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REPASAMOS GEOMETRÍA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Antes de comenzar con el tema propuesto para este capítulo te proponemos repasar algunos
conceptos que serán muy necesarios para lograr una comprensión más integral de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones. Comencemos…
En geometría es muy común el uso del concepto de razón, por ejemplo, para definir el concepto de
semejanza. ¿Lo recuerdas?
Si no lo recuerdas, tendrás que averiguarlo y escribirlo a continuación.
Ejercicio N° 1
Busca y escribe la definición geométrica de semejanza.
Ejercicio N° 2
Averigua por tu cuenta, y luego responde, fundamentando, lo siguiente:
a. ¿Qué es un triángulo rectángulo?
b. ¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo?
c. ¿Qué relación existe entre los ángulos agudos interiores de un triángulo rectángulo?
d. ¿Qué relación existe entre los lados de un triángulo rectángulo?
Ejercicio N° 3
Luego de realizar el ejercicio anterior, que te permitió recordar conceptos y propiedades, te pedimos
que realices las siguientes tareas:
1) Dibuja un triángulo rectángulo y construye todas razones posibles entre sus lados.
2) Mide los lados del triángulo y calcula el valor de algunas de esas razones.
3) Construye otro triángulo rectángulo manteniendo un mismo ángulo agudo y calculando las mismas
razones que en el caso anterior, verifica la definición de semejanza que enunciaste anteriormente.
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( 115 )
Ejercicio N° 4
i) Según tu razonamiento, ¿cuáles de estas conclusiones te parecen verdaderas y cuáles no?.
a) Todos los triángulos son semejantes
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes
c) Las razones de los lados homólogos de dos triángulos rectángulos son
iguales
d) Las razones de los lados homólogos correspondientes a triángulos
rectángulos que poseen un mismo ángulo agudo son iguales
e) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, son
semejantes
ii) A partir de las afirmaciones que elegiste como verdaderas, escribe una definición propia, que las
resuma:
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Seguramente ya haz reconocido que estas razones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo como el de la Figura 1, son las ya conocidas razones trigonométricas, para que puedas
demostrar tus conocimientos, te invitamos a que las recordemos juntos “con nombre y apellido”.
Haremos referencia al triángulo rectángulo siguiente, pero recordarás que se aplican a cualquier
triángulo rectángulo…
a
c
α
b
Figura 1 – Triángulo rectángulo
• SENO DEL ÁNGULO α
sen (α) =
cateto opuesto
c
=
hipotenusa
a
• COSENO DEL ÁNGULO α
cos (α) =
cateto adyacente
b
=
hipotenusa
a
• TANGENTE DEL ÁNGULO α
tg (α) =
c
cateto opuesto
=
cateto adyacente
b
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• COTANGENTE DEL ÁNGULO α
cotg (α) =
b
cateto adyacente
=
cateto opuesto
c
sec (α) =
a
hipotenusa
=
cateto adyacente
b
• SECANTE DEL ÁNGULO α
• COSECANTE DEL ÁNGULO α
cosec (α) =
hipotenusa
a
=
cateto opuesto
c
Como hemos podido concluir, según nuestro propio convencimiento, “En todo triángulo rectángulo,
las razones trigonométricas dependen de la medida del ángulo agudo al que se apliquen”.
Pero si profundizamos un poco más en nuestros conocimientos matemáticos, ¿podremos arriesgarnos
a decir que...
... las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, son funciones del
ángulo en el que se aplican?
Para estar más seguro de lo que estamos haciendo, será muy prudente que recordemos la definición
de función, ¿no te parece?
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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Dados dos conjuntos numéricos A y B, una relación R de A en B es una función si:
1.
Todo el conjunto A (conjunto de partida) es dominio de la relación.
2.
A cada elemento del conjunto de partida A le corresponde una y sólo una imagen en el
conjunto de llegada B.
Teniendo en cuenta esta definición, podemos observar en ella tres conceptos fundamentales:
a) El conjunto numérico dominio.
b) El conjunto numérico imagen.
c)
Una relación unívoca entre los dos conjuntos.
En el caso que nos ocupa, el primer conjunto tendrá que contener los números que representen las
medidas de todos los posibles ángulos. ¿De todos los posibles ángulos?
En el segundo conjunto deberán estar todas las posibles razones trigonométricas establecidas
anteriormente.
Estas dos observaciones nos previenen para ser más cautelosos con nuestra aseveración anterior, de
manera que podamos justificarla adecuadamente.
Por ejemplo, deberíamos contestarnos algunas preguntas como:
1- ¿Cuál es el sistema de medidas angulares que conocemos?.
2- ¿Estas medidas constituyen un conjunto numérico?.
3- ¿No podremos extender nuestras conclusiones a otros ángulos sin que necesariamente
se trate de ángulos de un triángulo rectángulo?.
Vamos posponer un poco nuestra conclusión anterior a fin de que podamos realmente justificarla
adecuadamente.
En la siguiente sección vamos a fundamentar las respuestas que nos están faltando.
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ÁNGULOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ya hemos trabajado con ángulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que
establezcamos una definición para este sencillo concepto:
Definición: Ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su
punto de origen desde su posición inicial hasta una posición final.
do
la
al
fin
do
la
al
ici
in
rayo
lado inicial
vértice
punto de
origen
lado final
vértice
Figura 2 – Definición de ángulo. Ejemplos.
Si revisas la definición notarás que no se restringe, por ningún motivo, ni la magnitud ni el sentido de
la rotación, y que es posible también hacer que el rayo gire varias vueltas o revoluciones en cualquier
sentido.
