queda

cos tˆ ac
cos tˆ ac
ab
Sentˆ
como la razón obtenida es la tg tˆ, entonces, tg tˆ 
cos tˆ
cos tˆ
y del mismo modo se obtiene la igualdad: cot g tˆ 
sen tˆ
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
El triángulo abc de la figura es rectángulo, en consecuencia la suma de las medidas de los ángulos agudos es igual a
90°, es decir, ambos ángulos son complementarios.
De esta igualdad deducimos que:
Además, por (*)
tˆ  90  rˆ
(*)
rˆ  90  tˆ
ac
ac
y sen r̂ =
ab
ab
cos tˆ  sen (90 - t̂ )
sen tˆ  cos (90 - t̂ )
Por otro lado, cos tˆ =
En símbolos: tˆ  rˆ  90
 cos tˆ  sen rˆ
 sen tˆ  cos rˆ
33
Escuelas Técnicas Raggio
Razones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos










sen ˆ  ˆ  senˆ   cos ˆ  cosˆ   sen ˆ
cos ˆ  ˆ  cosˆ   cos ˆ  senˆ   sen ˆ
tg ˆ   tg ˆ
tg ˆ  ˆ 
1  tg ˆ   tg ˆ


Transformación en producto de la suma y resta de razones trigonométricas.

 ˆ  ˆ 
 ˆ ˆ
  cos    
senˆ   sen ˆ  2  sen

 2 


 2 
 ˆ  ˆ 
 ˆ ˆ
  sen    
senˆ   sen ˆ  2  cos

 2 
 2 


 ˆ  ˆ 
 ˆ ˆ
  cos    
cosˆ   cos ˆ  2  cos

 2 
 2 


 ˆ  ˆ 
 ˆ ˆ
  sen    
cosˆ   cos ˆ  2  sen

 2 
 2 





Producto de razones trigonométricas












1
1
senˆ   cos ˆ   sen ˆ  ˆ   sen ˆ  ˆ
2
2
1
1
senˆ   sen ˆ   cos ˆ  ˆ   cos ˆ  ˆ
2
2
1
1
cosˆ   cos ˆ   cos ˆ  ˆ   cos ˆ  ˆ
2
2



Para resolver las identidades trigonométricas debemos aplicar las definiciones y propiedades de las relaciones
trigonométricas.
Ejemplo: Verificar siguiente la identidad: tg ˆ . sen ˆ . cos ˆ  cosec ˆ . sen ˆ . cos 2ˆ  1
Se reemplaza tg ̂ y cosec ̂ por sus
equivalentes en relación con el sen ̂ y el cos
̂ y se simplifica.
Se resuelve.
1
sen ˆ
. sen ˆ . cos ˆ 
. sen ˆ . cos 2ˆ  1
sen ˆ
cos ˆ
sen 2ˆ  cos 2 ˆ  1
Se aplica la identidad pitagórica y se verifica
la identidad.
1=1
Ejercicio 12: Verificar las siguientes identidades.
1
a. 1  tg 2 (ˆ ) 
g. ( 1 + cot g 2 (ˆ ) ) . sen 2 (ˆ ) =1
2
cos (ˆ )
b. tg (ˆ ) . cotg (ˆ ) = 1
h. (sen (ˆ ) +1) . (sen (ˆ ) - 1) = - cos 2 (ˆ )
1
c. 1  cot g 2 (ˆ ) 
i. cosec (ˆ ) . tg (ˆ ) = sec (ˆ )
2
sen (ˆ )
d. sen(2 ̂ ) = 2 sen (ˆ ) .cos (ˆ )
j. ( sen (ˆ ) + cos (ˆ ) ) 2 =2tg (ˆ ) . cos 2 (ˆ ) +1
e. cos (2ˆ ) = cos 2 (ˆ ) -- sen 2 (ˆ )
k. cos (ˆ  ˆ ) .cos (ˆ  ˆ ) = cos 2 (ˆ ) - sen 2 ( ˆ )
f. cos 2 (ˆ ) -1 = cot g 2 (ˆ )
l. sen (ˆ  ˆ ) .sen (ˆ  ˆ ) = sen 2 (ˆ ) - sen 2 ( ˆ )
34
Escuelas Técnicas Raggio
Funciones trigonométrica
Problema inicial
En el Parque de la Costa hay una vuelta al mundo, cuyo radio mide 17m. Se midió la altura en la que se encontraba una
determinada silla a medida que funcionaba la vuelta al mundo, que al inicio del juego estaba a nivel del suelo. Se
registraron los datos que se observaron en la siguiente tabla…
Tiempo
Altura de la silla
(m) desde el suelo
Con estos datos de la tabla se pudo realizar este gráfico:
(en segundos)
0
16
32
48
64
80
96
112
128
144
160
1
18
35
17
1
18
35
17
1
18
35
Observamos que al transcurrir un determinado período de tiempo la función vuelve a repetir su comportamiento. En
general, en la vida diaria muchos fenómenos y situaciones se comportan de forma que las funciones que los representan
se repiten a intervalos regulares.
En las siguientes situaciones está presente el fenómeno de periodicidad:
 El avance y retroceso de las mareas;
 Las fases de la luna;
 La producción de leche por día en una vaca de tambo al cabo de un año;
 El movimiento de oscilación de un reloj de péndulo;
 Algunas magnitudes físicas: la corriente eléctrica, los campos electromagnéticos;
 El día y la noche.
Estas situaciones, y en general todo fenómeno que se repite en forma periódica, se modelizan utilizando las funciones
trigonométricas.
Para comenzar a trabajar con funciones trigonométricas, como se definen a partir de asignarle a la variable
independiente la medida de un ángulo, es necesario conocer el concepto de circunferencia trigonométrica.
Se denomina circunferencia trigonométrica a una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas
de un sistema de ejes cartesiano.
La rotación de la semirrecta op , con centro en el punto (0 ; 0) y ángulo de giro ̂ , corta a la circunferencia en un
punto P = (x ; y) y determina un triángulo rectángulo oxp.
El radio de la circunferencia vale 1 
op = radio de la circunferencia = 1
Razones trigonométricas
medida cateto opuesto
medida hipotenusa
medida cateto adyacente
Cos ̂ =
medida hipotenusa
medida cateto opuesto
Tg ̂ =
medida cateto adyacente
Sen ̂ =
Funciones definidas en la
circunferencia trigonométrica

y
y op =1  Sen ̂ = y
op
x
Cos ̂ =
y op =1  Cos ̂ = x
op
y
Tg ̂ =
x
Sen ̂ =


35
Escuelas Técnicas Raggio
Para determinar el signo de las funciones trigonométricas se debe conocer a qué cuadrante pertenece el ángulo y
los signos de las coordenadas del punto P = (a ; b).
Cuadrante
I
II
III
IV
Sen
̂
+
+
-
Cos
̂
+
+
Tg
̂
+
+
-
Cálculo de funciones trigonométricas en función de valores de tabla
La siguiente tabla muestra los valores de las funciones trigonométricas para algunos ángulos del primer cuadrante…
30°
Sen tˆ
0°
0
Cos tˆ
1
Tg tˆ
0
3
2
3
3
1
2
45°
60°
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
90°
1
0

En función de esta tabla podemos calcular algunos valores de funciones trigonométricas de otros ángulos sin
calculadora:
Ejemplo: calcular Sen 15°
Sen 15° = Sen (45°- 30°)
reemplazamos 15° por 45°- 30° (que es lo mismo)
Sen 15° = Sen 45°. Cos 30°- Cos 45°. Sen 30° aplicamos la formula del seno de una resta Sen( (ˆ  ˆ )
2
3
2 1
.
-.
reemplazamos por los valores de la tabla
2
2
2 2
6
2
6 2
Sen 15° =


4
4
4
Ejercicio 13: Calcular sin calculadora utilizando la tabla y las fórmulas.
Sen 15° =
1. Cos 105° =
2. Sen 240° =
3. Tg 225° =
4. Cos 120° =
5. Sen 195° =
6. Tg 75° =
7. Cos 165° =
8. Tg 165° =
36
Escuelas Técnicas Raggio
Representación grafica de las funciones trigonométricas
1) f(x) = Sen (x)
Dominio: R Codominio: 1;1
Si realizamos una tabla de valores obtenemos el siguiente grafico:
x
Grados
0°
30°
60°
90°
120°
150
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
y
Radianes
0 
1/6 
1/3 
1/2 
2/3 
5/6 
1
7/6 
4/3 
3/2 
5/3 
11/6 
2
0
0,5
0,866
1
0,866
0,5
0
-0,5
-0,866
-1
-0,866
-0,5
0
Características de la función y = Sen x (Sinusoide)
 Raíces: corta al eje x en todos los puntos k .  (con k entero)
 Amplitud: sus imágenes están en 1 y -1. La amplitud es 1.
 Período: es 2  , o sea, que “repite el ciclo” cada 360°
 Crecimiento: esta función crece entre 0 y  /2 ; 3/2  y 2 
 Decrecimiento: esta función decrece entre  /2 y 3/2 
Ejercicio 14: Para las siguientes funciones:
a. Con la calculadora, confeccionar una tabla de valores (con los mismos ángulos de la tabla del ejemplo anterior) y
graficar.
b. Hallar: dominio, imagen, raíces, amplitud, período, crecimiento y decrecimiento.
1. y = Cos x
4. y = Sec x
2. y = Tg x
5. y = Cotg x
3. y = Cosec x
Ejercicio 15: Completen con > o <, según corresponda en cada caso.
Ejercicio 16: Escriban V o F según corresponda en cada caso.
1. Si el coseno de un ángulo es negativo, el ángulo pertenece al tercer cuadrante.
2. Si el coseno de un ángulo es negativo y el seno del mismo ángulo es positivo, el ángulo pertenece al segundo
cuadrante.
3. Si la tangente de un ángulo es positiva, se puede asegurar que dicho ángulo pertenece al tercer o cuarto
cuadrante.
4. Si el seno de un ángulo es positivo y la tangente es positiva, el ángulo pertenece al primer cuadrante.
37
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 17: Calculen el valor de las restantes funciones teniendo en cuenta los siguientes datos.
1
1. sen x =
y x  I cuadrante
3. Tg x =  3 y x  II cuadrante
2
1
3
y x  III cuadrante
4. cos x =
y x  IV cuadrante
2. Cos 2 x =
2
2
Representación gráfica con variación de parámetros
Utilizando la gráfica característica de las funciones trigonométricas ya vistas podemos graficar cualquier función
trigonométrica. Vamos a ver cómo se modifica la gráfica variando los parámetros de la función modelo…
Las funciones modelos escritas con sus parámetros son:

y = a.Sen ( b . x + ̂ ) + c

y = a.Cos ( b . x + ̂ ) + c
y = a.Tg ( b . x + ̂ ) + c

Veamos cómo modifican los parámetros a la función modelo y = Sen x




El parámetro a amplía o reduce la imagen de la función modelo.
El parámetro b modifica el período (duración de un ciclo) de la función sin modificar su amplitud.
El parámetro c produce un corrimiento vertical de la función modelo; si es positivo, hacia arriba y si es
negativo, hacia la abajo.
El parámetro ̂ produce un corrimiento lateral de la función modelo; si es positivo, hacia la derecha y si es
negativo, hacia la izquierda.


Ejemplo: Grafiquemos la siguiente función según sus parámetros. y  tg  2 x  
2

y =1 .Tg ( 2x +

2
)+0
y = a .Tg ( b.x + ̂ ) + c
a = 1 b = 2 c = 0 ̂ =

2

a = 1, la gráfica de esta función no cambia la imagen respecto de la gráfica de y = Tg x.

b = 2, el período de esta función se reduce a la mitad respecto al período de y = Tg x, entonces, el período es

c = 0, la gráfica no se desplaza verticalmente respecto de la función y = Tg x.

