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REPASAMOS GEOMETRÍA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Antes de comenzar con el tema propuesto para este capítulo te proponemos repasar algunos conceptos que serán muy necesarios para lograr una comprensión más integral de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones. Comencemos… En geometría es muy común el uso del concepto de razón, por ejemplo, para definir el concepto de semejanza. ¿Lo recuerdas? Si no lo recuerdas, tendrás que averiguarlo y escribirlo a continuación. Ejercicio N° 1 Busca y escribe la definición geométrica de semejanza. Ejercicio N° 2 Averigua por tu cuenta, y luego responde, fundamentando, lo siguiente: a. ¿Qué es un triángulo rectángulo? b. ¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo? c. ¿Qué relación existe entre los ángulos agudos interiores de un triángulo rectángulo? d. ¿Qué relación existe entre los lados de un triángulo rectángulo? Ejercicio N° 3 Luego de realizar el ejercicio anterior, que te permitió recordar conceptos y propiedades, te pedimos que realices las siguientes tareas: 1) Dibuja un triángulo rectángulo y construye todas razones posibles entre sus lados. 2) Mide los lados del triángulo y calcula el valor de algunas de esas razones. 3) Construye otro triángulo rectángulo manteniendo un mismo ángulo agudo y calculando las mismas razones que en el caso anterior, verifica la definición de semejanza que enunciaste anteriormente. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 115 ) Ejercicio N° 4 i) Según tu razonamiento, ¿cuáles de estas conclusiones te parecen verdaderas y cuáles no?. a) Todos los triángulos son semejantes b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes c) Las razones de los lados homólogos de dos triángulos rectángulos son iguales d) Las razones de los lados homólogos correspondientes a triángulos rectángulos que poseen un mismo ángulo agudo son iguales e) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, son semejantes ii) A partir de las afirmaciones que elegiste como verdaderas, escribe una definición propia, que las resuma: ( 116 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Seguramente ya haz reconocido que estas razones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo como el de la Figura 1, son las ya conocidas razones trigonométricas, para que puedas demostrar tus conocimientos, te invitamos a que las recordemos juntos “con nombre y apellido”. Haremos referencia al triángulo rectángulo siguiente, pero recordarás que se aplican a cualquier triángulo rectángulo… a c α b Figura 1 – Triángulo rectángulo • SENO DEL ÁNGULO α sen (α) = cateto opuesto c = hipotenusa a • COSENO DEL ÁNGULO α cos (α) = cateto adyacente b = hipotenusa a • TANGENTE DEL ÁNGULO α tg (α) = c cateto opuesto = cateto adyacente b Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 117 ) • COTANGENTE DEL ÁNGULO α cotg (α) = b cateto adyacente = cateto opuesto c sec (α) = a hipotenusa = cateto adyacente b • SECANTE DEL ÁNGULO α • COSECANTE DEL ÁNGULO α cosec (α) = hipotenusa a = cateto opuesto c Como hemos podido concluir, según nuestro propio convencimiento, “En todo triángulo rectángulo, las razones trigonométricas dependen de la medida del ángulo agudo al que se apliquen”. Pero si profundizamos un poco más en nuestros conocimientos matemáticos, ¿podremos arriesgarnos a decir que... ... las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, son funciones del ángulo en el que se aplican? Para estar más seguro de lo que estamos haciendo, será muy prudente que recordemos la definición de función, ¿no te parece? ( 118 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Dados dos conjuntos numéricos A y B, una relación R de A en B es una función si: 1. Todo el conjunto A (conjunto de partida) es dominio de la relación. 2. A cada elemento del conjunto de partida A le corresponde una y sólo una imagen en el conjunto de llegada B. Teniendo en cuenta esta definición, podemos observar en ella tres conceptos fundamentales: a) El conjunto numérico dominio. b) El conjunto numérico imagen. c) Una relación unívoca entre los dos conjuntos. En el caso que nos ocupa, el primer conjunto tendrá que contener los números que representen las medidas de todos los posibles ángulos. ¿De todos los posibles ángulos? En el segundo conjunto deberán estar todas las posibles razones trigonométricas establecidas anteriormente. Estas dos observaciones nos previenen para ser más cautelosos con nuestra aseveración anterior, de manera que podamos justificarla adecuadamente. Por ejemplo, deberíamos contestarnos algunas preguntas como: 1- ¿Cuál es el sistema de medidas angulares que conocemos?. 2- ¿Estas medidas constituyen un conjunto numérico?. 3- ¿No podremos extender nuestras conclusiones a otros ángulos sin que necesariamente se trate de ángulos de un triángulo rectángulo?. Vamos posponer un poco nuestra conclusión anterior a fin de que podamos realmente justificarla adecuadamente. En la siguiente sección vamos a fundamentar las respuestas que nos están faltando. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 119 ) ÁNGULOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ya hemos trabajado con ángulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que establezcamos una definición para este sencillo concepto: Definición: Ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su punto de origen desde su posición inicial hasta una posición final. do la al fin do la al ici in rayo lado inicial vértice punto de origen lado final vértice Figura 2 – Definición de ángulo. Ejemplos. Si revisas la definición notarás que no se restringe, por ningún motivo, ni la magnitud ni el sentido de la rotación, y que es posible también hacer que el rayo gire varias vueltas o revoluciones en cualquier sentido. La medida del ángulo deberá representar la magnitud del giro, y ya está establecido por convención que será considerada positiva si la rotación se efectúa en sentido contrario a las manecillas del reloj, y negativa si es en el otro sentido. A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ángulos distintos, el ángulo α (alfa) es positivo, β (beta) es negativo y γ (gama) es positivo. Notemos que α, β y γ tienen el mismo lado inicial y final, pero sin embargo α, β y γ son diferentes, ya que la "cantidad" de rotación necesaria para ir desde el lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para γ que para α. do la fin al α lado inicial o lad β fin al lado inicial o lad γ al fi n lado inical Figura 3 - Ejemplos ( 120 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Podemos ubicar el vértice del ángulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo. Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES, o f in al denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4: do er la d 2 cuadrante θ O er 3 cuadrante 1 cuadrante lado inical to 4 cuadrante Figura 4 – Ángulo ubicado en un sistema de coordenadas Entonces según en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ángulo está en ese cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ángulo θ está en el 1er cuadrante. Si el lado final del ángulo está en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que θ es un ángulo cuadrantal. Ejercicio Nº 5 Dibuja un ángulo: - Orientado positivo y que el lado final esté incluido en el cuarto cuadrante. - Orientado negativo y que el lado final esté incluido en el tercer cuadrante. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 121 ) ¿CÓMO MEDIR LOS ÁNGULOS? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Para medir la rotación necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan comúnmente dos unidades de medición: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en el sistema circular). • Grados: Aquí el ángulo formado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el lado inicial hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolución) se dice que mide 360 grados, y se escribe 360º. Así: 1 parte de una vuelta. 360 • Un grado (1º) es • Un ángulo recto ó 1 de vuelta es 90º. 4 • Un ángulo llano ó 1 vuelta es 180º. 2 Ejercicio Nº 6 Dibuja en un sistema de coordenadas un ángulo α positivo en cada uno de los siguientes casos: a. 90º<α<180º ; 0º<α<90º b. Indicar en qué cuadrante está incluido el lado extremo de los siguientes ángulos orientados: 120º, -60º, 380º, -130º Recordemos que en el sistema sexagesimal son submúltiplos del grado el minuto y el segundo, tal como se muestra en la Tabla 1: Minuto sexagesimal 1' = Segundo sexagesimal 1º 60 1' ' = 1' 60 Tabla 1 – Submúltiplos del sistema sexagesimal ¿Sabías que… este sistema de medición es muy antiguo, proviene de los babilonios; ellos pensaban que el año tenía 360 días, lo que los llevó a utilizar como unidad angular la 360 ava parte de una ángulo de un giro. ( 122 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 • Radianes: Como vimos anteriormente el SI tiene como unidad de medida de ángulos el radián. ¿Qué es un radián? Para poder definir el radián analicemos lo siguiente: En las circunferencias concéntricas de la gráfica observamos los arcos ab y a' b' que corresponden al ángulo central θ. Por tener en común el ángulo, las razones entre las longitudes de los arcos y los radios correspondientes son iguales, se puede entonces formar la siguiente igualdad de razones (proporción): ab oa = a' b' o' a' Estas razones sólo dependen de la amplitud del ángulo θ, y esto nos da la posibilidad de tomarla como medida del b’ ángulo. Dicha medida es la utilizada en el sistema circular: ab a' b' longitud del arco ˆ θ= = = oa o' a' longitud del radio b o a a’ Figura 5 – Razones entre arcos y radián Pero en definitiva... ¿Cómo se define el radián? Definición: Un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. Es decir un radian es el ángulo para el cual: longitud ab = longitud oa O lo que es lo mismo: longitud del arco = longitud del radio Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 123 ) ab Es decir que: oa = 1 radián lo n g. ra d dio = ra co io ar 1 radián radio Figura 7 – Razones entre arcos y radios La diferencia que deberías notar es que la magnitud de la rotación (del ángulo) se define con el uso de magnitudes relacionadas con medidas de longitud. Según lo que hemos enunciado, la medida de un ángulo de un giro completo en el sistema circular es: 1 giro o vuelta = longitud de la circunferencia longitud del radio de la circunferencia si recordáramos que la longitud de una circunferencia es 2 π r podríamos reemplazar: 1 giro o vuelta = 2πr , entonces: r 1 giro o vuelta = 2 π radianes 2π radianes