La medida del ángulo deberá representar la magnitud del giro, y ya está establecido por
convención que será considerada positiva si la rotación se efectúa en sentido contrario a las manecillas
del reloj, y negativa si es en el otro sentido.
A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ángulos distintos, el ángulo α (alfa) es positivo, β
(beta) es negativo y γ (gama) es positivo. Notemos que α, β y γ tienen el mismo lado inicial y final,
pero sin embargo α, β y γ son diferentes, ya que la "cantidad" de rotación necesaria para ir desde el
lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para γ que para α.
do
la
fin
al
α
lado inicial
o
lad
β
fin
al
lado inicial
o
lad
γ
al
fi n
lado inical
Figura 3 - Ejemplos
( 120 )
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Podemos ubicar el vértice del ángulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas
rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo.
Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES,
o
f in
al
denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4:
do
er
la d
2
cuadrante
θ
O
er
3
cuadrante
1
cuadrante
lado inical
to
4
cuadrante
Figura 4 – Ángulo ubicado en un sistema de coordenadas
Entonces según en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ángulo está en ese
cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ángulo θ está en el 1er cuadrante.
Si el lado final del ángulo está en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que θ es un ángulo
cuadrantal.
Ejercicio Nº 5
Dibuja un ángulo:
- Orientado positivo y que el lado final esté incluido en el cuarto cuadrante.
- Orientado negativo y que el lado final esté incluido en el tercer cuadrante.
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¿CÓMO MEDIR LOS ÁNGULOS? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Para medir la rotación necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan comúnmente
dos unidades de medición: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en el sistema circular).
• Grados:
Aquí el ángulo formado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el lado inicial
hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolución) se dice que mide 360 grados, y se escribe
360º.
Así:
1
parte de una vuelta.
360
•
Un grado (1º) es
•
Un ángulo recto ó
1
de vuelta es 90º.
4
•
Un ángulo llano ó
1
vuelta es 180º.
2
Ejercicio Nº 6
Dibuja en un sistema de coordenadas un ángulo α positivo en cada uno de los siguientes casos:
a. 90º<α<180º ; 0º<α<90º
b. Indicar en qué cuadrante está incluido el lado extremo de los siguientes ángulos orientados:
120º, -60º, 380º, -130º
Recordemos que en el sistema sexagesimal son submúltiplos del grado el minuto y el segundo, tal
como se muestra en la Tabla 1:
Minuto sexagesimal
1' =
Segundo sexagesimal
1º
60
1' ' =
1'
60
Tabla 1 – Submúltiplos del sistema sexagesimal
¿Sabías que…
este sistema de medición es muy antiguo, proviene de los babilonios; ellos pensaban
que el año tenía 360 días, lo que los llevó a utilizar como unidad angular la 360 ava parte de una
ángulo de un giro.
( 122 )
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• Radianes:
Como vimos anteriormente el SI tiene como unidad de medida de ángulos el radián.
¿Qué es un radián?
Para poder definir el radián analicemos lo siguiente:
En las circunferencias concéntricas de la gráfica observamos los arcos ab y a' b' que corresponden al
ángulo central θ.
Por tener en común el ángulo, las razones entre las longitudes de los arcos y los radios
correspondientes son iguales, se puede entonces formar la siguiente igualdad de razones
(proporción):
ab
oa
=
a' b'
o' a'
Estas razones sólo dependen de la amplitud del ángulo θ, y
esto nos da la posibilidad de tomarla como medida del
b’
ángulo. Dicha medida es la utilizada en el sistema circular:
ab
a' b'
longitud del arco
ˆ
θ=
=
=
oa o' a' longitud del radio
b
o
a
a’
Figura 5 – Razones entre arcos y radián
Pero en definitiva... ¿Cómo se define el radián?
Definición: Un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco de igual longitud
que el radio de la circunferencia.
Es decir un radian es el ángulo para el cual:
longitud ab = longitud oa
O lo que es lo mismo:
longitud del arco = longitud del radio
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ab
Es decir que:
oa
= 1 radián
lo
n
g.
ra
d
dio
= ra
co
io
ar
1 radián
radio
Figura 7 – Razones entre arcos y radios
La diferencia que deberías notar es que la magnitud de la rotación (del ángulo) se define con el uso de
magnitudes relacionadas con medidas de longitud.
Según lo que hemos enunciado, la medida de un ángulo de un giro completo en el sistema circular es:
1 giro o vuelta =
longitud de la circunferencia
longitud del radio de la circunferencia
si recordáramos que la longitud de una circunferencia es 2 π r podríamos reemplazar:
1 giro o vuelta =
2πr
, entonces:
r
1 giro o vuelta = 2 π radianes
2π radianes significa 2π veces la medida del radio, y
π es el número irracional 3,14159...
¡¡¡ ATENCIÓN !!!
Aquí aparece lo más importante del uso de este sistema, pues:
la medida de un ángulo en unidades de radio: ¡¡¡ es un número real !!!.
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Con esto hemos logrado un conjunto numérico que representa la medida de los ángulos
respondiendo con ello al segundo interrogante planteado luego de recordar la definición de función.
Todavía podemos asegurar más. Este conjunto numérico es el conjunto de los números reales R.
Esta certeza (que tiene una demostración matemática más rigurosa), se justifica en el hecho de que la
longitud del arco correspondiente al ángulo generado por la rotación de un segmento alrededor de un
punto puede ser tan grande o tan pequeño como se quiera, es decir un número entre cero (0) e
infinito (∞) si se genera positivamente, o un número entre cero (0) y menos infinito (- ∞) si se genera
negativamente.