̂ =

2
, la gráfica de esta función se “desfasa” 90° hacia la izquierda respecto de y = Tg x.
Ahora graficamos…
38

2
.
Escuelas Técnicas Raggio
1° Partimos de la gráfica de
Y = Tg x
2° La desplazamos
 /2 hacia la izquierda
3° Reducimos a la mitad
el período
Ejercicio 18: Escriban V o F según corresponda en cada caso.
A partir de f(x) = sen x, la función:
1. f(x) = sen x + 4, está desplazada 4 unidades con respecto al eje x.
2. f(x) = sen (x + 4  ), está desplazada 4  unidades hacia la izquierda.
3. f(x) = 3 sen (4x -  ), tiene ángulo de fase 3  .
Ejercicio 19: Completen el siguiente cuadro.
Ejercicio 20: Representar gráficamente las siguientes funciones utilizando la variación de parámetros a partir de
y = Sen x y = Cos x o y = tg x (según corresponda), en el intervalo (-
1
4
sen ( x)
2
3
1
5. f(x) = - cos x +
2
1. f(x) = sen x – 2
4. f(x) =
2. f(x) = 3 cos x
3. f(x) = Sen (2x -

)
6. f(x) = 2 Tg (3x-
2
Funciones trigonométricas inversas
Ejemplo… ¿Qué ángulo/s t verifican que Sen ̂ = 0,7?
Para contestar esta pregunta observamos en el gráfico la
representación del seno de un ángulo en la circunferencia
trigonométrica.
Debemos encontrar el ángulo cuyo “arco” se
corresponde con el segmento que representa el seno del
mismo.
En este caso existen dos ángulos x y t que verifican:
Sen x = 0,7
y
Sen t = 0,7
39

3
)

2
;4  ).
Escuelas Técnicas Raggio
¿Son los únicos ángulos?
La respuesta es no, sólo debemos recordar que la función seno es periódica (de período 2 ).
Entonces, sen ( x  2k ) = 0,7
y sen ( t  2k ) = 0,7 con k un número entero.
¿Cómo encontramos ̂ , tal que, sen ̂ = 0,7? Necesitamos encontrar una nueva función que permita “volver” o
invertir lo que realiza la función seno, esto es:
La función que “deshace” o invierte el resultado obtenido por el calculo del seno y que permite resolver la igualdad
sen 1 (0,7) = ̂ es la función arco seno (arcsen).
Entonces, para indicar qué ángulos verifica que Sen ̂ = 0,7, utilizamos la calculadora siguiendo los pasos…
Shift sen 1 0,7 = ° ´ ´´
̂ = 44° 25´ 37´´
Obtenemos… arc sen 0,7 = 44,42°
Nota. Estas funciones también se escriben, utilizando la notación de función inversa, como: arc sen ̂ = sen 1 ̂ ;
arc cos ̂ = cos 1 ̂ ; arc tg ̂ = tg 1 ̂ .
Gráfico de la función
y = arc sen t
Gráfico de la función
y = arc cos t
Gráfico de la función
y = arc tg t
Observación: también se definen de igual forma las funciones trigonométricas inversas: arc cotg ; arc sec y arc
cosec.
Ejercicio 21: Calcular, utilizando la calculadora, el valor del ángulo x en el sistema sexagesimal.
1. sen x =
3
4
1
5
5
4. cos x = 6
3. cos x =
2. sen x = - 0,7
5. tg x = 2,5
6. tg x = -
Ejercicio 22: Marcar con una X la opción correcta.

3

1. ̂  arccos 
 2  y ̂  III cuadrante, entonces:


5
7
5
b. ̂ =
c. ̂ =
d. ̂ =
a. ̂ =
6
6
3
2. ˆ  arccos  3 y ̂  II cuadrante, entonces:
2


b. ̂ =
c. ̂ =
a. ̂ = 
d. ̂ =
3
3
3


40
4
3
5
3
5
Escuelas Técnicas Raggio

2
 y ̂  IV cuadrante, entonces:
3. ˆ  arcsen 

2



5
3
b. ̂ = 
c. ̂ = 
a. ̂ =
4
4
4
d. ̂ =
7
4
Ejercicio 23: Hallar los valores de x   2 ;   que verifiquen cada una de las siguientes condiciones.
1
1
2. arc cos x = 1. arc cos x =
2
2
Ecuaciones trigonométricas
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar, si existe, el o los valores angulares que la verifican.
Veamos unos ejemplos…


1. Hallar x  0;2  que verifican sen x 

1

3 2
 1

sen x   
3 2


1
= arcsen  aplicando la función inversa de seno
x3
2



5
=
o x=
x3
6
3
6

7
x1 =
o
x2 =
2
6
Resolución:
Antes de dar el conjunto solución debemos verificar si estos dos valores confirman la ecuación original.
 
  
 sen    sen 
2
6 2
2 3
5 
7
 7  
Reemplazamos x por
 sen
   sen

3
6
2
6
 6
 7 
Entonces,
S=  ;

2 6 
2. Hallar x  0;2  que verifican 2 sen 2 x – sen x = 1
Reemplazamos x por
Resolución:



x1 =

verifica
2
7
x2 =
verifica
6
2 sen 2 x – sen x – 1= 0 pasaje de término
2 z2 – z – 1 = 0
cambio de variable: sen x = z

2
Resolvemos la ecuación cuadrática… z1, 2 =  (1)  (1)  4.2.(1)  1  9  1  3  

2 .2
4
Volvemos a la variable original para estos dos valores obtenidos…
1) z = 1  sen x = 1
2) z = -
1
1
 sen x = 2
2
x = arc sen 1
x1 =
1
)
2
11
x3 =
6
x = arc sen (-

x2 =
2
7
6
Verificamos las tres soluciones obtenidas en la ecuación original.
 7 11 
;

2 6 6 
Como las tres la verifican  S =  ;
41
4
z1  1
1
 z 2   2
Escuelas Técnicas Raggio
3. Hallar x  0;2  que verifican 2 cos 2 x = 1
cos 2 x =
Resolución:
2
2
1) cos x =

4
o
2) cos x = -
2
2
x = arc cos
x1 =
1
2
 cos x 
2
2
2
2
x = arc cos (7
4
x2 =
x3 =
3
4
2
)
2
x4 =
5
4
Verificamos las cuatro soluciones obtenidas en la ecuación original.

Como las cuatro la verifican
 3 5 7 
; ; 
4 4 4 4 
S=  ;
Ejercicio 24: Resuelvan e interpreten gráficamente f(x) = g (x), para x  0;2  .
1. f(x) = -2 cos x
;
g(x) = 1
2. f(x) = 4 sen x
;
g(x) = -2
Ejercicio 25: Resuelvan las siguientes ecuaciones para x  0;2  .
a. 2 cos 2 x + 3 cos x 1 = 0
b. sen 2 x +
7
sen x = 2
2
c. sen 2 x – 7 sen x = 0
d.
3 cos 2 x –
42
3
cos x = 0
2
Escuelas Técnicas Raggio
Para Recordar
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Para las mediciones de distancias a puntos inaccesibles se utilizan los ángulos de elevación y de depresión. El ángulo
de observación se define a partir de la visión del sujeto observador
Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo
medida cateto opuesto
medida hipotenusa
medida cateto adyacente
Cos tˆ =
medida hipotenusa
medida cateto opuesto
Tg tˆ =
medida cateto adyacente
medida hipotenusa
medida cateto opuesto
medida hipotenusa
Sec tˆ =
medida cateto adyacente
medida cateto adyacente
Cotg tˆ =
medida cateto opuesto
Sen tˆ =
Cosec tˆ =
Teorema del seno
Teorema del coseno
2
2
2
2
2
2
2
2
2
bc  ab  ac  2 . ab . ac . cos â
ab
ac
bc


sen cˆ sen bˆ sen â
ac  bc  ab  2 . bc . ab . cos b̂
ab  bc  ac  2 . bc . ac . cos ĉ
Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
Relación pitagórica
Relaciones recíprocas
Relación entre la tangente, el seno y el coseno
1
Co sec ˆ
1
Cosˆ 
Secˆ
1
Tgˆ 
Cotgˆ
Senˆ 
sen2ˆ  cos2 ˆ  1
tg tˆ 
Razones trigonométricas de ángulos complementarios tˆ  rˆ  90 ►
Razones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos










sen ˆ  ˆ  senˆ   cos ˆ  cosˆ   sen ˆ
cos ˆ  ˆ  cosˆ   cos ˆ  sen̂   sen ˆ
tg ˆ   tg ˆ
tg ˆ  ̂ 
1  tg ˆ   tg ˆ


43
Sen tˆ
cos tˆ
cos tˆ  sen rˆ
cot g tˆ 
cos tˆ
sen tˆ
sen tˆ  cos rˆ
Escuelas Técnicas Raggio
Transformación en producto de la suma y resta de razones trigonométricas.
 ˆ  ˆ 
 ˆ ˆ
  cos    
sen(ˆ )  sen( ˆ )  2  sen
 2 



 2 
 ˆ ˆ
 ˆ  ˆ 
  sen    
sen(ˆ )  sen( ˆ )  2  cos
 2 

 2 


 ˆ ˆ
 ˆ  ˆ 
  cos    
cos(ˆ )  cos( ˆ )  2  cos



 2 
 2 
 ˆ ˆ
 ˆ  ˆ 
  sen    
cos(ˆ )  cos( ˆ )  2  sen

 2 


 2 
Producto de razones trigonométricas.











1
1
sen(ˆ )  cos(ˆ )   sen ˆ  ˆ   sen ˆ  ˆ
2
2
1
1
sen(ˆ )  sen( ˆ )   cos ˆ  ˆ  cos ˆ  ˆ
2
2
1
1
cos(ˆ )  cos(ˆ )   cos ˆ  ˆ  cos ˆ  ˆ
2
2

Circunferencia trigonométrica de radio 1: sen̂  y cos ̂  x tg̂ 
Cuadrante Sen ̂
I
+
II
+
III
IV
-
Cos ̂
+
+
Tg ̂
+
+
-
Sen tˆ
Cos
0°
0
30°
45°
60°
1
2
1
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
tˆ
Tg tˆ
y
x
0
44
90°
1
0

Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1. 97° 24´ 10´´
;
2.

rad
;
3. 60° y 960°
6
cb
ac
cb
ab
ab
ac
; Cos r̂ = ; Tg r̂ =
; Cosec r̂ = ; Sec r̂ =
; Sec r̂ =
2. Sen r̂ =
ab
ab
ac
cb
ac
cb
3. a. 0,5 ;
b. 0,762 ; c. -1,415
4. a. 14° 28 39 ;
b. 118° 33 18
 pˆ  52 40´

5. 1. tp  25,15cm

mp  15,25cm
;
c. 55° 32 12
 zˆ  36 40´

3. xz  26,47cm

 xy  19,71cm
sˆ  67 22´ 48´´

2. t̂  22 37´12´´

rt  12cm
6. a. 110 cm 2 ;
b. 257,94 cm 2
7. a.
1. ̂ = 33° 25´ 29´´
2. La relación trigonométrica es la tg ̂ =
1,32m
. La longitud de la cuerda es de 2,4 m.
2m
b.
1. Tg14 
379,40m
Xm
2. Agustín se encuentra sobre la calle a 1521,7 m aproximadamente.
3. La distancia entre la base del edificio y el punto donde caerá Agustín es 165,5 m. La distancia que
recorrerá Agustín en parapente es 423,7 m.
c.
1. La altura es 2,29 km.
2. La distancia entre Virginia y el globo, medida en línea recta, es de 2,91 km. La distancia entre Julia y
el globo, medida en línea recta, es de 3,18 km.
8. 1. x = 63,45 cm ; 2. x = 8,07 cm ; 3. x̂ = 74° 37´ 7´´ ; 4. x̂ = 83° 20´ 19´´
9.
nt  43,21cm

a. nˆ  60
tˆ  20

cˆ  50

b. bc  18,43m

ab  16,30m
10.
11.
1. ac = 19 m
2. Perímetro = 68,68 cm
1. El árbol mide 13,57 m 2. La distancia entre ellos es de 47,71 km
3. Los ángulos son: 52° 53´ 28´´ ; 85° 27´ 34´´ ; 41° 38´ 58´´
13.
1.
14.
a. Graficar
6 2
2.
4
3
3. 1
2
b. 1. Dom: 
Im:  1;1
Raíces:

2
4. -
2 6
4
1
5.
2
6.
7. --
6 2
8.
4
32


 k , k   3. Dom:  - k , k  
2

Im:  -  1;1
2. Dom:  - 
Im: 
+ k  (con k entero) Raíces: k  (con k entero)
Amplitud: 1
Período: 2 
Amplitud: no está acotada
Período: 
Crecimiento:  ;2   2k
Crecimiento: 
Decrecimiento: 0;    2k
32
Raíces: no tiene
Amplitud: no está acotada
Período: 2 
   3 
;   y   ;   ]+2k 
2   2 
    3

Decrecimiento: no decrece Decrecimiento: [  0;  y 
;2  ]+ 2k 
 2  2

45
Crecimiento: [ 
Escuelas Técnicas Raggio
 

, k  
 2

Im:  -  1;1
5. Dom:  - k , k  
4. Dom:  - k
Im: 
Amplitud: no está acotada
Período: 2 
Amplitud: no está acotada
Período: 
    
 y  ;   ]+ 2k 
 2 2 
    3

;2  ]+ 2k 
Decrecimiento: [  0;  y 
 2  2

15.
16.
1. a. < b. > c. < ;
1. F
;
2. V
;
17.
1. Cos x =
3
2
Tg x =
3
3
18.
1. V
;
19.
1. Amplitud: 2
Período:
22.
23.
24.
25.
2. Sen x = -
2. F
2
3
;
2
2
1
2
3. a. < b. < c. >
3
2
1
2
4. Sen x = Tg x = -
3
3
3. F
3
2
2. Amplitud:
3. Amplitud: 1
Período: 2 

Período:
Ángulo de fase: -
3

5. Amplitud:
Período: 
Período: 4 
Ángulo de fase: 0
Ángulo de fase: -
;
5
1
2
4. Amplitud: 4
1. x̂ = 48° 35´ 25´´
2. x̂ = - 44° 25´ 37´´
1. b
;
2. c
Decrecimiento: 
3. Sen x =
Cos x = -
2
Crecimiento: no crece
2. a. > b. < c. <
;
3. V
;
4. V
Tg x = 1
Ángulo de fase:
21.
+ k  (con k entero)
Raíces:
Crecimiento: [  0;
.

