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EJERCICIOS
1. Halla los ángulos complementarios y suplementarios de los siguientes ángulos:
a) 15o; b) 33o; c) 82o; d) 55o; e) 42o; f) 8o; g) 22o 33'; h) 36o 12'; i) 650 27' 39".
2. Conociendo sen 30o y cos 30o, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos:
a) 150o; b) 210o; c) 330o; d) 240o; e) 300o; f) 120o; g) 390o; h) 480o; i) 660"; j) 690o.
3. Conociendo sen 45o y cos 45o, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos:
a) 135o; b) 225o; c) 315o; d) 405o; e) 675o; f) 765o.
4. Conociendo sen 11o= 0’19 y cos 11o = 0’98, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes
ángulos:
a) 79o; b) 101o; c) 169o; d) 191o; e) 259o; f) 281o; g) 349o; h) 371o.
5. Conociendo sen 37o= 0’6 y cos 37o = 0’8, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes
ángulos:
a) 53o; b) 127o; c) 143o; d) 217o; e) 233o; f) 307o; g) 323o; h) 413o.
6. Conociendo sen 65o = 0’9 y cos 65 = 0’42, calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes
ángulos:
a) 25o; b) 115o; c) 155o; d) 205o; e) 335o; f) 475o; g) 745o.
7. Halla los ángulos comprendidos entre 0o y 3600 que satisfacen estas igualdades:
1
2
3
a) sen x = ; b) cos x= 1; c) tg x = 3 ; d) cosx =
; e) tgx =
; f) sen x= -1;
2
2
3
3
2
g) sen x = ; h) cos x = 0; i) tg x = -1; j) cos x = ; k) tg x = - 3
2
2
8. Halla los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones trigonométricas, sabiendo que x toma
valores iguales o menores que 360o:
3
1
a) sen 2x =
; b) sen 3x = 0; c) cos 2x = 1; d) sen (3x -30o) = ; e) tg (3x – 45o) = -1;
2
2
o
o
o
f) cos (2x -60 ) = -1; g) cotg (4x – 60 ) = 3 ; h) sec (3x – 45 ) = 2; i) cosec (5x + 20o) = -2;
9. Resuelve las ecuaciones
a) sen 2x = cos 60°;
e) sen2 x -cos2 x =
1
2
b) sen 2x cos x = 6 sen3 x;
c) tg 2x = -tg x;
f) sen x = sen (45° - x);
g) sen x +
h) 4 sen (x-30o) cos (x-30o) =
d) cos x = 2·
2 tg x
1 + tg 2 x
3 cos x = 2
3
10. Calcula el valor de las expresiones siguientes:
a) sen 30o·cos 90o - cos 210o·tg 135o;
c) sen 150o·cos 240o·tg 30o·tg 330o;
b) cos 120o·tg 315o + sen 90o·.tg 300o;
d) sen 270o· sen 300o - cos 30o· cos 300o;
1
e) tg 135o·tg 240o+ cos 60o·cos 150o;
g) cos 45o·sen 315o + tg 135o·cos 0o.
f) sen 180o·tg 225o - tg 240o·sen 270o;
h) 2 sen 135o + cos 240o - tg330o.
11. Si sen 12° = 0,2 y sen 54° = 0,8, calcula sen 66° y tg 66°.
12. Sabiendo que cos 25° = 0,9 y cos 45° = 0,7 halla sen 70°, cos 70° y tg 70°.
13. Si sen 65° = 0,9 y sen 25° = 0,4, calcula cos 400, sen 40° y tg 40°.
14. Calcula sen 80o y cos 80° si sen 50o= 0,76.
15. Si cos 80° = 0,17, calcula:
a) sen 40° y cos 40° en función de cos 80°;
b) sen 20o y cos 20°.
16. Determina las razones trigonométricas del ángulo 2a en los siguientes casos:
1
1
5
a) sen a = ;
b) tg a = ; c) cosec a = 2; d) cos a = 0,7; e) sec a = ; f) cotg a = -1.
4
2
4
17. Si cos a =
1
a
, halla las razones del ángulo .
6
2
18. Calcula, en función del cos 225°, el seno, el coseno y la tangente de 112° 30'.
19. Halla, en función del cos 300°, el seno, el coseno y la tangente de 150°.
20. Dada tg x = 2, determina cos 2x, sen 2x y tg 2x.
21. Si tg 14° 5' = 0’25, calcula, en función de ella, sen 28° l0', cos 28° 10' y tg 28° l0'.
3
, halla el valor de tg 2x.
5
23. Demuestra las siguientes identidades:
22. Si sen x =
a) cos4a - sen4 a = 2 cos2 a -1;
c) sen2 a -cos2 b = sen2 b - cos2 a;
e) (sen a -cos a)2 + (sen a + cos a)2 = 2;
g) (tg a + cotg a) sen a cos a = 1;
sen(a + b) tg a·cog b + 1
i)
=
sen(a - b) tg a· cotg b - 1
b) sen4 a - cos4 a = sen2 a - cos2 a;
d) (cos a + sen a)2 = sen 2a + 1;
f) (cosec a + cotg a) (cosec a - cotg a) = 1;
h) tg a + tg b = tg a tg b (cotg a + cotg b);
tg a + tg b
j)
= tg a·tg b
cotg a + cotg b