Si pusiéramos en duda que los números irracionales pudieran ser medida de algún ángulo, nos
ayudará familiarizarnos con los ángulos cuadrantales, y comprobar que, por ejemplo, la longitud del
arco correspondiente a una semicircunferencia es π = 3,14159... , un número irracional.
Las Figuras 7 y 8 además te servirán para comparar la medida de algunos de estos ángulos en uno y
otro sistema.
longitud =
π
π radianes
180 º
radio = 1
lon
gi
tu
d
=
π/2
π/2 radianes
90 º
radio = 1
Figura 7 – Ejemplos de ángulos cuadrantales
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2
3/
π
lon
gi
tu
d
=
3/2
270 º
π radianes
radio = 1
lon
gi
tu
d
=
2
5/
π
5/2 π radianes
450º
radio = 1
Figura 8 – Ejemplos de ángulos cuadrantales
En el caso de una circunferencia cualquiera, el arco es un múltiplo de la longitud de la circunferencia
de modo que se podrá establecer la relación de equivalencia:
1 giro ------------ 2π radianes ------------- 360º
de modo que:
ángulo θ en radianes ángulo θ en grados
=
2π
360
Que es la relación entre grados y radianes
Esto es importante para evitar confusiones. Por ejemplo decimos que la suma de los ángulos interiores
de un triángulo vale 180º y en otras oportunidades que la suma de los ángulos interiores de un
triángulo vale π. Las dos afirmaciones son correctas, solamente que en el primer enunciado la unidad
de medida es el grado y en el segundo es el radián.
Ejercicio Nº 7
a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es
grados, o sea
_______radianes.
b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de 9 lados es de ____
grados, o sea ________ radianes.
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Ejercicio Nº 8
a. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo que mide en el sistema circular 1 radián?
b. ¿Cuál es la medida en radianes de 1º?
Ejercicio Nº 9
Convierte:
a.
30º a radianes y graficarlo
b.
130º a radianes y graficarlo
c.
11
π radianes a grados
9
d.
2
π radianes a grados
5
e.
2
radianes a grados (note que se puede emplear cualquier número real; una medida en radianes
5
no es necesariamente un múltiplo (entero) de π.
Ejercicio Nº 10
Calcula el valor en radianes de los siguientes ángulos especiales:
.......
.......
.......
120º
.......
90º
.......
.......
60º
30º
150º
330º
210º
.......
0
.......
0º
180º
.......
.......
45º
135º
225º
315º
240º
.......
300º
270º
.......
.......
.......
.......
.......
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( 127 )
Ejercicio Nº 11
Recuadra la respuesta correcta:
Un ángulo de 1 radián equivale a:
56º17’44”
57º
57º17’45”
Ejercicio Nº 12
Dibuja en la circunferencia unidad con los ejes los siguientes ángulos:
π
2
;
3
π
2
;
−
3
π
2
;
π
4
;
− 3π
Ejercicio Nº 13
Indica en radianes la amplitud del ángulo que determina el minutero de un reloj en:
a) 15 minutos:........... b) 1 hora:.......... c) 30 minutos:.......... d) 2horas 15 minutos:..........
Ejercicio Nº 14
¿Qué hora marcará el reloj cuando su minutero gire un ángulo:
a. de -2 π radianes? (dibujar un reloj que indique 3 h 30 m)
b. de – 3 π radianes? (dibujar un reloj que indique 2 h 15 m)
Ejercicio Nº 15
Marca con una cruz la respuesta correcta.
Al pasar de las 1 h 15 min. A las 4 h 45 min., el minutero de un reloj ha girado un ángulo de:
a) -4 π
b) -5 π
c) -6 π
d) -7 π
Ejercicio Nº 16
¿Cuántas vueltas ha dado la rueda de una bicicleta si uno de sus radios ha girado un ángulo de 9
( 128 )
π?
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y Ángulos coterminales ó congruentes
Son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y final. En la Figura 3 los ángulos α, β y γ son
coterminales.
Los ángulos 0, 2π, 4π, 6π, -2π, -4π son coterminales, todos ellos representan revoluciones completas.
Para hallar los coterminales de un ángulo bastará con agregar múltiplos enteros de una revolución ya
sea en sentido positivo o negativo.
θ en º es coterminal con (θ + k 360)º
con k entero
θ en radianes es coterminal con (θ + k 2π)rad
con k entero
Ejemplo:
Si buscamos ángulos coterminales con π/2 encontraremos:
5
π
+ 2π = π
2
2
9
π
+ 4π = π
2
2
3
π
− 2π = − π
2
2
y así podríamos encontrar infinitos ángulos coterminales con
π
2
Ejercicio Nº 17
Calcula la medida, en radianes y en grados, de un ángulo que tiene su vértice ubicado en el centro de
una circunferencia de radio 2 y que determina un arco que mide
3
π.
8
Ejercicio Nº 18
Un punto se mueve sobre una circunferencia de radio 1 en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Cuando recorre
2
de esa circunferencia:
5
a. ¿Cuál es la medida del arco de circunferencia que le falta recorrer para dar una vuelta completa?
b. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo correspondiente a ese arco?
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( 129 )
Ejercicio Nº 19
El limpia parabrisas de un automóvil mide 50 cm de largo ¿Cuántos cm cubre el extremo del limpiador
si barre
1
de revolución?
3
Ejercicio Nº 20
Indica en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos:
α1 = -200º
α2 = 800º 20’
α3 = 160º
α4 = 1020º
α5 = 3 rad
α6= 5/3 π
α7 = π rad
Entre los ángulos mencionados ¿Cuáles tienen el mismo lado terminal?
Ejercicio Nº 21
La rueda de una bicicleta ha dado 6 vueltas y media. ¿Cuántos radianes ha girado un rayo de la
rueda?