Raíces: no tiene

2
Ángulo de fase:

4
6. Amplitud: 1

2
3. x̂ = 78° 27´ 47´´
4. x̂ = 146° 26´ 34´´
3. d
Período: 2 
Ángulo de fase: 
5. x̂ = 68° 11´ 55´´
6. x̂ = - 65° 54´ 19´´
  5 
 2 2 4 
; 
1. S =  ; ;
 ; 2. S =  ;
3
3
3 
3 3
 3
 2 4 
 7 11 
; 
;
1. S = 
2. S = 

 3 3 
 6 6 
 2 4 
 5 
 3  11 
;  ; b. S =  ;  ; c. S = 0;   ; d. S =  ; ; ;
a. S =  ;

 3 3 
6 6 
2 2 6 6 
46
Escuelas Técnicas Raggio
TP 2: Trigonometría
1. Calculen, en grados o radianes, el valor aproximado de cada uno de los siguientes ángulos:
a ) ˆ  1 rad
b ) ˆ  150 
c) ˆ  3 rad
d) ˆ  210 
e) ˆ  315 
f) ˆ  2  /5rad
2. Hallen el valor del lado desconocido en cada una de las siguientes figuras:
a)
b)
10cm
z
7cm
c)
11cm
x
10m
y
9cm
3. Sabiendo que cos ̂ = ¼ , y que 270º < ̂ <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo ̂ .
4. Sabiendo que tg ̂ = 2, y que 180º < ̂ <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo ̂ .
5. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
6. Resolver los siguientes problemas:
a. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol si Ramiro, que mide 1,75m de estatura, proyecta una sombra de 82
cm en el suelo?
b. Silvina se encuentra en la ventana de su departamento que está ubicada a 9m del suelo y observa la parte
inferior del edificio con un ángulo de depresión de 70°. ¿Cuál es el ancho de la calle que divide el edificio
donde vive Silvina y el edificio de enfrente?
c. Dos piedras se encuentran a la orilla de un lago en línea recta una de la otra y separadas una distancia de
1800 m en línea recta. Dentro del lago se encuentra una embarcación anclada. Si el ángulo con vértice en una
piedra mide 79° y el de la otra piedra mide 43°. ¿ A qué distancia de la costa está la embarcación ( línea recta
virtual que une ambas piedras)? Representar gráficamente la situación.
7. a. Calcula la altura, h, de la figura:
inaccesibles A y B.
b. Calcula la distancia que separa entre dos puntos
c. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm,
y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
47
Escuelas Técnicas Raggio
8. Verifiquen las siguientes identidades.
1
cos ˆ

 tgˆ
senˆ . cos ˆ senˆ
sec ˆ  tgˆ
 sec ˆ .tgˆ
2.
ˆ
ˆ
cos   cot g
1.
1  cos ˆ
1  cos ˆ
 tgˆ 
senˆ
senˆ . cos ˆ
ˆ
tg
1 
4.
 tgˆ
1  cot gˆ
5. cos ˆ (tgˆ  1)  cos ˆ  senˆ
3.
9. Reconstruyan la formula de cada una de las siguientes funciones hallando los valores de A, B, C, y D, según
corresponda en cada caso.
a. F(x) = A cos (Bx)
b. F(x) = A sen (Bx)
10. Resuelvan las siguientes ecuaciones para x  0;2  .
1) 2 cos 2 x – sen x – 1 = 0
2) sen (  -- x) + 2 cos 2 (

2
4) cos 2 x – sen 2 x + 3cos x + 1 = 0
-- x) =
2 sen (-x) – sen (  + x)
3) cos 2 x – 7 sen 2 x + 3 = 0
5) 2 tg x . sen x = 3
6) -1 + 2cos 2 (x+
48

2
) = 1 - sen 2 (x+

2
)
Escuelas Técnicas Raggio
Un poco de historia
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y
las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se
desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción
de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo
y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco
de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que
construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se
difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que
hace parte de la Matemática.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de
astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método
para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos
de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue
autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la
función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en
un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus
tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían
completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas
fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del
valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía
arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue
escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
49
Escuelas Técnicas Raggio
UNIDAD 3:
Números
Complejos
50
Escuelas Técnicas Raggio
Introducción
Hemos visto que toda ecuación del tipo
x n  a  0 con a  0
tiene solución en R.
Por ejemplo:
x 2  16  0
Al resolverla tiene como solución x=4 y x= -4
Pero en cambio, si se plantea la ecuación
x 2  16  0
No tiene solución en R, pues no existe ningún número real que verifique:
x   16
La imposibilidad de resolver ecuaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número,
dando origen a la ampliación del conjunto de los Números Reales, mediante la introducción de los Números
Complejos.
Definición
Llamamos Número Complejo a un número z que puede escribirse de la forma:
z= a +b.i
donde a y b son números reales e i=  1
Características
Al número a lo llamamos Parte Real del número complejo y lo simbolizamos a=Re(z), y al número b lo llamamos
Parte Imaginaria del número complejo y lo simbolizamos b=Im(z)
C es el conjunto de los números complejos y se lo define como:
C= a  bi/a  R  b  R
La forma de expresión z=

a+ b.i se la llama Forma Binómica.
Representación gráfica y expresión Cartesiana de un complejo
Cada número complejo involucra dos números reales: a= Re(z) y b=Im(z). Para
representar un número complejo necesitamos entonces dos coordenadas, es decir, se
representan en un sistema de ejes cartesianos.
Sobre el eje x, marcamos la parte real y sobre el eje y, la parte imaginaria.
A cada numero complejo le corresponde un punto del plano: z=(a;b)
Esta forma de expresión se llama Forma Cartesiana o Par Ordenado.
51
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 1: Unir con una flecha cada número complejo con su expresión binómica.
1)
2)
3)
4)
5)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(-1;1)
(-1;0)
(1;-1)
(1;1)
(0;-1)
-i
1+i
-1 – i
-1
1–i
-1 + i
Ejercicio 2: Indicar Re(z) e Im(z) para cada complejo.
a. z 1  2  3i
b. z 2  5i
c. z 3  4  i
d.
z4  3
Ejercicio 3: Representar cada uno de los siguientes complejos.
a. z 2  i
b. z 3  (5;0)
c. z 4  3  5i
d. z 5  (3;0)
e. z 6  (0;4)
f. z 7  1  2i
g.
z 8  6  8i
Operaciones con números complejos
Suma y Resta: Para sumar o restar dos o más números complejos se debe sumar o restar por una lado las partes
reales entre si, y por otro lado las partes imaginarias.
En símbolos: Dados z= a+ b.i y w= c+ d.i se define z+ w y z – w como:
z + w= (a+ c) +( b +d).i
z – w= (a- c) +( b -d).i
Ejemplo: Dados z1  3  5i y z 2  1  2i calcular: z1  z 2 y z1  z 2
Resolución:
z1  z 2  (3  5i )  (1  2i )
z1  z 2  (3  5i )  (1  2i )
z1  z 2  (-3 - 1)  (5i - 2i)
z1  z 2  (-3  1)  (5i  2i)
z1  z 2  -4  3i
z1  z 2  -2  7i
Multiplicación: Para multiplicar dos números complejos en Forma Binómica, se aplica la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto de la suma y/o resta.
Ejemplo: Dados z1  3  5i y z 2  1  2i calcular: z1  z 2
Resolución:
z1  z 2  (3  5i )  ( 1  2i )
z1  z 2  - 3  (-1 - 2i)  5i  (-1 - 2i)
z1  z 2  3  6i - 5i - 10i 2
z1  z 2  3  i - 10  (-1)
z1  z 2  3  i  10
z1  z 2  1 3  i
52
Escuelas Técnicas Raggio
Complejos Conjugados
Dos números complejos se denominan conjugados si tienen igual parte real y parte imaginaria opuesta.
Si z  a  b  i es un número complejo, z  a  b  i se llama conjugado de z.
División: Para dividir dos números complejos en Forma Binómica, se multiplica al dividendo y al divisor
por el conjugado del divisor, y luego se resuelven las operaciones resultantes.
Ejemplo: Dados z1  3  5i y z 2  1  2i calcular: z1  z 2
 3  5i  3  5i  1  2i - 3  (-1 - 2i)  5i  (-1 - 2i) 13  i 13  i 13  i 13 1






  i
Resolución:
 1  2i  1  2i  1  2i
5
5 5
(-1) 2  (2i ) 2
1  4i 2 1  4
Ejercicio 4: Resolver las siguientes sumas algebraicas en forma binómica:
2i  8i  (3i ) 
1
b.
5i  1  i  5  2i 
3
(3  i)  (4  3i )  (1  2i ) 
c.
1
  1
 1 
d.
  2i      4i     i  
 2 
2
  3
1  1 

e.
(1  3i )   2  i     i  
2  2 

1  1


f.
 2  i     4i   3  i  
5  2


5  3 
1 1 
g.
 ;     1;    ;0  
3  2 
 2 3 
1


h.
1,2; 5  0,6;2 5    3;
5 
2 

2  1
1 

i.
 7 ;     5 7 ;    0;  
3 
3  3

 3 1 
5
 2 3;1  
;    27 ;  
j.
3 
2
 2
Ejercicio 5: Resolver:
a.
a.
b.

 



(4  6i )  (2  3i ) 
(1  3i )  (2  4i ) 
( 3  i )  (2 3  4i ) 
d. 5  i   4i   3 
e. (2  3i )  (5  i )  3  (7  i ) 
c.
f.
(2  3i )  (2  2i )  4i 
2  3i  (2  2i )   4i 
4  2i

h.
4  2i
2i
i.

3  2i
6  2i   (5  3i) 
j.
2  2i
g.
53
Escuelas Técnicas Raggio
Potencias de la Unidad Imaginaria
Aplicando las propiedades de la potenciación en R, se puede hallar la potencia enésima de la unidad imaginaria i.
i0  1
i 4  i 3  i  i  i  i 2  (1)  1
i1  i
i 5  i 4  i  1 i  i
i 2  1
i 6  i 5  i  i  i  i 2  1
i 3  i 2  i  1  i  i
i 7  i 6  i  1  i  i
Y así sucesivamente se observa que los resultados de las potencias de i son: 1, i, -1 y –i , y se repite periódicamente.
i0 1
i1 i
i2 1
i3 i
Conclusión: El resultado de elevar la unidad imaginaria a un número natural n, es igual al elevarlo al resto de la
división entera entre n y 4.
Ejemplo: Calcular i 85
85 4
i 85  i 1  i
1 21
Cuadrado y Cubo de un complejo
Para elevar al cuadrado o cubo un complejo, se desarrolla el cuadrado o el cubo de un binomio.
Ejemplo:
a)
(3  2i ) 2  3 2  2  3  2i  2i   9  12i  4i 2  9  12i  4  5  12i
2
b) (2  i ) 3  2 3  3  2 2  i  3  2  i 2  i 3  8  12i  6i 2  (i )  8  11i  6  2  11i
Ejercicio 6: Resolver cada una de las potencias de i.
a.
b.
c.
d.
i 122
i 523
i 116
i 218




Ejercicio 7: Resolver cada una de las operaciones:
1
 3i  i 5  i 3 
2
1 3
b.
 i  2  i7 
2
3 17 1 23
i  i 
c.
2
3
a.
d.
e.
1
 2i 9   i 11 
3
f.
(i 2  i 3  i 0 )15 
g.
(4  3i ) 2 
h.
(2  6i ) 2 
i.
(1  2i ) 3 
j.
i 12  2i 21

i 5  i 13
k.
54
3  2i
 (6  i ) 2  3i 2 
i
(3i 50  2i 23 ) 2

2  3i
Escuelas Técnicas Raggio
Módulo de un Complejo

A cada número complejo z=(a;b) le está asociado un vector v , con origen en el origen de coordenadas y extremo en el
punto (a;b). de este modo se puede hacer corresponder a cada número complejo un vector.
El modulo de ese vector, es el Modulo del Complejo, y se representa con la letra  .
  z  a2  b2
Ejemplo: dado z  3  4 i
 z 
32  4 2 
25  5
Forma Polar de un Complejo
Al ángulo que forma el módulo de un complejo, es decir  , sobre el eje de abscisas o Real, se llama argumento y se lo
simboliza con la letra griega  .
Para calcular  se aplica la función tangente:
tg ̂ 
b
a
 ˆ  arctg
b
a
Por lo tanto, a la expresión: z  (  ;  )
se la llama Forma Polar
Ejemplo: Dado z  4  i expresarlo en Forma Polar.
Resolución:
Calculamos  :  = 4 2  12  17
1
b  ˆ  acrtg
Luego hallamos  : ˆ  arctg
4
a
0
ˆ  14 210
Por lo tanto, z=( 17 ; 14 0 210 )
Recordatorio: Si el número complejo se encuentra:
 En el 2do cuadrante, el argumento  se obtiene restando a 180° el valor obtenido.


En el 3er cuadrante, el argumento  se obtiene sumándole 180° al resultado obtenido.
En el 4to cuadrante debemos restar a 360° el resultado obtenido.
Ejercicio 8: Hallar el módulo y el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos.
a. z1  12  5i
b. z 2  3  i
c. z 3  4  2i
Ejercicio 9: Expresar en forma Polar los siguientes complejos.
e.
z1  1  i
z 2  ( 1;  3)
z 3  2  i
1
z 4   2i
2
z 5  (3;  3)
f.
z 6  ( 3;1)
g.
z 7  2  2 3i
h.
z 8  (1; 5 )
a.
b.
c.
d.
55
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 10: Expresar en forma binómica y par ordenado, los siguientes complejos.
a.
z1  (3;60 0 ) 1er cuadrante.
b.
z 2  ( 6 ;45 0 ) 2do cuadrante.
Forma Trigonométrica de un Número Complejo
Sea z  a  bi
a    cos 
Como 
b    sen
Reemplazando en la forma binómico, resulta:
z    cos     sen  i
z    cos   sen  i  Es la forma Trigonométrica del número complejo z.
Luego:
Ejercicio 11: Representar los siguientes números complejos, indicando módulo y argumento. Expresarlos en forma
Trigonométrica.
a.
b.
c.
d.
z1  2  2i
z2  3
z 3  5  5i
z4  1  i
z1
z2
a. z1  4  cos 180  sen180  i  y z 2  3  cos 120  sen120  i 

1
b. z1  4;60 y z 2   ;30 

2
Ejercicio 12: Hallar en cada caso: z1  z 2 y
Ejercicio 13: Resolver los siguientes cálculos combinados.
a.
1
 3  4i  i 4  8i  5
2
i

1 i
2
 5 6  12i 
b.  
 