 3π

 3π
k) sen
+ x  = 2cos x
+ x  − cos

 4

 4
2
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, en los que nos dan:
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
a =54'25m; B =32o
c = 34m; B = 42o
b = 230; B = 62o (R. C=58o; b= 26’75m; c= 46’01 m; S= 662’83 m2)
c = 0'0001689cm; b = 0'0004761 cm (R. a= 5’052·10-4 cm; B = 70o27’30’’;
C= 19o32’30’’; S= 4’021·10-8 cm2)
a = 62'50 dm; b = 32 dm.
(R. b= 53’69 dm; B= 30o47’49’’;
C= 59o12’11’’; S = 858’88 dm2)
b = 617'57 cm; a = 729'59 cm.
b = 122'40 m; c = 130 530m.
c = 89'32 cm; B = 82o
R( C=8o; a=641’79 cm; b=635’544 cm; S=28383’39 cm2)
c = 225m., a = 350 m.
a = 156'819dm; b = 99'464 dm
R( C=40o;B=49o59’45’’;b=268’09 m; S=30160’125 m2)
Resuelve los siguientes triángulos isósceles (A y C son los ángulos iguales; b, la base; l, cada uno de los
lados iguales, y h, la altura):
34.
35.
36.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
A = 68o; 1 = 350'94m.
37. b = 143'20m; h = 150'40m
1 = 79'243cm; b = 106'63 cm
(R. l= 166’57 m; S= 10768’64 m2;
o
C = 27 ; b = 3'0892 dm
A=C= 64o32’42’’; B=50o54’36’’)
En una circunferencia de 12 cm. de radio se toma una cuerda de 13 cm. Averigua el ángulo central
que abarca dicha cuerda.
Resuelve un decágono regular cuyo radio mide 6'4 m.
Calcula la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que su diagonal mide 84'66 cm. y uno de los
ángulos adyacentes a ella, 72o. (R. b= 80’52 m; h=26’15 m)
Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 137'42 cm. y 96'567 centímetros.
Halla la diagonal de un pentágono regular cuyo lado mide 632'57 m.
Si una cuerda de longitud igual a 413'68 m. subtiende un arco de 45o, ¿cuál será el radio de la
circunferencia?
La diagonal de un pentágono regular es 32'835 m. ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita?
Calcula los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 830 m. y 512 m., y la altura 614
metros.
Conocida la tangente de z = 2/3, calcula las demás razones trigonométricas del ángulo z. sabiendo
que z es mayor que π y menor que 3/2 de π.
47. Hallar el valor de todos los ángulos comprendidos, entre -500o y 500o cuya tangente valga
48. Calcula x sabiendo que tg 2 x =
3
2
12 − 3
12 + 3
49. Sabiendo que sen a = 3/5; sen b = 4/5 y que a y b son ángulos agudos, halla el valor de sen (a + b) y
cos (a + b).
50. Sabiendo que sen a = 2/3; sen b = 1/2 y que a y b son ángulos agudos; halla el valor de sen (a + 2b).
51. ¿Cuáles son las razones trigonométricas del tercer 5 ángulo de un triángulo, si se sabe que los otros
miden π/6 radianes y 45o.
52. El seno de un ángulo es 0'8. ¿Cuál será el seno del ángulo doble? ¿y el coseno del ángulo mitad?
53. Si tg a = 1/3 y cotg b = 4/5, calcula las razones trigonométricas de (a + b).
3
54. Se sabe que tg 45o = l. Ha1la la tangente del ángulo de 90o/4.
55. Halla valor de: sen 45o + sen 15o + cotg 75o.
56. Si el ángulo A de un triángulo mide 45o y el B mide 60o, calcula la longitud del lado b, sabiendo que
16
dm.
la del lado a es
6
57. Los catetos b y c de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm, respectivamente. Halla la longitud de la
bisectriz correspondiente al ángulo B.
58. Calcula el área de un triángulo isósceles del que se sabe que el lado desigual mide 4 m. y el ángulo
desigual 45o.
59. ¿Qué altura tiene una torre que desde el suelo horizontal. y a 40 metros de su pie, se ve con un ángulo
de 30o?
60. Calcula el valor de cado uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo en el que la
hipotenusa mide 8 cm. siendo la proyección de uno de los catetos sobre ella de 2 cm.
(R. D=70 m; d= 43’590m; S=750√3 m2)
61. Halla las longitudes de las diagonales y el área de un paralelogramo de lados 30 m y 50 m., sabiendo
que estos lados forman un ángulo de 60o.
13 3
(R. h =
m)
3
62. ¿Cuál es la longitud de 1a sombra que proyecta una casa de 13 m. de altura cuando el sol está 60o
sobre el horizonte?
63. Sabiendo que dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 4 cm. y 62 cm. y que forman un
ángulo de 45º, halla su área.
64. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es doble de uno de los catetos. ¿ Cuánto mide cada uno de
los ángulos agudos?
65. Halla el área de un triángulo rectángulo, tal que, el radio de su circunferencia circunscrita mida 8 cm.,
y uno de los ángulos satisfaga la ecuación: 2·senx·cosx = tg x
20 3
Dato : l 3 = r 3 . (R: h =
m)
3− 3
66. En un terreno horizontal y desde un punto A, vemos una torre bajo un ángulo de 30o. Si nos
aproximamos a la torre 20 m., llegamos a otro punto B, alineado con el pie de la torre, desde el que se
ve la misma bajo un ángulo de 45o, Calcula la altura de la torre
67. Para medir la altura de una nube se han hecho simultáneamente dos observaciones desde los puntos A
y B distantes entre sí un kilómetro. La inclinación de la visual desde A es de 47o15’. Los ángulos que
las visuales desde A y B forman con la recta AB son, respectivamente, 38o14’ y 53o 20’. Halla la
altura de la nube.
68. Uno de los lados de un triángulo es doble que el otro, y el ángulo comprendido entre ellos mide 60o.
Halla las medidas de los otros dos ángulos.
69. Halla el área de un polígono regular de ocho lados y de 10 m. de radio
69. Halla la base de un triángulo is6sceles cuya altura mide 2 + 2 dm., siendo el ángulo opuesto a la
base de 30o. Calcula también el área.
70. La resultante de dos fuerzas concurrentes vale 60 N. y forma con cada una de ellas ángulos de 45o y
(
)
4
30o, respectivamente. Calcula el valor de dichas fuerzas.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
cos 2x - cos 6x = sen 5x + sen 3x.
3
83. 4 tg x =
tg(x - 45) + tg(x + 45) = 2 cotg x.
cos 2 x
cos 2x + 5 cos x + 3 = 0
84. sen 2x = sen x.
2 tg x -3 cotg x -1 = 0
3