significa 2π veces la medida del radio, y π es el número irracional 3,14159... ¡¡¡ ATENCIÓN !!! Aquí aparece lo más importante del uso de este sistema, pues: la medida de un ángulo en unidades de radio: ¡¡¡ es un número real !!!. ( 124 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Con esto hemos logrado un conjunto numérico que representa la medida de los ángulos respondiendo con ello al segundo interrogante planteado luego de recordar la definición de función. Todavía podemos asegurar más. Este conjunto numérico es el conjunto de los números reales R. Esta certeza (que tiene una demostración matemática más rigurosa), se justifica en el hecho de que la longitud del arco correspondiente al ángulo generado por la rotación de un segmento alrededor de un punto puede ser tan grande o tan pequeño como se quiera, es decir un número entre cero (0) e infinito (∞) si se genera positivamente, o un número entre cero (0) y menos infinito (- ∞) si se genera negativamente. Si pusiéramos en duda que los números irracionales pudieran ser medida de algún ángulo, nos ayudará familiarizarnos con los ángulos cuadrantales, y comprobar que, por ejemplo, la longitud del arco correspondiente a una semicircunferencia es π = 3,14159... , un número irracional. Las Figuras 7 y 8 además te servirán para comparar la medida de algunos de estos ángulos en uno y otro sistema. longitud = π π radianes 180 º radio = 1 lon gi tu d = π/2 π/2 radianes 90 º radio = 1 Figura 7 – Ejemplos de ángulos cuadrantales Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 125 ) 2 3/ π lon gi tu d = 3/2 270 º π radianes radio = 1 lon gi tu d = 2 5/ π 5/2 π radianes 450º radio = 1 Figura 8 – Ejemplos de ángulos cuadrantales En el caso de una circunferencia cualquiera, el arco es un múltiplo de la longitud de la circunferencia de modo que se podrá establecer la relación de equivalencia: 1 giro ------------ 2π radianes ------------- 360º de modo que: ángulo θ en radianes ángulo θ en grados = 2π 360 Que es la relación entre grados y radianes Esto es importante para evitar confusiones. Por ejemplo decimos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º y en otras oportunidades que la suma de los ángulos interiores de un triángulo vale π. Las dos afirmaciones son correctas, solamente que en el primer enunciado la unidad de medida es el grado y en el segundo es el radián. Ejercicio Nº 7 a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es grados, o sea _______radianes. b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de 9 lados es de ____ grados, o sea ________ radianes. ( 126 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Ejercicio Nº 8 a. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo que mide en el sistema circular 1 radián? b. ¿Cuál es la medida en radianes de 1º? Ejercicio Nº 9 Convierte: a. 30º a radianes y graficarlo b. 130º a radianes y graficarlo c. 11 π radianes a grados 9 d. 2 π radianes a grados 5 e. 2 radianes a grados (note que se puede emplear cualquier número real; una medida en radianes 5 no es necesariamente un múltiplo (entero) de π. Ejercicio Nº 10 Calcula el valor en radianes de los siguientes ángulos especiales: ....... ....... ....... 120º ....... 90º ....... ....... 60º 30º 150º 330º 210º ....... 0 ....... 0º 180º ....... ....... 45º 135º 225º 315º 240º ....... 300º 270º ....... ....... ....... ....... ....... Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 127 ) Ejercicio Nº 11 Recuadra la respuesta correcta: Un ángulo de 1 radián equivale a: 56º17’44” 57º 57º17’45” Ejercicio Nº 12 Dibuja en la circunferencia unidad con los ejes los siguientes ángulos: π 2 ; 3 π 2 ; − 3 π 2 ; π 4 ; − 3π Ejercicio Nº 13 Indica en radianes la amplitud del ángulo que determina el minutero de un reloj en: a) 15 minutos:........... b) 1 hora:.......... c) 30 minutos:.......... d) 2horas 15 minutos:.......... Ejercicio Nº 14 ¿Qué hora marcará el reloj cuando su minutero gire un ángulo: a. de -2 π radianes? (dibujar un reloj que indique 3 h 30 m) b. de – 3 π radianes? (dibujar un reloj que indique 2 h 15 m) Ejercicio Nº 15 Marca con una cruz la respuesta correcta. Al pasar de las 1 h 15 min. A las 4 h 45 min., el minutero de un reloj ha girado un ángulo de: a) -4 π b) -5 π c) -6 π d) -7 π Ejercicio Nº 16 ¿Cuántas vueltas ha dado la rueda de una bicicleta si uno de sus radios ha girado un ángulo de 9 ( 128 ) π? Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 y Ángulos coterminales ó congruentes Son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y final. En la Figura 3 los ángulos α, β y γ son coterminales. Los ángulos 0, 2π, 4π, 6π, -2π, -4π son coterminales, todos ellos representan revoluciones completas. Para hallar los coterminales de un ángulo bastará con agregar múltiplos enteros de una revolución ya sea en sentido positivo o negativo. θ en º es coterminal con (θ + k 360)º con k entero θ en radianes es coterminal con (θ + k 2π)rad con k entero Ejemplo: Si buscamos ángulos coterminales con π/2 encontraremos: 5 π + 2π = π 2 2 9 π + 4π = π 2 2 3 π − 2π = − π 2 2 y así podríamos encontrar infinitos ángulos coterminales con π 2 Ejercicio Nº 17 Calcula la medida, en radianes y en grados, de un ángulo que tiene su vértice ubicado en el centro de una circunferencia de radio 2 y que determina un arco que mide 3 π. 8 Ejercicio Nº 18 Un punto se mueve sobre una circunferencia de radio 1 en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando recorre 2 de esa circunferencia: 5 a. ¿Cuál es la medida del arco de circunferencia que le falta recorrer para dar una vuelta completa? b. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo correspondiente a ese arco? Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 129 ) Ejercicio Nº 19 El limpia parabrisas de un automóvil mide 50 cm de largo ¿Cuántos cm cubre el extremo del limpiador si barre 1 de revolución? 3 Ejercicio Nº 20 Indica en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: α1 = -200º α2 = 800º 20’ α3 = 160º α4 = 1020º α5 = 3 rad α6= 5/3 π α7 = π rad Entre los ángulos mencionados ¿Cuáles tienen el mismo lado terminal? Ejercicio Nº 21 La rueda de una bicicleta ha dado 6 vueltas y media. ¿Cuántos radianes ha girado un rayo de la rueda? Ejemplo: Un satélite terrestre en órbita circular a 1200 km de altura completa una revolución cada 90 minutos ¿Cuál es su velocidad lineal? (Utilizar el valor de 6400 km para la longitud del radio terrestre) Utilicemos la fórmula v = rω. Recordemos además que ω es la velocidad angular y representa la cantidad de revoluciones que un móvil recorre en un determinado tiempo. r = radio de la Tierra + altura del satélite r = 6400 km + 1200 km r = 7600 km Encontrando la velocidad angular: ω = 2π radianes π = 90 min . 45 min . v = rω v = 7600 km . π 45 min . Sustituyendo llegamos al resultado buscado: ( 130 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 v = 530 km/min Ejercicio Nº 22 Un ciclista corre con rapidez constante en un velódromo circular, cuyo radio es de 40 m. Sabiendo que ha dado 6 vueltas en un minuto y medio, calcula la velocidad lineal en m/s y la velocidad angular en rad/s Ejercicio Nº 23 Calcula el arco de meridiano terrestre ab, siendo “b” la ciudad de Río Cuarto (coordenadas geográficas de Río Cuarto: Latitud sud = 33º 04’, Longitud oeste = 64º 38’) y suponiendo que la tierra es una esfera de radio aproximadamente igual a 6370 Km. El punto “a” es un punto sobre el Ecuador y a la misma longitud. Ejercicio Nº 24 Una rueda de 12 cm de diámetro está rotando a 10 revoluciones por segundo, ¿cuál es la velocidad de un punto en el borde? Es posible que te hayas preguntado cuando usar un sistema de medición en grados y cuando en radianes En muchas aplicaciones, tales como la localización exacta de una estrella o la posición precisa de un barco en el mar, se utilizan ángulos medidos en grados. En muchas otras aplicaciones en especial en cálculo los ángulos son medidos en radianes. Es muy común por ejemplo en física trabajar con el tiempo como variable independiente, en estos casos, el tiempo se indica en números reales y se representa gráficamente en el eje de las abscisas, por igual razón necesitamos un conjunto numérico para medir ángulos, de tal forma que a cada ángulo expresado en grados se le asigne un único número real. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 131 ) Ahora te acercamos a una aplicación muy común de las razones trigonométricas a la física: • COMPONENTES DE UN VECTOR Existen muchísimas aplicaciones en las que se tiene que lidiar con magnitudes vectoriales, donde no se define a la magnitud sólo con un valor numérico, sino con él (módulo o intensidad) más una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Ejemplos de esto pueden ser una fuerza, una velocidad, una aceleración, etc.. Gráficamente estas magnitudes se representan con vectores y para analizar situaciones en donde intervengan estas magnitudes podrías usar a las razones trigonométricas como una buena herramienta para componer y descomponer vectores, y de este modo analizar y sacar conclusiones en situaciones concretas. Sólo algunos ejemplos pueden ser: • cómo realizar una estructura de alguna construcción. • verificar si un poste, en la transmisión de energía eléctrica, soportará los esfuerzos del tendido de los conductores, vientos, etc. • predeterminar el sentido, dirección y características del movimiento de un cuerpo sometido a la acción de fuerzas. • cómo se moverá un electrón en el seno de un campo eléctrico. • etc. Todo vector puede ser representado por, o descompuesto en, dos componentes vectoriales mutuamente perpendiculares, siendo la suma vectorial de estas dos componentes igual al vector original. La descomposición de un vector V suele hacerse referida a un par de ejes cartesianos ortogonales (x e y) colocando el origen del vector coincidente con el origen del sistema de ejes de referencia. Cada componente tendrá entonces la misma dirección del eje respectivo. A la componente sobre el eje x se la llama Vx. A la componente sobre el eje y se la denomina Vy. Figura 11 – Descomposición de un vector en componentes perpendiculares ( 132 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Teniendo en cuenta que V tiene una ubicación determinada en el espacio, se puede determinar su dirección expresando el ángulo que forma su línea de acción respecto del eje positivo de las x como el ángulo α. Así, las componentes de V no son otra cosa que los catetos del triángulo rectángulo ∆ OBC . Por lo que queda determinado: cos(α) = cateto adyacente a α OC = hipotenusa OB ⇒ cos(α) = cateto opuesto a α BC = hipotenusa OB ⇒ sen(α) = sen(α) = Vx V Vy V Donde V representa el módulo del vector V (también conocido como intensidad del vector, magnitud del vector, longitud del vector, etc.). De las expresiones del cos(α) y del sen(α) se deducen las expresiones de las “componentes de un vector V respecto de los ejes cartesianos ortogonales x e y”. Vx = V cos(α) Vy = V sen(α) Las dos componentes así encontradas son equivalentes al vector V . O sea que surten el mismo efecto sobre el punto “O”. Ejercicio Nº 25 1. ¿Cuáles son las componentes de un vector que está en el plano cuyo módulo es igual a 1 y el ángulo respecto de la horizontal es de 45º? 2. ¿Cuál es la mínima distancia entre el extremo de un vector y el eje y, si su módulo es igual a 50 y su ángulo respecto de la horizontal de − π radianes ? 