 6 1  2i 
c.
i
d.
i 3  i 15

i0  i5  i9
14
 i 24  i 34  
2
Ejercicio 14: Indicar V o F. justificar.
a. 1  i 
b.
2  cos 45  sen45  i 
0;1  0;2  0;2
c. arg(-2-2i)=45°
d.
i 54   1;0 
e.
2;1  1  i   3;1
56
Escuelas Técnicas Raggio
Ecuaciones Reales con solución compleja
Existen ecuaciones con coeficientes reales cuya solución es la raíz de índice par de un número negativo; dichas
ecuaciones no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero sí en el de los complejos.
Las soluciones complejas de una ecuación cuadráticas son complejos conjugados.
Ejemplos:
a.
x 2  1  0  x 2  1  x   1  x   i
b.
x 2  2x  5  0
x1, 2 
2
 22  4  1  5
2 1

2  4  20 2   16 2  4i


 x1  1  2i  x 2  1  2i
2
2
2
Ecuaciones con Números Complejos
Las ecuaciones con números complejos deben resolverse aplicando las operaciones y propiedades de los mismos.
z  3i  2  1  i
Ejemplo 1:
z  1  i  3i  2
z  1  2i
2 z  5 i  zi  1
Ejemplo 2:
Ejercicio 15: Resolver las ecuaciones.
a.
x 2  2x  2  0
b.
z  i  4  zi  3i
c.
2 z  3i  1  zi  2
d.
z 2  3iz  4  0
e.
z 3  zi 
f.
z
3 z
1 i

3 i

57
2 z  zi  1  5 i agrupo las z
z  2  i   1  5 i extraer factor comun z
1  5i
se resuelve la división
z 
2i
7 9
z   i
5 5
Escuelas Técnicas Raggio
Para Recordar
Forma binómica: z  a  bi
donde a, b  R e i  - 1
Forma Cartesiana: z  (a; b)
Forma Polar: z  (  ;  ) donde   z y  es el argumento
Forma Trigonométrica: z    cos   i  sen 
Potencias de i:
i0 1
i1  i
i 2  1
i3  i
58
Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1. 1 con f; 2 con d, 3 con e; 4 con b; 5 con a.
2. a. Re(z)=2 Im(z)=3 b. Re(z)=0 Im(z)=5 c. Re(z)=4 Im(z)=-1 d. Re(z)=3 Im(z)=0
4. a. 7i b.  4 
j. 
20
1
1 7
3 26
6 5
4
i c. -6i d.   7i e.   i f.   i g. 1+2i h.  
5i i.  6 7  i
3
3
2 2
2 5
5 2
3
23
9
3 i
2
6
5. a. -26 b. 14+2i c. 2  6 3i d. 5+13i
e. -8-10i f. 10-2i g. -40-8i h.
4  7i
3 4
 i i.
j. 1-i
5 5
13
6. a. -1 b. –i c. 1 d. -1
7. a.
11
46  9i
7
5
1
d.   i e. -1-2i f. –i g. 7+24i h. -32-24i i. -11-2i j. 40-15i k.
i b.  2i c.
6
13
2
2
3
8. a.   13 z1  12  5i b.   10 z 2  3  i c.   2 5 z 3  4  2i
17
ˆ  284210
2
e.   3 2 ˆ  315 f.   2 ˆ  30 g.   4 ˆ  420 h.   6 ˆ  6747 32
9. a.  
2 ˆ  45 b.   10 ˆ  2513354 c.   5 ˆ  153265 d.  
3
3
3
3 3
(se descarta  porque el ángulo está en 1cuadrante) b 
3 F. Binómica: 
3i F. Par
2
2
2
2 2
3 3 
Ordenado:  ;
3
2 2 
10. a. a 

|b. a   3 b  3 F. Binómica:  3  3i F. Par Ordenado:  3; 3

11. a.   2 2 ˆ  45 F. Trigonométrica: 2 2  cos 45  sen45i 
b.   3 ˆ  0 F. Trigonométrica: 3  cos 0  sen0i 
c.   5 2 ˆ  135 F. Trigonométrica: 5 2  cos135  sen135i 
2 ˆ  315 F. Trigonométrica: 2  cos 315  sen315i 
z1 2 2
3 3
12. a. z1  4 z 2   
3i z1  z 2  6  6 3i
 
3i
2 2
z2 3 3
d.  
3 1
 i z1  z 2  2i
4 4
4 2
13. a. -8i b. -7+24i c. 1 d.   i
5 5
b. z1  2  2 3i z 2 
z1
 4 3  4i
z2
14. a. V b. F c. V d. V e. F
15. a. z1  1  i z 2  1  i b. z1  1  3i c. z1 
- 9  3i
d. z1  i
5
59
z 2  -4i e. z1  -1 f. z1  3  3i
Escuelas Técnicas Raggio
TP 3: Números Complejos
1. Representar cada uno de los siguientes complejos y su conjugado.
a. z1  3;5
b.
c.
d.
 2i
 5  i
  3;4 
 4;0
z2
z3
z4
z5
e.
2. Hallar la expresión polar y trigonométrica de los siguientes complejos
a. z1  2  2i
b.
z2   3  i


c. z 31  3; 5
3. Expresar en forma binómica y cartesiana.
a.
b.
c.
d.
3
3 

 i  sen 
z1  2   cos
2
2 

5
5 

 i  sen 
z 2  2   cos
4
4 




z 3  8   cos  i  sen 
3
3

2
2 

 i  sen
z 4  6   cos

3
3 

4. Hallar la expresión cartesiana de cada uno de los siguientes complejos.
a. z1  3i 22  5i 7  i 31
z1  i 18  2i 10  7i 29
c. z1  6i 63  i 11  4i 103  i
5. Dados: z1  1  2i z 2  3  i z 3  2  2i z 4  5  i z 5  1  3i
b.
Calcular:
a.
 z1  z 3   z 5 
b.
z5  z 2  z3 
c.
z1

z 4  z3
d.
z2  z4

z1  i
2
2
6. Hallar el valor de z.
a. 3z  2 zi  3i  5i 2
b.
2  i   z  2  i 2
1 i
c. 3  i   z  20  i
z
3z  i

3
d.
2i 2i
z
e.
 1  5i
2i
z 3 z  3i
f.

 2  4i
i
1 i
60
Escuelas Técnicas Raggio
Un poco de historia
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo
que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite
calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.
También es conocido como Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se
conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones,
o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en
honor al matemático Yang Hui, quien lo describió el año 1303
Historia de los Números Complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos
griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de
una pirámide.
Los números complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces
exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de
lidiar con raíces de números negativos.
El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La
existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación
geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La
implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Los números complejos tienen a la Ingeniería Eléctrica como campo fundamental de aplicación práctica, no obstante
están presentes en otras disciplinas científicas.
61
Escuelas Técnicas Raggio
UNIDAD 4:
Función
Cuadrática
62
Escuelas Técnicas Raggio
Problema Inicial
En un corralón de materiales se venden baldosas cuadradas a $12 el m 2 y cobran $14 por enviar el pedido en un flete.
1. ¿Cuánto cuesta comprar la cantidad de baldosas suficientes para embaldosar un patio cuadrado de 3m de lado,
incluyendo el traslado?
2. Cuánto cuesta comprar la cantidad de baldosas suficientes para embaldosar un patio cuadrado de 7m de lado,
incluyendo el traslado?
3. ¿Cuál es la fórmula que permite determinar el costo de una compra de baldosas, en función de la medida del
lado del patio cuadrado a embaldosar, incluyendo el flete?
4. Representar dicha formula en un sistema cartesiano.
Definición
Las funciones que están representadas por expresiones cuadráticas de la forma F ( x)  ax 2  bx  c siendo a, b y c
números Reales, se denominan Funciones Cuadráticas.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y  ax 2  bx  c
Cuadrático
Lineal
Independiente
Ejemplo: f ( x)  x 2  4 x  3 es una función cuadrática
Para representarla construimos una tabla de valores, mediante la cual obtenemos algunos pares ordenados
correspondientes a su gráfica.
x y
-1 8
0 3
1 0
2 -1
3 0
La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de Parábola. Sus dos ramas son simétricas respecto a una recta.
En la gráfica construida, la recta x=2 es Eje de Simetría de la curva.
Se llama Vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría.
En el ejemplo, el vértice es el punto V=(2;-1 )
Estudio del coeficiente a
Representá las funciones en un mismo sistema cartesiano:
f1 ( x)  x 2
f 2 ( x)  2 x 2
f 3  2 x 2
1 2
x
2
1
f 5 ( x)   x 2
2
f 4 ( x) 
63
Escuelas Técnicas Raggio
Dadas las funciones de la forma f ( x)  ax 2 se desprende las siguientes conclusiones:

Si a>0 la parábola va hacia………….., es decir se llama cóncava hacia …………….

Si a<0 la parábola va hacia…..…………, es decir se llama cóncava hacia…………….

0< a <1 la parábola se abre

si a >1 la parábola se cierra

El vértice es el punto V= (…..;…..)
Desplazamiento Vertical
A continuación estudiaremos las ecuaciones del tipo f ( x)  ax 2  c .
Representar las siguientes funciones en un mismo sistema cartesiano:
f1 ( x)  x 2
f 2 ( x)  2 x 2  1
f3  2x 2  4
Dadas las funciones de la forma y= ax2 + c se desprenden las siguientes conclusiones:

Si c>0 la gráfica se desplaza hacia …………………


Si c<0 la gráfica se desplaza hacia …………………
El vértice es el punto V= (…;….)
Observemos que este desplazamiento no modifica el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el
conjunto imagen de cada función.
Ejercicio 1: Completar el siguiente cuadro:
f ( x)  x 2
f ( x)  x 2  2
f ( x)  x 2  1
Vértice
Conj. Imagen
Ejercicio 2: Estudiar el comportamiento de las siguientes funciones, sin graficarlas.
a. La fórmula y  x 2  3 corresponde a la parábola y  x 2 desplazada……unidades hacia…………..El vértice
es el punto……………y su conjunto imagen es…………..
b. La fórmula y  x 2  4 corresponde a la parábola y  x 2 desplazada……unidades hacia………… El vértice
es el punto……………y su conjunto imagen es…………..
c. La fórmula y  x 2  5 corresponde a la parábola y  x 2  1 desplazada……unidades hacia………..El
vértice es el punto……………y su conjunto imagen es…………...
64
Escuelas Técnicas Raggio
Desplazamiento Horizontal
A continuación estudiaremos las ecuaciones del tipo f ( x)  a  x  p  .
Representar las siguientes funciones en un mismo sistema cartesiano:
2
f1 ( x)  x 2
f 2 ( x)  ( x  1) 2
f 3  ( x  4) 2
2
Dadas las funciones de la forma y  a.( x  p ) se desprenden las siguientes conclusiones:

Si p>0 la gráfica se desplaza hacia la.………………………….


Si p<0 la gráfica se desplaza hacia la..…………………………
El vértice es el punto V= (….;…..)
Observemos que este desplazamiento modifica el eje de simetría y la abscisa del vértice, pero no su
ordenada ni el conjunto imagen de cada función.
Ejercicio 3: Completar el siguiente cuadro
y = x2
y = (x - 2)2
Eje de simetría
Vértice
y = (x + 1)2
x = -1
(2 , 0)
Si ahora trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia la derecha, y dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica
de la función y = ( x - 1 )2 + 2.
Y si, trasladamos y = x2
tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la
función y = ( x + 3 )2 - 1.
De lo anterior resulta que: al desplazar la gráfica de y = x2 p unidades en sentido
horizontal y k unidades en sentido vertical, obtenemos la gráfica de la función
f(x) = (x - p)2 + k
donde su Vértice es el punto V = (p , k) y el Eje de Simetría es la recta de
ecuación x = p.
Esta forma de expresión de la Función Cuadrática se llama Canónica.
Ejercicio 4: Indicar cuál fue el desplazamiento aplicado a la función y = x2 para obtener cada una de las siguientes
expresiones:
a.
y = (x - 5)2
b.
y = (x + 4)2 -
c. y = x 2 + 2,5
7
2
65
Escuelas Técnicas Raggio
Estudio Completo
Para analizar la función cuadrática y  ax 2  bx  c seguimos los siguientes pasos:

Dom: 

Raíces: para hallar las raíces se iguala a cero la función, es decir y=0 resulta la ecuación:
0  ax 2  bx  c
- b  b2 - 4 a c
2a
Las mismas representan los puntos donde la gráfica corta al eje de abscisas: x1  ( x1 ;0) y x 2  ( x 2 ;0)
cuyas raíces se obtienen aplicando la Fórmula Resolvente o Cuadrática: x1,2 =
 Intersección con el Eje Y: para hallar se reemplaza por x=0 a la función: f (0)  a.0 2  b.0  c  c
Es decir es el punto: (0;c)
 Vértice: Cuando la parábola tiene raíces reales, las mismas equidistan del eje de simetría. Luego podemos obtener
la abscisa del vértice de la parábola haciendo: xv 
la ecuación de la función cuadrática: y v  f ( xv ) .
x1  x 2
y la ordenada de dicho vértice, yV reemplazando xV en
2
Otra forma de obtener la abscisa del vértice es aplicando la fórmula: xV =
-b
independientemente si tiene o no raíces
2a
la función.
 Eje de Simetría: como dijimos al comienzo, el eje de simetría corta al Vértice, por lo tanto tiene ecuación x= xv
 Concavidad: si a> 0 entonces es cóncava hacia arriba
si a<0 entonces es cóncava hacia abajo
 Gráfico: Se ubican en el sistema de coordenadas los puntos anteriores: raíces reales, int. Eje y, vértice
 Maximo/ Mínimo: El vértice de la parábola es mínimo si la misma es cóncava hacia arriba
El vértice de la parábola es máximo si la misma es cóncava hacia abajo.

