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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL11
TALLER No 13 SUCESIONES
Agustín Luis Cauchy
Nació: 21 agosto de 1789 en París (Francia)
Murió: 23 mayo de 1857 en Sceaux (Paris-Francia)
Vida
Laplace y Lagrange visitaban con frecuencia a la familia Cauchy. Lagrange tomó interés en la
educación de Cauchy. En 1805 entró en la Escuela Politécnica de Paris.
Cauchy nunca tuvo buenas relaciones con sus compañeros. Su fanatismo religioso (era católico) le
llevó a ponerse del lado de los Jesuitas y en contra de la Academia de las Ciencias, e incluso llegó
a influir en sus opiniones científicas.
En 1830 se fue a Suiza, debido a la situación política en Francia. Fue requerido para que jurase
lealtad al nuevo régimen (de Napoleón) y como no quiso hacerlo, perdió los puestos académicos
que tenía.
En 1831 viajó a Turín y dió clases de Física teórica. Sus clases eran muy confusas y sus alumnos
no eran capaces de seguirlas.
En 1833 se fue a Praga como tutor del nieto de Carlos X. El alumno no debía ser muy bueno (y el
profesor tampoco era un gran pedagogo) y Cauchy se enfadaba y le gritaba.
Cauchy regresó a Paris en 1838, volvió a la Academia pero no a la enseñanza, porque se negó a
jurar lealtad al régimen.
En 1848, cuando Luis Felipe fué derrocado, Cauchy regresó a su puesto en la Universidad, pero
sus posiciones políticas y religiosas le perjudicaron mucho en su carrera.
El nombre de Cauchy aparece ligado a la teoría de funciones complejas, a las sucesiones y series,
a la solución de ecuaciones en diferenciales parciales.
Fue un matemático muy prolífico: 789 trabajos. Sus obras completas ocupan 27 volúmenes.
OBJETIVOS:
•
•
Identificar las sucesiones que tienen forma de progresión aritmética o progresión
geométrica.
Hallar el término general de una sucesión de números reales dada.
TEORÍA
Consideremos la sucesión formada por los elementos: 3, 10, 17, 24, ......Cualquiera sería capaz
de decir cual es el elemento siguiente. Seguro que dirá que el número es el 31, y el siguiente el 38.
Vemos que si sumamos 7 al último número, encontramos el siguiente.
Progresión aritmética: Es aquella en la cual cada término se obtiene sumando a la anterior una
misma cantidad llamada razón.
Llamamos a1 al número 3, que es el primer término; a 2 al 10, que es el segundo término...
Si al segundo término le restamos el primero, encontramos el número 7 que es la clave para hallar
los siguientes números.
Por lo tanto a 2 − a1 = 7 ; a éste número le llamaremos diferencia. o también "d".
a1
a1 = 3
a 2 = a1 + d
a 2 = 3 + 7 = 10
a 3 = a 2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a 3 = 3 + 14 = 17
a 4 = a1 + 3d
a 4 = 3 + 21 = 24
a 5 = a1 + 4d
a 5 = 3 + 28 = 31
Luego
a n = a1 + (n − 1)d
Esta fórmula es fundamental para hallar el n-ésimo término de una progresión aritmética.
Vamos a averiguar otra fórmula fundamental: la de la suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética.
Sean los elementos: 3, 10, 17, 24, 31; la suma da 85. Por lo tanto podemos escribir:
85 = 3 + 10 + 17 + 24 + 31 o también
85 = 31 + 24 + 17 + 10 + 3
Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta:
2x85=170 = 34 + 34 + 34 + 34 + 34
Vemos que son grupos de 34. Precisamente 5 grupos, tantos como términos.
Vamos a hacerlo con letras:
S = a1 + a 2 + a 3 + L + a n − 2 + a n −1 + a n
S = a n + a n −1 + a n − 2 + L + a 3 + a 2 + a1
----------------------------------------------------------
2 S = (a1 + a n ) + (a 2 + a n −1 ) + (a 3 + a n − 2 ) + L + (a n − 2 + a 3 ) + (a n −1 + a 2 ) + (a n + a1 )
Hay n grupos iguales a ( a1 + a n ) , resulta:
2 S = (a1 + a n )n , luego
S=
(a1 + a n )n
2
Ahora sea la sucesión formada por los elementos: 7, 14, 28, 56, ...