6 3. Si supiéramos que el extremo de un vector tiene las coordenadas (-5 ; -10) ¿Cuál sería el módulo del vector? ¿Y su posición? (la Figura 11 podría darte alguna pista) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 133 ) • COMPOSICIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES Consiste en la aplicación de algún método mediante el cual se puede llegar a determinar si el sistema de fuerzas dado admite o no una resultante. Básicamente se busca encontrar dirección, sentido e intensidad (módulo) de una sola fuerza que sea capaz de producir sobre el cuerpo el mismo efecto dinámico que las componentes de dicho sistema. Para lograr este objetivo se hace coincidir el punto de aplicación del conjunto de fuerzas con el origen de un sistema de ejes cartesianos ortogonales, para luego descomponer cada fuerza en sus componentes mutuamente perpendiculares (esto es: componente sobre eje x, componente sobre eje y, etc.), tal como se describió en la aplicación anterior y teniendo en cuenta que una fuerza es una magnitud vectorial. Te presentamos un ejemplo para mostrar el procedimiento: Tres fuerzas están aplicadas a un punto “O”, encontrar (si existe) la dirección, sentido e intensidad de la fuerza resultante. Tener presente que las intensidades de las tres fuerzas aplicadas son: ⎜F1⎜= 35N ; ⎜F2⎜= 20N ; ⎜F3⎜= 30N. La dirección y el sentido de cada fuerza están presentadas en la siguiente figura: Figura 12 – a) Fuerzas aplicadas al punto “O”. b) Ubicación espacial de las fuerzas. c) Componentes ortogonales de cada fuerza De aquí se desprende que: ⎛2 ⎞ F1x = F1 cos(α 1 ) = 35 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = −17,50 N ⎝3 ⎠ ⎛1 ⎞ F2x = F2 cos(α 2 ) = 20 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N ⎝4 ⎠ ⎛2 ⎞ F1y = F1 sen(α 1 ) = 35 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 30,31 N ⎝3 ⎠ ⎛1 ⎞ F2y = F2 sen(α 2 ) = 20 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N ⎝4 ⎠ ⎛ 11 ⎞ F3x = F3 cos(α 3 ) = 30 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = 25,98 N ⎝ 6 ⎠ ⎛ 11 ⎞ F3y = F3 sen(α 3 ) = 30 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = −15,00 N ⎝ 6 ⎠ La componente de la fuerza resultante sobre cada eje, será la suma algebraica de las componentes sobre ese eje de las fuerzas que forman el sistema. Para este ejemplo: ( 134 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Rx = n ∑ i=1 Ry = Fix n ∑F iy i=1 R x = F1x + F2x + F3x R y = F1y + F2y + F3y R x = −17,50 N + 14,14 N + 25,98 N R y = 30,31 N + 14,14 N − 15,00 N R x = 22,62 N R y = 29,45 N La intensidad de la fuerza resultante R se puede calcular con le auxilio del Teorema de Pitágoras (te puede ayudar la Figura 13): Figura 13 – Fuerza resultante del sistema de fuerzas aplicadas al punto “O” de la Figura 12 2 2 R = Rx + Ry R = (22,62 N)2 + (29,45 N)2 R = 37,13 N Sabiendo que Rx y Ry son las componentes de R podríamos ahora graficarlas (Figura 13) en un par de ejes coordenados para deducir, aunque sea gráficamente, la dirección y el sentido de la resultante, información que nos brindará el ángulo que forma R con el eje positivo x. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 135 ) LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Después de este repaso podemos comenzar a trabajar con las funciones trigonométricas. Para que las expresiones sean mas sencillas, trabajemos ahora con una circunferencia de radio uno, con su centro que coincida con el origen de un sistema rectangular de coordenadas. A ésta la llamaremos circunferencia unitaria. P b o 1 a Figura 14 – Circunferencia unitaria Sea P el punto en la circunferencia unitaria que define el lado final del ángulo θ. Sea t un número real que define la magnitud de θ en radianes. Al punto P le corresponden coordenadas que llamaremos (a;b). ∆ Λ Podrás encontrar en la Figura 14, en el triángulo rectángulo aoP , el ángulo Poa que denotamos θ. Aquí recordando nuevamente las relaciones trigonométricas que relacionan los catetos con la hipotenusa podríamos establecer las siguientes igualdades: sen (θ) = sen (θ) = aP oP aP 1 sen (θ) = aP = ordenada del punto P si ahora pensamos que el punto P puede moverse en la circunferencia unitaria podemos decir que la relación... • seno asocia con t, la coordenada “y” de P y se denota: sen(θ) = b ( 136 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Teniendo en cuenta que a cada ángulo (θ) le corresponde un único valor del seno, la relación y = f(θ) = sen(θ) es una función. Si θ está expresado en radianes, entonces f(θ) : R → R es decir