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SIGMA
31
EL RINCÓN OLÍMPICO
Pedro Alegría (*)
En nuestra segunda entrega ofrecemos las soluciones de los problemas publicados en el
número 30 de la revista (correspondiente a mayo de 2007) y planteamos una nueva lista de
problemas, los cuales son nuevamente los propuestos en el concurso “Problemas con premio”
de la segunda edición del festival científico “La ciencia en tu vida” celebrado entre los días 7
y 10 de noviembre de 2007 en Bilbao.
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS ANTERIORES
1) L a infancia de Diofanto duró un sexto de su vida;
Su barba creció después de un doceavo más;
Se casó después de un séptimo más,
Y su hijo nació cinco años más tarde;
El hijo vivió hasta la mitad de la edad de Diofanto,
Y Diofanto murió cuatro años más tarde que su hijo.
¿A qué edad murió Diofanto?
Sea x la edad a la que murió Diofanto. Según el enunciado, se tiene
x
x
x
x
+
+
+5+
+ 4 = x.
6
12
7
6
Despejando x, resulta x = 84. Entonces Diofanto murió a los 84 años.
2) S upondremos en este problema que las calabazas contienen un 99 por ciento de agua.
Se dejan secar durante una noche 500 kilos de calabazas, de modo que al día siguiente
solamente contienen un 98 por ciento de agua. ¿Cuánto pesan ahora las calabazas?
Por la noche los 500 kilos de calabazas contienen 5 kilos de materia seca, la misma cantidad
que contendrán a la mañana siguiente. Entonces 5 kilos es el 2 por ciento de lo que pesan por
la mañana, luego por la mañana pesan 5 × 50 kilos, es decir, 250 kilos. O sea, ¡la mitad de
lo que pesaban la noche anterior!
3) A
na y Juan tienen cada uno varios euros y quieren comprarse un mismo libro. A Ana le
faltan 5 euros y a Juan le faltan 3 euros, así que deciden juntar su dinero para comprar
un solo libro y compartirlo, pero descubren que todavía les falta dinero. ¿Cuánto vale
el libro?
Sea a el número de euros que tiene Ana, sea j el número de euros que tiene Juan y sea x el precio del libro. Entonces a + 5 = x y j + 3 = x, luego (a + j) + 8 = 2x. Como a + j < x, se deduce
que 2x < x + 8 y por lo tanto que x < 8. Pero a + 5 = x y, de acuerdo con el enunciado, a es
mayor o igual que 2, luego x es mayor o igual que 7. El libro vale siete euros.
4) S e encuentran en el autobús dos amigos magos que no se veían hace mucho tiempo.
Dice uno: Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y la suma es el número del
autobús en el que vamos. ¿A que no sabes qué edades tienen? El otro hace unos cálculos y exclama: Me faltan datos. Es cierto, la mayor toca el piano. Ah, entonces ya sé las
edades de tus hijas. ¿Qué edades tienen?
(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.
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Sean a, b y c las edades de las tres hermanas, en orden creciente. Entonces abc = 36 =
2233. Por la factorización única, las posibilidades para (a, b, c) son las siguientes:
(1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12), (1, 4, 9), (1, 6, 6), (2, 2, 9), (2, 3, 6) y (3, 3, 4).
La suma a+b+c vale en cada caso 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11 y 10; así pues los magos viajan
en el autobús número 38, 21, 16, 13, 11 ó 10. Si viajaran en el autobús 38, 21, 16, 11 ó 10,
al segundo mago no le faltarían datos (por ejemplo, si el número del autobús fuera el 38, ya
sabría que el primer mago tiene dos hijas de un año y otra de 36). Luego viajan en el autobús
número 13. Entonces el primer mago tiene una hija de 1 año y dos de 6 o bien dos hijas de 2
años y una de 9; como “la mayor toca el piano”, tiene dos hijas de 2 años y una de 9.
5) E l grupo U2 ofrece un concierto que comenzará en 17 minutos pero los miembros del
grupo deben cruzar un puente para llegar al lugar del concierto. Los cuatro componentes están en el mismo lado del puente. Es de noche. Sólo hay una linterna. Sólo pueden
cruzar el puente un máximo de dos personas a la vez. Siempre que se cruce el puente
debe llevarse la linterna para ver el camino. La linterna no puede lanzarse al otro lado
ni alumbrar desde lejos. Cada miembro de la banda puede caminar a distinta velocidad.