Conjunto Positividad: esta formado por los intervalos reales donde la gráfica se encuentra por encima del eje de
abscisas.

Conjunto de Negatividad: esta formado por los intervalos reales donde la gráfica se encuentra por debajo del
eje de abscisas.

Intervalos de Crecimiento: una función continua es creciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al
aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente.
En símbolos: f(x) es creciente si: x1 >x2  f(x1 ) >f(x2)

Intervalos de Decrecimiento: una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando
al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.
En símbolos: f(x) es decreciente si: x1 >x2  f(x1 ) < f(x2)

Conjunto Imagen (Img): son todos los valores que toma la variable dependiente.
Ejercicio 5: Analizar en forma completa las siguientes funciones
a. f ( x)  x 2  x  2
1
b. f ( x)  5 x 2  2 x 
5
2
c. f ( x)  x  2 x  3
d. f ( x)  x 2  8 x  15
66
Escuelas Técnicas Raggio
Posiciones relativas respecto del eje de abscisas
Al radicando b 2  4.a.c se lo llama Discriminante ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las
raíces y se lo simboliza con la letra griega  (delta):
 = b 2  4.a.c
Ejemplos:
a. x2 - 5 x + 6=0:
x1,2 =
x1,2 =
5
25  24
2
5
1
2
x1 = 3
x2 = 2
Las raíces son números reales y distintos
b. x2 - 2 x + 5=0
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
2
2
4  20
2
 16
2
2 4i
2
x1 = 1 + 2 i
x2 = 1 - 2 i
Las raíces son números complejos conjugados
c. 9 x2 + 6 x + 1 = 0
x1,2 =
x1,2 =
-6
36  36
2
-6 0
2
x1 = -3
x2 = -3
Las raíces son números reales e iguales (raíz doble)
Observemos que:
 Si b2 - 4 a c > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales y distintas.
 Si b2 - 4 a c = 0 , la ecuación tiene una única solución real; diremos que es una raíz doble.
 Si b2 - 4 a c < 0 , la ecuación no tiene raíces reales; tiene dos raíces complejas.
67
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 6: Hallar los posibles valores de “m” para que se cumpla la condición pedida en cada caso:
a.
b.
c.
d.
y = x2 + m x + 3
tiene una raíz doble;
2
y= 2x -x-m
no tiene raíces reales;
el gráfico de las funciones de la forma y = m x2 - x - 1 intersecta el eje x en dos puntos;
el gráfico de las funciones de la forma y = - x2 - m x - 5 toca al eje x, pero no lo atraviesa.
Forma Factorizada
Si conocemos las raíces reales de la función cuadrática puede ser expresada de la siguiente manera:
f ( x)  a.( x  x1 ).( x  x 2 )
donde x1 y x2 son las raíces reales y a el coeficiente cuadrático.
Ejemplo: La función f ( x)  2.( x  1).( x  3) tiene raíces x=1 y x= -3
Ecuación Polinómica, Canónica y Factorizada
La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras:
Polinómica
y  ax 2  bx  c
Se desarrolla el cuadrado
de binomio
Se aplica propiedad distributiva
Se buscan
las raíces
Se busca el
vértice
Canónica
Factorizada
y  a( x  xv )  y v
f ( x)  a.( x  x1 ).( x  x 2 )
2
Ejercicio 7: Expresar cada una de las siguientes funciones en la forma en que se pide:
a) f ( x)  x 2  4 x  3 en forma canónica es
1
b) f ( x)   .( x  2).( x  3) en forma polinómica es
2
c) f ( x)  2.( x  3) 2  2 en forma polinómica es
d) f ( x)   x 2  2 x  3 en forma factorizada es
Ejercicio 8: Escribir las siguientes funciones en forma más conveniente de acuerdo a los datos y luego expresarla en
forma polinómica.
a. El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2.
b. Las raíces son x= -4 y x=2 y el coeficiente principal es -1.
c. El vértice es (-3;-2) y pasa por el punto (0;1)
6
)
5
Intersección de parábolas, parábolas y rectas
d. Corta al eje x en (-1;0) y (4;0) y pasa por el punto (-4;-
Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican
simultáneamente las ecuaciones del sistema.
Resolver gráficamente un sistema significa encontrar los puntos de intersección de ambas gráficas.
68
Escuelas Técnicas Raggio
En los casos en que el sistema esté formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede reconocer cuántas
soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que surge al resolver el sistema por el
método de igualación o sustitución.
Ejercicio 9: Resolver analítica y gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.
 y  3x  1
x 2  5x  y  4
a. 
d.

2
 y  x  2x  7
2  y  2 x
b.
c.
0   y  x 2  2 x

0   y  3 x  4
y  x2  4

4 x  y  0
.
y  6  x2  x
e. 
 y  3 x  11
Propiedades de las Raíces
Vamos a analizar que relación existe entre las raíces x1 y x 2 de una función cuadrática y los coeficientes a b y c de su
fórmula polinómica.
Consideremos una función f con raíces reales cuya fórmula está expresada en forma factorizada:
f ( x)  a  ( x  x1 )  ( x  x 2 )

Aplicamos la propiedad distributiva:
f ( x)  a  ( x  x1 )  ( x  x 2 ) = (ax  ax1 )  ( x  x 2 ) = ax 2  axx2  ax1 x  ax1 x 2
 Agrupamos los términos según las potencias de x:
f ( x)  ax 2  ( x 2  x1 ).ax  ax1 x 2
Así obtuvimos una fórmula de f(x) que está expresada en forma polinómica, es decir, en la forma:
f ( x)  ax 2  bx  c
Entonces: f ( x)  ax 2  ( x 2  x1 ).ax  ax1 x 2 = ax 2  bx  c
De acuerdo con el esquema, podemos plantear estas igualdades:
aa
b  a  ( x1  x 2 )
c  ax1 x 2
De la ecuación b  a  ( x1  x 2 ) se obtiene: 
y de la ecuación: c  ax1 x 2 se obtiene:
b
 x1  x 2
a
c
 x1 x 2
a
Propiedades de las raíces
69
Escuelas Técnicas Raggio
Ejemplo:
Hallar la expresión polinómica de una función cuadrática con las siguientes características: la suma de sus raíces es 5,
su producto es 6 y su gráfica interseca al eje de ordenadas en y=12.
Resolución:
La ordenada al origen es 12, es decir: c=12
Además podemos plantear: 5  x1  x 2  5  
b
[1]
a
12
12
c
a
6
y como c=12 reemplazamos y obtenemos el valor de a:
Por otra parte: 6  x1  x 2  6 
a
6
a
a2
b
5    b  5  (2)
Por último reemplazamos a en la ecuación [1] y asi obtenemos el valor de b:
2
b  10
2
Entonces la expresión polinómica de la función es: f ( x)  2 x  10 x  12
Ejercicio 10: Hallar la expresión polinómica de la función cuadrática f que reúne las siguientes condiciones:
a. Su coeficiente cuadrático es 3 y tiene dos raíces reales cuya suma es 6 y cuyo producto es 8.
b. El coeficiente lineal es 6, tiene dos raíces reales cuya suma es 2 y cuyo producto es -35.
c. Las raíces de una familia de funciones cuadráticas suman 4, su producto -21 y las ramas de sus gráficos van
hacia abajo. Escribir la fórmula de una de estas funciones.
Ecuaciones Bicuadradas
Se llama ecuación bicuadrada a una ecuación de la forma:
a  0
ax 4  bx 2  c  0
[1]
Para resolver una ecuación de este tipo, hacemos la siguiente sustitución en [1]:
x2  z
x4  z 2
quedando:
az 2  bz  c  0
[2]
Como la ecuación [2] es una ecuación de segundo grado en z, se resuelve con la Fórmula Resolvente para hallar sus
raíces.
Una vez obtenida z1 y z 2 se las reemplaza para obtener el valor de x1 , x 2 , x3 , x 4 :
z1  x 2 y z 2  x 2
Ejemplo: Dada la ecuación 2 x 4  x 2  1  0 hallar sus raíces.
Resolución: Reemplazamos en la ecuación por: x 2  z
x 4  z 2  2z 2  z  1  0
 ( 1)  ( 1) 2  4  2  ( 1)
22
1 1 8
z1, 2 
4
1 3
z1, 2 
4
z1  1
Aplicamos la fórmula resolvente: a=2 b= -1 c= -1
z1, 2 
z2  
70
1
2
Escuelas Técnicas Raggio
Luego reemplazamos z1 y z2 para hallar los valores de x:

1  x2
1 x
1  x1
 1  x2
1
 x2
2
1
  x
2
2
i  x3
2

2
i  x4
2
Ejercicio 11: Resolver las siguientes ecuaciones:
a. x 4  15 x 2  54  0
3
1
b.  x 4  2 x 2   0
2
2
4
2
2
c. 4 x  ( x  1)  7
1 4
d.
x  5x 2  0
3
e. 4( x 2  1) 2  3 x 2  3  0
Problemas de Aplicación
1. La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es 232 ¿Cuál es el
número?
2. Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la
edad de Marcela.
3. Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el
área es 48 cm2.
4. Un prado rectangular de 60m por 80 m es excavado para hacer una piscina en su interior, dejando una franja
uniforme en torno a la misma. El área de la piscina es
1
del prado. ¿Cuál es el ancho de la franja de césped?
6
5. En cada una de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se recorta un cuadrado de 5 cm de
lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.
6. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11 m y la hipotenusa 1m más que el otro cateto. Hallar los
lados del triángulo.
7. Un pub abre a las 20 hs y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de registros mensuales se obtuvo
una función cuadrática que permite modelizar el número de personas que hay en el pub t horas después de su
apertura, la misma es: P (t )  60t  10t 2
a. Determinar el número máximo de personas que van al pub una determinada noche e indicar en qué
horario se produce.
b. Si queremos ir al pub cuando haya menos de 50 personas, ¿a qué hora tendríamos que ir?
c. Si queremos estar sentados y el pub solo tiene capacidad para 80 personas sentadas, ¿a partir de qué
hora ya estamos seguros que no conseguiremos sillas?
8. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I ( z )  1.000 z  2 z 2 , donde z
es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.
a. Realizar el gráfico de la función.
b. ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?
c. ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿y 375 pares?
d. ¿a partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?
71
Escuelas Técnicas Raggio
9. En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla
comenzaron a escasear y la población decreció.
El número de iguanas a los t años de haberlas dejado en la isla está dado por: i (t )  t 2  22t  112 (t > 0)
a. Calcular la cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó.
b. ¿En qué momento la población de iguanas se extingue?
c. ¿Cuál fue la cantidad máxima de iguanas en la isla? ¿cuántos años pasaron?
10. Guillermo Dotto hace diariamente el reparto de jugos de manzana. La distancia (en km) a la que se encuentra
su camión respecto de la empresa, desde que sale hasta que vuelve, en función del tiempo (en horas) es:
f : Dom( f )  R / f (t )  t   t  8
a. ¿A qué hora vuelve el camión a la empresa?
b. Determiná el Dominio de la función para el recorrido de Dotto y justificá.
c. Si Dotto sale a trabajar a las 7:30 hs, ¿a qué hora se encuentra más lejos de la empresa y a qué
distancia? Traducí lo pedido en términos matemáticos.
d. ¿En qué intervalos de tiempo se aleja de la empresa y en qué instante emprende el regreso?
e. Calculá f(5) y f(9) y traducí lo pedido en términos de la situación.
11. La ganancia M (en miles de pesos) de la empresa Mussio Propiedades en función del tiempo t (en días) puede
representarse con la función m(t )  4t 2  56t  96 . Por su parte, la ganancia A de la empresa Antonelli
propiedades, en función del tiempo se obtiene con la función: a(t )  4t  80 .
a. ¿Qué día logra la empresa Mussio su máxima ganancia? ¿Cuál es esa ganancia?
b. ¿En qué día la ganancia de la empresa Mussio fue nula?
c. ¿En qué días aumenta la ganancia de Mussio?
d. La ganancia de Antonelli, ¿es creciente o decreciente? ¿Por qué?
e. ¿En qué día se igualan ambas ganancias? ¿A cuánto ascienden?
12. Hallar
la
medida
de
los
lados
de
un
triángulo
abc
rectángulo
en
b,
sabiendo
ac  7 x  11cm bc  11x  2cm ab  5 x  3cm
13. Hallar la medida de las bases y la altura de un trapecio rectángulo abcd, sabiendo que:
ab  7 x  10cm (base menor)
dc  7 x  4cm (base mayor)
h  3 x  1cm
A  112cm 2
14.
Una librería mayorista ha comprobado que la ganancia (en miles de pesos) por “x cientos” de cajas de
lápices está dada por la función: l ( x)   x 2  7 x  8 , y la ganancia (en miles de pesos) por “x cientos” de
cajas de cuadernos viene dada por: C ( x)  2 x  4
a. El número de cajas de ambos útiles para el cual se obtiene la misma ganancia.
b. ¿Cuándo comienza a dar pérdida la venta de lápices? ¿y la de los cuadernos?
c. Realizar un gráfico aproximado de ambas funciones.
15. La disciplina de snowboard consiste en surfear por la nieve en una pendiente, realizando movimientos de
zigzag. En la práctica de snowboard la altura de los saltos, medida en metros, que alcanza un deportista de
elite, se puede representar por la función: h(t )  2t 2  8t con t segundos que mide el tiempo que dura el
salto.
a. ¿Qué indica en el problema que el parámetro c sea nulo?
b. Calcular la altura que alcanza el deportista al segundo de comenzado el salto.
c. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿A cuántos segundos de comenzado el salto ocurre?
d. ¿Cuánto tiempo duró el ascenso del snowboardista?
e. ¿Durante cuánto tiempo estuvo en el aire, sin tocar la nieve?
72
que:
Escuelas Técnicas Raggio
Para Recordar
Forma
Polinómica
Expresión
y = a x2 + b x + c
Parámetros
a, b , c
Canónica
y = a (x - xV)2 +yV
a, V = (xV , yV)
Factorizada
y = a (x - x1).(x - x2) a, x1 y x2 (raíces)
73
Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1.
Vértice
Conj. Imagen
f ( x)  x 2
0;0
0; 
f ( x)  x 2  2
0;2
2; 
f (x)  x 2  1
0;1
 1; 
2.
a. La fórmula y  x 2  3 corresponde a la parábola y  x 2 desplazada 3 unidades hacia abajo. El vértice es el
punto 0;3 y su conjunto imagen es  3; 
b. La fórmula y  x 2  4 corresponde a la parábola y  x 2 desplazada 4 unidades hacia arriba. El vértice es el
punto 0;4  y su conjunto imagen es 4;  .
c. La fórmula y  x 2  5 corresponde a la parábola y  x 2  1 desplazada 6 unidades hacia arriba. El vértice es el
punto 0;5 y su conjunto imagen es 5; 
3.
y = x2
x=0
Eje de simetría
Vértice
y = (x - 2)2
x=2
0;0
y = (x + 1)2
x = -1
2;0
 1;0
4.
a. 5 unidades a la derecha
b. 4 unidades a la izquierda y
7
unidades hacia abajo.
2
c. 2,5 unidades hacia arriba.
5.
1
1 9
2
2 4
1
1 9
1