Ejemplo:
Un satélite terrestre en órbita circular a 1200 km de altura completa una revolución cada 90 minutos
¿Cuál es su velocidad lineal? (Utilizar el valor de 6400 km para la longitud del radio terrestre)
Utilicemos la fórmula v = rω. Recordemos además que ω es la velocidad angular y representa la
cantidad de revoluciones que un móvil recorre en un determinado tiempo.
r = radio de la Tierra + altura del satélite
r = 6400 km + 1200 km
r = 7600 km
Encontrando la velocidad angular: ω =
2π radianes
π
=
90 min .
45 min .
v = rω
v = 7600 km .
π
45 min .
Sustituyendo llegamos al resultado buscado:
( 130 )
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v = 530 km/min
Ejercicio Nº 22
Un ciclista corre con rapidez constante en un velódromo circular, cuyo radio es de 40 m. Sabiendo que
ha dado 6 vueltas en un minuto y medio, calcula la velocidad lineal en m/s y la velocidad angular en
rad/s
Ejercicio Nº 23
Calcula el arco de meridiano terrestre ab, siendo “b” la ciudad de Río Cuarto (coordenadas geográficas
de Río Cuarto: Latitud sud = 33º 04’, Longitud oeste = 64º 38’) y suponiendo que la tierra es una
esfera de radio aproximadamente igual a 6370 Km. El punto “a” es un punto sobre el Ecuador y a la
misma longitud.
Ejercicio Nº 24
Una rueda de 12 cm de diámetro está rotando a 10 revoluciones por segundo, ¿cuál es la velocidad de
un punto en el borde?
Es posible que te hayas preguntado cuando usar un sistema de medición en grados y cuando en
radianes
En muchas aplicaciones, tales como la localización exacta de una estrella o la posición precisa de un
barco en el mar, se utilizan ángulos medidos en grados. En muchas otras aplicaciones en especial en
cálculo los ángulos son medidos en radianes.
Es muy común por ejemplo en física trabajar con el tiempo como variable independiente, en estos
casos, el tiempo se indica en números reales y se representa gráficamente en el eje de las abscisas,
por igual razón necesitamos un conjunto numérico para medir ángulos, de tal forma que a cada
ángulo expresado en grados se le asigne un único número real.
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( 131 )
Ahora te acercamos a una aplicación muy común de las razones trigonométricas a la física:
• COMPONENTES DE UN VECTOR
Existen muchísimas aplicaciones en las que se tiene que lidiar con magnitudes vectoriales, donde no
se define a la magnitud sólo con un valor numérico, sino con él (módulo o intensidad) más una
dirección, un sentido y un punto de aplicación. Ejemplos de esto pueden ser una fuerza, una
velocidad, una aceleración, etc..
Gráficamente estas magnitudes se representan con vectores y para analizar situaciones en donde
intervengan estas magnitudes podrías usar a las razones trigonométricas como una buena
herramienta para componer y descomponer vectores, y de este modo analizar y sacar conclusiones en
situaciones concretas. Sólo algunos ejemplos pueden ser:
• cómo realizar una estructura de alguna construcción.
• verificar si un poste, en la transmisión de energía eléctrica, soportará los esfuerzos del tendido de
los conductores, vientos, etc.
• predeterminar el sentido, dirección y características del movimiento de un cuerpo sometido a la
acción de fuerzas.
• cómo se moverá un electrón en el seno de un campo eléctrico.
• etc.
Todo vector puede ser representado por, o descompuesto en, dos componentes vectoriales
mutuamente perpendiculares, siendo la suma vectorial de estas dos componentes igual al vector
original.
La descomposición de un vector V suele hacerse referida a un par de ejes cartesianos ortogonales (x
e y) colocando el origen del vector coincidente con el origen del sistema de ejes de referencia.
Cada componente tendrá entonces la misma dirección del eje respectivo. A la componente sobre el
eje x se la llama Vx. A la componente sobre el eje y se la denomina Vy.
Figura 11 – Descomposición de un vector en componentes perpendiculares
( 132 )
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Teniendo en cuenta que V tiene una ubicación determinada en el espacio, se puede determinar su
dirección expresando el ángulo que forma su línea de acción respecto del eje positivo de las x como
el ángulo α. Así, las componentes de V no son otra cosa que los catetos del triángulo rectángulo
∆
OBC . Por lo que queda determinado:
cos(α) =
cateto adyacente a α OC
=
hipotenusa
OB
⇒
cos(α) =
cateto opuesto a α BC
=
hipotenusa
OB
⇒
sen(α) =
sen(α) =
Vx
V
Vy
V
Donde V representa el módulo del vector V (también conocido como intensidad del vector, magnitud
del vector, longitud del vector, etc.).
De las expresiones del cos(α) y del sen(α) se deducen las expresiones de las “componentes de un
vector V respecto de los ejes cartesianos ortogonales x e y”.
Vx = V cos(α)
Vy = V sen(α)
Las dos componentes así encontradas son equivalentes al vector V . O sea que surten el mismo efecto
sobre el punto “O”.
Ejercicio Nº 25
1. ¿Cuáles son las componentes de un vector que está en el plano cuyo módulo es igual a 1 y el
ángulo respecto de la horizontal es de 45º?
2. ¿Cuál es la mínima distancia entre el extremo de un vector y el eje y, si su módulo es igual a 50 y
su ángulo respecto de la horizontal de −
π
radianes ?