sen(θ): R → R Del mismo modo que antes la definición del coseno de un ángulo como la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa nos conduce a: cos (θ) = oa oP oa 1 cos (θ) = cos (θ) = oa = abscisa del punto P • La función coseno asocia con t, la coordenada “x” de P y se denota: cos(θ) = a cos(θ): R → R Para la tangente de un ángulo se establecía la relación entre cateto opuesto y cateto adyacente aP tg (θ) = • ordenada de P abscisa de P ; si oa ≠ 0 b a Si b≠0, la función cosecante está definida como: cos ec (θ) = • = Si a≠0, la función tangente está definida como: tg (θ) = • oa 1 b Si a≠0, la función secante está definida como: sec (θ) = 1 a Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 137 ) • Si b≠0, la función cotangente está definida como: cot g (θ) = a b El hecho de haber elegido desde un comienzo la circunferencia unitaria, no le quita generalidad a las definiciones encontradas, debido a las propiedades de semejanza de triángulos. Lo único que estamos haciendo es considerar medidas de los catetos en unidades de radio, sin tener en cuenta cuál es la medida de la unidad. El uso de la circunferencia unitaria, en estas definiciones de las funciones trigonométricas, hace que también se las conozca con el nombre de funciones circulares. Es bueno notar que las funciones trigonométricas recién definidas incluyen a las relaciones trigonométricas que presentamos para ángulos agudos en triángulos rectángulos. y Los signos de las funciones en cada cuadrante Si ya conocemos como las funciones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante estemos ubicando el punto P. Así, si P esta en el 1er cuadrante entonces a es positivo (a>0) y b es positivo (b>0), entonces recurriendo a las definiciones de las funciones trigonométricas, todas en este cuadrante tendrán signo positivo. En cambio si P está en el 2do cuadrante a es negativo (a<0) y b es positivo (b>0) entonces según las definiciones serán positivas sólo las funciones seno y cosecante, mientras que todas las otras resultaran negativas. Ahora trabajando de manera semejante podrás completar la siguiente tabla: Seno y Coseno y Tangente y Cosecante Secante Cotangente 1º Cuadrante ; a>0 y b>0 + + + 2º Cuadrante ; a<0 y b>0 + - - 3º Cuadrante ; a<0 y b<0 4º Cuadrante ; a>0 y b<0 Tabla 2 – Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante ( 138 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Ejercicio Nº 26 Ayudándote con la Figura 14 encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas en: a) θ = 0 = 0º b) θ = c) π = 90º 2 θ= − π 2 = -90º d) θ = π = 180º e) θ = f) 3 π = 270º 2 θ = 2π = 360º g) θ = 5 π = 450º 2 Ejercicio Nº 27 ⎛ 1 3 ⎞⎟ el punto sobre el circunferencia unitaria que corresponde a t. Sea t un número real y P = ⎜ - ; ⎜ 2 2 ⎟ ⎠ ⎝ Encuentra la magnitud de t y calcula el sen(t); cos(t) y tg(t) Ejercicio Nº 28 En cierto motor de pistones, la distancia d (en metros) desde el centro del eje de dirección a la cabeza del pistón esta dada en función de θ por: d = cos θ + 16 + 0,5 cos (2θ) donde θ es el ángulo entre la manivela y la trayectoria de la cabeza del pistón. Encuentre d cuando θ = 30º y cuando θ = 45º Ejercicio Nº 29 Determina el cuadrante que contiene a θ, si son válidas las condiciones dadas. a) cos (θ ) > 0 y sen (θ ) < 0 b) sen (θ ) < 0 y cot g (θ ) > 0 c) tg (θ ) < 0 d) cos (θ ) < 0 cos (θ ) > 0 y y cos ec (θ ) < 0 Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 139 ) y Uso de la calculadora Las calculadoras científicas tienen teclas identificadas con SIN COS TAN que puedes emplear para calcular, aproximadamente, los valores de las funciones seno, coseno y tangente respectivamente. Después puedes obtener los valores de cosecante, secante y cotangente mediante la tecla del recíproco: ¡¡¡¡¡¡¡ ATENCION x-1 ó 1/x !!!!!!!!!! Antes de utilizar una calculadora para determinar valores de funciones que corresponden al valor de un ángulo en radianes, asegúrate de que la calculadora esté en el modo RAD. Para valores que corresponden a medidas en grados, selecciona el modo grados (modo DEG). Para estar seguro si sabes manejar estas teclas correctamente calcula el seno del ángulo π cuyo 3 valor está en radianes. Ahora repite el cálculo para el mismo ángulo pero su magnitud expresada en grados, es decir 60º. ¡¡¡¡¡¡ No te olvides de cambiar el MODO de la calculadora para cada caso !!!!!!!! De este procedimiento por las dos alternativas tienes que obtener una aproximación decimal a 3 2 (que es irracional). sen ( 140 ) π = 3 3 2 ≅ 0.8660 El resultado que arroja la calculadora Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Como hemos visto la variable independiente de estas funciones es un ángulo cuyo valor en radianes es un número real. Observemos que para las funciones seno y coseno el ángulo no tiene limitación en cuanto al valor que puede tomar. Entonces el Dominio de estas funciones es el conjunto de todos los reales que podrá también escribirse en notación matemática como: Dom sen(t) = {t∈R} donde el símbolo ∈ significa pertenece y la letra R denota el conjunto de los números reales. Ya hemos advertido que si a=0 las funciones tangente y secante no están definidas. Lo mismo ocurre para las funciones cosecante y cotangente cuando b=0. ¿Podrías fundamentar por qué no están definidas? Para describir el dominio de la función tangente, en primera instancia, podríamos analizar para que ángulos la función no está definida. Esta falta de definición ocurrirá cada vez que el lado final del ángulo coincida con el eje y, que corresponde con los ángulos π π y − y todos sus coterminales. 