En este caso, el elemento siguiente es el número 112, y el siguiente, el 224.
Vemos que si multiplicamos por 2 al último número, encontramos el siguiente.
PREGRESIÓN GEOMÉTRICA: Es aquella en la cual cada término se obtiene multiplicando al
anterior por una misma cantidad llamada razón.
Lamamos a1 al número 7, que es el primer término; a 2 al 14, que es el segundo término...
Si al segundo término lo dividimos por el primero, encontramos el número 2 que es la clave para
hallar los siguientes números.
Por lo tanto a 2 ÷ a1 = 2 ; a éste número le llamaremos razón. o también "r".
a1
a1 = 7
a 2 = a1 r
a 2 = 7(2) = 14
a 3 = a 2 r = a1 r 2
a 3 = 7(2) 2 = 28
a 4 = a1 r 3
a 4 = 7(2) 3 = 56
a 5 = a1 r 4
a 5 = 7(2) 4 = 112
luego
a n = a1 r n −1
Esta fórmula es fundamental para hallar el n-ésimo término de una progresión geométrica.
Fácilmente se puede deducir la fórmula para la suma de los n primeros términos de la progresión
geométrica, ella es;
S=
a1 (1 − r n )
1− r
GLOSARIO
Sucesión, progresión aritmética, diferencia, progresión geométrica, razón.
TALLER
1. El término que sigue en la sucesión 1, 3,
5, 7, ... es
A.
B.
C.
D.
5
7
9
10
B. 15/2
C. 28/9
D. 81/32
4. El número faltante en la sucesión 7c, __,
c/7, c/49,... es
2. El término que sigue en la sucesión 6, -2,
2/3, ... es
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
5. El número faltante en la sucesión 30, 6,
__, 6/25, ... es
2/9
5/3
-2/9
-5/3
3. El término que sigue en la sucesión 8, 6,
9/2, 27/8,... es
A. 3
A.
B.
C.
D.
1/7
c
1/2
c/7
6/5
1/5
6/6
2/25
6. El número faltante en la sucesión 6a3, __,
3a/2, 3/4,... es
C. (-1)nn3
D. n4
A.
B.
C.
D.
13. El término general de la sucesión 1/2,
1/4, 1/6, 1/8, ... es
3a/2
6a
6a2
3a2
A. 1
n
B. 1
C.
2n
1
2 n
7. El término general de la sucesión 1, 2, 3,
... es
D.
A.
B.
C.
D.
14.
Cuantas parejas de conejos se
completan de una pareja inicial, en el
transcurso de un año, sabiendo que cada
pareja produce otra cada mes y las conejas
pueden parir a los dos meses de nacidas?
4
3n
2n
n
8. El término general de la sucesión 1, 1/2,
1/3, ... es
A.
B.
C.
D.
n
2n
1/n
1/2n
9. El término general de la sucesión 1/2, 1/4,
1/8, ... es
A.
B.
C.
D.
2n
(-1)n
1/2n
n
10. El término general de la sucesión 1, 3,
5, ... es
A. n
B. 2n
C. 3n+2
D. 2n-1
11. El término general de la sucesión -1, 2, 3, ... es
A.
B.
C.
D.
(-1)n
n
(-1)n n
(2n-1)n
12. El término general de la sucesión -1, 4, 9, 16, -25... es
A. (-1)nn
B. (-1)nn2
A.
B.
C.
D.
n
251
376
325
215
15. Cuales términos
sucesión {n/(n+2)}
corresponden
a
la
corresponden
a
la
17. Cuales términos corresponden
sucesión {sen(nπ/2)}
a
la
A.
B.
C.
D.
1,2,3,4,5,...
1/2,1/3,1/4,...
1/3,1/2,3/5,...
1/3,2/3,1,...
16. Cuales términos
sucesión {n!}
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
1,2,6,24,...
4,12,24,...
1,4,8,16,...
5,10,15,...
π,2π,3π,...
1/π,2/π,3/π,...
5,0,5,0,...
1,0,-1,0,...
18. Al desarrollar ∑2N=0(N/(N+1) se obtiene
A.
B.
C.
D.
0
13/18
14/12
1
2
19. Al desarrollar ∑2N=0(-1)N/(3N +1)
obtiene
A.
B.
C.
D.