Cuando vayan dos juntos, la velocidad que lleven será la del más lento. Sabiendo que
Bono tarda 1 minuto en cruzar, Edge tarda 2 minutos en cruzar, Adam tarda 5 minutos
en cruzar y Larry tarda 10 minutos en cruzar, ¿cómo conseguirán llegar a tiempo al
concierto?
Primero pasan Bono y Edge (2 minutos) y vuelve Bono (1 minuto). Después pasan Adam y Larry
(10 minutos) y vuelve Edge (2 minutos) a recoger a Bono. Finalmente, pasan Bono y Edge (2
minutos). Tiempo total: 17 minutos.
6) U
na señora sale de la ciudad A al amanecer y se dirige andando a velocidad constante a
la ciudad B y otra señora sale de la ciudad B al amanecer y se dirige andando a velocidad constante a la ciudad A. Se cruzan a mediodía y, continuando sin parar, la primera
llega a B a las cuatro de la tarde y la segunda llega a A a las nueve de la noche. ¿A qué
hora amaneció ese día?
Sea vA la velocidad de la señora que sale de A (=señora A), sea vB la velocidad de la señora que
sale de B (=señora B) y sea x la hora en que amaneció ese día. El espacio que ha recorrido la
señora A por la mañana es el mismo que el que recorre la señora B por la tarde, luego
(12 - x) vA = 9vB
y el espacio que ha recorrido la señora B por la mañana es el mismo que el que recorre la
señora A por la tarde, luego
(12 - x) vB = 4vA
Despejando el cociente vA/vB en ambas expresiones e igualando, resulta
9 = 12 - x ,
12 - x
4
de donde (12 − x)2 = 36 y por lo tanto x = 6. Ese día amaneció a las seis de la mañana.
7) E n una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos durante el día, y después
se duermen. El primer hombre se despierta y decide tomar su parte: divide los cocos en
cinco partes iguales y le sobra un coco, que se lo da al mono. Después toma su parte y
vuelve a dormirse. Entonces se despierta el segundo hombre y, haciendo un montón con
los cocos que quedaron, lo divide en cinco partes iguales y le sobra un coco, que se lo
da al mono. Sucesivamente ocurre lo mismo con cada uno de los tres hombres restantes.
¿Cuántos cocos había por lo menos en el montón original?
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El rincón olímpico
Sea x el número de cocos que se lleva un hombre y sea y el número de cocos que se lleva el
siguiente.
Del enunciado se deduce que y = (4x − 1)/5 o lo que es lo mismo
x + 1 = (5/4) (y + 1)
Sea n el número total de cocos y sean a, b, c, d y e las cantidades de cocos que se van llevando
sucesivamente los hombres. Es claro que n = 5a+1; usando este hecho y aplicando varias veces
la fórmula de arriba, se deduce que
n + 4 = 5(a + 1) = (52/4) (b + 1) = (53/42) (c + 1) = (54/43) (d +1) = (55/44) (e + 1)
lo cual implica que
44 (n + 4) = 55 (e + 1)
de donde resulta que n + 4 es múltiplo de 55 y por tanto la solución más pequeña para n es
55 − 4 = 3.121. En el montón había por lo menos 3.121 cocos.
8) S eis músicos participan en un festival de música. En cada concierto, algunos de esos
músicos tocan y los demás escuchan. ¿Cuál es el mínimo número de conciertos necesario para que cada músico escuche a todos los demás?
Cuatro conciertos son suficientes. En efecto, el primer día tocan (1, 2, 3) (y escuchan (4, 5, 6)),
el segundo día tocan (3, 4, 5) (y escuchan (1, 2, 6)), el tercer día tocan (5, 6, 1) (y escuchan (2,
3, 4)) y el cuarto día tocan (2, 4, 6) (y escuchan (1, 3, 5)). Además, menos de cuatro conciertos
no son suficientes, ya que cada concierto produce a lo sumo 9 “audiciones individuales” y por
lo tanto 3 conciertos pueden producir a lo sumo 27 “audiciones individuales”, mientras que
para que cada músico escuche a todos los demás se precisan 30 “audiciones individuales”. Así
pues el número mínimo de conciertos es cuatro.