6
3. Si supiéramos que el extremo de un vector tiene las coordenadas (-5 ; -10) ¿Cuál sería el módulo
del vector? ¿Y su posición? (la Figura 11 podría darte alguna pista)
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( 133 )
• COMPOSICIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES
Consiste en la aplicación de algún método mediante el cual se puede llegar a determinar si el sistema
de fuerzas dado admite o no una resultante. Básicamente se busca encontrar dirección, sentido e
intensidad (módulo) de una sola fuerza que sea capaz de producir sobre el cuerpo el mismo efecto
dinámico que las componentes de dicho sistema.
Para lograr este objetivo se hace coincidir el punto de aplicación del conjunto de fuerzas con el origen
de un sistema de ejes cartesianos ortogonales, para luego descomponer cada fuerza en sus
componentes mutuamente perpendiculares (esto es: componente sobre eje x, componente sobre eje
y, etc.), tal como se describió en la aplicación anterior y teniendo en cuenta que una fuerza es una
magnitud vectorial.
Te presentamos un ejemplo para mostrar el procedimiento:
Tres fuerzas están aplicadas a un punto “O”, encontrar (si existe) la dirección, sentido e intensidad de
la fuerza resultante. Tener presente que las intensidades de las tres fuerzas aplicadas son: ⎜F1⎜= 35N ;
⎜F2⎜= 20N ; ⎜F3⎜= 30N. La dirección y el sentido de cada fuerza están presentadas en la siguiente
figura:
Figura 12 – a) Fuerzas aplicadas al punto “O”. b) Ubicación espacial de las fuerzas. c) Componentes ortogonales de cada fuerza
De aquí se desprende que:
⎛2 ⎞
F1x = F1 cos(α 1 ) = 35 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = −17,50 N
⎝3 ⎠
⎛1 ⎞
F2x = F2 cos(α 2 ) = 20 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N
⎝4 ⎠
⎛2 ⎞
F1y = F1 sen(α 1 ) = 35 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 30,31 N
⎝3 ⎠
⎛1 ⎞
F2y = F2 sen(α 2 ) = 20 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N
⎝4 ⎠
⎛ 11 ⎞
F3x = F3 cos(α 3 ) = 30 N cos⎜⎜
π ⎟⎟ = 25,98 N
⎝ 6 ⎠
⎛ 11 ⎞
F3y = F3 sen(α 3 ) = 30 N sen⎜⎜
π ⎟⎟ = −15,00 N
⎝ 6 ⎠
La componente de la fuerza resultante sobre cada eje, será la suma algebraica de las componentes
sobre ese eje de las fuerzas que forman el sistema. Para este ejemplo:
( 134 )
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Rx =
n
∑
i=1
Ry =
Fix
n
∑F
iy
i=1
R x = F1x + F2x + F3x
R y = F1y + F2y + F3y
R x = −17,50 N + 14,14 N + 25,98 N
R y = 30,31 N + 14,14 N − 15,00 N
R x = 22,62 N
R y = 29,45 N
La intensidad de la fuerza resultante R se puede calcular con le auxilio del Teorema de Pitágoras (te
puede ayudar la Figura 13):
Figura 13 – Fuerza resultante del sistema de fuerzas aplicadas al punto “O” de la Figura 12
2
2
R =
Rx + Ry
R =
(22,62 N)2 + (29,45 N)2
R = 37,13 N
Sabiendo que Rx y Ry son las componentes de R podríamos ahora graficarlas (Figura 13) en un par de
ejes coordenados para deducir, aunque sea gráficamente, la dirección y el sentido de la resultante,
información que nos brindará el ángulo que forma R con el eje positivo x.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
( 135 )
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Después de este repaso podemos comenzar a trabajar con las funciones trigonométricas.
Para que las expresiones sean mas sencillas, trabajemos ahora con una circunferencia de radio uno,
con su centro que coincida con el origen de un sistema rectangular de coordenadas. A ésta la
llamaremos circunferencia unitaria.
P
b
o
1
a
Figura 14 – Circunferencia unitaria
Sea P el punto en la circunferencia unitaria que define el lado final del ángulo θ. Sea t un número real
que define la magnitud de θ en radianes.
Al punto P le corresponden coordenadas que llamaremos (a;b).
∆
Λ
Podrás encontrar en la Figura 14, en el triángulo rectángulo aoP , el ángulo Poa que denotamos θ.
Aquí recordando nuevamente las relaciones trigonométricas que relacionan los catetos con la
hipotenusa podríamos establecer las siguientes igualdades:
sen (θ) =
sen (θ) =
aP
oP
aP
1
sen (θ) = aP = ordenada del punto P
si ahora pensamos que el punto P puede moverse en la circunferencia unitaria podemos decir que la
relación...
•
seno asocia con t, la coordenada “y” de P y se denota:
sen(θ) = b
( 136 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
Teniendo en cuenta que a cada ángulo (θ) le corresponde un único valor del seno, la relación
y = f(θ) = sen(θ) es una función.
Si θ está expresado en radianes, entonces f(θ) : R → R es decir sen(θ): R → R
Del mismo modo que antes la definición del coseno de un ángulo como la razón entre cateto
adyacente y la hipotenusa nos conduce a:
cos (θ) =
oa
oP
oa
1
cos (θ) =
cos (θ) = oa = abscisa del punto P
•
La función coseno asocia con t, la coordenada “x” de P y se denota:
cos(θ) = a
cos(θ): R → R
Para la tangente de un ángulo se establecía la relación entre cateto opuesto y cateto adyacente
aP
tg (θ) =
•
ordenada de P
abscisa de P
;
si oa ≠ 0
b
a
Si b≠0, la función cosecante está definida como:
cos ec (θ) =
•
=
Si a≠0, la función tangente está definida como:
tg (θ) =
•
oa
1
b
Si a≠0, la función secante está definida como:
sec (θ) =
1
a
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( 137 )
•
Si b≠0, la función cotangente está definida como:
cot g (θ) =
a
b
El hecho de haber elegido desde un comienzo la circunferencia unitaria, no le quita generalidad a las
definiciones encontradas, debido a las propiedades de semejanza de triángulos.