C. (n+1)/2
D. (3n+1)/2
se
1/2
-1/4
1/10
7/20
26. El término general de la sucesión 1, -1/3,
1/5, -1/7,... es
A.
B.
C.
D.
(2n+1)/(n-1)
n-1
1/(2n-1)
(-1)n+1/(2n-1)
20. Al desarrollar ∑3N=0(N2+1)N se obtiene
27. El término general de la sucesión 1/2, 2/3, 3/4 , -4/5,... es
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
1028
1027
125
25
21. El término general de la sucesión 1, -1, 1
, -1,... es
A.
B.
C.
D.
(-1)n
(-1)2n+1
(-1)2n
(-1)n-1
22. El término general de la sucesión 1/3,
4/5, 9/7,16/9 ,... es
A.
B.
C.
D.
n2/(2n+1)
n/(2n+1)
n2/(n+1)
n2/n
23. El término general de la sucesión 1/2,
3/4, 5/6, 7/8,... es
A.
B.
C.
D.
n/2n
(n-1)/2n
(2n-1)/2n
2n/(2n-1)
24. El término general de la sucesión 2/3,
4/6, 8/9,... es
A.
B.
C.
D.
n/(2n-1)
n2/3n
2n/3n
n2/2n
25. El término general de la sucesión 0, 1, 0,
1, 0, 1, ... es
A. (0+1)n
B. ((-1)n+1)/2
(-1)n+1/(n+1)
(-1)n+1n/(n+1)
(-1)nn/(2n+1)
n2-n/2n
28. El término general de la sucesión 1, -2/9,
3/25, -4/49, 5/81,... es
A.
B.
C.
D.
(-1)n+2/(2n-1)2
(-1)n+1/(2n-1)2
(-1)n+1n/(2n-1)2
(-1)n+1/2n2
29. El término general de la sucesión 2, 6,
10, 14,... es
A.
B.
C.
D.
(-1)n+12n
2n
3n
4n-2
30. Dada la sucesión {1/n} si n se hiciera muy
grande, es decir tendiera a infinito. A que
valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
1
∞
0
2
31. Dada la sucesión {3/n} si n se hiciera muy
grande, es decir tendiera a infinito. A que
valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
3
∞
1
0
32. Dada la sucesión 1
si n se hiciera
n
muy grande, es decir tendiera a infinito. A
que valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
1
4
0
∞
33. Dada la sucesión {(-1)n } si n se hiciera
muy grande, es decir tendiera a infinito. A
que valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
1
-1
0
no existe
34. Dada la sucesión {(7/5)n} si n se hiciera
muy grande, es decir tendiera a infinito. A
que valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
∞
0
1
7/5
35. Dada la sucesión {(2/3)n} si n se hiciera
muy grande, es decir tendiera a infinito. A
que valor tendería el n-ésimo elemento de la
sucesión?
A.
B.
C.
D.
∞
2/3
2
0
36. Dada la sucesión {(n2+2n+1)/n3 } si n se
hiciera muy grande, es decir tendiera a
infinito. A que valor tendería el n-ésimo
elemento de la sucesión?
A.
B.
C.
D.
2
0
1
∞
37. Dada la sucesión {(9n2-6n+1)/(3n2-n)} si
n se hiciera muy grande, es decir tendiera a
infinito. A que valor tendería el n-ésimo
elemento de la sucesión?
A.
B.
C.
D.
1
9
3
0
38. Dado el siguiente problema, indique la
sucesión que genera:
“Un corredor que siempre ha de recorrer la
mitad de una distancia antes de recorrer la
distancia total, jamás podrá alcanzar la
meta”. Tómese la partida en 1 y la llegada en
0.
A.
B.
C.
D.
1/2,1/3,1/6,1/16,...
1/2,1/4,1/8,1/16,...
1,2,8,4,...
1,1/2,0,-1/2,...
39. Calcule la distancia que recorre durante
15 días un motociclista sabiendo que el
primer día recorre 12 Km. Y que en cada
uno de los siguientes días disminuye en
200 mts. El recorrido.
A.
B.
C.
D.
25 Km.
100 Km.
200 Km.
159 Km.
40. Encuentre una forma práctica de hallar la
suma de los números del 1 al 1000 e
indique su resultado.
A.
B.
C.
D.
500
20
1010
500500