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La demostración
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La demostración en matemáticas (aritmética)
Tal vez los alumnos y alumnas hayan demostrado, en alguna ocasión, alguna fórmula o alguna propiedad matemática, o hayan contemplado su demostración. Como sabemos, para ellos, el proceso no es muy sencillo.
En las próximas páginas se va a analizar en qué consiste una propiedad matemática
y cuáles son las características de una demostración.
Además, se ofrece una demostración sencilla de una propiedad de naturaleza aritmética y se recomienda, como actividad, el demostrar algunas otras.
Aunque se han escogido ejemplos especialmente sencillos y bonitos, esta parte de
demostración puede que solo resulte útil a aquellos estudiantes que sean algo aficionados a las matemáticas o que se esfuercen considerablemente en entenderla y practicarla a fondo.
Unidad 1. Números reales
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Propiedades matemáticas
Las matemáticas están plagadas de propiedades, es decir, relaciones entre distintos
elementos que se verifican en casos perfectamente determinados. A veces se las llama leyes y, otras veces, teoremas. A continuación ponemos algunas.
I.
II.
III.
IV.
a n · b n = (a · b) n
Si dos números son múltiplos de n, entonces su suma también lo es.
Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos.
Teorema de Pitágoras
Si a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y b, c son sus catetos,
entonces se verifica que a 2 = b2 + c2.
Todas las propiedades matemáticas tienen una estructura similar:
HIPÓTESIS
CONDICIONES PREVIAS
TESIS
ò
CONCLUSIÓN
Veamos, como ejemplo, cómo se enunciarían las propiedades II y III de arriba según esta estructura:
A y B son múltiplos de n
P es un punto de la mediatriz de
AB (es decir, la perpendicular
desde P a AB corta al segmento
en su punto medio).
ò
ò
A + B es múltiplo de n
— —
PA = PB
En muchos casos, la propiedad se confunde con la tesis. Es el caso I.
En esta propiedad la hipótesis podría ser:
a y b son números racionales y n es un número natural.
El símbolo fi , que se lee implica, significa que lo que hay a su derecha es consecuencia lógica (se deduce) de lo que hay a su izquierda. La constatación de este hecho, es decir, la cadena de argumentos por la cual se ve que de la hipótesis se deduce la tesis, es lo que se llama demostración de la propiedad.
Actividad
1. Enuncia las propiedades I y IV mediante la estructura HIPÓTESIS ò
Unidad 1. Números reales
TESIS.
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En qué consiste una demostración
Veamos algunas demostraciones para analizar sus características.
Demostración de la propiedad I
an · bn = (a · a · … · a) · (b · b · … · b) = (a · b) · (a · b) · … · (a · b) = (a · b)n
14243 14243 1444442444443
n veces
n veces
n veces
En cada transformación se ha aplicado una propiedad. En la primera y en la tercera
se ha tenido en cuenta, sencillamente, la definición de potencia. Pero en la segunda,
para romper paréntesis y reagrupar, se aplican las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación.
Demostración del teorema de Pitágoras
b
b
c
c
a
a
b
b
c
b
a
b2
c
a2
b
b
b
c
c2
a
c
b
Esta demostración ya la habrás visto en algún libro de texto, observando que si en
cada uno de los cuadros grandes suprimimos cuatro triángulos, quedan áreas iguales.
Sin embargo, para probar que el área que queda a la derecha es a2 tendríamos que
estar seguros de que el ángulo señalado con una flecha es de 90°. Esto se demuestra
viendo que los otros dos contiguos a y b suman 90° porque a + b + 90° = 180°.
En esta demostración se ha tenido en cuenta que la suma de los ángulos de un
triángulo es 180°.
En general, para efectuar una demostración hemos de hacer una serie de razonamientos que permitan ver que siempre que ocurre lo que dice la hipótesis tiene que
ocurrir lo que afirma la tesis. En esos razonamientos se utilizan definiciones y otras
propiedades que ya se dan por sabidas.
En las próximas páginas vas a encontrar varias propiedades matemáticas (de aritmética, álgebra, geometría y estadística). Las demostraciones se efectúan meticulosamente. Se pretende que las comprendas y apliques caminos parecidos para demostrar las que se te proponen más adelante.
Es muy importante que siempre tengas muy claro cuál es la hipótesis, cuál la tesis y
qué propiedad aplicas en cada paso de tu argumentación.
Actividad
1. Intenta demostrar las propiedades II y III.
Unidad 1. Números reales
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Demostración de propiedades aritméticas
Veamos, con unos ejemplos, el estilo de las demostraciones aritméticas.
La suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4.
Esta propiedad puede expresarse del siguiente modo:
HIPÓTESIS
M y N son números impares consecutivos
TESIS
ò
M + N es múltiplo de 4
Demostración
Para demostrar esta propiedad hemos de ser capaces de expresar simbólicamente
(codificar) las propiedades que caracterizan a los elementos de la hipótesis:
M es un número impar cualquiera : 2n + 1
N el siguiente número impar: (2n + 1) + 2 = 2n + 3
Ya los hemos caracterizado algebraicamente. Ahora hacemos con ellos lo que indica
la tesis, es decir, sumarlos para ver si su suma es múltiplo de 4:
M + N = (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4 ( n + 1)
Efectivamente, M + N es múltiplo de 4, que es lo que queríamos demostrar.
Actividades
1. Repite la demostración anterior justificando cada paso.
2. Demuestra que la suma de dos números pares consecutivos no es múltiplo de 4.
3. Demuestra que si m es múltiplo de 5, entonces (m – 1)2 + 4 también es múltiplo
de 5.
4. Razona que el producto de tres números enteros consecutivos es múltiplo de 6.
5. Demuestra que n3 – n es múltiplo de 6.
6. Demuestras que si m es un número impar, entonces m2 + 1 no es múltiplo de 4.
Ayuda: Expresa m como impar: 2n + 1.
7. Demuestra que si a, b, c son tres números enteros consecutivos, entonces
a2 + b2 + c2 + 1 no es múltiplo de 12.
Ayuda: Ten en cuenta la propiedad anterior.
Unidad 1. Números reales