Lo único que estamos haciendo es considerar medidas de los catetos en unidades de radio, sin tener
en cuenta cuál es la medida de la unidad.
El uso de la circunferencia unitaria, en estas definiciones de las funciones trigonométricas, hace
que también se las conozca con el nombre de funciones circulares.
Es bueno notar que las funciones trigonométricas recién definidas incluyen a las relaciones
trigonométricas que presentamos para ángulos agudos en triángulos rectángulos.
y Los signos de las funciones en cada cuadrante
Si ya conocemos como las funciones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del
punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante estemos ubicando el
punto P.
Así, si P esta en el 1er cuadrante entonces a es positivo (a>0) y b es positivo (b>0), entonces
recurriendo a las definiciones de las funciones trigonométricas, todas en este cuadrante tendrán signo
positivo.
En cambio si P está en el 2do cuadrante a es negativo (a<0) y b es positivo (b>0) entonces según las
definiciones serán positivas sólo las funciones seno y cosecante, mientras que todas las otras
resultaran negativas.
Ahora trabajando de manera semejante podrás completar la siguiente tabla:
Seno y
Coseno y
Tangente y
Cosecante
Secante
Cotangente
1º Cuadrante ; a>0 y b>0
+
+
+
2º Cuadrante ; a<0 y b>0
+
-
-
3º Cuadrante ; a<0 y b<0
4º Cuadrante ; a>0 y b<0
Tabla 2 – Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante
( 138 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
Ejercicio Nº 26
Ayudándote con la Figura 14 encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas en:
a) θ = 0 = 0º
b) θ =
c)
π
= 90º
2
θ= −
π
2
= -90º
d) θ = π = 180º
e) θ =
f)
3
π = 270º
2
θ = 2π = 360º
g) θ =
5
π = 450º
2
Ejercicio Nº 27
⎛ 1
3 ⎞⎟
el punto sobre el circunferencia unitaria que corresponde a t.
Sea t un número real y P = ⎜ - ;
⎜ 2 2 ⎟
⎠
⎝
Encuentra la magnitud de t y calcula el sen(t); cos(t) y tg(t)
Ejercicio Nº 28
En cierto motor de pistones, la distancia d (en metros) desde el centro del eje de dirección a la cabeza
del pistón esta dada en función de θ por:
d = cos θ + 16 + 0,5 cos (2θ)
donde θ es el ángulo entre la manivela y la trayectoria de la cabeza del pistón. Encuentre d cuando
θ = 30º y cuando θ = 45º
Ejercicio Nº 29
Determina el cuadrante que contiene a θ, si son válidas las condiciones dadas.
a)
cos (θ ) > 0
y
sen (θ ) < 0
b)
sen (θ ) < 0
y
cot g (θ ) > 0
c)
tg (θ ) < 0
d)
cos (θ ) < 0
cos (θ ) > 0
y
y
cos ec (θ ) < 0
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( 139 )
y Uso de la calculadora
Las calculadoras científicas tienen teclas identificadas con
SIN
COS
TAN
que puedes
emplear para calcular, aproximadamente, los valores de las funciones seno, coseno y tangente
respectivamente.
Después puedes obtener los valores de cosecante, secante y cotangente mediante la tecla del
recíproco:
¡¡¡¡¡¡¡ ATENCION
x-1
ó
1/x
!!!!!!!!!!
Antes de utilizar una calculadora para determinar valores de funciones que corresponden al valor de
un ángulo en radianes, asegúrate de que la calculadora esté en el modo RAD. Para valores que
corresponden a medidas en grados, selecciona el modo grados (modo DEG).
Para estar seguro si sabes manejar estas teclas correctamente calcula el seno del ángulo
π
cuyo
3
valor está en radianes. Ahora repite el cálculo para el mismo ángulo pero su magnitud expresada en
grados, es decir 60º.
¡¡¡¡¡¡ No te olvides de cambiar el MODO de la calculadora para cada caso !!!!!!!!
De este procedimiento por las dos alternativas tienes que obtener una aproximación decimal a
3
2
(que es irracional).
sen
( 140 )
π
=
3
3
2
≅
0.8660
El resultado que arroja la calculadora
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DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Como hemos visto la variable independiente de estas funciones es un ángulo cuyo valor en radianes
es un número real. Observemos que para las funciones seno y coseno el ángulo no tiene limitación en
cuanto al valor que puede tomar.
Entonces el Dominio de estas funciones es el conjunto de todos los reales que podrá también
escribirse en notación matemática como:
Dom sen(t) = {t∈R}
donde el símbolo ∈ significa pertenece y la letra
R denota el conjunto de los números reales.
Ya hemos advertido que si a=0 las funciones tangente y secante no están definidas. Lo mismo ocurre
para las funciones cosecante y cotangente cuando b=0. ¿Podrías fundamentar por qué no están
definidas?
Para describir el dominio de la función tangente, en primera instancia, podríamos analizar para que
ángulos la función no está definida.
Esta falta de definición ocurrirá cada vez que el lado final del ángulo coincida con el eje y, que
corresponde con los ángulos
π
π
y −
y todos sus coterminales.
2
2
Ahora estamos en condiciones de describir este dominio
Dom tg(t) = {t∈R / t ≠
π
+ kπ }
2
donde k∈Z
Podrías obtener algunos valores de t (adoptando diferentes k) de la expresión anterior y verificar con
el uso de la calculadora que la tangente de estos ángulos no esta definida.