Concavidad: positiva Min:  ;  Crec.:  ;  Decrec.:   ;  C+ :  ;1  2; 
2
2 4
2


 9

C  :  1;2  Im:  ; 
 4

1
 1
1 
1 
b. Dom:  Raíces: x1   ;0  raíz doble Int. Eje y:  0;  Vértice:  ;0  Eje Simetría: x 
5
 5
5 
5 
1
1


Concavidad: positiva Crec.:  ;  Decrec.:   ;  C+ :  C  : Ø Im: 0; 
5
5


c. Dom:  Raíces: x1   1  2i ;0 x 2   1  2i ;0 Int. Eje y: 0;3 Vértice:  1;2 
Eje Simetría: x  1 Concavidad: positiva Crec.:  1; 
Decrec.:  ;1 C+ :  C  : Ø
Im: 2; 
d. Dom:  Raíces: x1  3 ;0  x 2  5 ;0  Int. Eje y: 0;15 Vértice: 4;1 Eje Simetría: x  1
Concavidad: negativa Crec.:  ;4  Decrec.: 4;  C+ : 3;5 C  :  ;3  5;  Im:  ;1
a. Dom:  Raíces: x1  2;0  x 2   1;0  Int. Eje y: 0;2  Vértice:  ;  Eje Simetría: x 




6.
a.
m2 3
b. m  
7. a. f ( x)  x  2   1
2
1
8
c. m  
b. f ( x)  
1
4
d.
m  2 5
1 2 1
x  x  3 c. f ( x)  2 x 2  12 x  15 d. f ( x)  1   x  1   x  3
2
2
74
Escuelas Técnicas Raggio
8. a. f ( x)  2 x 2  12 x  20
b. f ( x)   x 2  2 x  8
c. f ( x) 
1 2
x  2 x  1 d.
3
1 2 1
1
x  x
20
4
5
9. a. S   3;8, 2;7  b. S  4;13, 1;4  c. S   2;8 d. S   1;0 ,  2;2  e. Sin solución.
10. a. f ( x)  3 x 2  18 x  24 b. f ( x)  3x 2  6 x  105 c. f ( x)   x 2  4 x  21
f ( x)  
11. a. x1  3 x 2  3 x3  6 x 4   6 b. x1  3 x 2   3 x3  1 x 4  1
2 3
2 3
x2  
x3   2i x 4  2i d. x1, 2  0 x3   15 x 4  15
3
3
1
1
e. x1  1 x 2  1 x3  x 4  
2
2
Problemas de Aplicación.
c. x1 
1. El número es 6.
2. La edad de Marcela es 21 años.
3. La diagonal mide 10cm
4. El ancho es 20m.
5. El lado mide 26cm
6. El cateto mayor mide 60cm y la hipotenusa 61cm.
7. a. 90 personas a las 23hs.
b. De 20hs a 21 hs ó desde la 1am hasta las 2 am.
c. Desde las 22hs hasta las 24hs no encontraría lugar para sentarme.
8. b. 250 pares
c. $ 93.750 vendiendo ambas cantidades de pares.
d. A partir de los 500 pares.
9. a. 11 años
b. 26 años y 3 meses aproximadamente.
c. 233 iguanas
10. a. Regresa después de 8 horas.
b. Dom: 0;8
c. A las 11:30 hs f (4)  4   4  8  16km
d. 0;4 a las 4 horas emprende la vuelta.
e. f (5)  5   5  8  15km
f (9)  9   9  8  9km es decir, le faltan recorrer 9km de regreso.
11. a. Al 7mo día alcanza su máxima ganancia de $100.000
b. A los 2 y 12 días.
c. Del 2do al 7mo día.
d. Decreciente, porque la pendiente es negativa.
e. Al 4to día la ganancia fue de $ 64.000 y a los 11 días de $36.000
75
Escuelas Técnicas Raggio
12. Las medidas de los lados son: ab  7cm bc  24cm ac  25cm
13. Las medidas de los lados son: ab  11cm dc  17cm h  8cm
14. a. 100 y 400 cajas.
b. Cuando se venden menos de 144 cajas y más de 556.
15. a. Que comienza desde la base de la pendiente.
b. Alcanza 6m.
c. La altura máxima es de 8m a los 2 seg.
d. Durante los dos primeros segundos.
e. Durante 4 segundos permanece en el aire.
76
Escuelas Técnicas Raggio
TP 4: Función Cuadrática
1. Responder V ó F y justificar en caso Falso.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Todas las parábolas cortan al eje x en algún punto.
Todas las parábolas tienen ordenada al origen.
De la ecuación Canónica obtengo inmediatamente las Raíces.
Puede darse que una Recta y una Parábola no se corten
y  ( x  8) 2 tiene una sola raíz (doble)
Existe una parábola con raíces x=0 y x=-5 y vértice en V=(-3;4)
2. Analizar en forma completa las siguientes funciones y expresarlas en todas sus formas:
1
a. f ( x)  x 2  4 x  6
2
1

b. g ( x)  4   x     x  3
4

2
c. f ( x)   x  1  4
d. f ( x)  2 x 2  7 x  3
3. Reconstruir las ecuaciones de las siguientes parábolas (forma polinómica)
4. Hallar el valor de k para que el vértice de la parábola sea el punto (1;3)
a. y  2 x 2  kx  k  1
b. y   x  k  1  x  2
8k 2
c. y 
x  6kx  6
3
5. Determinar el valor de k para que el siguiente sistema tenga:
a. Dos soluciones;
 y  3x 2  2 x

b. Una solución;
 y  3 x  k
c. Ninguna solución.
6. Reconstruir la función cuadrática que tiene dos raíces reales que suman 7 y cuyo producto es 10,
sabiendo que su gráfico corta al eje y en y= -1.
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
a.
x
2
 2  x 2  2  2 x 2  4  0
b. 3  1  x 2   x 2  0
2
c.
x  8   x
2
2


 x  x 2  x  4 2x
8. La velocidad V de un misil ( en m/s) t segundos después de ser lanzado está dada por la función:
V (t )  54t  2t 2  10
a. ¿cuál es la velocidad máxima que alcanza el misil y en que momento se produce?
b. ¿Luego de cuanto tiempo el misil se detiene?
c. ¿En qué momento la velocidad del misil será de 350 m/s? ¿y de 400 m/s?
d. Representar la situación.
77
Escuelas Técnicas Raggio
Un poco de historia
Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada "La Edad de Oro"
del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C. aproximadamente.
Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la
India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y la Trigonometría.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, quien escribió varios
libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto
el planteamiento, como la solución de las ecuaciones eran dados en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos
algebraicos como hoy en día.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el
planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el
desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los
coeficientes de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de
ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
Mohammed ibn Musa
al-Khwarizmi
François Viète
78
Escuelas Técnicas Raggio
UNIDAD 5:
Función
Exponencial y
Logarítmica
79
Escuelas Técnicas Raggio
Problema Inicial
Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un
cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba.
Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas.
Tiempo
(hs)
N° amebas
1
2
3
2
4
8
4
5
6
7
El número total al cabo de x horas será………………..
Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería: …………………….
A este tipo de funciones se las llama Exponenciales
Función Exponencial
Se denomina función exponencial a toda función f :    / f ( x)  k  a x donde a  0 y a  1 k    k  0
Ejemplo:
f :    / f ( x)  3 x
Completar la tabla y graficar.
x
-2
-1
-½
0
½
1
f(x)
Analicemos la función:




No tiene ceros, porque…………………………………………………………………………..
Su ordenada al origen es………., y el Conjunto Imagen (Im) es……………………………
Una característica evidente de esta curva es la rapidez con la que crece. A ese crecimiento se lo llama
Crecimiento Exponencial.
Cuando x tiende a   , la curva se aproxima cada vez mas al eje de las abscisas, pero nunca llega a tocarlo.
Por eso, la recta de ecuación y  0 (es decir, el eje x) es la Asíntota Horizontal de la curva.
Variación de a en la función y  a x
Completar las tablas y representarlas:
x
f ( x)  2
x
1
f ( x)   
2
x
f ( x)  3
x
1
f ( x)   
3
-2
-1
0
1
2
80
x
Escuelas Técnicas Raggio
Características Comunes:
 Cortan al eje de ordenadas en el punto: (…..;….)
 No tienen raíces y el conjunto Imagen es: …………………………..
 Tienen una asíntota………………… y es la recta de ecuación: ………………….
Diferencias:
 Si a  1 , la función es ……………………………….
 Si 0  a  1 , la función es ……………………………….
 Las curvas que corresponden a funciones de bases recíprocas son simétricas con respecto al eje ………
Conclusión: Si a>1 entonces la función es creciente, y en cambio, si 0<a<1 la función es decreciente
Variación de k en la función y  k  a x
Completar la tabla y graficar las siguientes funciones en el mismo sistema cartesiano:
x
0
1
2
12
3
2
f ( x)  3  2 x
-6
f ( x)  3  2 x

3
4
Observar los gráficos y completar:




Conjunto Imagen
Ordenada al Origen
¿Crece o Decrece?
Asíntota Horizontal
f ( x)  3  2 x
f ( x)  3  2 x
………………
………………
………………
………………
……………….
……………….
……………….
……………….
Las curvas correspondientes a las funciones exponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos, son
………………………………………………..
Conclusión: El valor k en las funciones exponenciales modifica el valor de la ordenada al origen
Desplazamiento horizontal y  k  a x c
Graficar las siguientes funciones y completar el
x
f ( x)  2 x
-3
-2
-1
0 1 2
1
8
1
4
1
2
1 2 4
cuadro:
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x 1
81
Escuelas Técnicas Raggio
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x
f ( x)  2 x 1
Dominio
Imagen
Raíces
Int. Eje y
Asíntota
Crec/Decrec
Conclusión: Toda función exponencial de la forma: y  k  a x  c se traslada respecto de y  k  a x :

c unidades a la derecha si c es menor que cero

c unidades a la izquierda si c es mayor a cero.
El desplazamiento horizontal, en estos casos, modifica la ordenada al origen de la función.
Desplazamiento Vertical y  k  a x  c
Graficar las siguientes funciones y completar el cuadro:
x
f ( x)  2 x
-3
-2
-1
0 1 2
1
8
1
4
1
2
1 2 4
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  1
f ( x)  2 x
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  1
Dominio
Imagen
Raíces
Int. Eje y
Asíntota
Crec/Decrec
Conclusión: Toda función exponencial de la forma: y  k  a x  c se traslada respecto de y  k  a x :

c unidades hacia arriba si c es mayor que cero

c unidades hacia abajo si c es menor a cero.
El desplazamiento vertical, en estos casos, modifica el Conjunto Imagen y la asíntota
82
Escuelas Técnicas Raggio
Ecuación de la función exponencial dados dos puntos
Conocidos dos puntos que pertenecen a una función exponencial podemos hallar su fórmula.