2 2 Ahora estamos en condiciones de describir este dominio Dom tg(t) = {t∈R / t ≠ π + kπ } 2 donde k∈Z Podrías obtener algunos valores de t (adoptando diferentes k) de la expresión anterior y verificar con el uso de la calculadora que la tangente de estos ángulos no esta definida. Ejercicio Nº 30 Revisando las definiciones encuentra el dominio de las funciones secante, cosecante y cotangente. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 141 ) IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Para completar el estudio de estas funciones y previo a la determinación de la gráfica es momento que determinemos el conjunto imagen de cada una de estas funciones. Volvamos a la Figura 14, ubiquemos el punto P, recuerda que P se puede ubicar en cualquier parte de la circunferencia unitaria, pero cualquiera sea la ubicación la abscisa a y la ordenada b sólo tomarán valores en el intervalo [-1,1] es decir −1 ≤ b ≤ 1 , en consecuencia como el sen(θ)=b entonces −1 ≤ sen (θ) ≤ 1 y, del mismo modo, el cos(θ)=a luego −1 ≤ cos (θ) ≤ 1 . O en notación matemática Si y=sen(t) ; Im sen(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 } Si y=cos(t) ; Im cos(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 } En cambio para las funciones tangente y cotangente que resulta de la razón entre magnitudes que pueden tomar valores en [-1,1] puedo obtener todos los valores reales. Es decir: Si y=tg(t) ; Im tg(t) = { y∈R } Otra vez te queda la tarea de determinar el conjunto imagen de las funciones cosecante y secante. ( 142 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Al construir las gráficas de las funciones trigonométricas, siempre los ángulos estarán expresados en radianes, o sea números reales. Para visualizar un ángulo como variable utilizaremos nuevamente el punto P moviéndose en la circunferencia unitaria. Nos dedicaremos a deducir la gráfica de la función seno. Comencemos con el ángulo cero, es decir que P estará en el eje x positivo, con coordenadas (1;0). La ordenada nos da el valor del seno del ángulo, cero también, en este caso. Esto nos permite ubicar el primer punto el de coordenadas (0;0) para la gráfica de la función, que vamos a dibujar al lado de la circunferencia para que se pueda visualizar mejor. Consideremos ahora el ángulo π , con el punto P ubicado en la posición A' de la Figura 15, la longitud 6 del segmento AA' representa el valor del seno de este ángulo. Podremos trasladar este segmento al sistema de coordenadas de la izquierda donde estamos construyendo la gráfica de la función seno, hasta la posición en que t tome el valor π . 6 Al considerar distintos ángulos el punto P se ubicará en las posiciones B', C', D', etc. Y los segmentos verticales BB', CC', DD' … representarán la magnitud del seno de los respectivos ángulos. Estos segmentos ubicados en el sistema de coordenadas que llamamos y vs. t nos sugiere que la curva del seno tiene la forma que dibujamos en la última parte de la figura. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 143 ) y B’ B’ A’ π/3 A’ π/6 A O B A O π/6 0 B π/3 t y π/2 (2/3)π C’ π/3 C’ D’ B’ π/6 (5/6)π D H G E’ A’ A’ E’ π F E D’ B’ A O 0 B O C 0 A π/6 B π/3 C D E π/2 (2/3)π (5/6)π π F (7/6)π (4/3)π G H t G’ (7/6)π G’ H’ (4/3)π H’ y (5/2)π π/2 (2/3)π (7/3)π π/3 π/6 (5/6)π π (13/6)π (7/6)π (4/3)π (3/2)π (5/3)π (11/6)π 0 2π 0 (7/6)π π/6 π/3 π/2 (2/3)π (5/6)π π 2π (13/6)π (7/3)π (5/2)π ... t (11/6)π (5/3)π (4/3)π (3/2)π Figura 15 – Generación de la función seno Resumiendo, las características de la función seno, son: 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, por lo tanto la gráfica anterior podría haberse dibujado incluso desde los valores negativos de t. 2. El conjunto imagen consta de todos los números reales entre –1 y 1 inclusive 3. La función seno es una función impar, es decir como se ve en su gráfica, ésta es simétrica con respecto al origen. 4. La función seno es periódica con periodo 2π 5. Las intersecciones con el eje de abscisas son.....,-2π, -π, 0, π, 2π,3π......; la intersección con el eje de ordenadas es 0. ( 144 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 6. El valor máximo es 1 y ocurre en los siguientes valores de la variable independiente: ... − π 3 5 9 ; π ; π ; π ... 2 2 2 2 7. El valor mínimo es –1 y ocurre en los siguientes valores: ... − π 3 7 11 ; π ; π ; π … 2 2 2 2 Ya vimos como se genera la gráfica de la función seno, del mismo modo podríamos trabajar para lograr las gráficas de las demás funciones. Aquí te presentamos algunas para que las uses y tengas en cuenta: 1 _π _5 _π _ 2 6 _π _ 11 __ π _ 5 6 3 3 _ 1_ π _ 1 _π 3 6 _4 _π _ _ 7 π 3 _1 π 6 6 1 _ π 3 _2 π 3 7π _ 6 _4 π _7 π 4 _ π 3 3 _5 π 3 11 __ π 6 5 _ π 6 -1 Figura 16 – Función seno: y=sen(t) 1 __ 4π _ _ 7 π 3 6 2 __ 5 π π __ 6 3 __ 1π _ _ 1π 3 _2 π 6 3 _ 11 __ π _ _ 5π 6 1π _ 6 3 5π _ 6 _1 π 3 6 5π _ 3 11 __ π 6 -1 Figura 17 – Función coseno: y=cos(t) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 145 ) ... 1.73 0.58 _1 _π _ 1 _π _4 _π _ 7 _π ... 