Ejercicio Nº 30
Revisando las definiciones encuentra el dominio de las funciones secante, cosecante y cotangente.
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( 141 )
IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Para completar el estudio de estas funciones y previo a la determinación de la gráfica es momento que
determinemos el conjunto imagen de cada una de estas funciones.
Volvamos a la Figura 14, ubiquemos el punto P, recuerda que P se puede ubicar en cualquier parte de
la circunferencia unitaria, pero cualquiera sea la ubicación la abscisa a y la ordenada b sólo tomarán
valores en el intervalo [-1,1] es decir −1 ≤ b ≤ 1 , en consecuencia como el sen(θ)=b entonces
−1 ≤ sen (θ) ≤ 1 y, del mismo modo, el cos(θ)=a luego −1 ≤ cos (θ) ≤ 1 .
O en notación matemática
Si y=sen(t) ; Im sen(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 }
Si y=cos(t) ; Im cos(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 }
En cambio para las funciones tangente y cotangente que resulta de la razón entre magnitudes que
pueden tomar valores en [-1,1] puedo obtener todos los valores reales. Es decir:
Si y=tg(t) ; Im tg(t) = { y∈R }
Otra vez te queda la tarea de determinar el conjunto imagen de las funciones cosecante y secante.
( 142 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Al construir las gráficas de las funciones trigonométricas, siempre los ángulos estarán expresados en
radianes, o sea números reales.
Para visualizar un ángulo como variable utilizaremos nuevamente el punto P moviéndose en la
circunferencia unitaria.
Nos dedicaremos a deducir la gráfica de la función seno.
Comencemos con el ángulo cero, es decir que P estará en el eje x positivo, con coordenadas (1;0). La
ordenada nos da el valor del seno del ángulo, cero también, en este caso. Esto nos permite ubicar el
primer punto el de coordenadas (0;0) para la gráfica de la función, que vamos a dibujar al lado de la
circunferencia para que se pueda visualizar mejor.
Consideremos ahora el ángulo
π
, con el punto P ubicado en la posición A' de la Figura 15, la longitud
6
del segmento AA' representa el valor del seno de este ángulo. Podremos trasladar este segmento al
sistema de coordenadas de la izquierda donde estamos construyendo la gráfica de la función seno,
hasta la posición en que t tome el valor
π
.
6
Al considerar distintos ángulos el punto P se ubicará en las posiciones B', C', D', etc. Y los segmentos
verticales BB', CC', DD' … representarán la magnitud del seno de los respectivos ángulos.
Estos segmentos ubicados en el sistema de coordenadas que llamamos y vs. t nos sugiere que la
curva del seno tiene la forma que dibujamos en la última parte de la figura.
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( 143 )
y
B’
B’
A’
π/3
A’
π/6
A
O
B
A
O
π/6
0
B
π/3
t
y
π/2
(2/3)π
C’
π/3
C’
D’
B’
π/6
(5/6)π
D
H
G
E’
A’
A’
E’
π F E
D’
B’
A O 0
B
O
C
0
A
π/6
B
π/3
C
D
E
π/2 (2/3)π (5/6)π π
F (7/6)π (4/3)π
G
H
t
G’
(7/6)π
G’
H’
(4/3)π
H’
y
(5/2)π
π/2
(2/3)π
(7/3)π
π/3
π/6
(5/6)π
π
(13/6)π
(7/6)π (4/3)π (3/2)π (5/3)π (11/6)π
0 2π
0
(7/6)π
π/6
π/3
π/2 (2/3)π (5/6)π π
2π (13/6)π (7/3)π (5/2)π ...
t
(11/6)π
(5/3)π
(4/3)π
(3/2)π
Figura 15 – Generación de la función seno
Resumiendo, las características de la función seno, son:
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, por lo tanto la gráfica anterior podría
haberse dibujado incluso desde los valores negativos de t.
2. El conjunto imagen consta de todos los números reales entre –1 y 1 inclusive
3. La función seno es una función impar, es decir como se ve en su gráfica, ésta es simétrica con
respecto al origen.
4. La función seno es periódica con periodo 2π
5. Las intersecciones con el eje de abscisas son.....,-2π, -π, 0, π, 2π,3π......; la intersección con el eje
de ordenadas es 0.
( 144 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
6. El valor máximo es 1 y ocurre en los siguientes valores de la variable independiente:
... −
π
3
5
9
;
π ;
π ;
π ...
2
2
2
2
7. El valor mínimo es –1 y ocurre en los siguientes valores: ... −
π
3
7
11
;
π ;
π ;
π …
2
2
2
2
Ya vimos como se genera la gráfica de la función seno, del mismo modo podríamos trabajar para
lograr las gráficas de las demás funciones. Aquí te presentamos algunas para que las uses y tengas en
cuenta:
1
_π
_5
_π _ 2
6
_π
_ 11
__ π _ 5
6
3
3
_ 1_ π _ 1
_π
3
6
_4
_π _ _
7
π
3
_1 π
6
6
1
_
π
3
_2 π
3
7π
_
6
_4 π
_7 π
4
_
π
3
3
_5 π
3
11
__
π
6
5
_
π
6
-1
Figura 16 – Función seno: y=sen(t)
1
__
4π _ _
7
π
3
6
2
__
5
π
π __
6
3
__
1π _ _
1π
3
_2 π
6
3
_ 11
__ π _ _
5π
6
1π
_
6
3
5π
_
6
_1 π
3
6
5π
_
3
11
__
π
6
-1
Figura 17 – Función coseno: y=cos(t)
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( 145 )
...
1.73
0.58
_1
_π _ 1
_π
_4
_π _ 7
_π
...