2
3
Ejemplo: Dados los puntos A    1;  y B  4;162  , hallar la función exponencial.
Resolución:
 Reemplazamos en la fórmula general y  k  a x :
Con las coordenadas de A:
Con las coordenadas de B:
2
 k  a 1
3

Despejamos k en ambas ecuaciones:

Igualamos las expresiones que obtuvimos:
162  k  a 4
k  ................................................
k  ................................................
…………………………………=…………………………..

Despejamos a y luego reemplazamos para hallar k
……………………………………………………
………………………………………………….
………………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………………
…………………………………………………
Entonces la función es: ………………………
Ejercicio 1: Dada la función f ( x)  2  5 x :
a. Analizarla
b. Graficarla
c. Hallar la fórmula de las otras dos funciones exponenciales simétricas de f(x), con respecto a cada uno de los
ejes de coordenadas.
Ejercicio 2: Se sabe que f ( x)  a x , y que f(3) < f(5), ¿Qué se puede afirmar de a?
Ejercicio 3: Hallar la fórmula de la función exponencial que verifique las condiciones pedidas en cada caso:
a. Su base es
2
y su coeficiente es 40.
3
 64 
 y corta al eje de coordenadas en y=5.
 25 
b. Pasa por el punto  3;
c. Pasa por los puntos (3;0,024) y (-2;75).
Ejercicio 4:.Unir con una flecha cada función con la asíntota horizontal correspondiente
1.
f ( x)  4 x 3
a.
y  4
2.
f ( x)  2 x  4
b.
y  3
c.
y0
3.
2
f ( x)     3
3
d.
y 1
4.
f ( x)  3  2 x 3
e.
y4
5.
f ( x)  5  2 x  4
f.
y3
x
83
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 5: Graficar cada una de las siguientes funciones. Indicar: Dominio, Imagen, intersección con los ejes,
asíntota.
a.
f ( x)  2 x 1  3
b.
1
f ( x)     4
4
c.
f ( x)  3 x  1
x
Ejercicio 6: Hallar la fórmula de cada una de las siguientes funciones:
Logaritmo de un número
La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumento respectivamente, que
a  0  a  1 b  0
se define como: log a b  c  a c  b
Ejemplos: log 2 8  3  2 3  8
log 2
1
1
 2  2 2 
4
4
log 9 3 
1
2
1
 92  9  3
Existen dos logaritmos cuya notación es especial:

El decimal o de base 10, que se simboliza: log10 b  log b

El Natural o de base e, que se simboliza: log e b  ln b
Propiedades
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es cero. En símbolos: log a 1  0  a 0  1
2. El logaritmo de un número, en su misma base, es 1. En símbolos: log a a  1  a 1  a
3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, si éstos existen. En símbolos:
log a  x  y   log a x  log a y  x  0  y  0
4. El logaritmo de un cociente es igual a la resta entre los logaritmos del dividendo y el divisor, respectivamente, si
x
éstos existen. En símbolos: log a    log a x  log a y
 y
 x0  y0
5. El logaritmo de una potencia, es igual al producto entre dicho exponente y el logaritmo del argumento. En
símbolos: log a b n  n  log a b
6. Cambio de base: para calcular logaritmos en los cuales el argumento no es una potencia de la base, se debe recurrir
a un cambio de base, utilizando logaritmos con bases convenientes o logaritmos decimales o neperianos, que se
resuelven con calculadora científica. En símbolos: log a b 
84
log c b log b ln b


log c a log a ln a
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 7: Calcular, aplicando la definición, los siguientes logaritmos:
a.
log 4 64 
b.
log 2 32 
c.
1
log 3 
3
1

25
d.
log 5
e.
log 0,001 
f.
log 4 2 
g.
log 81 3 
h.
log 1 128 
2
log 2
i.
3
27

8
Ejercicio 8: Resolver aplicando propiedades:
 
a.
log 2 8 2 
b.
log 3
1
27
c.

log 4 3
1
2 
4
2
 1

d. log 10  
0,1  
 100

Ejericio 9: Si se considera que: log 2  0,3 y log3  0,48 . Calcular, aplicando propiedades, los siguientes
logaritmos.
a.
log 6 
b.
log 9 
c.
log 1 
8
d.
log 20 
Ejercicio 10: Sabiendo que: log A  2 , log B  3 y log C  4 . Calcular, aplicando propiedades, los siguientes
logaritmos.
a.
x  logA  B 2 
b.
x  log
c.
 B3

x  log
 C 
 A 
B
C3
Ejercicio 11: Realizar los siguientes cálculos aplicando las propiedades de logaritmos.
a.
log 45 5  2  log 45 3 
b.
2  log 4  2  log 5 
c.
1
log 1 20   log 1 125 
3
2
2
d.
log 3 5  log 5 3 
e.
 49 
log 3    log 7 3 
 4 
2
f.
4
 25 
log 3    log 3   
9
9 
5 
2
1
 log16 
2
85
Escuelas Técnicas Raggio
Función Logarítmica
Se define función logarítmica de base a, a la función inversa de la función exponencial de base a:
f ( x)  log a x  a y  x
 x  0 a  0 a 1
Volvamos a considerar la función exponencial y  2 x con una tabla de valores:
x
-3
-2
-1
0 1 2 3
y
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8
Si intercambiamos las abscisas y las ordenadas entre sí, obtenemos la tabla de valores de su función inversa:
y  log 2 x
x
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8
y -3
-2
-1
0 1 2 3
En este caso, cuando x tiende a 0, la curva se aproxima cada vez más al eje de ordenadas, pero nunca llega a tocarlo.
Por eso, la recta de ecuación x  0 (es decir, el eje y) es la Asíntota Vertical de la curva.
Características:
y  2x
y  log 2 x

Dominio:
………………
………………

Imagen:
………………
………………

Raíces:
………………
………………

Ordenada al origen:
………………
………………

Asíntota:
……………....
………………

Crece/Decrece:
………………
………………
86
Escuelas Técnicas Raggio
Variación de a en la función y  log a x
Dadas las siguientes funciones completar la tabla, graficar con distintos colores y extraer conclusiones.
X
1
3
1
2
1 2 3 4 5
f ( x)  log 2 x
f ( x)  log 3 x
f ( x)  log 1 x
2
f ( x)  log 1 x
3
Características Comunes:
 Cortan al eje de abscisas en el punto:
(……;……)
 No cortan el eje de ordenadas, y el conjunto Imagen es: …………………..
 Tienen una asíntota ………………………, que es el eje …………
Diferencias:
 Si la base es mayor que 1, la función es ……………………….
 Si la base es menor que 1, la función es ……………………….
 Las curvas correspondientes a funciones de bases recíprocas son ………………………………………….
Desplazamiento horizontal
Dadas las siguientes funciones completar la tabla y graficar. Luego indicar: dominio, imagen, Raíces, Intersección con
el eje y, Crecimiento/Decrecimiento.
X
-1
0
1
2
3
f ( x)  log 2 x
f ( x)  log 2 x  2 
f ( x)  log 2  x  1
f ( x)  log 2 x
f ( x)  log 2  x  2 
f ( x)  log 2  x  1
Dominio
Imagen
Raíces
Int. Eje y
Asíntota
Crec/Decrec
87
Escuelas Técnicas Raggio
Conclusión: Toda función logarítmica de la forma: y  log a  x  k  se traslada respecto de y  log a x :

k unidades a la derecha si k es menor que cero

k unidades a la izquierda si k es mayor a cero.
El desplazamiento horizontal, en estos casos, modifica el Dominio de la función y la asíntota.
Desplazamiento Vertical
Dadas las siguientes funciones completar la tabla y graficar. Luego indicar: dominio, imagen, raíces, Intersección con
el eje y, Crecimiento/Decrecimiento.
x
1
2
3
4
f ( x)  log 2 x
f ( x)  log 2 x  2
f ( x)  log 2 x  1
f ( x)  log 2 x
f ( x)  log 2 x  2
f ( x)  log 2 x  1
Dominio
Imagen
Raíces
Int. Eje y
Asíntota
Crec/Decrec
Conclusión: Toda función logarítmica de la forma: y  log a x  k se traslada respecto de y  log a x :

k unidades hacia arriba si k es mayor que cero

k unidades hacia abajo si k es menor a cero.
Ejercicio 12: Graficar cada una de las siguientes funciones. Indicar: Dominio, Imagen, intersección con los ejes y
asíntota.
a.
f ( x)  2  log 2 ( x  1)
b.
 x
f ( x)  1  log 1  
2
4 
c.
f ( x)  ln x  2
88
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 13: Hallar la fórmula de cada una de las siguientes funciones
Ejercicio 14: dada la función f ( x)  log 3 (kx  2) , determinar el valor de k que verifique que f (2)  1
2
Ecuaciones Exponenciales
Una ecuación es exponencial cuando la incógnita de la misma forma parte de algún exponente. Para resolver las,
tendremos en cuenta que:

Siempre que sea posible, es conveniente expresar ambos miembros como potencias de una misma base.

Para despejar incógnitas que aparecen en el exponente, es posible usar logaritmos.

Cualquier logaritmo puede obtenerse con calculadora científica.
Caso 1: Reducción a potencias de igual base.
Ejemplo: 2 x  3  32

Expresamos a 32 como una potencia de base 2: 2 x  3  2 5

Como las bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales: x  3  5

Despejamos x: x  3  5
x  53
x2
Verificación: sustituimos x en la ecuación original:
2 x  3  32
2 2  3  32
2 5  32
Caso 2: Potencias de bases distintas.
Ejemplo: 2 x  5

En este caso, aplicamos logaritmos decimales a ambos miembros: log(2 x )  log 5

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: x  log 2  log 5

Despejamos x:
x  log 2  log 5
x
log 5
 2,32
log 2
89
Escuelas Técnicas Raggio
Caso 3: Suma y restas de potencias de igual base.
Ejemplo: 2 x  2 x 1  2 x 3  23

Como no hay ninguna propiedad que permita agruparlas, se procede de la siguiente manera: aislamos 2 x en
cada término, aplicando propiedades 2 x 1  2 x  21
2 x  3  2 x  2 3

Reemplazamos estas expresiones en la ecuación: 2 x  2 x  21  2 x  2 3  23

Extraemos factor común 2 x : 2 x  1  21  2 3  23

Resolvemos el paréntesis:



1

2 x  1  2    23
8

 23 
2 x     23
 8 
Despejamos x: 2 x  23  23
8
x
2 8
2 x  23
x3
Verificación: sustituimos x en la ecuación original:
2 x  2 x 1  2 x  3  23
2 3  2 31  2 3 3  23
8  16  1  23
23  23
Caso 4: Cambio de variable
Ejemplo: 3 2 x  6  3 x  5  0
 
2

Aplicamos propiedades: 3 2 x  3 x

Reemplazamos la expresión anterior en la ecuación: 3 x

Realizamos un cambio de variable: 3 x  z

Sustituimos por z: z 2  6  z  5  0

Hallamos la solución con la fórmula resolvente:
 
z1, 2
z1, 2
Por último hallamos x reemplazando z:
 6  3x  5  0
a  1 b  6 c  5
z1, 2

2
 (  6)  ( 6 ) 2  4  1  5

2 1
6  36  20

2
64

 z1  5
z2  1
2
3x  5
log 5
x
 1,46
log 3
90
3x  1
3 x  30
x0
Escuelas Técnicas Raggio
Ejercicio 15: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.
1
a.  
3
2 x 1
 27
b.
2 x  2 x  2  40
c.
7 x 1  1
d.
7 x  2  343
e. 10 4 x  6  1
f.
5 x 1  0,2
g.
2 x  2 x 1  32
h.
27 x 1  9 x 3
i.
5x
2
3 x
 625
j.
35 x 11  9
k.
2 5 x 7  2 x  2
l.
2 2 x  2  2 x 3  320
m. 2 2 x  10  2 x  16  0
n.
9 x  3 x  90
o.
e 2 x  3e x  2  0
p.
9  5  x  5 x  10
q. 121  11x  2  3  11x  22
r.
3  3 x2  2  3 x 
s.
2x  4x 
t.
25
9
1
0
4
8 2 x 1  3 2 x  2
u.
8 x  10 x
v.
3 2x
2
1
3
w. 8 x 1  2 2 x  7
x.
ln e x
y.
ex
2
1
1
z.  
4
2
 21
 ln e10 x
 ex
2
x
x2  x
4 4
91
Escuelas Técnicas Raggio
Ecuaciones Logarítmicas
Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación.
Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los
valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación.
Caso 1: Aplicando la definición de logaritmo
Ejemplo: log 2  x  1  1

Aplicamos la definición: log a b  c  a c  b
log 2  x  1  1
2 1  x  1

Resolvemos la ecuación:
1
 x 1
2
1
1  x
2
3
x
2
Verificación: sustituimos x en la ecuación original
3 
log 2   1  1
2 
1
log 2    1
2
Caso 2: Aplicación de propiedades
Ejemplo: log 3  x  4   log 3 x  4   2