9) R
esulta que se me cayó un libro del que ya llevaba leídas casi 500 páginas y perdí el
punto de lectura. Lo único que recuerdo es que la suma de los números de las páginas
leídas es igual a la suma de los números de las que me quedan por leer. ¿En qué página
se me cayó el libro?
Sea n el número de páginas leídas y m el número total de páginas del libro, de modo que m
− n es el número de páginas que me quedan por leer. Del enunciado se deduce, utilizando la
fórmula para sumar una progresión aritmética, que
2n (n + 1) = m (m + 1)
Nos dicen además que n + k = 500, con k un entero positivo pequeño. Como 2 × 499 × 500 =
499.000 y 706 × 707 = 499.142, vamos bajando los valores de n y de m hasta que encontramos
2 x 492 x 493 = 485.112 = 696 x 697
Entonces el libro se me cayó en la página 492 (y tiene en total 696 páginas).
10) ¿ En cuántos ceros termina el factorial de un millón, es decir, el número que se obtiene
realizando la multiplicación
1 x 2 x 3 x 4 x ... x 999.999 x 1.000.000?
Como el 2 aparece más veces en total como factor que el 5 en los números 1, 2, . . . , 106,
el número de ceros con que termina 106! es exactamente el número total de veces que el 5
divide a los números 1, 2, . . . , 106.
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Sea S el conjunto formado por los números 1, 2, . . . , 106. En S hay 106/5 = 200.000 múltiplos de 5, hay 106/52 = 40.000 múltiplos de 522 hay 106/53 = 8.000 múltiplos de 53, hay
106/54 = 1.600 múltiplos de 54, hay 106/55 6/57 = 12,8) y 2 múltiplos de 58 (ya que 106/58 =
2,56). Pensando un momento, vemos que el número total de veces que el 5 divide a los números
1, 2, . . . , 106 es
200.000 + 40.000 +8.000 + 1.600 + 320 + 64 + 12 + 2 = 249.998
Entonces el factorial de un millón termina con 249.998 ceros.
11) E n un concurso televisivo le ofrecen a uno elegir entre tres puertas, una de las cuales
tiene como premio un coche y las otras dos premios baratos. Una vez que uno ha
elegido una puerta, el presentador abre una de las dos restantes y muestra que en ella
hay uno de los premios baratos, y ofrece al concursante la opción entre conservar la
puerta por él elegida o cambiarla por la otra que queda. ¿Es más ventajoso perseverar
en la elección original o cambiarla? ¿O son ambas opciones igualmente ventajosas?
Razonar la respuesta.
En media, una de cada tres veces el coche estará en la puerta que he elegido en la primera
opción, luego la probabilidad de ganar si no cambio de puerta es 1/3, la misma que si escojo
una puerta y el presentador no me da más opciones para continuar. Por lo mismo, en media,
dos de cada tres veces el coche estará en una de las dos puertas que no he elegido en la primera opción, luego necesariamente en aquélla de ellas que el presentador no ha abierto, luego
la probabilidad de ganar si cambio de puerta es 2/3. Así pues cambiar la opción original es el
doble de ventajoso que perseverar en ella.
12) E n un tablero de 8 por 8 centímetros se recortan dos cuadrados de 1 por 1 centímetros
en dos esquinas diametralmente opuestas. Estudiar si es posible cubrir el tablero resultante con 31 fichas de dominó de 1 por 2 centímetros.
Supongamos que se trata de un tablero de ajedrez; entonces los cuadrados de esquinas diametralmente opuestas son del mismo color. Si eliminamos dos cuadrados diametralmente opuestos, nos queda un tablero con 30 cuadrados blancos y 32 negros o con 30 cuadrados negros
y 32 blancos. Ninguno de estos dos tableros es posible cubrirlo con 31 fichas de dominó, ya
que se haga como se haga cada ficha cubre un cuadrado blanco y otro negro.