sen 2x · cos x = 6 sen3 x.
sen x ⋅ cos y = 4
85. 
 sen x + cos y = 2
1

cos x ⋅ sen y =
cosec
x
+
sec
y
=
2
2

4

sen (x + y ) − cos x ⋅ cos y = o
1

cos(x + y ) =


2
 tg y = 1
86. 
1
cos x + tg π/3 · sen x = l.
 cos(x - y ) =
2

cos x = sen 2x.
87.
cos
8x
+
cos
6x
= 2 cos 210o · cos x.
cos x 3
=
sen x + sen y = 1
tg x
2
88.

o
cos 2x = 5 - 6 cos2 x
 2x + 2y = 180
sen 2 x tg x
=
3
4
Resuelve los triángulos siguientes:
89. a = 254 metros, B = 36o, C = 58o.
R( b:149’65 m; c:215’93 m; A=86o;
S=16118’9122 m2)
90. a = 117'80 m., B = 32o, C = 123o
91. a = 1024'80 m., B = 59o, C = 41o
R( b:891’97 m; c:682’70 m; A=80o;
S=299845’46 m2)
92. b = 0'6708 m., A = 26o, C = 44o
93. c = 0'93109 m., A = 15o, C = 123o
R( b:0’7403 m; a:0’2804 m; B=42o;
S=0’0846 m2)
94. a = 3123'20 m., b = 201'24 m., C = 56o
95. a = 114'40 m., b = 105'30 m., C = 54o
R( c:100’07 m; B:58o21’8’’;
A=67o38’52’’; S=5000 m2)
96. a = 6024'80 m., b = 418'60 m., C = 78o
97. b = 4'102 m., c = 4'549 m., A = 62o
R( a:4’47 m; B:53o51’27’’;
C=63o47’23’’; S=8’235 m2)
98. a = 7'48 m., c = 12'409 m., B. = 83o
99. a = 910'25 m., b = 1024'80 m., A = 61o
100. b = 4'521 m., c = 5'03 m., B = 40o
101. a = 0'32163 m., c = 0'27083 m., C = 52o
102. a = 37'50 m., b = 46 m., c = 53'50 m.
R(A=43o28’16’’; B=57o33’28’’;
C=78o58’16’’ S=846’57 m2)
103. a = 2593'80 m., b = 3210'20 m,
c = 3986'90 m.
104. a = 0'0291 m., b = 0'0184 m., c = 0'0358 m.
105. a = 187'422 m., b = 236'721 m.,
c = 199'315 m.
106. Un lado de un paralelogramo mide 56 cm., y los ángulos formados por este lado y las diagonales son
31o y 45o. Calcula los lados del paralelogramo. R: l=44’265 cm
107. Las bases de un trapecio miden 231 m. y 472 m., respectivamente, y los lados no paralelos 239 m.y
358 m. Halla el área del trapecio y el valor de sus ángulos. .
108. Los lados AB, BC y DA de un campo cuadrangular ABCD miden 37, 63 y 20 metros,
respectivamente, y las diagonales AC y BD; 75 y 42 m., respectivamente. Calcula el área de dicho
campo.
109. El radio de una circunferencia mide 254'8 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud igual a 360'9 metros.
5