Aplicamos la propiedad de la suma: log a b  log a c  log a b  c 
log 3  x  4  log 3  x  4   2
log 3  x  4    x  4  2



Resolvemos el paréntesis: log 3 x 2  16  2

Aplicamos definición de logaritmo y hallamos x:
32  x 2  16
9  16  x 2
25  x
x1  5
Verificación: para
x1  5 : log 3 5  4   log 3 5  4   2
x2  5
x 2  5 : log 3  5  4   log 3  5  4   2
log 3 9  log 3 1  2
log 3 ( 1)  log 3 ( 9)  2
20  2
22
 x1 es solución
no existe solución.
Por lo tanto x 2 no es solución
92
Escuelas Técnicas Raggio
Caso 3: Cambio de variable
2
Ejemplo: log 2 x  5 log 2 x  4  0

Realizamos un cambio de variable: z  log 2 x

Reemplazamos z en la ecuación: z 2  5 z  4  0

Hallamos z aplicando la fórmula resolvente:
a  1 b  5 c  4
z1, 2
z1, 2
z1, 2

Sustituimos z para hallar el valor de x:
 ( 5)  (5) 2  4  1  4

2 1
5  25  16

2
53

 z1  4
z2  1
2
z1  log 2 x
z 2  log 2 x
4  log 2 x
1  log 2 x
2 x
16  x
21  x
2x
4
En este caso ambas soluciones verifican la ecuación.
Caso 4: Cambio de base
Ejemplo: log 3 x  log 9 x  1

Aplicamos cambio de base al logaritmo de base 9, para pasarlo a base 3:

Reemplazamos y resolvemos:
log 3 x 
log 3 x
1
2
1
 log 3 x  1
2
log 3 x  2
32  x
9x
Ejercicio 16: Resolver las siguientes funciones logarítmicas
a.
log 1  x  2  1
2


b.
log 5 x 2  1  1
c.
3 log x 81  12
d.
2 log 2 x  3
1
3
e.
log 2  x  1   x  2   1
93
log 9 x 
log 3 x log 3 x

log 3 9
2
Escuelas Técnicas Raggio
f.
log 2 x 7  x  2  log 2 x 7 3  2
g.
log 2 2 x  2   log 2  x  2   2
h.
2 log 4  x  1  log 4  x  1  6
i.
3 log 4 x  4   log 4 x  4   2
j.
log x 3  log x 6  log x 2  2
k.
3 log 2 x  2 log 2 x  2
l.
2 log 2 x 2  2 log 2  x   4
m. log 3 x  log 9 x  log 81 x 
5
2
n.

1 
3
2 log x  1 

2 
2
 log x  log x
o.
log x 4  2 log x  log 1 9  0
3
p.
log 32  x  1  log 3  x  1  6
q.
log 2 x  log 2 8 x 3  log 2 4 2
r.
log 6  x  1  3  log 6 5 x  1
s.
log 7 9 x  4
log 4 
 23
log 2
2
t.
log 3 4
log 5 9
5


 log 7  x  1
log 3 2
9
1

3
log 5  
 3
2

1

1

u. log 2  x  1  log 2  x  1
8


8

v.
4
2
3
log x  1  log( x  1)  log x  4
w. log x 2 x  2   log x 3 x  4   2
x.
ln x  3  ln x  7   ln 2 x  0
y.
log 2 x 2  33  log 2 2 x  4
z.
1
log x  6  log2 x  3  2  log 25
2
2
94
Escuelas Técnicas Raggio
Problemas de Aplicación
1. Un elemento radioactivo que decae en su crecimiento f (t ) después de un tiempo t en años, satisface la
fórmula f (t )  60  2 0.02t
a. ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso?
b. ¿Qué cantidad queda después de 500 años? ¿y de 2000 años?
2. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser
modelado con la siguiente ecuación A(t )  A0  e kt . Si inicialmente habían 1000 mosquitos y después
de un día la población de éstos aumenta a 1800.
a. Hallar la expresión de la ecuación.
b. ¿Cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 3 días?
c. ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?
3. La eficiencia de un obrero de una fábrica esta determinada mediante la función definida por
f (t )  100  60  e 0.2t , donde el obrero puede completar f (t ) unidades por día después de haber trabajado t
meses.
a. ¿Cuántas unidades por día puede hacer un obrero principiante?
b. ¿Cuántas unidades por día puede completar un trabajador con un año de experiencia?
c. Realizar un gráfico aproximado.
4. Un cultivo de bacterias triplica su número cada media hora y originariamente había 2500 de ellas.
a. ¿Cuál es la expresión general del número de bacterias después de n horas?
b. ¿Cuántas bacterias habrá después de 45 minutos?
c. ¿Cuándo habrá 25.000 bacterias?
5.
Después del primer mes de vida, el crecimiento de una cierta especie de árbol responde a la ecuación:
h(t )  12 log1,5 t  25 donde h, está dada en cm y t el tiempo en meses.
a. ¿Cuánto mide el árbol al primer mes de vida?
b. ¿Cuánto medirá el árbol a los 4 meses?
c. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el árbol alcance una altura de 2 metros?
6. A medida que la luz se filtra a través del agua, su intensidad se reduce. Supongamos que en cierto lago la
intensidad de la luz se reduce 3/5 por cada metro de profundidad.
a. Encontrá una expresión que te permita generalizar.
b. Calculá la cantidad de luz solar a una profundidad de 1m, 2m, 3m y 1/4m.
7. Cierta ciudad costera tiene una población que se duplica cada 10 años. Si la población actual es 120.000
habitantes:
a. Encontrá una expresión que te permita generalizar.
b. ¿Cuál será la población en 10 años? ¿y en 50?
95
Escuelas Técnicas Raggio
Para Recordar
Propiedades de los logaritmos:

log a 1  0  a 0  1

log a a  1  a 1  a

log a  x  y   log a x  log a y  x  0  y  0

 x
log a    log a x  log a y  x  0  y  0
 y

log a b n  n  log a b

log a b 
log c b log b ln b


log c a log a ln a
96
Escuelas Técnicas Raggio
Respuestas
1. a. Dom:  Raíz: no tiene. Int. Eje y: 0;2 
c. Simétrica respecto del eje x: f ( x)  2  5 x Simétrica respecto al eje y: f ( x)  2  5  x
2. Que a  1
2
3. a. f ( x)  40   
3
x
4
b. f ( x)  5   
5
x
1
c. f ( x)  3   
5
x
4. 1-c ; 2-a ; 3-f ; 4-b ; 5-e


5
2
5. a. Dom:  Raíz: 2,6;0  Int. Eje y:  0;  Asíntota Horizontal: y  3
b. Dom:  Raíz:  1;0  Int. Eje y: 0;3 Asíntota Horizontal: y  4
c. Dom:  Raíz: 0;0  Int. Eje y: 0;0  Asíntota Horizontal: y  1
6. a. f ( x)  4 x  4
b. f ( x)  
7. a. 3 b. 5 c. -1 d. -2 e. -3 f.
8. a.
1 x
2
2
1
1
h. -7 i. -3
g.
2
4
7
3
1
b. 
c. 
d. 1
2
2
4
9. a. 0.78 b. 0.96 c. -0.9 d. 1.3
10. a. 8 b. 
9
c. 14
2
11. a. 1 b. 2 c. -2 d. 1 e. 2 f. 4
12. a. Dom: 1;  Raíz: 2;0 Int. Eje y: no tiene Asíntota Vertical: x  1 Im: 
1 
2 
b. Dom:   Raíz:  ;0  Int. Eje y: no tiene Asíntota Vertical: x  0 Im: 
c. Dom:   Raíz: 0,13;0  Int. Eje y: no tiene Asíntota Vertical: x  0 Im: 
13. a. f ( x)  log 4  x  3 b. f ( x)  log 1 3 x  2 
2
4

x  2
3

2
14. f ( x)  log 3 
15. a. -1 b. 3 c. 1 d. 1 e. 
3
5
l. 3 m. 1 y 3 n. 2 o. 0 y 0,69 p. 0 y 1,36
f. -2 g. 2 h. 3 i. -1 y 4 j. 3 k.
2
4
q. 1 r. -2 s. sin solución. t.
16. a. 4 b. 2 y -2 c.
13
1
u. 0 v. 1 y -1 w. 4 x. 7 y 3 y. -1 z. 
16
2
1
1
d. 8 e. 0 y -3 f. 5 g. 1 h. 17 i. 0 j.
k. 2 l. 4 y -4 m. 9 n.  10 y  0,32 o.  10
3
3
97
Escuelas Técnicas Raggio
p. 10 y
53
28
q. 4 r. 7 s. 5 y 
t. 6 u. -7 y 8 v. 5 w. 2 x. 1 y. 33 z. 6 y 14
27
4
Problemas de Aplicación
1. a. 60
b.
5
256
2. a. A(t )  1000  e 0.58t b. 5697 aprox. c. 4 días aprox.
3. a. 40 por día.
b. 94 piezas
4. a. A(t )  2500  3 2t
5. a. 25cm
3
6. a. I ( p)   
5
b. 17096 aprox.
b. 66cm
c. 30 años y 9 meses aprox.
p
7. a. P(t )  120.000  2
b. I (1) 
t
10
c. 1.04 horas
3
5
I ( 2) 
9
25
b. P (10)  240.000
98
I (3) 
27
125
1
3
I ( )  4  0,88
4
5
P(50)  3.840.000
Escuelas Técnicas Raggio
Tp 5: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
1. Escribir V (Verdadero) ó F (Falso) según corresponda.
a.
ln x
 ln x  ln y
ln y
d.
log 2 x  log x 2
b.
log x  y   log x  log y
e.
10 log x  x
f.
ln 2 e  2
log 2 4 x  2  log 2 x
c.
2. Asociar cada una de las siguientes funciones con el gráfico correspondiente. Justificar
3. Dada la función f ( x)  log a  x  b  . Encontrar los valores de a y b que verifiquen: f (1)  2 y f (5)  1
4. Resolver aplicando definición de logaritmo:
a.
log 4
3
27

64
b.
log 2 5 2 4 
c.
1

log 2 8  log 3 3 
1

4
d.
log 5 25  log 2
e.
1
log 1000  log 1 1 
3
2
f.
log 3 7 9 
12

5. Resolver las siguientes ecuaciones:
3 x 1

a. 4e
b.
c.
1 x 11
e
2
e.
2
2 2 x  51 2 x  0
f.
log 2 log 2  x  1  1
6 x 1

3
g.
log 2 x 2  33  log 2 2 x  4
h.
log x 1 8  log x 1 6  1
3
x2
1
d.
log 1 x  log 4 x 3  log 2 8
3 2 x 1  27 x  0
99
Escuelas Técnicas Raggio
Un poco de historia
Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera
independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos
vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se
basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de
las funciones exponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y
eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus
conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las
tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente
reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una
poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972,
lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral
de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal para los números reales.
John Napier
100
Escuelas Técnicas Raggio
Apéndice
el conjunto de los números naturales
N = {1 , 2 , 3 , ...}
N0 = N  {0}
Z = {..., -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } el conjunto de los números enteros
Q
el conjunto de los números racionales
R
el conjunto de los números reales
C
el conjunto de los números complejos
xA
x pertenece a A
xA
x no pertenece a A
AB
A está incluido en B
AB
A no está incluido en B
=
igual

Aproximadamente
... es menor que ...
<
>
... es mayor que ...
... es menor o igual que ...


... es mayor o igual que ...
a0
si
 a
a = 
valor absoluto de a
si
a0
- a
loga b
logaritmo en base a de b
log b
logaritmo en base 10 de b
ln b
logaritmo natural o logaritmo en base e de b
sen 
seno del ángulo 
cos 
coseno del ángulo 
tg 
tangente del ángulo 
arc sen x
arco seno de x
arc cos x
arco coseno de x
arc tg x
arco tangente de x
rad
radianes
i
unidad imaginaria
módulo de z
z
101
Escuelas Técnicas Raggio
Bibliografía

“Matemática 1”, Ed. Santillana

“Matemática 1 y 2”, Ed. Puerto de Palos

“Logikamente” tomo 3 y 4.

“Matemática: funciones y probabilidades”, Ed. A-Z

“Matemática: Funciones y Estadística”, Ed. A-Z

“Funciones Elementales para construir modelos matemáticos”, Magíster Mónica Bocco.

Apuntes Prof. María Laura Rodríguez.

Apuntes Prof. Dévora Rosenmberg

Apunte UBA XXI: http://www.cnucaba.com.ar/Matematica/Matematica%20U4_1erC2010.pdf

“Taller: funciones exponenciales y logarítmicas”, Prof. José Díaz extraído de la página
www.matebrunca.com

“Funciones 1 y 2” , Ed. Longseller

Ejercicios : www.Pupr.edu

Historia Matemática: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA27/funcionCuadratica.html

“Historia de los Números”, extraído de la pagina: http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/irracinl.htm

“Historia de la Trigonometría”, extraído de la página:
www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm

Wikipedia

“Matemática 9”, Ed. Tinta Fresca

“Carpeta de Matemática 9”, Ed. Aique

Páginas web: www.vituror.com, www.matematicasies.com, www.ucm.es, www.sipan.inictel.gob.pe

“Matemática 1 y 2”, Miguel de Guzmán, ed. Mac GrawHill
102