ENUNCIADOS DE LOS NUEVOS PROBLEMAS
Nivel 1(Cero a 14 años)
13) U
n padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 10.000 € más la quinta
parte del resto. El siguiente recibiría 20.000 € más la quinta parte del nuevo resto. Del
mismo modo, cada hijo iría recibiendo 10.000 € más que el anterior y la quinta parte
del resto. Al final, todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué
cantidad recibió cada uno?
14) U
n nadador tarda 5 minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la
corriente. Al regresar, nadando contra corriente, tarda 15 minutos. ¿Cuánto tardaría si
no hubiese corriente en el río?
15) E n medio de una laguna circular de 3 m. de diámetro crece un junquillo que sobresale
30 cm. del agua. Cuando se inclina hasta que le cubre el agua alcanza justamente la
orilla de la laguna. ¿Qué profundidad tiene el agua?
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El rincón olímpico
16) U
na persona sube una montaña a una velocidad de dos kilómetros por hora y la baja
a una velocidad de 6 kilómetros por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio del trayecto
completo?
Nivel 2 (14 a 18 años)
17) S e considera un número de cuatro cifras distintas A, B, C, D. Entre las 24 posibles permutaciones de dicho número se encuentran:
4 números primos, 7 productos de dos primos impares, 1 cuadrado de un primo, 8
números divisibles por dos pero no por cuatro, dos números divisibles por 4 pero no
por 8, un número divisible por 8 pero no por 16 y un número divisible por 16. ¿Cuáles
son las cifras A, B, C, D?
18) Se encuentran dos amigos en la calle. Mantienen el siguiente diálogo:
-“¿Cuántos hijos tienes?“
-“Son menos de cinco y el producto de sus edades es igual al doble de su suma.”
-“Bien, pero necesito más información.”
-“Mi esposa dio a luz el año pasado.”
-“Todavía no es suficiente.”
-“Cierto, la edad de mi hijo mayor es igual al número de este portal.”
-“Bien, eso ayuda pero no basta.”
-“Los dos medianos ...”
-“¡Basta! Ya sé cuántos hijos tienes y cuáles son sus edades.”
¿Qué edades tienen?
19) E n una partida de dominó, los cuatro jugadores, A, B, C, D han colocado dos fichas
cada uno. Las dos fichas colocadas por A suman 23, las colocadas por B suman 20,
las colocadas por C suman 18 y las colocadas por D suman 16. La siguiente ficha
que coloca A es el 6-2. ¿Cuáles han sido las ocho primeras fichas colocadas y en qué
orden?
20) La colección infinita de números
1,2,4,5,7,9,10,12,14,16...
se ha formado de la siguiente manera: se coloca el primer impar (1), luego se colocan los siguientes dos pares (2,4), después los tres impares siguientes al último par
colocado (5,7,9), luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó y así
sucesivamente.
¿Cuál es el número par más cercano a 2.007 que aparece en la colección?
NiveL 3 (18 a INFINITOS años)
21) H
e comprado un billete de lotería con cuatro cifras. Si coloco la primera cifra en último
lugar, el número obtenido es una unidad mayor que los 3⁄4 del número original. ¿Cuál
es el número del billete?
22) S obre una mesa circular hay colocadas varias cartas de una baraja, todas del mismo
palo. Se observa que la suma de los valores de tres cartas consecutivas es igual, o se
diferencia en uno, a la suma de otras tres cartas cualesquiera pero consecutivas. Si la
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carta más alta es un 10, la carta más baja es un 2 y el 6 está entre ellas, ¿cuál es la
disposición de todas las cartas?
23) L as manecillas de un reloj miden 2 y 3 cm. Si se unen sus extremos se forma un triángulo. Halla el área del triángulo en función del tiempo y la hora, entre las 12 y las 12
y media, en la que dicha área es máxima.
24) E n la final de un torneo de ajedrez participan un ruso y un americano. El torneo se
acaba cuando uno de ellos gana dos partidas. La probabilidad de que el ruso gane una
partida es 3/10, la de que gane el americano es 2/10 y la probabilidad de quedar en
tablas es 1⁄2. ¿Cuál es la probabilidad de que el americano gane el torneo?
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