3 6 3 6 _ 11 __ π _ 5_ π 3 _2 π 6 3 _5 _π _ 2 _π 6 1π _ 6 3 5π _ 3 5π _ 6 _1 π 3 7π _ 6 4 _ π 3 11 __ π 6 ... -0.58 ... -1.73 Figura 18 – Función tangente: y=tg(t) Ejercicio Nº 31 Usando las gráficas que te presentamos podrías resumir las características mas importantes (dominio, imagen, paridad, período, raíces, máximos y mínimos) de las funciones coseno y tangente. Ejercicio Nº 32 Completa la afirmación, consultando las gráfica de las funciones trigonométricas. t → 0+ significa que t se acerca a cero por la derecha. a) Cuando t → 0+ , sen (t) → .......... b) Cuando t → π+ , sen (t) → .......... c) Cuando t → π− , cos (t) → .......... π 3 − d) Cuando t → π 2 − e) Cuando t → f) , cos (t) → .......... , tg (t) → .......... Cuando t → 0+ , cot g (t) → .......... ( 146 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Ya comprendidos los conceptos sobre funciones trigonométricas, es bueno rescatar las aplicaciones de este tema, aquí te acercamos algunas... • EL SONIDO ¿Sabías que ... Los sonidos se transmiten desde una fuente que los produce hasta nuestros oídos a través de una vibración de las moléculas de aire sin transportar materia.? Al representar el movimiento de estas moléculas, en un sistema de coordenadas, en el cual el sistema de abscisas corresponde al tiempo y el de ordenadas al desplazamiento a partir de la posición original, se obtienen algunos gráficos como los mostrados en la Figura 19. La representación de la vibración producida al hacer sonar un diapasón muestra la forma que tiene la onda de un sonido puro. diapasón Las otras dos, que pertenecen a una flauta y a un violín, muestran ondas más complejas. En realidad la onda vibrante emitida por un instrumento musical, es una combinación de flauta sonidos puros, o sea que se puede representar como combinación de funciones periódicas. El gráfico de un sonido puro corresponde a una función del tipo: f(x) = a sen(wx) violín Figura 19 – Representación gráfica de diferentes sonidos ¿Qué características físicas tienen los sonidos relacionados con los parámetros a y w ? • Volumen, si golpeamos con más fuerza el mismo diapasón, oiremos un sonido más intenso, cuya representación es una función de mayor amplitud. El factor a, está relacionado con el volumen del sonido o amplitud de la onda. • Tono o Altura: si golpeamos con la misma fuerza distintos diapasones correspondientes a distintas notas musicales, nuestros oídos percibirán diferentes alturas o tonos . Esta es la característica física a la que aludimos cuando decimos que un sonido es grave o agudo y se llama frecuencia, y es w 2π . A frecuencias mayores corresponden, desde el punto de vista físico, sonidos más agudos y, matemáticamente, funciones de periodos menores. Como x representa al tiempo, entonces la frecuencia es la cantidad de ciclos que realiza la onda por segundo, se mide en Hertz (Hz) que representa un ciclo por segundo. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 147 ) Si tocamos en un piano el LA por encima del DO central y pudiéramos visualizar la señal de este sonido, veríamos que su frecuencia es de 440Hz. Si tocamos un LA más agudo su frecuencia es de 880 Hz y uno más grave tiene una frecuencia 220 Hz; estas representan distintas “octavas” de una misma nota. Podríamos incluso comparar las frecuencias de los sonidos de las siete notas de una determinada octava, los resultados se ven en Figura 20 – Frecuencias de las siete notas en una octava la Figura 20. Ejercicio Nº 33 Observa la figura, y responde: a. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido de mayor volumen? b. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido más agudo? ¿Y cuál al sonido más grave? c. ¿Cuál de las ondas tiene el mayor período? ¿Y el menor? • LAS MAREAS profundidad [m] El siguiente gráfico muestra como varía la profundidad del agua de un puerto en un día cualquiera. 10 8 6 Calado Profundidad del puerto 4 Mar 2 03 05 07 09 11 13 15 17 miércoles 19 21 23 01 03 hora jueves Figura 28 – Variación de la profundidad del agua de un puerto en función del tiempo ( 148 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 Ejercicio Nº 34 Dado que los barcos sólo pueden entrar en el puerto si la profundidad en el mismo es mayor que el calado del barco…, usando la gráfica anterior, a. ¿A qué hora hay pleamar? ¿Y bajamar? b. ¿En qué intervalos sube la marea? ¿En cuáles baja? c. ¿En qué momento puede entrar o salir un barco con un calado de 5m cuando está cargado y de 2m descargado? d. ¿Cuál debería ser el calado máximo de un barco cargado para poder entrar y salir del puerto independientemente de la profundidad en el mismo? e. ¿Cuál es el período de la función graficada? Hasta aquí te hemos presentado algunos de los conceptos más importantes de las funciones trigonométricas, por supuesto que hay mucho más... Las diferentes carreras de ingeniería usan esta teoría para determinar, entre otras cosas, ángulos de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición del mismo; armado de cartas de navegación; diseños de diferentes estructuras y piezas de máquinas; construcción de carreteras, puentes…; modelado, simulación y control de sistemas eléctricos... y así podríamos seguir enumerando aplicaciones. Depende de tu gusto y de tus ganas seguir ampliando sobre este tema. Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 149 )