3
6
3
6
_ 11
__ π _ 5_ π
3
_2 π
6
3
_5
_π _ 2
_π
6
1π
_
6
3
5π
_
3
5π
_
6
_1 π
3
7π
_
6
4
_
π
3
11
__
π
6
...
-0.58
...
-1.73
Figura 18 – Función tangente: y=tg(t)
Ejercicio Nº 31
Usando las gráficas que te presentamos podrías resumir las características mas importantes (dominio,
imagen, paridad, período, raíces, máximos y mínimos) de las funciones coseno y tangente.
Ejercicio Nº 32
Completa la afirmación, consultando las gráfica de las funciones trigonométricas. t → 0+ significa que
t se acerca a cero por la derecha.
a) Cuando t → 0+ , sen (t) → ..........
b) Cuando t → π+ , sen (t) → ..........
c)
Cuando t → π− , cos (t) → ..........
π
3
−
d) Cuando t →
π
2
−
e) Cuando t →
f)
, cos (t) → ..........
, tg (t) → ..........
Cuando t → 0+ , cot g (t) → ..........
( 146 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
Ya comprendidos los conceptos sobre funciones trigonométricas, es bueno rescatar las aplicaciones de
este tema, aquí te acercamos algunas...
• EL SONIDO
¿Sabías que ... Los sonidos se transmiten desde una fuente que los produce hasta nuestros oídos a
través de una vibración de las moléculas de aire sin transportar materia.?
Al representar el movimiento de estas moléculas, en un sistema de coordenadas, en el cual el sistema
de abscisas corresponde al tiempo y el de ordenadas al desplazamiento a partir de la posición original,
se obtienen algunos gráficos como los mostrados en la Figura 19.
La representación de la vibración producida al
hacer sonar un diapasón muestra la forma que
tiene la onda de un sonido puro.
diapasón
Las otras dos, que pertenecen a una flauta y a
un violín, muestran ondas más complejas. En
realidad la onda vibrante emitida por un
instrumento musical, es una combinación de
flauta
sonidos puros, o sea que se puede representar
como combinación de funciones periódicas. El
gráfico de un sonido puro corresponde a una
función del tipo: f(x) = a sen(wx)
violín
Figura 19 – Representación gráfica de diferentes sonidos
¿Qué características físicas tienen los sonidos relacionados con los parámetros a y w ?
• Volumen, si golpeamos con más fuerza el mismo diapasón, oiremos un sonido más intenso, cuya
representación es una función de mayor amplitud. El factor a, está relacionado con el volumen del
sonido o amplitud de la onda.
• Tono o Altura: si golpeamos con la misma fuerza distintos diapasones correspondientes a distintas
notas musicales, nuestros oídos percibirán diferentes alturas o tonos . Esta es la característica física a
la que aludimos cuando decimos que un sonido es grave o agudo y se llama frecuencia, y es
w
2π
. A
frecuencias mayores corresponden, desde el punto de vista físico, sonidos más agudos y,
matemáticamente, funciones de periodos menores.
Como x representa al tiempo, entonces la frecuencia es la cantidad de ciclos que realiza la onda por
segundo, se mide en Hertz (Hz) que representa un ciclo por segundo.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
( 147 )
Si tocamos en un piano el LA por encima del
DO central y pudiéramos visualizar la señal de
este sonido, veríamos que su frecuencia es de
440Hz. Si tocamos un LA más agudo su
frecuencia es de 880 Hz y uno más grave tiene
una frecuencia 220 Hz; estas representan
distintas
“octavas”
de
una
misma
nota.
Podríamos incluso comparar las frecuencias de
los
sonidos
de
las
siete
notas
de
una
determinada octava, los resultados se ven en
Figura 20 – Frecuencias de las siete notas en una octava
la Figura 20.
Ejercicio Nº 33
Observa la figura, y responde:
a. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido de
mayor volumen?
b. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido más
agudo? ¿Y cuál al sonido más grave?
c. ¿Cuál de las ondas tiene el mayor período?
¿Y el menor?
• LAS MAREAS
profundidad [m]
El siguiente gráfico muestra como varía la profundidad del agua de un puerto en un día cualquiera.
10
8
6
Calado
Profundidad
del puerto
4
Mar
2
03 05 07 09 11 13
15 17
miércoles
19 21 23 01
03
hora
jueves
Figura 28 – Variación de la profundidad del agua de un puerto en función del tiempo
( 148 )
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Ejercicio Nº 34
Dado que los barcos sólo pueden entrar en el puerto si la profundidad en el mismo es mayor que el
calado del barco…, usando la gráfica anterior,
a. ¿A qué hora hay pleamar? ¿Y bajamar?
b. ¿En qué intervalos sube la marea? ¿En cuáles baja?
c. ¿En qué momento puede entrar o salir un barco con un calado de 5m cuando está cargado y de 2m
descargado?
d. ¿Cuál debería ser el calado máximo de un barco cargado para poder entrar y salir del puerto
independientemente de la profundidad en el mismo?
e. ¿Cuál es el período de la función graficada?
Hasta aquí te hemos presentado algunos de los conceptos más importantes de las funciones
trigonométricas, por supuesto que hay mucho más... Las diferentes carreras de ingeniería usan esta
teoría para determinar, entre otras cosas, ángulos de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición
del mismo; armado de cartas de navegación; diseños de diferentes estructuras y piezas de
máquinas; construcción de carreteras, puentes…; modelado, simulación y control de sistemas
eléctricos... y así podríamos seguir enumerando aplicaciones. Depende de tu gusto y de tus ganas
seguir ampliando sobre este tema.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008
( 149 )